Pettis integral

En matemáticas , la integral de Pettis o integral de Gelfand - Pettis , que recibe su nombre de Israel M. Gelfand y Billy James Pettis , extiende la definición de la integral de Lebesgue a funciones vectoriales en un espacio de medida , aprovechando la dualidad . Gelfand introdujo esta integral para el caso en que el espacio de medida es un intervalo con medida de Lebesgue . También se la conoce como integral débil, en contraste con la integral de Bochner , que es la integral fuerte.

Dejar${\displaystyle f:X\to V}$dónde${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$es una medida de espacio y${\displaystyle V}$es un espacio vectorial topológico (TVS) con un espacio dual continuo${\displaystyle V'}$que separa puntos (es decir, si${\displaystyle x\in V}$si es distinto de cero entonces hay algo${\displaystyle l\in V'}$de tal manera que${\displaystyle l(x)\neq 0}$), Por ejemplo,${\displaystyle V}$es un espacio normado o (más generalmente) es un TVS localmente convexo de Hausdorff . La evaluación de un funcional puede escribirse como un emparejamiento de dualidad : $${\displaystyle \langle \varphi ,x\rangle =\varphi [x].}$$

El mapa${\displaystyle f:X\to V}$se llamadébilmente medible si para todos${\displaystyle \varphi \en V',}$el mapa escalar${\displaystyle \varphi \circ f}$es un mapa medible . Un mapa débilmente medible.${\displaystyle f:X\to V}$Se dice quedébilmente integrable en${\displaystyle X}$si existe alguna${\displaystyle e\in V}$de tal manera que para todos${\displaystyle \varphi \en V',}$el mapa escalar${\displaystyle \varphi \circ f}$es integrable de Lebesgue (es decir,${\displaystyle \varphi \circ f\in L^{1}\left(X,\Sigma ,\mu \right)}$) y $${\displaystyle \varphi (e)=\int _ {X}\varphi (f(x))\,\mathrm {d} \mu (x).}$$

El mapa${\displaystyle f:X\to V}$Se dice quePettis integrable si${\displaystyle \varphi \circ f\in L^{1}\left(X,\Sigma ,\mu \right)}$a pesar de${\displaystyle \varphi \en V^{\prime }}$y también para cada${\displaystyle A\in \Sigma }$existe un vector${\displaystyle e_{A}\in V}$de tal manera que $${\displaystyle \langle \varphi ,e_{A}\rangle =\int _{A}\langle \varphi ,f(x)\rangle \,\mathrm {d} \mu (x)\quad {\text{ para todos }}\varphi \in V'.}$$

En este caso,${\displaystyle e_{A}}$se llama elPettis integral de${\displaystyle f}$en${\displaystyle A.}$Notaciones comunes para la integral de Pettis${\displaystyle e_{A}}$incluir $${\displaystyle \int _{A}f\,\mathrm {d} \mu ,\qquad \int _{A}f(x)\,\mathrm {d} \mu (x),\quad {\text{y, en caso de que se entienda que}}~A=X~{\text{se entiende,}}\quad \mu [f].}$$

Para comprender la motivación detrás de la definición de "débilmente integrable", considere el caso especial donde${\displaystyle V}$es el campo escalar subyacente; es decir, donde${\displaystyle V=\mathbb {R} }$o${\displaystyle V=\mathbb {C} .}$En este caso, cada funcional lineal${\displaystyle \varphi }$en${\displaystyle V}$es de la forma${\displaystyle \varphi (y)=sy}$para algún escalar${\displaystyle s\in V}$(eso es,${\displaystyle \varphi }$es simplemente una multiplicación escalar por una constante), la condición $${\displaystyle \varphi (e)=\int _{A}\varphi (f(x))\,\mathrm {d} \mu (x)\quad {\text{para todos}}~\varphi \in V',}$$ simplifica a $${\displaystyle se=\int _{A}sf(x)\,\mathrm {d} \mu (x)\quad {\text{para todos los escalares}}~s.}$$ En particular, en este caso especial,${\displaystyle f}$es débilmente integrable en${\displaystyle X}$si y solo si${\displaystyle f}$es integrable según Lebesgue.

El mapa${\displaystyle f:X\to V}$Se dice queDunford integrable si${\displaystyle \varphi \circ f\in L^{1}\left(X,\Sigma ,\mu \right)}$a pesar de${\displaystyle \varphi \en V^{\prime }}$y también para cada${\displaystyle A\in \Sigma }$existe un vector${\displaystyle d_{A}\in V'',}$llamado elDunford integral de${\displaystyle f}$en${\displaystyle A,}$de tal manera que $${\displaystyle \langle d_{A},\varphi \rangle =\int _{A}\langle \varphi ,f(x)\rangle \,\mathrm {d} \mu (x)\quad {\text{ para todos }}\varphi \in V'}$$ dónde${\displaystyle \langle d_{A},\varphi \rangle =d_{A}(\varphi).}$

Identificar cada vector${\displaystyle x\in V}$con el funcional escalar de mapa en${\displaystyle V'}$definido por${\displaystyle \varphi \in V'\mapsto \varphi (x).}$Esta asignación induce un mapa llamado mapa de evaluación canónica y a través de él,${\displaystyle V}$se identifica como un subespacio vectorial del doble dual${\displaystyle V''.}$ El espacio${\displaystyle V}$es un espacio semirreflexivo si y solo si esta aplicación es sobreyectiva .${\displaystyle f:X\to V}$¿Es integrable Pettis si y solo si?${\displaystyle d_{A}\in V}$por cada${\displaystyle A\in \Sigma .}$

Una consecuencia inmediata de la definición es que las integrales de Pettis son compatibles con operadores lineales continuos: Si${\displaystyle \Phi \colon V_{1}\to V_{2}}$es lineal y continuo y${\displaystyle f\colon X\to V_{1}}$Si Pettis es integrable, entonces${\displaystyle \Phi \circ f}$¿Es Pettis integrable también?$${\displaystyle \int _{X}\Phi (f(x))\,d\mu (x)=\Phi \left(\int _{X}f(x)\,d\mu (x)\right).}$$

La estimación estándar$${\displaystyle \left|\int _{X}f(x)\,d\mu (x)\right|\leq \int _{X}|f(x)|\,d\mu (x)}$$para funciones de valor real y complejo se generaliza a integrales de Pettis en el siguiente sentido: Para todas las seminormas continuas${\displaystyle p\colon V\to \mathbb {R} }$y todos los Pettis integrables${\displaystyle f\colon X\to V}$,$${\displaystyle p\left(\int _{X}f(x)\,d\mu (x)\right)\leq {\underline {\int _{X}}}p(f(x))\,d\mu (x)}$$se sostiene. El lado derecho es la integral de Lebesgue inferior de una${\displaystyle [0,\infty ]}$función con valores en , es decir,$${\displaystyle {\underline {\int _{X}}}g\,d\mu$$ :=\sup \left\{\left.\int _{X}h\,d\mu \;\right|\;h\colon X\to [0,\infty ]{\text{ es medible y }}0\leq h\leq g\right\}.} Es necesario tomar una integral de Lebesgue inferior porque el integrando${\displaystyle p\circ f}$puede que no sea medible. Esto se deduce del teorema de Hahn-Banach porque para cada vector${\displaystyle v\in V}$debe haber una función continua${\displaystyle \varphi \en V^{*}}$de tal manera que${\displaystyle \varphi (v)=p(v)}$y para todos${\displaystyle w\in V}$,${\displaystyle |\varphi (w)|\leq p(w)}$. Aplicando esto a${\displaystyle v:=\int _{X}f\,d\mu }$da el resultado.

Dejar${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {P} )}$Sea un espacio de probabilidad, y sea${\displaystyle V}$Sea un espacio vectorial topológico con un espacio dual que separa puntos.${\displaystyle v_{n}:\Omega \to V}$Sea una secuencia de variables aleatorias integrables de Pettis y escriba${\displaystyle \operatorname {E} [v_{n}]}$para la integral de Pettis de${\displaystyle v_{n}}$(encima${\displaystyle X}$). Tenga en cuenta que${\displaystyle \operatorname {E} [v_{n}]}$es un vector (no aleatorio) en${\displaystyle V,}$y no es un valor escalar.

Dejar $${\displaystyle {\bar {v}}_{N}:={\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}v_{n}}$$ denotamos el promedio de la muestra. Por linealidad,${\displaystyle {\bar {v}}_{N}}$¿Es integrable Pettis? $${\displaystyle \operatorname {E} [{\bar {v}}_{N}]={\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}\operatorname {E} [v_{n}]\in V.}$$

Supongamos que las sumas parciales $${\displaystyle {\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}\operatorname {E} [{\bar {v}}_{n}]}$$ convergen absolutamente en la topología de${\displaystyle V,}$en el sentido de que todas las reordenaciones de la suma convergen a un único vector${\displaystyle \lambda \in V.}$La ley débil de los grandes números implica que${\displaystyle \langle \varphi ,\operatorname {E} [{\bar {v}}_{N}]-\lambda \rangle \to 0}$para cada funcional${\displaystyle \varphi \in V^{*}.}$Como consecuencia,${\displaystyle \operatorname {E} [{\bar {v}}_{N}]\to \lambda }$en la topología débil en${\displaystyle X.}$

Sin más suposiciones, es posible que${\displaystyle \operatorname {E} [{\bar {v}}_{N}]}$no converge a${\displaystyle \lambda .}$Para lograr una convergencia sólida, se necesitan más supuestos.

• función medible de Bochner
• Integral de Bochner : un concepto matemático. 
• Espacio de Bochner – Tipo de espacio topológico 
• Medida vectorial : generalización de la medida finita a espacios de Banach. 
• Función débilmente medible

• James K. Brooks, Representaciones de integrales débiles y fuertes en espacios de Banach , Actas de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos de América 63, 1969, 266–270. Texto completo MR 0274697 
• Israel M. Gel'fand , Sur un lemme de la théorie des espaces linéaires , Commun. Inst. Ciencia. Matemáticas. et Mecan., Univ. Kharkoff et Soc. Matemáticas. Kharkoff, IV. Ser. 13, 1936, 35–40 Zbl 0014.16202 
• Michel Talagrand , Integral de Pettis y Teoría de la Medida , Memorias de la AMS n.º 307 (1984) MR 0756174 
• Sobolev, VI (2001) [1994], "Integral de Pettis" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press