operador lineal integral

En análisis matemático, un operador lineal integral es un operador lineal T dado por integración; es decir,

${\displaystyle (Tf)(x)=\int f(y)K(x,y)\,dy}$

dónde${\displaystyle K(x,y)}$Se denomina núcleo de integración.

De manera más general, una forma bilineal integral es un funcional bilineal que pertenece al espacio dual continuo de${\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\epsilon }Y}$, el producto tensorial inyectivo de los espacios vectoriales topológicos (TVS) localmente convexos X e Y. Un operador lineal integral es un operador lineal continuo que surge de forma canónica a partir de una forma bilineal integral.

Estos mapas desempeñan un papel importante en la teoría de los espacios nucleares y los mapas nucleares .

Sean X e Y sistemas de estados topológicos localmente convexos, sea${\displaystyle X\otimes _ {\pi }Y}$denotamos el producto tensorial proyectivo ,${\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\pi }Y}$denotemos su finalización, sea${\displaystyle X\otimes _{\epsilon }Y}$denotamos el producto tensorial inyectivo y${\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\epsilon }Y}$denotamos su finalización. Supongamos que${\displaystyle \operatorname {En} :X\otimes _{\epsilon }Y\to X{\widehat {\otimes }}_{\epsilon }Y}$denota la incrustación TVS de${\displaystyle X\otimes _{\epsilon }Y}$en su finalización y dejar${\displaystyle {}^{t}\operatorname {En}$ :\left(X{\widehat {\otimes }}_{\epsilon }Y\right)_{b}^{\prime }\to \left(X\otimes _{\epsilon }Y\right)_{b}^{\prime }} sea su transpuesta , que es un isomorfismo de espacio vectorial. Esto identifica el espacio dual continuo de${\displaystyle X\otimes _{\epsilon }Y}$como idéntico al espacio dual continuo de${\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\epsilon }Y}$.

Dejar${\displaystyle \operatorname {Id} :X\otimes _{\pi }Y\to X\otimes _{\epsilon }Y}$denotamos el mapa identidad y${\displaystyle {}^{t}\operatorname {Id}$ :\left(X\otimes _{\epsilon }Y\right)_{b}^{\prime }\to \left(X\otimes _{\pi }Y\right)_{b}^{\prime }} denota su transpuesta , que es una inyección continua. Recordemos que${\displaystyle \left(X\otimes _{\pi }Y\right)^{\prime }}$se identifica canónicamente con${\displaystyle B(X,Y)}$, el espacio de aplicaciones bilineales continuas en${\displaystyle X\times Y}$De esta manera, el espacio dual continuo de${\displaystyle X\otimes _{\epsilon }Y}$puede identificarse canónicamente como un subespacio vectorial de${\displaystyle B(X,Y)}$, denotado por${\displaystyle J(X,Y)}$. Los elementos de${\displaystyle J(X,Y)}$se denominan formas integrales (bilineales) en${\displaystyle X\times Y}$. El siguiente teorema justifica la palabra integral .

También existe una formulación estrechamente relacionada ^{[ 3 ]} del teorema anterior que también puede utilizarse para explicar la terminología de forma bilineal integral : una forma bilineal continua.${\displaystyle u}$en el producto${\displaystyle X\times Y}$de espacios localmente convexos es integral si y solo si existe un espacio topológico compacto${\displaystyle \Omega }$equipado con una medida de radón positiva (necesariamente limitada)${\displaystyle \mu }$y mapas lineales continuos${\displaystyle \alpha }$y${\displaystyle \beta }$de${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y}$al espacio Banach${\displaystyle L^{\infty }(\Omega ,\mu )}$de tal manera que

${\displaystyle u(x,y)=\langle \alpha (x),\beta (y)\rangle =\int _{\Omega }\alpha (x)\beta (y)\;d\mu }$,

es decir, la forma${\displaystyle u}$se puede lograr integrando funciones (esencialmente acotadas) en un espacio compacto.

Un mapa lineal continuo${\displaystyle \kappa :X\to Y'}$se denomina integral si su forma bilineal asociada es una forma bilineal integral, donde esta forma se define por${\displaystyle (x,y)\in X\times Y\mapsto (\kappa x)(y)}$. ^{[ 4 ]} De ello se deduce que un mapa integral${\displaystyle \kappa :X\to Y'}$tiene la forma: ^{[ 4 ]}

${\displaystyle x\in X\mapsto \kappa (x)=\int _{S\times T}\left\langle x',x\right\rangle y'\mathrm {d} \mu \!\left(x',y'\right)}$

para subconjuntos S y T adecuados débilmente cerrados y equicontinuos${\displaystyle X'}$y${\displaystyle Y'}$, respectivamente, y alguna medida positiva de Radón${\displaystyle \mu }$de masa total ≤ 1. La integral anterior es la integral débil , por lo que la igualdad se cumple si y solo si para cada${\displaystyle y\in Y}$,${\textstyle \left\langle \kappa (x),y\right\rangle =\int _{S\times T}\left\langle x',x\right\rangle \left\langle y',y\right\rangle \mathrm {d} \mu \!\left(x',y'\right)}$.

Dado un mapa lineal${\displaystyle \Lambda :X\to Y}$, se puede definir una forma bilineal canónica${\displaystyle B_{\Lambda }\in Bi\left(X,Y'\right)}$, llamada la forma bilineal asociada en${\displaystyle X\times Y'}$, por${\displaystyle B_{\Lambda }\left(x,y'\right):=\left(y'\circ \Lambda \right)\left(x\right)}$Un mapa continuo${\displaystyle \Lambda :X\to Y}$Se denomina integral si su forma bilineal asociada es una forma bilineal integral. ^{[ 5 ]} Una aplicación integral${\displaystyle \Lambda :X\to Y}$es de la forma, para cada${\displaystyle x\in X}$y${\displaystyle y'\in Y'}$:

${\displaystyle \left\langle y',\Lambda (x)\right\rangle =\int _{A'\times B''}\left\langle x',x\right\rangle \left\langle y'',y'\right\rangle \mathrm {d} \mu \!\left(x',y''\right)}$

para subconjuntos adecuados débilmente cerrados y equicontinuos${\displaystyle A'}$y${\displaystyle B''}$de${\displaystyle X'}$y${\displaystyle Y''}$, respectivamente, y alguna medida positiva de Radón${\displaystyle \mu }$de masa total${\displaystyle \leq 1}$.

• Espacios auxiliares normalizados
• Topología final
• Producto tensorial inyectivo
• operadores nucleares
• Espacios nucleares
• Producto tensorial proyectivo
• Producto tensorial topológico

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• Espacio nuclear en ncatlab