Retroceso (teoría de categorías)

En la categoría de anillos conmutativos (con identidad), el retroceso se llama producto fibrado. Sean A , B y C anillos conmutativos (con identidad) y homomorfismos de anillos α  : A → C y β  : B → C (que preservan la identidad) . Entonces existe el retroceso de este diagrama y está dado por el subanillo del anillo producto A × B definido por

${\displaystyle A\times _{C}B=\left\{(a,b)\in A\times B\;{\big |}\;\alpha (a)=\beta (b)\right\}}$

junto con los morfismos

${\displaystyle \beta '\colon A\times _{C}B\to A,\qquad \alpha '\colon A\times _{C}B\to B}$

dado por${\displaystyle \beta '(a,b)=a}$y${\displaystyle \alpha '(a,b)=b}$a pesar de${\displaystyle (a,b)\in A\times _{C}B}$. Entonces tenemos

${\displaystyle \alpha \circ \beta '=\beta \circ \alpha '.}$

En completa analogía con el ejemplo de anillos conmutativos anterior, se puede demostrar que todas las retrotracciones existen en la categoría de grupos y en la categoría de módulos sobre algún anillo fijo.

En la categoría de conjuntos , el retroceso de las funciones f  : X  → Z  y g  : Y → Z    siempre existe y está dado por el conjunto

${\displaystyle X\times _{Z}Y=\{(x,y)\in X\times Y\;{\big |}\;f(x)=g(y)\}=\bigcup _{z\in f(X)\cap g(Y)}f^{-1}[\{z\}]\times g^{-1}[\{z\}],}$

junto con las restricciones de los mapas de proyección π ₁ y π ₂ a X  × _Z Y  .

Alternativamente, se puede observar el retroceso en Set de forma asimétrica:

${\displaystyle X\times _{Z}Y\cong \coprod _{x\in X}g^{-1}[\{f(x)\}]\cong \coprod _{y\in Y}f^{-1}[\{g(y)\}]}$

dónde${\displaystyle \coprod }$es la unión disjunta de conjuntos (los conjuntos involucrados no son disjuntos por sí mismos a menos que f o g sean inyectivos ) . En el primer caso, la proyección π ₁ extrae el índice x mientras que π ₂ olvida el índice, dejando elementos de Y.

Este ejemplo motiva otra forma de caracterizar el retroceso: como el ecualizador de los morfismos f  ∘ p ₁ , g ∘ p ₂ : X × Y → Z          donde X  × Y  es el producto binario de X e Y y p ₁ y p ₂ son las proyecciones naturales. Esto demuestra que los retrocesos existen en cualquier categoría con productos binarios e ecualizadores. De hecho, por el teorema de existencia de límites , todos los límites finitos existen en una categoría con productos binarios e ecualizadores; equivalentemente, todos los límites finitos existen en una categoría con objeto terminal y retrocesos (debido a que un producto binario es igual a un retroceso sobre el objeto terminal, y que un ecualizador es un retroceso que involucra un producto binario).

Otro ejemplo de retroceso proviene de la teoría de fibrados : dado un fibrado π  : E → B y un fibrado continuo f  : X → B    , el retroceso (formado en la categoría de espacios topológicos con aplicaciones continuas ) X  × _B E  es un fibrado sobre X llamado fibrado de retroceso . El diagrama conmutativo asociado es un morfismo de fibrados. Un caso especial es el retroceso de dos fibrados E ₁ , E ₂ → B . En este caso, E ₁ × E ₂ es un fibrado sobre B × B , y al realizar el retroceso a lo largo del fibrado diagonal B → B × B se obtiene un espacio homeomorfo (difeomorfo) a E ₁ × _B E ₂ , que es un fibrado sobre B . Todas las afirmaciones aquí son válidas también para variedades diferenciables. Las aplicaciones diferenciables f  : M → N    y g  : P → N    son transversales si y solo si su producto M × P → N × N es transversal a la diagonal de N . ^{[ 2 ]} Por lo tanto, el retroceso de dos aplicaciones diferenciables transversales en la misma variedad diferenciable es también una variedad diferenciable, y el espacio tangente del retroceso es el retroceso de los espacios tangentes a lo largo de las aplicaciones diferenciales.

Las preimágenes de conjuntos bajo funciones se pueden describir como retrocesos de la siguiente manera:

Supongamos que f  : A → B , B ₀ ⊆ B . Sea g la aplicación de inclusión B ₀ ↪ B . Entonces, una imagen inversa de f y g (en el conjunto ) viene dada por la preimagen f ⁻¹ [ B ₀ ] junto con la inclusión de la preimagen en A

f ⁻¹ [ B ₀ ] ↪ A

y la restricción de f a f ⁻¹ [ B ₀ ]

f ⁻¹ [ B ₀ ] → B ₀ .

Debido a este ejemplo, en una categoría general, la imagen inversa de un morfismo f y un monomorfismo g puede considerarse como la "preimagen" bajo f del subobjeto especificado por g . De manera similar, las imágenes inversas de dos monomorfismos pueden considerarse como la "intersección" de los dos subobjetos.

Consideremos el monoide multiplicativo de enteros positivos Z ₊ como una categoría con un solo objeto. En esta categoría, el retroceso de dos enteros positivos m y n es simplemente el par${\displaystyle \left({\frac {\operatorname {lcm} (m,n)}{m}},{\frac {\operatorname {lcm} (m,n)}{n}}\right)}$donde los numeradores son el mínimo común múltiplo de m y n . El mismo par es también el pushout.

Dado que el producto en la categoría de anillos, es decir, el coproducto en una categoría de álgebras sobre un anillo R , viene dado por el producto tensorial sobre R , y Spec es un functor contravariante, el producto inverso de dos esquemas afines Spec( A ) y Spec( B ) sobre Spec( R ), generalmente llamado producto fibrado, viene dado por Spec( A ⊗ _R B ). Al pegar esquemas , se puede construir el producto fibrado para cualesquiera dos esquemas sobre una base afín, y a partir de ahí demostrar que existe sobre un esquema base arbitrario. ^{[ 3 ]}  

Los productos fibrados de esquemas son importantes en geometría algebraica porque proporcionan una noción de cambio de base, por ejemplo, de una variedad sobre un cuerpo a una extensión de cuerpo , además de permitir definir intersecciones teóricas de esquemas y fibras de un morfismo .