Relleno simpléctico

En matemáticas , un relleno de una variedad X es un cobordismo W entre X y el conjunto vacío . Más concretamente, la variedad topológica n -dimensional X es la frontera de una variedad W ( n + 1)-dimensional . Quizás el área de investigación actual más activa sea cuando n = 3, donde se pueden considerar ciertos tipos de rellenos.    

Existen muchos tipos de empastes, y a continuación se presentan algunos ejemplos de estos tipos (desde una perspectiva probablemente limitada).

• Un llenado orientado de cualquier variedad orientable X es otra variedad W tal que la orientación de X viene dada por la orientación de la frontera de W , que es aquella en la que el primer vector base del espacio tangente en cada punto de la frontera apunta directamente hacia afuera de W , con respecto a una métrica riemanniana elegida . Los matemáticos denominan a esta orientación la convención de primera normal hacia afuera .

Todos los siguientes cobordismos están orientados, con la orientación en W dada por una estructura simpléctica. Sea ξ el núcleo de la forma de contacto α . 

• Un llenado simpléctico débil de una variedad de contacto ( X , ξ ) es una variedad simpléctica ( W , ω ) con${\displaystyle \partial W=X}$de tal manera que${\displaystyle \omega |_{\xi }>0}$.
• Un llenado simpléctico fuerte de una variedad de contacto ( X , ξ ) es una variedad simpléctica ( W , ω ) con${\displaystyle \partial W=X}$De tal manera que ω sea exacto cerca del límite (que es X ) y α sea una primitiva para ω . Es decir, ω = dα en una vecindad del límite.${\displaystyle \partial W=X}$.
• Un relleno de Stein de una variedad de contacto ( X , ξ ) es una variedad de Stein W que tiene a X como su frontera estrictamente pseudoconvexa y ξ es el conjunto de tangencias complejas a X , es decir, aquellos planos tangentes a X que son complejos con respecto a la estructura compleja en W. El ejemplo canónico de esto es la 3-esfera$${\displaystyle \{x\in \mathbb {C} ^{2}:|x|=1\}}$$donde la estructura compleja en${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$es la multiplicación por${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$en cada coordenada y W es la bola { | x |  <  1} delimitada por esa esfera.

Se sabe que esta lista aumenta estrictamente en dificultad, ya que existen ejemplos de 3-variedades de contacto con relleno débil pero sin relleno fuerte, y otros que tienen relleno fuerte pero sin relleno de Stein. Además, se puede demostrar que cada tipo de relleno es un ejemplo del que lo precede, de modo que un relleno de Stein es, por ejemplo, un relleno simpléctico fuerte. Antes se hablaba de semi-rellenos en este contexto, lo que significa que X es uno de los muchos componentes de frontera posibles de W , pero se ha demostrado que cualquier semi-relleno puede modificarse para ser un relleno del mismo tipo, de la misma 3-variedad, en el mundo simpléctico (las variedades de Stein siempre tienen un componente de frontera).

• Y. Eliashberg, Algunas observaciones sobre el llenado simpléctico , Geometría y Topología 8 , 2004, págs.  277–293 arXiv : math/0311459
• J. Etnyre, Sobre rellenos simplécticos Algebr. Geom. Topol. 4 (2004), págs.  73–80 en línea
• H. Geiges, Introducción a la topología de contacto, Cambridge University Press, 2008