Operador nuclear

En matemáticas, los operadores nucleares son una clase importante de operadores lineales introducidos por Alexander Grothendieck en su tesis doctoral. Los operadores nucleares están íntimamente ligados al producto tensorial proyectivo de dos espacios vectoriales topológicos (TVS).

En todo momento, sean X , Y y Z espacios vectoriales topológicos (TVS) y L  : X → Y un operador lineal (no se hace ninguna suposición de continuidad a menos que se indique lo contrario).

• El producto tensorial proyectivo de dos TVS localmente convexos X e Y se denota por y la completitud de este espacio se denotará por .${\displaystyle X\otimes _{\pi }Y}$${\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\pi }Y}$
• L  : X → Y es un homomorfismo topológico u homomorfismo , si es lineal, continuo y es una función abierta , donde , la imagen de L , tiene la topología de subespacio inducida por Y . ${\displaystyle L:X\to \operatorname {Im} L}$${\displaystyle \operatorname {Im} L}$
  • Si S es un subespacio de X entonces tanto la función cociente X → X / S como la inyección canónica S → X son homomorfismos.
• El conjunto de mapas lineales continuos X → Z (resp. mapas bilineales continuos ) se denotará por L( X , Z ) (resp. B( X , Y ; Z )) donde si Z es el campo escalar subyacente, entonces podemos escribir en su lugar L( X ) (resp. B( X , Y )).${\displaystyle X\times Y\to Z}$
• Cualquier mapa lineal se puede descomponer canónicamente de la siguiente manera: donde define una biyección llamada biyección canónica asociada con L .${\displaystyle L:X\to Y}$${\displaystyle X\to X/\ker L\;\xrightarrow {L_{0}} \;\operatorname {Im} L\to Y}$${\displaystyle L_{0}\left(x+\ker L\right):=L(x)}$
• X * o denotará el espacio dual continuo de X . ${\displaystyle X'}$
  • Para aumentar la claridad de la exposición, utilizamos la convención común de escribir elementos de con un primo después del símbolo (por ejemplo, denota un elemento de y no, digamos, una derivada y las variables x y no necesitan estar relacionadas de ninguna manera).${\displaystyle X'}$${\displaystyle x'}$${\displaystyle X'}$${\displaystyle x'}$
• ${\displaystyle X^{\#}}$denotará el espacio dual algebraico de X (que es el espacio vectorial de todos los funcionales lineales en X , sean continuos o no).
• Una función lineal L  : H → H de un espacio de Hilbert en sí misma se denomina positiva si para cada . En este caso, existe una única función positiva r  : H → H , denominada raíz cuadrada de L , tal que . ^[1]${\displaystyle \langle L(x),x\rangle \geq 0}$${\displaystyle x\in H}$${\displaystyle L=r\circ r}$
  • Si es cualquier función lineal continua entre espacios de Hilbert, entonces es siempre positiva. Ahora sea R  : H → H su raíz cuadrada positiva, que se llama valor absoluto de L . Defina primero en estableciendo para y extendiendo continuamente hasta , y luego defina U en estableciendo para y extendiendo esta función linealmente a todos los . La función es una isometría sobreyectiva y .${\displaystyle L:H_{1}\to H_{2}}$${\displaystyle L^{*}\circ L}$${\displaystyle U:H_{1}\to H_{2}}$${\displaystyle \operatorname {Im} R}$${\displaystyle U(x)=L(x)}$${\displaystyle x=R\left(x_{1}\right)\in \operatorname {Im} R}$${\displaystyle U}$${\displaystyle {\overline {\operatorname {Im} R}}}$${\displaystyle \ker R}$${\displaystyle U(x)=0}$${\displaystyle x\in \ker R}$${\displaystyle H_{1}}$${\displaystyle U{\big \vert }_{\operatorname {Im} R}:\operatorname {Im} R\to \operatorname {Im} L}$${\displaystyle L=U\circ R}$
• Una función lineal se denomina compacta o completamente continua si existe un entorno U del origen en X tal que sea precompacto en Y. ^[2 ]${\displaystyle \Lambda :X\to Y}$${\displaystyle \Lambda (U)}$

En un espacio de Hilbert, los operadores lineales compactos positivos, digamos L  : H → H tienen una descomposición espectral simple descubierta a principios del siglo XX por Fredholm y F. Riesz: ^[3]

Hay una secuencia de números positivos, decrecientes y finitos o convergentes a 0, y una secuencia de subespacios de dimensión finita distintos de cero de H (i = 1, 2, ) con las siguientes propiedades: (1) los subespacios son ortogonales entre sí; (2) para cada i y cada , ; y (3) la ortogonalidad del subespacio abarcado por es igual al núcleo de L . ^[3]${\displaystyle r_{1}>r_{2}>\cdots >r_{k}>\cdots }$${\displaystyle V_{i}}$${\displaystyle \ldots }$${\displaystyle V_{i}}$${\displaystyle x\in V_{i}}$${\displaystyle L(x)=r_{i}x}$${\textstyle \bigcup _{i}V_{i}}$

• σ ( X , X ′) denota la topología más burda en X, lo que hace que cada mapa en X ′ sea continuo yo denota X dotado de esta topología .${\displaystyle X_{\sigma \left(X,X'\right)}}$${\displaystyle X_{\sigma }}$
• σ ( X ′, X ) denota una topología débil* en X* yo denota X ′ dotado de esta topología . ${\displaystyle X_{\sigma \left(X',X\right)}}$${\displaystyle X'_{\sigma }}$
  • Nótese que cada induce un mapa definido por . σ (X′, X) es la topología más burda en X′, lo que hace que todos esos mapas sean continuos.${\displaystyle x_{0}\in X}$${\displaystyle X'\to \mathbb {R} }$${\displaystyle \lambda \mapsto \lambda (x_{0})}$
• b(X, X′) denota la topología de convergencia acotada en X y o denota X dotado de esta topología .${\displaystyle X_{b\left(X,X'\right)}}$${\displaystyle X_{b}}$
• b(X′, X) denota la topología de convergencia acotada en X′ o la topología dual fuerte en X′ y o denota X ′ dotado de esta topología . ${\displaystyle X_{b\left(X',X\right)}}$${\displaystyle X'_{b}}$
  • Como es habitual, si X * se considera un espacio vectorial topológico pero no se ha aclarado con qué topología está dotado, se supondrá que la topología es b( X ′, X ).

Sean X e Y espacios vectoriales (aún no se necesita topología) y sea Bi( X , Y ) el espacio de todos los mapas bilineales definidos en y hacia el campo escalar subyacente. ${\displaystyle X\times Y}$

Para cada , sea la forma lineal canónica en Bi( X , Y ) definida por para cada u ∈ Bi( X , Y ). Esto induce una función canónica definida por , donde denota el dual algebraico de Bi( X , Y ). Si denotamos el lapso del rango de 𝜒 por X ⊗ Y entonces se puede demostrar que X ⊗ Y junto con 𝜒 forman un producto tensorial de X e Y (donde x ⊗ y  := 𝜒 ( x , y )). Esto nos da un producto tensorial canónico de X e Y . ${\displaystyle (x,y)\in X\times Y}$${\displaystyle \chi _{(x,y)}}$${\displaystyle \chi _{(x,y)}(u):=u(x,y)}$${\displaystyle \chi :X\times Y\to \mathrm {Bi} (X,Y)^{\#}}$${\displaystyle \chi (x,y):=\chi _{(x,y)}}$${\displaystyle \mathrm {Bi} (X,Y)^{\#}}$

Si Z es cualquier otro espacio vectorial, entonces la aplicación Li( X ⊗ Y ; Z ) → Bi( X , Y ; Z ) dada por u ↦ u ∘ 𝜒 es un isomorfismo de espacios vectoriales. En particular, esto nos permite identificar el dual algebraico de X ⊗ Y con el espacio de formas bilineales en X × Y . ^[4] Además, si X e Y son espacios vectoriales topológicos (TVS) localmente convexos y si X ⊗ Y tiene dada la π -topología, entonces para cada TVS localmente convexo Z , esta aplicación se restringe a un isomorfismo de espacio vectorial del espacio de aplicaciones lineales continuas al espacio de aplicaciones bilineales continuas . ^[5] En particular, el dual continuo de X ⊗ Y puede identificarse canónicamente con el espacio B( X , Y ) de formas bilineales continuas en X × Y ; Además, bajo esta identificación los subconjuntos equicontinuos de B( X , Y ) son los mismos que los subconjuntos equicontinuos de . ^[5]${\displaystyle L(X\otimes _{\pi }Y;Z)\to B(X,Y;Z)}$${\displaystyle (X\otimes _{\pi }Y)'}$

Hay una incrustación de espacio vectorial canónico definida mediante el envío al mapa ${\displaystyle I:X'\otimes Y\to L(X;Y)}$${\textstyle z:=\sum _{i}^{n}x_{i}'\otimes y_{i}}$

${\displaystyle x\mapsto \sum _{i}^{n}x_{i}'(x)y_{i}.}$

Suponiendo que X e Y son espacios de Banach, entonces la función tiene norma (para ver que la norma es , note que de modo que ). Por lo tanto, tiene una extensión continua a una función , donde se sabe que esta función no es necesariamente inyectiva. ^[6] El rango de esta función se denota por y sus elementos se llaman operadores nucleares . ^[7] es TVS-isomorfo a y la norma en este espacio cociente, cuando se transfiere a elementos de a través de la función inducida , se llama norma de traza y se denota por . Explícitamente, ^{[ ¿ se necesita una aclaración explícita o especialmente? ]} si es un operador nuclear, entonces . ${\displaystyle I:X'_{b}\otimes _{\pi }Y\to L_{b}(X;Y)}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle \leq 1}$${\textstyle \|I(z)\|=\sup _{\|x\|\leq 1}\|I(z)(x)\|=\sup _{\|x\|\leq 1}\left\|\sum _{i=1}^{n}x_{i}'(x)y_{i}\right\|\leq \sup _{\|x\|\leq 1}\sum _{i=1}^{n}\left\|x_{i}'\right\|\|x\|\left\|y_{i}\right\|\leq \sum _{i=1}^{n}\left\|x_{i}'\right\|\left\|y_{i}\right\|}$${\displaystyle \left\|I(z)\right\|\leq \left\|z\right\|_{\pi }}$${\displaystyle {\hat {I}}:X'_{b}{\widehat {\otimes }}_{\pi }Y\to L_{b}(X;Y)}$${\displaystyle L^{1}(X;Y)}$ ${\displaystyle L^{1}(X;Y)}$${\displaystyle \left(X'_{b}{\widehat {\otimes }}_{\pi }Y\right)/\ker {\hat {I}}}$${\displaystyle L^{1}(X;Y)}$${\displaystyle {\hat {I}}:\left(X'_{b}{\widehat {\otimes }}_{\pi }Y\right)/\ker {\hat {I}}\to L^{1}(X;Y)}$${\displaystyle \|\cdot \|_{\operatorname {Tr} }}$${\displaystyle T:X\to Y}$${\textstyle \left\|T\right\|_{\operatorname {Tr} }:=\inf _{z\in {\hat {I}}^{-1}\left(T\right)}\left\|z\right\|_{\pi }}$

Supongamos que X e Y son espacios de Banach y que es un operador lineal continuo. ${\displaystyle N:X\to Y}$

• Los siguientes son equivalentes:
  1. ${\displaystyle N:X\to Y}$Es nuclear.
  2. Existe una secuencia en la bola unitaria cerrada de , una secuencia en la bola unitaria cerrada de , y una secuencia compleja tal que y es igual a la función: ^[8] para todo . Además, la norma de traza es igual al ínfimo de los números sobre el conjunto de todas las representaciones de como tal serie. ^[8]${\displaystyle \left(x_{i}'\right)_{i=1}^{\infty }}$${\displaystyle X'}$${\displaystyle \left(y_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \left(c_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }|c_{i}|<\infty }$${\displaystyle N}$ ${\textstyle N(x)=\sum _{i=1}^{\infty }c_{i}x'_{i}(x)y_{i}}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle \|N\|_{\operatorname {Tr} }}$${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }|c_{i}|}$${\displaystyle N}$
• Si Y es reflexivo entonces es nuclear si y sólo si es nuclear, en cuyo caso . ^[9]${\displaystyle N:X\to Y}$${\displaystyle {}^{t}N:Y'_{b}\to X'_{b}}$${\textstyle \left\|{}^{t}N\right\|_{\operatorname {Tr} }=\left\|N\right\|_{\operatorname {Tr} }}$

Sean X e Y espacios de Banach y sea un operador lineal continuo. ${\displaystyle N:X\to Y}$

• Si es un mapa nuclear entonces su transpuesta es un mapa nuclear continuo (cuando los espacios duales llevan sus topologías duales fuertes) y . ^[10]${\displaystyle N:X\to Y}$${\displaystyle {}^{t}N:Y'_{b}\to X'_{b}}$${\textstyle \left\|{}^{t}N\right\|_{\operatorname {Tr} }\leq \left\|N\right\|_{\operatorname {Tr} }}$

Los automorfismos nucleares de un espacio de Hilbert se denominan operadores de clase traza .

Sean X e Y espacios de Hilbert y sea N  : X → Y una función lineal continua. Supóngase que donde R  : X → X es la raíz cuadrada de y U  : X → Y es tal que es una isometría sobreyectiva. Entonces N es una función nuclear si y sólo si R es una función nuclear; por lo tanto, para estudiar funciones nucleares entre espacios de Hilbert basta con restringir la atención a los operadores autoadjuntos positivos R . ^[11]${\displaystyle N=UR}$${\displaystyle N^{*}N}$${\displaystyle U{\big \vert }_{\operatorname {Im} R}:\operatorname {Im} R\to \operatorname {Im} N}$

Sean X e Y espacios de Hilbert y sea N  : X → Y una función lineal continua cuyo valor absoluto es R  : X → X . Las siguientes son equivalentes:

1. N  : X → Y es nuclear.
2. R  : X → X es nuclear. ^[12]
3. R  : X → X es compacto y es finito, en cuyo caso . ^[12]${\displaystyle \operatorname {Tr} R}$${\displaystyle \operatorname {Tr} R=\|N\|_{\operatorname {Tr} }}$
   • Aquí, está la traza de R y se define de la siguiente manera: Dado que R es un operador positivo compacto continuo, existe una secuencia (posiblemente finita) de números positivos con espacios vectoriales no triviales finito-dimensionales y mutuamente ortogonales correspondientes tales que la ortogonalidad (en H ) de es igual a (y por lo tanto también a ) y para todo k , para todo ; la traza se define como .${\displaystyle \operatorname {Tr} R}$${\displaystyle \lambda _{1}>\lambda _{2}>\cdots }$${\displaystyle V_{1},V_{2},\ldots }$${\displaystyle \operatorname {span} \left(V_{1}\cup V_{2}\cup \cdots \right)}$${\displaystyle \ker R}$${\displaystyle \ker N}$${\displaystyle R(x)=\lambda _{k}x}$${\displaystyle x\in V_{k}}$${\textstyle \operatorname {Tr} R:=\sum _{k}\lambda _{k}\dim V_{k}}$
4. ${\displaystyle {}^{t}N:Y'_{b}\to X'_{b}}$es nuclear, en cuyo caso . ^[9]${\displaystyle \|{}^{t}N\|_{\operatorname {Tr} }=\|N\|_{\operatorname {Tr} }}$
5. Hay dos secuencias ortogonales en X y en Y , y una secuencia en tal que para todo , . ^[12]${\displaystyle (x_{i})_{i=1}^{\infty }}$${\displaystyle (y_{i})_{i=1}^{\infty }}$${\displaystyle \left(\lambda _{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$${\displaystyle \ell ^{1}}$${\displaystyle x\in X}$${\textstyle N(x)=\sum _{i}\lambda _{i}\langle x,x_{i}\rangle y_{i}}$
6. N  : X → Y es una función integral . ^[13]

Supóngase que U es un entorno cerrado equilibrado convexo del origen en X y que B es un disco de Banach acotado equilibrado convexo en Y con espacios localmente convexos tanto en X como en Y. Sea y sea la proyección canónica. Se puede definir el espacio de Banach auxiliar con la función canónica cuya imagen, , es densa en así como el espacio auxiliar normado por y con una función canónica siendo la inyección canónica (continua). Dado cualquier función lineal continua se obtiene a través de la composición la función lineal continua ; por lo tanto tenemos una inyección y de aquí en adelante usamos esta función para identificar como un subespacio de . ^[7]${\textstyle p_{U}(x)=\inf _{r>0,x\in rU}r}$${\displaystyle \pi :X\to X/p_{U}^{-1}(0)}$ ${\displaystyle {\hat {X}}_{U}}$${\displaystyle {\hat {\pi }}_{U}:X\to {\hat {X}}_{U}}$${\displaystyle X/p_{U}^{-1}(0)}$${\displaystyle {\hat {X}}_{U}}$${\displaystyle F_{B}=\operatorname {span} B}$${\textstyle p_{B}(y)=\inf _{r>0,y\in rB}r}$${\displaystyle \iota :F_{B}\to F}$${\displaystyle T:{\hat {X}}_{U}\to Y_{B}}$${\displaystyle {\hat {\pi }}_{U}\circ T\circ \iota :X\to Y}$${\textstyle L\left({\hat {X}}_{U};Y_{B}\right)\to L(X;Y)}$${\textstyle L\left({\hat {X}}_{U};Y_{B}\right)}$${\displaystyle L(X;Y)}$

Definición : Sean X e Y espacios localmente convexos de Hausdorff. La unión de todos los rangos U sobre todos los vecindarios cerrados convexos equilibrados del origen en X y los rangos B sobre todos los discos de Banach acotados en Y se denota por y sus elementos se denominan aplicaciones nucleares de X en Y. ^[7 ]${\textstyle L^{1}\left({\hat {X}}_{U};Y_{B}\right)}$${\displaystyle L^{1}(X;Y)}$

Cuando X e Y son espacios de Banach, entonces esta nueva definición de mapeo nuclear es consistente con la original dada para el caso especial donde X e Y son espacios de Banach.

• Sean W , X , Y y Z espacios localmente convexos de Hausdorff, una función nuclear y y funciones lineales continuas. Entonces , y son nucleares y si además W , X , Y y Z son todos espacios de Banach entonces . ^{[14] [15]}${\displaystyle N:X\to Y}$${\displaystyle M:W\to X}$${\displaystyle P:Y\to Z}$${\displaystyle N\circ M:W\to Y}$${\displaystyle P\circ N:X\to Z}$${\displaystyle P\circ N\circ M:W\to Z}$${\textstyle \left\|P\circ N\circ M\right\|_{\operatorname {Tr} }\leq \left\|P\right\|\left\|N\right\|_{\operatorname {Tr} }\|\left\|M\right\|}$
• Si es una función nuclear entre dos espacios localmente convexos de Hausdorff, entonces su transpuesta es una función nuclear continua (cuando los espacios duales llevan sus topologías duales fuertes). ^[2]${\displaystyle N:X\to Y}$${\displaystyle {}^{t}N:Y'_{b}\to X'_{b}}$
  • Si además X e Y son espacios de Banach, entonces . ^[9]${\textstyle \left\|{}^{t}N\right\|_{\operatorname {Tr} }\leq \left\|N\right\|_{\operatorname {Tr} }}$
• Si es una función nuclear entre dos espacios localmente convexos de Hausdorff y si es una completitud de X , entonces la única extensión continua de N es nuclear. ^[15]${\displaystyle N:X\to Y}$${\displaystyle {\hat {X}}}$${\displaystyle {\hat {N}}:{\hat {X}}\to Y}$

Sean X e Y espacios localmente convexos de Hausdorff y sea un operador lineal continuo. ${\displaystyle N:X\to Y}$

• Los siguientes son equivalentes:
  1. ${\displaystyle N:X\to Y}$Es nuclear.
  2. (Definición) Existe un entorno equilibrado convexo U del origen en X y un disco de Banach acotado B en Y tal que y la función inducida es nuclear, donde es la única extensión continua de , que es la única función que satisface donde es la inclusión natural y es la proyección canónica. ^[6]${\displaystyle N(U)\subseteq B}$${\displaystyle {\overline {N}}_{0}:{\hat {X}}_{U}\to Y_{B}}$${\displaystyle {\overline {N}}_{0}}$${\displaystyle N_{0}:X_{U}\to Y_{B}}$${\displaystyle N=\operatorname {In} _{B}\circ N_{0}\circ \pi _{U}}$${\displaystyle \operatorname {In} _{B}:Y_{B}\to Y}$${\displaystyle \pi _{U}:X\to X/p_{U}^{-1}(0)}$
  3. Existen espacios de Banach y y aplicaciones lineales continuas , , y tales que son nucleares y . ^[8]${\displaystyle B_{1}}$${\displaystyle B_{2}}$${\displaystyle f:X\to B_{1}}$${\displaystyle n:B_{1}\to B_{2}}$${\displaystyle g:B_{2}\to Y}$${\displaystyle n:B_{1}\to B_{2}}$${\displaystyle N=g\circ n\circ f}$
  4. Existe una secuencia equicontinua en , un disco de Banach acotado , una secuencia en B y una secuencia compleja tal que y es igual a la función: ^[8] para todo .${\displaystyle \left(x_{i}'\right)_{i=1}^{\infty }}$${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle B\subseteq Y}$${\displaystyle \left(y_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$${\displaystyle \left(c_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }|c_{i}|<\infty }$${\displaystyle N}$ ${\textstyle N(x)=\sum _{i=1}^{\infty }c_{i}x'_{i}(x)y_{i}}$${\displaystyle x\in X}$
• Si X tiene un cañón y Y es cuasicompleto , entonces N es nuclear si y sólo si N tiene una representación de la forma con acotado en , acotado en Y y . ^[8]${\textstyle N(x)=\sum _{i=1}^{\infty }c_{i}x'_{i}(x)y_{i}}$${\displaystyle \left(x_{i}'\right)_{i=1}^{\infty }}$${\displaystyle X'}$${\displaystyle \left(y_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }|c_{i}|<\infty }$

El siguiente es un tipo de teorema de Hahn-Banach para ampliar los mapas nucleares:

• Si es una incrustación de TVS y es un mapa nuclear, entonces existe un mapa nuclear tal que . Además, cuando X e Y son espacios de Banach y E es una isometría, entonces para cualquier , se puede elegir de modo que . ^[16]${\displaystyle E:X\to Z}$${\displaystyle N:X\to Y}$${\displaystyle {\tilde {N}}:Z\to Y}$${\displaystyle {\tilde {N}}\circ E=N}$${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle {\tilde {N}}}$${\displaystyle \|{\tilde {N}}\|_{\operatorname {Tr} }\leq \|N\|_{\operatorname {Tr} }+\epsilon }$
• Supóngase que es una incrustación TVS cuya imagen está cerrada en Z y sea la proyección canónica. Supóngase que todo disco compacto en es la imagen bajo de un disco de Banach acotado en Z (esto es cierto, por ejemplo, si X y Z son ambos espacios de Fréchet, o si Z es el dual fuerte de un espacio de Fréchet y está débilmente cerrado en Z ). Entonces, para cada función nuclear existe una función nuclear tal que . ${\displaystyle E:X\to Z}$${\displaystyle \pi :Z\to Z/\operatorname {Im} E}$${\displaystyle Z/\operatorname {Im} E}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle \operatorname {Im} E}$${\displaystyle N:Y\to Z/\operatorname {Im} E}$${\displaystyle {\tilde {N}}:Y\to Z}$${\displaystyle \pi \circ {\tilde {N}}=N}$
  • Además, cuando X y Z son espacios de Banach y E es una isometría, entonces para cualquier , se puede elegir de modo que . ^[16]${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle {\tilde {N}}}$${\textstyle \left\|{\tilde {N}}\right\|_{\operatorname {Tr} }\leq \left\|N\right\|_{\operatorname {Tr} }+\epsilon }$

Sean X e Y espacios localmente convexos de Hausdorff y sea un operador lineal continuo. ${\displaystyle N:X\to Y}$

• Cualquier mapa nuclear es compacto. ^[2]
• Para cada topología de convergencia uniforme en , los mapas nucleares están contenidos en el cierre de (cuando se considera como un subespacio de ). ^[6]${\displaystyle L(X;Y)}$${\displaystyle X'\otimes Y}$${\displaystyle X'\otimes Y}$${\displaystyle L(X;Y)}$

• Espacios auxiliares normados
• Operador de covarianza  – Operador en teoría de probabilidad
• Topología inicial  : topología más burda que hace que ciertas funciones sean continuas
• Producto tensorial inductivo  : operación binaria en espacios vectoriales topológicosPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Producto tensorial inyectivo
• Espacio vectorial topológico localmente convexo  : un espacio vectorial con una topología definida por conjuntos abiertos convexos
• Operadores nucleares entre espacios de Banach  : operadores en espacios de Banach con propiedades similares a los operadores de dimensión finitaPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Espacio nuclear  : una generalización de los espacios euclidianos de dimensión finita diferentes de los espacios de Hilbert
• Producto tensorial proyectivo  : producto tensorial definido en dos espacios vectoriales topológicosPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Producto tensorial de espacios de Hilbert  – Espacio de producto tensorial dotado de un producto interno especial
• Producto tensorial topológico  – Construcciones de productos tensoriales para espacios vectoriales topológicos
• Clase Trace  : operador compacto para el cual se puede definir una traza finita
• Espacio vectorial topológico  – Espacio vectorial con noción de proximidad

• Diestel, Joe (2008). La teoría métrica de los productos tensoriales: una revisión del currículum de Grothendieck . Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4440-3.OCLC 185095773  .
• Dubinsky, Ed (1979). La estructura de los espacios nucleares de Fréchet . Berlín Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 3-540-09504-7.OCLC 5126156  .
• Grothendieck, Alejandro (1966). Produits tensoriels topologiques et espaces nucléaires (en francés). Providencia: Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 0-8218-1216-5.OCLC 1315788  .
• Husain, Taqdir (1978). Barrelización en espacios vectoriales topológicos y ordenados . Berlín Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 3-540-09096-7.OCLC 4493665  .
• Khaleelulla, SM (1982). Contraejemplos en espacios vectoriales topológicos . Lecture Notes in Mathematics . Vol. 936. Berlín, Heidelberg, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN. 978-3-540-11565-6.OCLC 8588370  .
• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemáticas puras y aplicadas (segunda edición). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666.OCLC 144216834  .
• Nlend, H (1977). Bornologías y análisis funcional: curso introductorio sobre la teoría de la topología dualista-bornología y su uso en el análisis funcional . Ámsterdam Nueva York Nueva York: North-Holland Pub. Co. Distribuidores exclusivos para EE. UU. y Canadá, Elsevier-North Holland. ISBN 0-7204-0712-5.OCLC 2798822  .
• Nlend, H (1981). Espacios nucleares y connucleares: cursos introductorios sobre espacios nucleares y connucleares a la luz de la dualidad . Ámsterdam Nueva York Nueva York, NY: North-Holland Pub. Co. Distribuidores exclusivos para EE. UU. y Canadá, Elsevier North-Holland. ISBN 0-444-86207-2.OCLC 7553061  .
• Pietsch, Albrecht (1972). Espacios nucleares localmente convexos . Berlín, Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-05644-0.OCLC 539541  .
• Robertson, AP (1973). Espacios vectoriales topológicos . Cambridge, Inglaterra: University Press. ISBN 0-521-29882-2.OCLC 589250  .
• Ryan, Raymond (2002). Introducción a los productos tensoriales de los espacios de Banach . Londres, Nueva York: Springer. ISBN 1-85233-437-1.OCLC 48092184  .
• Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . Vol. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer New York Imprenta Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0.OCLC 840278135  .
• Trèves, François (2006) [1967]. Espacios vectoriales topológicos, distribuciones y núcleos . Mineola, Nueva York: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-45352-1.OCLC 853623322  .
• Wong (1979). Espacios de Schwartz, espacios nucleares y productos tensoriales . Berlín Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 3-540-09513-6.OCLC 5126158  .

• El espacio nuclear en el NCATLAB