Producto tensorial inductivo

La topología de espacio vectorial topológico (TVS) localmente convexo más fina en${\displaystyle X\otimes Y,}$el producto tensorial de dos TVS localmente convexas, lo que hace que el mapa canónico${\displaystyle \cdot \otimes \cdot :X\times Y\to X\otimes Y}$(definido por el envío)${\displaystyle (x,y)\in X\times Y}$a${\displaystyle x\otimes y}$) por separado continuo se llama topología inductiva o la${\displaystyle \iota }$-topología . Cuando${\displaystyle X\otimes Y}$Si está dotado de esta topología, entonces se denota por${\displaystyle X\otimes _{\iota }Y}$y llamado producto tensorial inductivo de${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y.}$^{[ 1 ]}

A lo largo de todo deja${\displaystyle X,Y,}$y${\displaystyle Z}$sean espacios vectoriales topológicos localmente convexos y${\displaystyle L:X\to Y}$ser un mapa lineal.

• ${\displaystyle L:X\to Y}$es un homomorfismo topológico u homomorfismo , si es lineal, continuo y${\displaystyle L:X\to \operatorname {Im} L}$es un mapa abierto , donde${\displaystyle \operatorname {Soy} L,}$la imagen de${\displaystyle L,}$tiene la topología de subespacio inducida por${\displaystyle Y.}$
  • Si${\displaystyle S\subsetequ X}$es un subespacio de${\displaystyle X}$entonces ambos el mapa cociente${\displaystyle X\to X/S}$y la inyección canónica${\displaystyle S\to X}$son homomorfismos. En particular, cualquier mapa lineal${\displaystyle L:X\to Y}$puede descomponerse canónicamente de la siguiente manera:${\displaystyle X\to X/\operatorname {ker} L{\overset {L_{0}}{\rightarrow }}\operatorname {Im} L\to Y}$dónde${\displaystyle L_{0}(x+\ker L):=L(x)}$define una biyección .
• El conjunto de mapas lineales continuos${\displaystyle X\to Z}$(respectivamente, mapas bilineales continuos)${\displaystyle X\times Y\to Z}$) se denotará por${\displaystyle L(X;Z)}$(resp.${\displaystyle B(X,Y;Z)}$) donde si${\displaystyle Z}$es el campo escalar entonces podemos escribir en su lugar${\displaystyle L(X)}$(resp.${\displaystyle B(X,Y)}$).
• Denotaremos el espacio dual continuo de${\displaystyle X}$por${\displaystyle X^{\prime }}$y el espacio dual algebraico (que es el espacio vectorial de todos los funcionales lineales en${\displaystyle X,}$ya sea continuo o no) por${\displaystyle X^{\#}.}$
  • Para aumentar la claridad de la exposición, utilizamos la convención común de escribir elementos de${\displaystyle X^{\prime }}$con una prima después del símbolo (por ejemplo${\displaystyle x^{\prime }}$denota un elemento de${\displaystyle X^{\prime }}$y no, por ejemplo, una derivada y las variables${\displaystyle x}$y${\displaystyle x^{\prime }}$no tienen por qué estar relacionados de ninguna manera).
• Un mapa lineal${\displaystyle L:H\to H}$de un espacio de Hilbert en sí mismo se llama positivo si${\displaystyle \langle L(x),X\rangle \geq 0}$por cada${\displaystyle x\in H.}$En este caso, existe un mapa positivo único.${\displaystyle r:H\to H,}$llamada la raíz cuadrada de${\displaystyle L,}$de tal manera que${\displaystyle L=r\circ r.}$^{[ 2 ]}
  • Si${\displaystyle L:H_{1}\to H_{2}}$es cualquier aplicación lineal continua entre espacios de Hilbert, entonces${\displaystyle L^{*}\circ L}$siempre es positivo. Ahora dejemos${\displaystyle R:H\to H}$denotamos su raíz cuadrada positiva, que se llama el valor absoluto de${\displaystyle L.}$Definir${\displaystyle U:H_{1}\to H_{2}}$primero en${\displaystyle \operatorname {Im} R}$al establecer${\displaystyle U(x)=L(x)}$para${\displaystyle x=R\left(x_{1}\right)\in \operatorname {Im} R}$y extendiendo${\displaystyle U}$continuamente a${\displaystyle {\overline {\operatorname {Im} R}},}$y luego definir${\displaystyle U}$en${\displaystyle \operatorname {ker} R}$al establecer${\displaystyle U(x)=0}$para${\displaystyle x\in \operatorname {ker} R}$y extender este mapa linealmente a todos${\displaystyle H_{1}.}$El mapa${\displaystyle U{\big \vert }_{\operatorname {Im} R}:\operatorname {Im} R\to \operatorname {Im} L}$es una isometría sobreyectiva y${\displaystyle L=U\circ R.}$
• Un mapa lineal${\displaystyle \Lambda :X\to Y}$Se denomina compacto o completamente continuo si existe un vecindario.${\displaystyle U}$del origen en${\displaystyle X}$de tal manera que${\displaystyle \Lambda (U)}$es precompacto en${\displaystyle Y.}$^{[ 3 ]}
  • En un espacio de Hilbert, operadores lineales compactos positivos, por ejemplo${\displaystyle L:H\to H}$tienen una descomposición espectral simple descubierta a principios del siglo XX por Fredholm y F. Riesz: ^{[ 4 ]}

Hay una secuencia de números positivos, decreciente y finita o que converge a 0,${\displaystyle r_{1}>r_{2}>\cdots >r_{k}>\cdots }$y una secuencia de subespacios de dimensión finita no nula${\displaystyle V_{i}}$de${\displaystyle H}$(${\displaystyle i=1,2,\ldots }$) con las siguientes propiedades: (1) los subespacios${\displaystyle V_{i}}$son ortogonales por pares; (2) para cada${\displaystyle i}$y cada${\displaystyle x\in V_{i},}$${\displaystyle L(x)=r_{i}x}$; y (3) la ortogonal del subespacio generado por${\displaystyle \cup _{i}V_{i}}$es igual al núcleo de${\displaystyle L.}$^{[ 4 ]}

Supongamos que${\displaystyle Z}$es un espacio localmente convexo y que${\displaystyle I}$es el mapa canónico del espacio de todos los mapeos bilineales de la forma${\displaystyle X\times Y\to Z,}$entrando en el espacio de todas las aplicaciones lineales de${\displaystyle X\otimes Y\to Z.}$^{[ 1 ]} Entonces, cuando el dominio de${\displaystyle I}$está restringido a${\displaystyle {\mathcal {B}}(X,Y;Z)}$(el espacio de aplicaciones bilineales separadamente continuas) entonces el rango de esta restricción es el espacio${\displaystyle L\left(X\otimes _{\iota }Y;Z\right)}$de operadores lineales continuos${\displaystyle X\otimes _{\iota }Y\to Z.}$ En particular, el espacio dual continuo de${\displaystyle X\otimes _{\iota }Y}$es canónicamente isomorfo al espacio${\displaystyle {\mathcal {B}}(X,Y),}$el espacio de formas bilineales separadamente continuas en${\displaystyle X\times Y.}$

Si${\displaystyle \tau }$es una topología TVS localmente convexa en${\displaystyle X\otimes Y}$(${\displaystyle X\otimes Y}$con esta topología se denotará por${\displaystyle X\otimes _{\tau }Y}$), entonces${\displaystyle \tau }$es igual a la topología del producto tensorial inductivo si y solo si tiene la siguiente propiedad: ^{[ 5 ]}

Para cada TVS localmente convexa${\displaystyle Z,}$si${\displaystyle I}$es el mapa canónico del espacio de todos los mapeos bilineales de la forma${\displaystyle X\times Y\to Z,}$entrando en el espacio de todas las aplicaciones lineales de${\displaystyle X\otimes Y\to Z,}$entonces cuando el dominio de${\displaystyle I}$está restringido a${\displaystyle {\mathcal {B}}(X,Y;Z)}$(espacio de aplicaciones bilineales separadamente continuas) entonces el rango de esta restricción es el espacio${\displaystyle L\left(X\otimes _{\tau }Y;Z\right)}$de operadores lineales continuos${\displaystyle X\otimes _{\tau }Y\to Z.}$

• Espacios auxiliares normalizados
• Topología inicial : la topología más gruesa que hace que ciertas funciones sean continuas. 
• Producto tensorial inyectivo
• Operador nuclear – Operador lineal relacionado con espacios vectoriales topológicos 
• Espacio nuclear : generalización de espacios euclidianos de dimensión finita, distintos de los espacios de Hilbert. 
• Producto tensorial proyectivo
• Producto tensorial de espacios de Hilbert : espacio producto tensorial dotado de un producto interno especial. 
• Producto tensorial topológico : construcciones de producto tensorial para espacios vectoriales topológicos. 

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• Espacio nuclear en ncatlab