Espacio vectorial topológico

Todo espacio vectorial normado posee una estructura topológica natural : la norma induce una métrica y la métrica induce una topología. Este es un espacio vectorial topológico porque :

1. El mapa de suma vectorial${\displaystyle \cdot \,+\,\cdot \;:X\times X\to X}$definido por${\displaystyle (x,y)\mapsto x+y}$es (conjuntamente) continua con respecto a esta topología. Esto se deduce directamente de la desigualdad triangular que cumple la norma.
2. El mapa de multiplicación escalar${\displaystyle \cdot$ :\mathbb {K} \times X\to X} definido por${\displaystyle (s,x)\mapsto s\cdot x,}$dónde${\displaystyle \mathbb {K} }$es el campo escalar subyacente de${\displaystyle X,}$es (conjuntamente) continua. Esto se deduce de la desigualdad triangular y la homogeneidad de la norma.

Por lo tanto, todos los espacios de Banach y los espacios de Hilbert son ejemplos de espacios vectoriales topológicos.

Hay espacios vectoriales topológicos cuya topología no está inducida por una norma, pero que aún son de interés en el análisis. Ejemplos de tales espacios son los espacios de funciones holomorfas en un dominio abierto, los espacios de funciones infinitamente diferenciables , los espacios de Schwartz y los espacios de funciones de prueba y los espacios de distribuciones sobre ellos. ^{[ 1 ]} Todos estos son ejemplos de espacios de Montel . Un espacio de Montel de dimensión infinita nunca es normable. La existencia de una norma para un espacio vectorial topológico dado se caracteriza por el criterio de normabilidad de Kolmogorov .

Un campo topológico es un espacio vectorial topológico sobre cada uno de sus subcampos .

Dado que cada topología vectorial es invariante a la traslación (lo que significa que para todo${\displaystyle x_{0}\in X,}$el mapa${\displaystyle X\to X}$definido por${\displaystyle x\mapsto x_{0}+x}$es un homeomorfismo ), para definir una topología vectorial basta con definir una base de vecindad (o subbase) para ella en el origen.

En general, el conjunto de todos los subconjuntos equilibrados y absorbentes de un espacio vectorial no satisface las condiciones de este teorema y no forma una base de vecindad en el origen para ninguna topología vectorial. ^{[ 5 ]}

Dejar${\displaystyle X}$Sea un espacio vectorial y sea${\displaystyle U_{\bullet }=\left(U_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ser una secuencia de subconjuntos de${\displaystyle X.}$Cada conjunto en la secuencia${\displaystyle U_{\bullet }}$se llama unnudo de${\displaystyle U_{\bullet }}$y para cada índice${\displaystyle i,}$${\displaystyle U_{i}}$se llama el${\displaystyle i}$-ésimo nudo de${\displaystyle U_{\bullet }.}$El conjunto${\displaystyle U_{1}}$se llama el comienzo de${\displaystyle U_{\bullet }.}$La secuencia${\displaystyle U_{\bullet }}$es/es un/una: ^{[ 7 ] [ 8 ] [ 9 ]}

• Sumativo si${\displaystyle U_{i+1}+U_{i+1}\subseteteq U_{i}}$para cada índice${\displaystyle i.}$
• Equilibrado (o absorbente , cerrado , ^{[ nota 1 ]} convexo , abierto , simétrico , acorazado , absolutamente convexo/en disco , etc.) si esto es cierto para cada${\displaystyle U_{i}.}$
• Cadena si${\displaystyle U_{\bullet }}$Es sumativo, absorbente y equilibrado.
• Cadena topológica o unacadena de vecindario en un TVS${\displaystyle X}$si${\displaystyle U_{\bullet }}$es una cuerda y cada uno de sus nudos es un vecindario del origen en${\displaystyle X.}$

Si${\displaystyle U}$es un disco absorbente en un espacio vectorial${\displaystyle X}$entonces la secuencia definida por${\displaystyle U_{i}:=2^{1-i}U}$forma una cadena que comienza con${\displaystyle U_{1}=U.}$Esto se llama la cadena natural de${\displaystyle U}$^{[ 7 ]} Además, si un espacio vectorial${\displaystyle X}$Si tiene dimensión numerable, entonces cada cadena contiene una cadena absolutamente convexa .

Las sucesiones sumativas de conjuntos poseen la propiedad particularmente interesante de que definen funciones subaditivas continuas, reales y no negativas . Estas funciones pueden utilizarse para demostrar muchas de las propiedades básicas de los espacios vectoriales topológicos.

Una demostración del teorema anterior se presenta en el artículo sobre espacios vectoriales topológicos metrizables .

Si${\displaystyle U_{\bullet }=\left(U_{i}\right)_{i\in \mathbb {N} }}$y${\displaystyle V_{\bullet }=\left(V_{i}\right)_{i\in \mathbb {N} }}$son dos colecciones de subconjuntos de un espacio vectorial${\displaystyle X}$y si${\displaystyle s}$es un escalar, entonces por definición: ^{[ 7 ]}

• ${\displaystyle V_{\bullet }}$contiene${\displaystyle U_{\bullet }}$:${\displaystyle \ U_{\bullet }\subseteq V_{\bullet }}$si y solo si${\displaystyle U_{i}\subseteq V_{i}}$para cada índice${\displaystyle i.}$
• Conjunto de nudos :${\displaystyle \ \operatorname {Knots} U_{\bullet }:=\left\{U_{i}:i\in \mathbb {N} \right\}.}$
• Núcleo :${\textstyle \ \ker U_{\bullet }:=\bigcap _{i\in \mathbb {N} }U_{i}.}$
• Múltiplo escalar :${\displaystyle \ sU_{\bullet }:=\left(sU_{i}\right)_{i\in \mathbb {N} }.}$
• Suma :${\displaystyle \ U_{\bullet }+V_{\bullet }:=\left(U_{i}+V_{i}\right)_{i\in \mathbb {N} }.}$
• Intersección :${\displaystyle \ U_{\bullet }\cap V_{\bullet }:=\left(U_{i}\cap V_{i}\right)_{i\in \mathbb {N} }.}$

Si${\displaystyle \mathbb {S} }$es una colección de secuencias de subconjuntos de${\displaystyle X,}$entonces${\displaystyle \mathbb {S} }$Se dice que está dirigido ( hacia abajo ) bajo inclusión o simplemente dirigido hacia abajo si${\displaystyle \mathbb {S} }$no está vacío y para todos${\displaystyle U_{\bullet },V_{\bullet }\in \mathbb {S} ,}$existe algo${\displaystyle W_{\bullet }\in \mathbb {S} }$de tal manera que${\displaystyle W_{\bullet }\subseteq U_{\bullet }}$y${\displaystyle W_{\bullet }\subseteq V_{\bullet }}$(dicho de otra manera, si y solo si)${\displaystyle \mathbb {S} }$es un prefiltro con respecto a la contención${\displaystyle \,\subseteq \,}$definido anteriormente).

Notación : Sea${\textstyle \operatorname {Knots} \mathbb {S}$ :=\bigcup _{U_{\bullet }\in \mathbb {S} }\operatorname {Nudos} U_{\bullet }} sea el conjunto de todos los nudos de todas las cadenas en${\displaystyle \mathbb {S} .}$

Definir topologías vectoriales utilizando colecciones de cadenas es particularmente útil para definir clases de TVS que no son necesariamente localmente convexas.

Si${\displaystyle \mathbb {S} }$es el conjunto de todas las cadenas topológicas en un TVS${\displaystyle (X,\tau )}$entonces${\displaystyle \tau _{\mathbb {S} }=\tau .}$^{[ 7 ]} Un TVS de Hausdorff esmetrizablesi y solo sisu topología puede ser inducida por una sola cadena topológica. ^{[ 10 ]}

Una de las propiedades más utilizadas de las topologías vectoriales es que toda topología vectorial esinvariante de traslación :

a pesar de${\displaystyle x_{0}\in X,}$el mapa${\displaystyle X\to X}$definido por${\displaystyle x\mapsto x_{0}+x}$es un homeomorfismo , pero si${\displaystyle x_{0}\neq 0}$entonces no es lineal y por lo tanto no es un isomorfismo TVS.

La multiplicación escalar por un escalar distinto de cero es un isomorfismo TVS. Esto significa que si${\displaystyle s\neq 0}$luego el mapa lineal${\displaystyle X\to X}$definido por${\displaystyle x\mapsto sx}$es un homeomorfismo. Usando${\displaystyle s=-1}$produce el mapa de negación${\displaystyle X\to X}$definido por${\displaystyle x\mapsto -x,}$lo cual es, en consecuencia, un homeomorfismo lineal y, por lo tanto, un isomorfismo TVS.

Si${\displaystyle x\in X}$y cualquier subconjunto${\displaystyle S\subseteq X,}$entonces${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}(x+S)=x+\operatorname {cl} _{X}S}$^{[ 6 ]} y además, si${\displaystyle 0\in S}$entonces${\displaystyle x+S}$es un vecindario (respectivamente, vecindario abierto, vecindario cerrado) de${\displaystyle x}$en${\displaystyle X}$si y solo si lo mismo es cierto de${\displaystyle S}$en el origen.

Un subconjunto${\displaystyle E}$de un espacio vectorial${\displaystyle X}$Se dice que

• absorbente (en${\displaystyle X}$): si para cada${\displaystyle x\in X,}$existe una real${\displaystyle r>0}$de tal manera que${\displaystyle cx\in E}$para cualquier escalar${\displaystyle c}$satisfactorio${\displaystyle |c|\leq r.}$^{[ 12 ]}
• equilibrado o rodeado : si${\displaystyle tE\subseteq E}$para cada escalar${\displaystyle |t|\leq 1.}$^{[ 12 ]}
• convexo : si${\displaystyle tE+(1-t)E\subseteq E}$para cada real${\displaystyle 0\leq t\leq 1.}$^{[ 12 ]}
• un disco o absolutamente convexo : si${\displaystyle E}$es convexa y equilibrada.
• simétrico : si${\displaystyle -E\subseteq E,}$o equivalentemente, si${\displaystyle -E=E.}$

Cada vecindario del origen es un conjunto absorbente y contiene un vecindario abierto y equilibrado de${\displaystyle 0}$^{[ 6 ]} por lo tanto, todo espacio vectorial topológico tiene una base local deconjuntos absorbentes y equilibrados. El origen incluso tiene una base de vecindad que consiste en vecindades equilibradas cerradas de${\displaystyle 0;}$Si el espacio es localmente convexo, entonces también tiene una base de vecindad que consiste en vecindades cerradas, convexas y equilibradas del origen.

subconjuntos acotados

Un subconjunto${\displaystyle E}$de un espacio vectorial topológico${\displaystyle X}$está acotado ^{[ 13 ]} si para cada vecindario${\displaystyle V}$del origen existe${\displaystyle t}$de tal manera que${\displaystyle E\subseteq tV}$.

La definición de acotación puede debilitarse un poco;${\displaystyle E}$un conjunto es acotado si y solo si cada subconjunto contable del mismo es acotado. Un conjunto es acotado si y solo si cada una de sus subsecuencias es un conjunto acotado. ^{[ 14 ]} Además,${\displaystyle E}$está acotado si y solo si para cada vecindario equilibrado${\displaystyle V}$del origen, existe${\displaystyle t}$de tal manera que${\displaystyle E\subseteq tV.}$

Además, cuando${\displaystyle X}$es localmente convexo, la acotación se puede caracterizar por seminormas : el subconjunto${\displaystyle E}$está acotada si y solo si toda seminorma continua${\displaystyle p}$está delimitado por${\displaystyle E.}$^{[ 15 ]}

Todo conjunto totalmente acotado es acotado. ^{[ 14 ]} Si${\displaystyle M}$es un subespacio vectorial de un TVS${\displaystyle X,}$entonces un subconjunto de${\displaystyle M}$está delimitado en${\displaystyle M}$si y solo si está acotado en${\displaystyle X.}$^{[ 14 ]}

Un TVS es pseudometrizable si y solo si tiene una base de vecindad numerable en el origen, o equivalente, si y solo si su topología es generada por una F -seminorma . Un TVS es metrizable si y solo si es de Hausdorff y pseudometrizable.

Más concretamente: se dice que un espacio vectorial topológico es normable si su topología puede ser inducida por una norma. Un espacio vectorial topológico es normable si y solo si es de Hausdorff y tiene un entorno convexo y acotado del origen. ^{[ 17 ]}

Dejar${\displaystyle \mathbb {K} }$Sea un campo topológico localmente compacto no discreto , por ejemplo los números reales o complejos. Un espacio vectorial topológico de Hausdorff sobre${\displaystyle \mathbb {K} }$es localmente compacto si y solo si es de dimensión finita , es decir, isomorfo a${\displaystyle \mathbb {K} ^{n}}$para algún número natural${\displaystyle n.}$^{[ 18 ]}

La uniformidad canónica ^{[ 19 ]} en un TVS${\displaystyle (X,\tau )}$es la uniformidad única invariante a la traslación que induce la topología${\displaystyle \tau }$en${\displaystyle X.}$

Se supone que todo TVS está dotado de esta uniformidad canónica, lo que convierte a todos los TVS en espacios uniformes . Por lo tanto, tiene sentido nociones relacionadas como completitud , convergencia uniforme , redes de Cauchy y continuidad uniforme , etc., que siempre se asumen con respecto a esta uniformidad (a menos que se indique lo contrario). Esto implica que todo espacio vectorial topológico de Hausdorff es de Tychonoff . ^{[ 20 ]} Un subconjunto de un TVS es compacto si y solo si es completo y totalmente acotado (para los TVS de Hausdorff, que un conjunto sea totalmente acotado es equivalente a que sea precompacto ). Pero si el TVS no es de Hausdorff, entonces existen subconjuntos compactos que no son cerrados. Sin embargo, el cierre de un subconjunto compacto de un TVS que no es de Hausdorff es nuevamente compacto (por lo que los subconjuntos compactos son relativamente compactos ).

Con respecto a esta uniformidad, una red (o secuencia )${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$es Cauchy si y solo si para cada vecindario${\displaystyle V}$de${\displaystyle 0,}$existe algún índice${\displaystyle n}$de tal manera que${\displaystyle x_{i}-x_{j}\in V}$cuando sea${\displaystyle i\geq n}$y${\displaystyle j\geq n.}$

Toda sucesión de Cauchy es acotada, aunque las redes y los filtros de Cauchy pueden no serlo. Un espacio vectorial topológico donde converge toda sucesión de Cauchy se denomina secuencialmente completo ; en general, puede no ser completo (en el sentido de que todos los filtros de Cauchy convergen).

La operación de suma en espacios vectoriales es uniformemente continua y una aplicación abierta . La multiplicación escalar es continua de Cauchy , pero en general, casi nunca es uniformemente continua. Debido a esto, todo espacio vectorial topológico puede completarse y, por lo tanto, es un subespacio lineal denso de un espacio vectorial topológico completo .

• Cada TVS tiene una completación y cada TVS de Hausdorff tiene una completación de Hausdorff. ^{[ 6 ]} Cada TVS (incluso aquellos que son de Hausdorff y/o completos) tiene infinitas completaciones no isomorfas que no son de Hausdorff.
• Un subconjunto compacto de un TVS (no necesariamente de Hausdorff) es completo. ^{[ 21 ]} Un subconjunto completo de un TVS de Hausdorff es cerrado. ^{[ 21 ]}
• Si${\displaystyle C}$es un subconjunto completo de un TVS entonces cualquier subconjunto de${\displaystyle C}$que está cerrado en${\displaystyle C}$está completo. ^{[ 21 ]}
• Una secuencia de Cauchy en una TVS de Hausdorff${\displaystyle X}$no es necesariamente relativamente compacto (es decir, su cierre en${\displaystyle X}$no necesariamente compacto).
• Si un filtro de Cauchy en un TVS tiene un punto de acumulación${\displaystyle x}$luego converge a${\displaystyle x.}$
• Si una serie${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }x_{i}}$converge ^{[ nota 5 ]} en un TVS${\displaystyle X}$entonces${\displaystyle x_{\bullet }\to 0}$en${\displaystyle X.}$^{[ 22 ]}

Dejar${\displaystyle X}$ser un espacio vectorial real o complejo.

Topología trivial

La topología trivial o topología indiscreta${\displaystyle \{X,\varnothing \}}$siempre es una topología TVS en cualquier espacio vectorial.${\displaystyle X}$y es la topología TVS más gruesa posible. Una consecuencia importante de esto es que la intersección de cualquier colección de topologías TVS en${\displaystyle X}$siempre contiene una topología TVS. Cualquier espacio vectorial (incluidos aquellos de dimensión infinita) dotado de la topología trivial es un espacio vectorial topológico seminormable, semimetrizable , localmente convexo, completo y compacto (y por lo tanto localmente compacto ) . Es de Hausdorff si y solo si${\displaystyle \dim X=0.}$

Topología vectorial de máxima calidad

Existe una topología TVS${\displaystyle \tau _{f}}$en${\displaystyle X,}$llamado eltopología vectorial más fina en${\displaystyle X,}$eso es mejor que cualquier otra topología TVS en${\displaystyle X}$(es decir, cualquier topología TVS en${\displaystyle X}$es necesariamente un subconjunto de${\displaystyle \tau _{f}}$). ^{[ 23 ] [ 24 ]} Cada mapa lineal de${\displaystyle \left(X,\tau _{f}\right)}$en otro TVS es necesariamente continuo. Si${\displaystyle X}$tiene una base Hamel incontable entonces${\displaystyle \tau _{f}}$no es localmente convexa y no es metrizable . ^{[ 24 ]}

Un producto cartesiano de una familia de espacios vectoriales topológicos, cuando se le dota de la topología de producto , es un espacio vectorial topológico. Consideremos, por ejemplo, el conjunto${\displaystyle X}$de todas las funciones${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$dónde${\displaystyle \mathbb {R} }$conserva su topología euclidiana habitual . Este conjunto${\displaystyle X}$es un espacio vectorial real (donde la suma y la multiplicación escalar se definen punto por punto, como es habitual) que puede identificarse con (y de hecho, a menudo se define como) el producto cartesiano${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {R} },}$que lleva la topología de producto natural . Con esta topología de producto,${\displaystyle X:=\mathbb {R} ^{\mathbb {R} }}$se convierte en un espacio vectorial topológico cuya topología se denomina topología de convergencia puntual en${\displaystyle \mathbb {R} .}$La razón de este nombre es la siguiente: si${\displaystyle \left(f_{n}\right)_{n=1}^{\infty }}$es una secuencia (o más generalmente, una red ) de elementos en${\displaystyle X}$y si${\displaystyle f\in X}$entonces${\displaystyle f_{n}}$converge a${\displaystyle f}$en${\displaystyle X}$si y solo si para cada número real${\displaystyle x,}$${\displaystyle f_{n}(x)}$converge a${\displaystyle f(x)}$en${\displaystyle \mathbb {R} .}$ Este TVS es completo , Hausdorff y localmente convexo , pero no metrizable y, por consiguiente, no normable ; de ​​hecho, cada entorno del origen en la topología del producto contiene líneas (es decir, subespacios vectoriales unidimensionales, que son subconjuntos de la forma${\displaystyle \mathbb {R} f:=\{rf:r\in \mathbb {R} \}}$con${\displaystyle f\neq 0}$).

Según el teorema de F. Riesz , un espacio vectorial topológico de Hausdorff es de dimensión finita si y solo si es localmente compacto , lo cual ocurre si y solo si tiene un entorno compacto del origen.

Dejar${\displaystyle \mathbb {K} }$denotar${\displaystyle \mathbb {R} }$o${\displaystyle \mathbb {C} }$y dotar${\displaystyle \mathbb {K} }$con su habitual topología euclidiana normada de Hausdorff .${\displaystyle X}$sea ​​un espacio vectorial sobre${\displaystyle \mathbb {K} }$de dimensión finita${\displaystyle n:=\dim X}$y para que${\displaystyle X}$¿Es el espacio vectorial isomorfo a?${\displaystyle \mathbb {K} ^{n}}$(explícitamente, esto significa que existe un isomorfismo lineal entre los espacios vectoriales${\displaystyle X}$y${\displaystyle \mathbb {K} ^{n}}$). Este espacio vectorial de dimensión finita${\displaystyle X}$siempre tiene una topología vectorial de Hausdorff única , lo que la hace TVS-isomorfa a${\displaystyle \mathbb {K} ^{n},}$dónde${\displaystyle \mathbb {K} ^{n}}$está dotado de la topología euclidiana usual (que es la misma que la topología producto ). Esta topología vectorial de Hausdorff es también la topología vectorial más fina (única) en${\displaystyle X.}$${\displaystyle X}$tiene una topología vectorial única si y solo si${\displaystyle \dim X=0.}$Si${\displaystyle \dim X\neq 0}$entonces aunque${\displaystyle X}$No tiene una topología vectorial única, pero sí tiene una topología vectorial de Hausdorff única .

• Si${\displaystyle \dim X=0}$entonces${\displaystyle X=\{0\}}$tiene exactamente una topología vectorial: la topología trivial , que en este caso (y solo en este caso) es de Hausdorff. La topología trivial en un espacio vectorial es de Hausdorff si y solo si el espacio vectorial tiene dimensión${\displaystyle 0.}$
• Si${\displaystyle \dim X=1}$entonces${\displaystyle X}$Tiene dos topologías vectoriales: la topología euclidiana usual y la topología trivial (no Hausdorff).
  • Dado que el campo${\displaystyle \mathbb {K} }$es en sí mismo un${\displaystyle 1}$Espacio vectorial topológico de dimensión sobre${\displaystyle \mathbb {K} }$y puesto que desempeña un papel importante en la definición de espacios vectoriales topológicos, esta dicotomía desempeña un papel importante en la definición de un conjunto absorbente y tiene consecuencias que repercuten en todo el análisis funcional .

• Si${\displaystyle \dim X=n\geq 2}$entonces${\displaystyle X}$tiene infinitas topologías vectoriales distintas:
  • Algunas de estas topologías se describen a continuación: Cada funcional lineal${\displaystyle f}$en${\displaystyle X,}$que es un espacio vectorial isomorfo a${\displaystyle \mathbb {K} ^{n},}$induce una seminorma${\displaystyle |f|:X\to \mathbb {R} }$definido por${\displaystyle |f|(x)=|f(x)|}$dónde${\displaystyle \ker f=\ker |f|.}$Cada seminorma induce una topología vectorial ( pseudometrizable localmente convexa ) en${\displaystyle X}$y las seminormas con núcleos distintos inducen topologías distintas de modo que, en particular, las seminormas en${\displaystyle X}$que son inducidos por funcionales lineales con núcleos distintos inducirán topologías vectoriales distintas en${\displaystyle X.}$
  • Sin embargo, aunque existen infinitas topologías vectoriales en${\displaystyle X}$cuando${\displaystyle \dim X\geq 2,}$Hasta el isomorfismo TVS , solo hay${\displaystyle 1+\dim X}$topologías vectoriales en${\displaystyle X.}$Por ejemplo, si${\displaystyle n:=\dim X=2}$luego las topologías vectoriales en${\displaystyle X}$consisten en la topología trivial, la topología euclidiana de Hausdorff y luego las infinitas topologías vectoriales no euclidianas no triviales restantes en${\displaystyle X}$son todos isomorfos TVS entre sí.

Topologías discretas y cofinitas

Si${\displaystyle X}$es un espacio vectorial no trivial (es decir, de dimensión no nula) entonces la topología discreta en${\displaystyle X}$(que siempre es metrizable ) no es una topología TVS porque, a pesar de hacer continuas la suma y la negación (lo que la convierte en un grupo topológico bajo la suma), no logra hacer continua la multiplicación escalar. La topología cofinita en${\displaystyle X}$(donde un subconjunto es abierto si y solo si su complemento es finito) tampoco es una topología TVS en${\displaystyle X.}$

Propiedades de vecindarios y conjuntos abiertos

Cada TVS está conectado ^{[ 6 ]} y está conectado localmente ^{[ 30 ]} y cualquier subconjunto abierto conectado de un TVS está conectado por arcos . Si${\displaystyle S\subseteq X}$y${\displaystyle U}$es un subconjunto abierto de${\displaystyle X}$entonces${\displaystyle S+U}$es un conjunto abierto en${\displaystyle X}$^{[ 6 ]} y si${\displaystyle S\subseteq X}$tiene interior no vacío entonces${\displaystyle S-S}$es un barrio del origen. ^{[ 6 ]}

Los subconjuntos convexos abiertos de un TVS${\displaystyle X}$(no necesariamente Hausdorff o localmente convexas) son exactamente aquellas que tienen la forma$${\displaystyle z+\{x\in X:p(x)<1\}~=~\{x\in X:p(x-z)<1\}}$$para algunos${\displaystyle z\in X}$y alguna función sublineal continua positiva${\displaystyle p}$en${\displaystyle X.}$^{[ 28 ]}

Si${\displaystyle K}$es un disco absorbente en un TVS${\displaystyle X}$y si${\displaystyle p:=p_{K}}$es el funcional de Minkowski de${\displaystyle K}$entonces ^{[ 31 ]}$${\displaystyle \operatorname {Int} _{X}K~\subseteq ~\{x\in X:p(x)<1\}~\subseteq ~K~\subseteq ~\{x\in X:p(x)\leq 1\}~\subseteq ~\operatorname {cl} _{X}K}$$donde, lo que es importante, no se asumió que${\displaystyle K}$tenía propiedades topológicas ni que${\displaystyle p}$fue continuo (lo cual sucede si y solo si${\displaystyle K}$es un barrio del origen).

Dejar${\displaystyle \tau }$y${\displaystyle \nu }$sean dos topologías vectoriales en${\displaystyle X.}$Entonces${\displaystyle \tau \subseteq \nu }$si y solo si siempre que una red${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$en${\displaystyle X}$converge${\displaystyle 0}$en${\displaystyle (X,\nu )}$entonces${\displaystyle x_{\bullet }\to 0}$en${\displaystyle (X,\tau ).}$^{[ 32 ]}

Dejar${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ser una base vecinal del origen en${\displaystyle X,}$dejar${\displaystyle S\subseteq X,}$y dejar${\displaystyle x\in X.}$Entonces${\displaystyle x\in \operatorname {cl} _{X}S}$si y solo si existe una red${\displaystyle s_{\bullet }=\left(s_{N}\right)_{N\in {\mathcal {N}}}}$en${\displaystyle S}$(indexado por${\displaystyle {\mathcal {N}}}$) tal que${\displaystyle s_{\bullet }\to x}$en${\displaystyle X.}$^{[ 33 ]} Esto muestra, en particular, que a menudo bastará con considerar redes indexadas por una base de vecindad del origen en lugar de redes en conjuntos dirigidos arbitrarios.

Si${\displaystyle X}$es un TVS que es de la segunda categoría en sí mismo (es decir, un espacio no pobre ) entonces cualquier subconjunto absorbente convexo cerrado de${\displaystyle X}$es un entorno del origen. ^{[ 34 ]} Esto ya no está garantizado si el conjunto no es convexo (existe un contraejemplo incluso en${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{2}}$) o si${\displaystyle X}$no pertenece en sí mismo a la segunda categoría. ^{[ 34 ]}

Interior

Si${\displaystyle R,S\subseteq X}$y${\displaystyle S}$tiene interior no vacío entonces $${\displaystyle \operatorname {Int} _{X}S~=~\operatorname {Int} _{X}\left(\operatorname {cl} _{X}S\right)~{\text{ and }}~\operatorname {cl} _{X}S~=~\operatorname {cl} _{X}\left(\operatorname {Int} _{X}S\right)}$$ y $${\displaystyle \operatorname {Int} _{X}(R)+\operatorname {Int} _{X}(S)~\subseteq ~R+\operatorname {Int} _{X}S\subseteq \operatorname {Int} _{X}(R+S).}$$

El interior topológico de un disco no está vacío si y solo si este interior contiene el origen. ^{[ 35 ]} De manera más general, si${\displaystyle S}$es un conjunto equilibrado con interior no vacío${\displaystyle \operatorname {Int} _{X}S\neq \varnothing }$en un TVS${\displaystyle X}$entonces${\displaystyle \{0\}\cup \operatorname {Int} _{X}S}$necesariamente estará equilibrado; ^{[ 6 ]} en consecuencia,${\displaystyle \operatorname {Int} _{X}S}$estará equilibrado si y solo si contiene el origen. ^{[ prueba 2 ]} Para esto (es decir${\displaystyle 0\in \operatorname {Int} _{X}S}$) para ser cierto, basta con${\displaystyle S}$también ser convexa (además de estar equilibrada y tener un interior no vacío).; ^{[ 6 ]} La conclusión${\displaystyle 0\in \operatorname {Int} _{X}S}$podría ser falso si${\displaystyle S}$tampoco es convexa; ^{[ 35 ]} por ejemplo, en${\displaystyle X:=\mathbb {R} ^{2},}$el interior del conjunto cerrado y equilibrado${\displaystyle S:=\{(x,y):xy\geq 0\}}$es${\displaystyle \{(x,y):xy>0\}.}$

Si${\displaystyle C}$es convexo y${\displaystyle 0<t\leq 1,}$entonces ^{[ 36 ]}${\displaystyle t\operatorname {Int} C+(1-t)\operatorname {cl} C~\subseteq ~\operatorname {Int} C.}$ Explícitamente, esto significa que si${\displaystyle C}$es un subconjunto convexo de un TVS${\displaystyle X}$(no necesariamente de Hausdorff o localmente convexa),${\displaystyle y\in \operatorname {int} _{X}C,}$y${\displaystyle x\in \operatorname {cl} _{X}C}$luego el segmento de línea abierta que se une${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$pertenece al interior de${\displaystyle C;}$eso es,${\displaystyle \{tx+(1-t)y:0<t<1\}\subseteq \operatorname {int} _{X}C.}$^{[ 37 ] [ 38 ] [ prueba 3 ]}

Si${\displaystyle N\subseteq X}$es cualquier vecindario equilibrado del origen en${\displaystyle X}$entonces${\textstyle \operatorname {Int} _{X}N\subseteq B_{1}N=\bigcup _{0<|a|<1}aN\subseteq N}$dónde${\displaystyle B_{1}}$es el conjunto de todos los escalares${\displaystyle a}$de tal manera que${\displaystyle |a|<1.}$

Si${\displaystyle x}$pertenece al interior de un conjunto convexo${\displaystyle S\subseteq X}$y${\displaystyle y\in \operatorname {cl} _{X}S,}$luego el segmento de línea semiabierta$${\displaystyle [x,y):=\{tx+(1-t)y:0<t\leq 1\}\subseteq \operatorname {Int} _{X}{\text{ if }}x\neq y}$$y ^{[ 37 ]}$${\displaystyle [x,x)=\varnothing {\text{ if }}x=y.}$$ Si${\displaystyle N}$es un vecindario equilibrado de${\displaystyle 0}$en${\displaystyle X}$y${\displaystyle B_{1}:=\{a\in \mathbb {K}$ :|a|<1\},} entonces considerando intersecciones de la forma${\displaystyle N\cap \mathbb {R} x}$(que son vecindarios simétricos convexos de${\displaystyle 0}$en la TVS real${\displaystyle \mathbb {R} x}$) de ello se deduce que:${\displaystyle \operatorname {Int} N=[0,1)\operatorname {Int} N=(-1,1)N=B_{1}N,}$y además, si${\displaystyle x\in \operatorname {Int} N{\text{ and }}r:=\sup\{r>0:[0,r)x\subseteq N\}}$entonces${\displaystyle r>1{\text{ and }}[0,r)x\subseteq \operatorname {Int} N,}$y si${\displaystyle r\neq \infty }$entonces${\displaystyle rx\in \operatorname {cl} N\setminus \operatorname {Int} N.}$