Grupo Barsotti-Tate

En geometría algebraica , los grupos de Barsotti-Tate o grupos p- divisibles son similares a los puntos de orden una potencia de p en una variedad abeliana de característica p . Fueron introducidos por Barsotti ( 1962 ) con el nombre de hiperdominio equidimensional y por Tate ( 1967 ) con el nombre de grupos p-divisibles, y Grothendieck (1971) los denominó grupos de Barsotti-Tate .  

Tate (1967) definió un grupo p- divisible de altura h (sobre un esquema S ) como un sistema inductivo de grupos G _n para n ≥0, tal que G _n es un esquema de grupo finito sobre S de orden p ^hn y tal que G _n es (identificado con) el grupo de elementos de orden divisible por p ⁿ en G _{n +1} .

De forma más general, Grothendieck (1971) definió un grupo de Barsotti-Tate G sobre un esquema S como un haz fppf de grupos conmutativos sobre S que es p -divisible, p -torsión, tal que los puntos G (1) de orden p de G son (representados por) un esquema localmente libre finito. El grupo G (1) tiene rango p ^h para alguna función localmente constante h en S , llamada rango o altura del grupo G. El subgrupo G ( n ) de puntos de orden p ⁿ es un esquema de rango p ^nh , y G es el límite directo de estos subgrupos.

• Consideremos G _n como el grupo cíclico de orden p ⁿ (o más bien el esquema de grupo correspondiente). Este es un grupo p -divisible de altura 1.
• Consideremos G _n como el esquema de grupo de las p raíces ^n- ésimas de 1. Este es un grupo p -divisible de altura 1.
• Consideremos G _n como el esquema de subgrupos de elementos de orden p ⁿ de una variedad abeliana. Este es un grupo p -divisible de altura 2 d , donde d es la dimensión de la variedad abeliana.

• Barsotti, Iacopo (1962), "Métodos analíticos para variedades abelianas en carácter positivo", Colloq. Théorie des Groupes Algébriques (Bruselas, 1962) , Librairie Universitaire, Lovaina, págs. 77–85 , MR 0155827  
• Demazure, Michel (1972), Lectures on p-divisible groups , Lecture Notes in Mathematics, vol.  302, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/BFb0060741 , ISBN 978-3-540-06092-5, MR 0344261 
• Dolgachev, IV (2001) [1994], "Grupo P-divisible" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Grothendieck, Alexander (1971), "Groupes de Barsotti-Tate et cristaux", Actes du Congrès International des Mathématiciens (Niza, 1970) , vol.  1, Gauthier-Villars, págs. 431–436 , MR 0578496 , archivado desde el original el 25 de noviembre de 2017 , consultado el 25 de noviembre de 2010  
• de Jong, AJ (1998), "Grupos y cristales de Barsotti-Tate" , Documenta Mathematica , Actas del Congreso Internacional de Matemáticos, Vol. II (Berlín, 1998), II : 259–265 , ISSN 1431-0635 , MR 1648076  
• Messing, William (1972), Los cristales asociados a los grupos de Barsotti-Tate: con aplicaciones a esquemas abelianos , Lecture Notes in Mathematics, vol.  264, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/BFb0058301 , MR 0347836 
• Serre, Jean-Pierre (1995) [1966], "Grupos p-divisibles (d'après J. Tate), Exp. 318" , Séminaire Bourbaki , vol.  10, París: Société Mathématique de France , págs. 73–86 , MR 1610452  
• Tate, John T. (1967), "Grupos p-divisibles", en Springer, Tonny A. (ed.), Actas de la Conferencia sobre Campos Locales (Driebergen, 1966) , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , MR 0231827