espacio vectorial topológico metrizable

Si${\displaystyle d}$es una pseudométrica en un conjunto${\displaystyle X}$luego la recolección de bolas abiertas : $${\displaystyle B_{r}(z):=\{x\in X:d(x,z)<r\}}$$como${\displaystyle z}$abarca${\displaystyle X}$y${\displaystyle r>0}$abarca los números reales positivos, forma una base para una topología en${\displaystyle X}$que se llama el${\displaystyle d}$-topología o la topología pseudométrica en${\displaystyle X}$inducido por${\displaystyle d.}$

Convención : Si${\displaystyle (X,d)}$es un espacio pseudométrico y${\displaystyle X}$se trata como un espacio topológico , entonces, a menos que se indique lo contrario, debe asumirse que${\displaystyle X}$está dotado de la topología inducida por${\displaystyle d.}$

Espacio pseudometrizable

Un espacio topológico${\displaystyle (X,\tau )}$se denomina pseudometrizable (resp. metrizable , ultrapseudometrizable ) si existe un pseudométrico (resp. métrico, ultrapseudométrico)${\displaystyle d}$en${\displaystyle X}$de tal manera que${\displaystyle \tau }$es igual a la topología inducida por${\displaystyle d.}$^{[ 1 ]}

Si${\displaystyle X}$es un grupo aditivo entonces decimos que un pseudométrico${\displaystyle d}$en${\displaystyle X}$es invariante a la traslación o simplemente invariante si satisface cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes:

1. Invariancia de traslación :${\displaystyle d(x+z,y+z)=d(x,y){\text{ para todo }}x,y,z\in X}$;
2. ${\displaystyle d(x,y)=d(xy,0){\text{ para todo }}x,y\in X.}$

Si${\displaystyle X}$es un grupo topológico el valor a o G-seminorma en${\displaystyle X}$(la G significa Grupo) es un mapa de valores reales${\displaystyle p:X\rightarrow \mathbb {R} }$con las siguientes propiedades: ^{[ 2 ]}

1. No negativo :${\displaystyle p\geq 0.}$
2. Subaditivo :${\displaystyle p(x+y)\leq p(x)+p(y){\text{ para todo }}x,y\in X}$;
3. ${\displaystyle p(0)=0..}$
4. Simétrico :${\displaystyle p(-x)=p(x){\text{ for all }}x\in X.}$

donde llamamos G- norma a una G- seminorma si satisface la condición adicional:

5. Total / Definido positivo : Si${\displaystyle p(x)=0}$entonces${\displaystyle x=0.}$

Dejar${\displaystyle X}$ser algo no trivial (es decir,${\displaystyle X\neq \{0\}}$) espacio vectorial real o complejo y sea${\displaystyle d}$sea ​​la métrica trivial invariante a la traslación en${\displaystyle X}$definido por${\displaystyle d(x,x)=0}$y${\displaystyle d(x,y)=1{\text{ for all }}x,y\in X}$de tal manera que${\displaystyle x\neq y.}$ La topología${\displaystyle \tau }$eso${\displaystyle d}$induce en${\displaystyle X}$es la topología discreta , que hace${\displaystyle (X,\tau )}$en un grupo topológico conmutativo bajo la adición pero no forma una topología vectorial en${\displaystyle X}$porque${\displaystyle (X,\tau )}$está desconectado pero toda topología vectorial está conectada. Lo que falla es que la multiplicación escalar no es continua en${\displaystyle (X,\tau ).}$

Este ejemplo demuestra que una (pseudo)métrica invariante a la traslación no es suficiente para garantizar una topología vectorial, lo que nos lleva a definir paranormas y F -seminormas.

Si${\displaystyle p}$es una paranorma en un espacio vectorial${\displaystyle X}$luego el mapa${\displaystyle d:X\times X\rightarrow \mathbb {R} }$definido por${\displaystyle d(x,y):=p(x-y)}$es una pseudométrica invariante a la traslación en${\displaystyle X}$que define una topología vectorial en${\displaystyle X.}$^{[ 8 ]}

Si${\displaystyle p}$es una paranorma en un espacio vectorial${\displaystyle X}$entonces:

• el conjunto${\displaystyle \{x\in X:p(x)=0\}}$es un subespacio vectorial de${\displaystyle X.}$^{[ 8 ]}
• ${\displaystyle p(x+n)=p(x){\text{ for all }}x,n\in X}$con${\displaystyle p(n)=0.}$^{[ 8 ]}
• Si una paranorma${\displaystyle p}$Satisface${\displaystyle p(sx)\leq |s|p(x){\text{ for all }}x\in X}$y escalares${\displaystyle s,}$entonces${\displaystyle p}$es absolutamente homogeneidad (es decir, se cumple la igualdad) ^{[ 8 ]} y por lo tanto${\displaystyle p}$es una semirroma .

• Si${\displaystyle d}$es una pseudométrica invariante a la traslación en un espacio vectorial${\displaystyle X}$que induce una topología vectorial${\displaystyle \tau }$en${\displaystyle X}$(es decir${\displaystyle (X,\tau )}$es un TVS) entonces el mapa${\displaystyle p(x):=d(x-y,0)}$define una paranorma continua en${\displaystyle (X,\tau )}$; además, la topología que esta paranorma${\displaystyle p}$define en${\displaystyle X}$es${\displaystyle \tau .}$^{[ 8 ]}
• Si${\displaystyle p}$es una paranorma en${\displaystyle X}$Entonces, el mapa también lo es.${\displaystyle q(x):=p(x)/[1+p(x)].}$^{[ 8 ]}
• Todo múltiplo escalar positivo de una paranorma (o paranorma total) es nuevamente una paranorma (o paranorma total).
• Toda seminorma es una paranorma. ^{[ 8 ]}
• La restricción de una paranorma (o paranorma total) a un subespacio vectorial es una paranorma (o paranorma total). ^{[ 9 ]}
• La suma de dos paranormas es una paranorma. ^{[ 8 ]}
• Si${\displaystyle p}$y${\displaystyle q}$son paranormas en${\displaystyle X}$entonces también lo es${\displaystyle (p\wedge q)(x):=\inf _{}\{p(y)+q(z):x=y+z{\text{ with }}y,z\in X\}.}$Además,${\displaystyle (p\wedge q)\leq p}$y${\displaystyle (p\wedge q)\leq q.}$Esto hace que el conjunto de paranormas en${\displaystyle X}$en un retículo condicionalmente completo . ^{[ 8 ]}
• Cada una de las siguientes aplicaciones de valor real son paranormas en${\displaystyle X:=\mathbb {R} ^{2}}$:
  • ${\displaystyle (x,y)\mapsto |x|}$
  • ${\displaystyle (x,y)\mapsto |x|+|y|}$
• Los mapas de valor real${\displaystyle (x,y)\mapsto {\sqrt {\left|x^{2}-y^{2}\right|}}}$y${\displaystyle (x,y)\mapsto \left|x^{2}-y^{2}\right|^{3/2}}$no son paranormas en${\displaystyle X:=\mathbb {R} ^{2}.}$^{[ 8 ]}
• Si${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$es una base de Hamel en un espacio vectorial${\displaystyle X}$luego el mapa de valores reales que envía${\displaystyle x=\sum _{i\in I}s_{i}x_{i}\in X}$(donde todos menos un número finito de los escalares${\displaystyle s_{i}}$son 0) a${\displaystyle \sum _{i\in I}{\sqrt {\left|s_{i}\right|}}}$es una paranorma en${\displaystyle X,}$lo cual satisface${\displaystyle p(sx)={\sqrt {|s|}}p(x)}$a pesar de${\displaystyle x\in X}$y escalares${\displaystyle s.}$^{[ 8 ]}
• La función${\displaystyle p(x):=|\sin(\pi x)|+\min\{2,|x|\}}$es una paranorma en${\displaystyle \mathbb {R} }$que no está equilibrado pero no obstante es equivalente a la norma habitual en${\displaystyle R.}$Tenga en cuenta que la función${\displaystyle x\mapsto |\sin(\pi x)|}$es subaditivo. ^{[ 10 ]}
• Dejar${\displaystyle X_{\mathbb {C} }}$Sea un espacio vectorial complejo y sea${\displaystyle X_{\mathbb {R} }}$denotar${\displaystyle X_{\mathbb {C} }}$considerado como un espacio vectorial sobre${\displaystyle \mathbb {R} .}$Cualquier paranorma en${\displaystyle X_{\mathbb {C} }}$también es una paranorma en${\displaystyle X_{\mathbb {R} }.}$^{[ 9 ]}

Un espacio F -seminormado (resp. espacio F -normado ) ^{[ 12 ]} es un par${\displaystyle (X,p)}$que consiste en un espacio vectorial${\displaystyle X}$y una F -seminorma (resp. F -norma)${\displaystyle p}$en${\displaystyle X.}$

Si${\displaystyle (X,p)}$y${\displaystyle (Z,q)}$son espacios F -seminorizados entonces un mapa${\displaystyle f:X\to Z}$se denomina incrustación isométrica ^{[ 12 ]} si${\displaystyle q(f(x)-f(y))=p(x,y){\text{ for all }}x,y\in X.}$

Toda incrustación isométrica de un espacio F -seminormado en otro es una incrustación topológica , pero lo contrario no es cierto en general. ^{[ 12 ]}

• Todo múltiplo escalar positivo de una F -seminorma (resp. F -norma, seminorma) es de nuevo una F -seminorma (resp. F -norma, seminorma).
• La suma de un número finito de F -seminormas (resp. F -normas) es una F -seminorma (resp. F -norma).
• Si${\displaystyle p}$y${\displaystyle q}$son F -seminormas en${\displaystyle X}$entonces también lo es su supremo puntual${\displaystyle x\mapsto \sup\{p(x),q(x)\}.}$Lo mismo es cierto para el supremo de cualquier familia finita no vacía de F- seminormas en${\displaystyle X.}$^{[ 12 ]}
• La restricción de una F -seminorma (resp. F -norma) a un subespacio vectorial es una F -seminorma (resp. F -norma). ^{[ 9 ]}
• Una función real no negativa en${\displaystyle X}$es una seminorma si y solo si es una F -seminorma convexa , o equivalentemente, si y solo si es una G -seminorma equilibrada convexa. ^{[ 10 ]} En particular, toda seminorma es una F -seminorma.
• Para cualquier${\displaystyle 0<p<1,}$el mapa${\displaystyle f}$en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$definido por $${\displaystyle [f\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)]^{p}=\left|x_{1}\right|^{p}+\cdots \left|x_{n}\right|^{p}}$$ es una norma F que no es una norma.
• Si${\displaystyle L:X\to Y}$es un mapa lineal y si${\displaystyle q}$es una semiminorma F en${\displaystyle Y,}$entonces${\displaystyle q\circ L}$es una semiminorma F en${\displaystyle X.}$^{[ 12 ]}
• Dejar${\displaystyle X_{\mathbb {C} }}$Sea un espacio vectorial complejo y sea${\displaystyle X_{\mathbb {R} }}$denotar${\displaystyle X_{\mathbb {C} }}$considerado como un espacio vectorial sobre${\displaystyle \mathbb {R} .}$Cualquier semi- F en${\displaystyle X_{\mathbb {C} }}$también es una semi- F en${\displaystyle X_{\mathbb {R} }.}$^{[ 9 ]}

Toda F -seminorma es una paranorma y toda paranorma es equivalente a alguna F -seminorma. ^{[ 7 ]} Toda F -seminorma en un espacio vectorial${\displaystyle X}$es un valor en${\displaystyle X.}$En particular,${\displaystyle p(x)=0,}$y${\displaystyle p(x)=p(-x)}$a pesar de${\displaystyle x\in X.}$

Supongamos que${\displaystyle {\mathcal {L}}}$es una colección no vacía de F -seminormas en un espacio vectorial${\displaystyle X}$y para cualquier subconjunto finito${\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {L}}}$y cualquier${\displaystyle r>0,}$dejar $${\displaystyle U_{{\mathcal {F}},r}:=\bigcap _{p\in {\mathcal {F}}}\{x\in X:p(x)<r\}.}$$

El conjunto${\displaystyle \left\{U_{{\mathcal {F}},r}~:~r>0,{\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {L}},{\mathcal {F}}{\text{ finite }}\right\}}$forma un filtro basado en${\displaystyle X}$que también forma una base de vecindad en el origen para una topología vectorial en${\displaystyle X}$denotado por${\displaystyle \tau _{\mathcal {L}}.}$^{[ 12 ]} Cada uno${\displaystyle U_{{\mathcal {F}},r}}$es un subconjunto equilibrado y absorbente de${\displaystyle X.}$^{[ 12 ]} Estos conjuntos satisfacen ^{[ 12 ]}$${\displaystyle U_{{\mathcal {F}},r/2}+U_{{\mathcal {F}},r/2}\subseteq U_{{\mathcal {F}},r}.}$$

• ${\displaystyle \tau _{\mathcal {L}}}$es la topología vectorial más gruesa en${\displaystyle X}$haciendo cada${\displaystyle p\in {\mathcal {L}}}$continuo. ^{[ 12 ]}
• ${\displaystyle \tau _{\mathcal {L}}}$es Hausdorff si y solo si para cada distinto de cero${\displaystyle x\in X,}$existe algo${\displaystyle p\in {\mathcal {L}}}$de tal manera que${\displaystyle p(x)>0.}$^{[ 12 ]}
• Si${\displaystyle {\mathcal {F}}}$es el conjunto de todas las F -seminormas continuas en${\displaystyle \left(X,\tau _{\mathcal {L}}\right)}$entonces${\displaystyle \tau _{\mathcal {L}}=\tau _{\mathcal {F}}.}$^{[ 12 ]}
• Si${\displaystyle {\mathcal {F}}}$es el conjunto de todos los supremos puntuales de subconjuntos finitos no vacíos de${\displaystyle {\mathcal {F}}}$de${\displaystyle {\mathcal {L}}}$entonces${\displaystyle {\mathcal {F}}}$es una familia dirigida de seminormas F y${\displaystyle \tau _{\mathcal {L}}=\tau _{\mathcal {F}}.}$^{[ 12 ]}

Supongamos que${\displaystyle p_{\bullet }=\left(p_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$es una secuencia creciente de seminormas en${\displaystyle X}$y dejar${\displaystyle p}$ser la combinación de Fréchet de${\displaystyle p_{\bullet }.}$ Entonces${\displaystyle p}$es una semiminorma F en${\displaystyle X}$que induce la misma topología localmente convexa que la familia${\displaystyle p_{\bullet }}$de seminormas. ^{[ 13 ]}

Desde${\displaystyle p_{\bullet }=\left(p_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$está aumentando, una base de vecindarios abiertos del origen consiste en todos los conjuntos de la forma${\displaystyle \left\{x\in X~:~p_{i}(x)<r\right\}}$como${\displaystyle i}$abarca todos los enteros positivos y${\displaystyle r>0}$abarca todos los números reales positivos.

La pseudométrica invariante de traslación en${\displaystyle X}$inducido por este F -seminorm${\displaystyle p}$es $${\displaystyle d(x,y)=\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{i}}}{\frac {p_{i}(x-y)}{1+p_{i}(x-y)}}.}$$

Esta métrica fue descubierta por Fréchet en su tesis de 1906 para los espacios de sucesiones reales y complejas con operaciones puntuales. ^{[ 14 ]}

Si cada${\displaystyle p_{i}}$es una paranorma entonces también lo es${\displaystyle p}$y además,${\displaystyle p}$induce la misma topología en${\displaystyle X}$como la familia${\displaystyle p_{\bullet }}$de paranormas. ^{[ 8 ]} Esto también es cierto para las siguientes paranormas sobre${\displaystyle X}$:

• ${\displaystyle q(x):=\inf _{}\left\{\sum _{i=1}^{n}p_{i}(x)+{\frac {1}{n}}~:~n>0{\text{ is an integer }}\right\}.}$^{[ 8 ]}
• ${\displaystyle r(x):=\sum _{n=1}^{\infty }\min \left\{{\frac {1}{2^{n}}},p_{n}(x)\right\}.}$^{[ 8 ]}

La combinación de Fréchet puede generalizarse mediante el uso de una función de remetrización acotada.

ALa función de remetrización acotada ^{[ 15 ]} es una aplicación continua, no negativa y no decreciente.${\displaystyle R:[0,\infty )\to [0,\infty )}$que tiene un rango limitado, es subaditivo (lo que significa que ${\displaystyle R(s+t)\leq R(s)+R(t)}$a pesar de${\displaystyle s,t\geq 0}$), y satisface${\displaystyle R(s)=0}$si y solo si${\displaystyle s=0.}$

Ejemplos de funciones de remetrización acotadas incluyen:${\displaystyle \arctan t,}$${\displaystyle \tanh t,}$${\displaystyle t\mapsto \min\{t,1\},}$y${\displaystyle t\mapsto {\frac {t}{1+t}}.}$^{[ 15 ]} Si${\displaystyle d}$es una pseudométrica (respectivamente, métrica) en${\displaystyle X}$y${\displaystyle R}$es una función de remetrización acotada entonces${\displaystyle R\circ d}$es una pseudométrica acotada (respectivamente, una métrica acotada) en${\displaystyle X}$que es uniformemente equivalente a${\displaystyle d.}$^{[ 15 ]}

Supongamos que${\displaystyle p_{\bullet }=\left(p_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$es una familia de F - seminormas no negativas en un espacio vectorial${\displaystyle X,}$${\displaystyle R}$es una función de remetrización acotada, y${\displaystyle r_{\bullet }=\left(r_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$es una sucesión de números reales positivos cuya suma es finita. Entonces $${\displaystyle p(x):=\sum _{i=1}^{\infty }r_{i}R\left(p_{i}(x)\right)}$$ define una F -seminorma acotada que es uniformemente equivalente a la${\displaystyle p_{\bullet }.}$^{[ 16 ]} Tiene la propiedad de que para cualquier red${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}}$en${\displaystyle X,}$${\displaystyle p\left(x_{\bullet }\right)\to 0}$si y solo si${\displaystyle p_{i}\left(x_{\bullet }\right)\to 0}$a pesar de${\displaystyle i.}$^{[ 16 ]}${\displaystyle p}$es una norma F si y solo si la${\displaystyle p_{\bullet }}$puntos separados en${\displaystyle X.}$^{[ 16 ]}

Una pseudométrica (o métrica)${\displaystyle d}$es inducido por una seminorma (resp. norma) en un espacio vectorial${\displaystyle X}$si y solo si${\displaystyle d}$es invariante por traslación y absolutamente homogéneo , lo que significa que para todos los escalares${\displaystyle s}$y todo${\displaystyle x,y\in X,}$en cuyo caso la función definida por${\displaystyle p(x):=d(x,0)}$es una seminorma (resp. norma) y la pseudométrica (resp. métrica) inducida por${\displaystyle p}$es igual a${\displaystyle d.}$

Si${\displaystyle (X,\tau )}$es un espacio vectorial topológico (TVS) (donde en particular tenga en cuenta que${\displaystyle \tau }$se supone que es una topología vectorial) entonces las siguientes son equivalentes: ^{[ 11 ]}

1. ${\displaystyle X}$es pseudometrizable (es decir, la topología vectorial)${\displaystyle \tau }$es inducido por una pseudométrica en${\displaystyle X}$).
2. ${\displaystyle X}$tiene una base vecinal contable en el origen.
3. La topología en${\displaystyle X}$es inducido por una pseudométrica invariante a la traslación en${\displaystyle X.}$
4. La topología en${\displaystyle X}$es inducido por una F -seminorma.
5. La topología en${\displaystyle X}$es inducido por una paranorma.

Si${\displaystyle (X,\tau )}$Si se trata de un TVS, entonces los siguientes son equivalentes:

1. ${\displaystyle X}$es métrico.
2. ${\displaystyle X}$es Hausdorff y pseudometrizable.
3. ${\displaystyle X}$es Hausdorff y tiene una base de vecindario contable en el origen. ^{[ 11 ] [ 12 ]}
4. La topología en${\displaystyle X}$es inducido por una métrica invariante a la traslación en${\displaystyle X.}$^{[ 11 ]}
5. La topología en${\displaystyle X}$es inducido por una norma F. ^{[ 11 ] [ 12 ]}
6. La topología en${\displaystyle X}$es inducido por una norma F monótona . ^{[ 12 ]}
7. La topología en${\displaystyle X}$es inducido por una paranorma total.

Si${\displaystyle (X,\tau )}$Si TVS es entonces lo siguiente es equivalente: ^{[ 13 ]}

1. ${\displaystyle X}$es localmente convexa y pseudometrizable.
2. ${\displaystyle X}$tiene una base de vecindad numerable en el origen que consiste en conjuntos convexos.
3. La topología de${\displaystyle X}$es inducido por una familia numerable de seminormas (continuas).
4. La topología de${\displaystyle X}$es inducido por una secuencia creciente contable de seminormas (continuas)${\displaystyle \left(p_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$(aumentando significa que para todos${\displaystyle i,}$${\displaystyle p_{i}\geq p_{i+1}.}$
5. La topología de${\displaystyle X}$es inducido por una F -seminorma de la forma: $${\displaystyle p(x)=\sum _{n=1}^{\infty }2^{-n}\operatorname {arctan} p_{n}(x)}$$ dónde${\displaystyle \left(p_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$son seminormas (continuas) en${\displaystyle X.}$^{[ 18 ]}

Un espacio vectorial topológico es seminormable si y solo si tiene un entorno convexo acotado del origen. Además, un TVS es normable si y solo si es Hausdorff y seminormable. ^{[ 14 ]} Todo TVS metrizable en un espacio vectorial de dimensión finita es un TVS completo , localmente convexo y normable , siendo TVS-isomorfo al espacio euclidiano . En consecuencia, cualquier TVS metrizable que no sea normable debe ser de dimensión infinita.