Campo (matemáticas)

Formalmente, un cuerpo es un conjunto F junto con dos operaciones binarias sobre F , llamadas suma y multiplicación , que satisfacen los axiomas que se dan a continuación. ^{[ 1 ]} Una operación binaria sobre F es una aplicación F × F → F ; envía cada par ordenado de elementos de F a un elemento de F determinado de forma única . ^{[ 2 ] [ 3 ]} El resultado de la suma de a y b se llama suma de a y b , y se denota a + b . El resultado de la multiplicación de a y b se llama producto de a y b , y se denota a ⋅ b . Estas operaciones deben satisfacer las siguientes propiedades, llamadas axiomas de cuerpo .

Estos axiomas deben cumplirse para todos los elementos a , b , c del cuerpo F :

• Asociatividad de la suma y la multiplicación: a + ( b + c ) = ( a + b ) + c , y a ⋅ ( b ⋅ c ) = ( a ⋅ b ) ⋅ c .
• Conmutatividad de la suma y la multiplicación: a + b = b + a , y a ⋅ b = b ⋅ a .
• Identidad aditiva y multiplicativa : existen elementos distintos 0 y 1 en F tales que a + 0 = a y a ⋅ 1 = a .
• Inversos aditivos : para cada a en F , existe un elemento en F , denotado − a , llamado el inverso aditivo de a , tal que a + (− a ) = 0 .
• Inversos multiplicativos : para cada a ≠ 0 en F , existe un elemento en F , denotado por a ⁻¹ o 1/ a , llamado el inverso multiplicativo de a , tal que a ⋅ a ⁻¹ = 1 .
• Propiedad distributiva de la multiplicación sobre la suma: a ⋅ ( b + c ) = ( a ⋅ b ) + ( a ⋅ c ) .

Una definición equivalente pero más concisa es: un cuerpo es un conjunto con dos operaciones conmutativas, llamadas suma y multiplicación, tales que

• es un grupo bajo adición, con identidad aditiva llamada 0 ;
• Los elementos distintos de cero forman un grupo bajo la multiplicación; y
• La multiplicación es distributiva respecto de la suma.

Dicho de forma aún más concisa: un cuerpo es un anillo conmutativo en el que 0 ≠ 1 y todos los elementos distintos de cero son invertibles bajo la multiplicación.

Los campos también pueden definirse de maneras diferentes, pero equivalentes. Alternativamente, se puede definir un campo mediante cuatro operaciones binarias (suma, resta, multiplicación y división) y sus propiedades requeridas. La división por cero está, por definición, excluida. ^{[ 4 ]} Para evitar cuantificadores existenciales , los campos pueden definirse mediante dos operaciones binarias (suma y multiplicación), dos operaciones unarias (que producen los inversos aditivo y multiplicativo respectivamente) y dos operaciones nulas (las constantes 0 y 1 ). Estas operaciones están sujetas a las condiciones anteriores. Evitar los cuantificadores existenciales es importante en matemáticas constructivas y computación . ^{[ 5 ]} De manera equivalente, se puede definir un campo mediante las mismas dos operaciones binarias, una operación unaria (el inverso multiplicativo) y dos constantes (no necesariamente distintas) 1 y −1 , ya que 0 = 1 + (−1) y − a = (−1) a . ^{[ a ]}

Los números racionales se utilizaron ampliamente durante mucho tiempo antes del desarrollo de los campos. Son números que se pueden escribir como fracciones a / b , donde a y b son enteros y b ≠ 0. El inverso aditivo de dicha fracción es − a / b , y el inverso multiplicativo (siempre que a ≠ 0 ) es b / a , lo que se puede ver de la siguiente manera:

${\displaystyle {\frac {b}{a}}\cdot {\frac {a}{b}}={\frac {ba}{ab}}=1.}$

Los axiomas de campo requeridos de forma abstracta se reducen a propiedades estándar de los números racionales. Por ejemplo, la ley de distributividad se puede demostrar de la siguiente manera: ^{[ 6 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {a}{b}}\cdot \left({\frac {c}{d}}+{\frac {e}{f}}\right)\\[6pt]={}&{\frac {a}{b}}\cdot \left({\frac {c}{d}}\cdot {\frac {f}{f}}+{\frac {e}{f}}\cdot {\frac {d}{d}}\right)\\[6pt]={}&{\frac {a}{b}}\cdot \left({\frac {cf}{df}}+{\frac {ed}{fd}}\right)={\frac {a}{b}}\cdot {\frac {cf+ed}{df}}\\[6pt]={}&{\frac {a(cf+ed)}{bdf}}={\frac {acf}{bdf}}+{\frac {aed}{bdf}}={\frac {ac}{bd}}+{\frac {ae}{bf}}\\[6pt]={}&{\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}+{\frac {a}{b}}\cdot {\frac {e}{f}}.\end{aligned}}}$

Los números reales R , con las operaciones habituales de suma y multiplicación, también forman un cuerpo. Los números complejos C consisten en expresiones

a + bi , con a , b reales,

donde i es la unidad imaginaria , es decir, un número (no real) que satisface ^i² = −1 . La suma y la multiplicación de números reales se definen de tal manera que las expresiones de este tipo satisfacen todos los axiomas del campo y, por lo tanto, se cumplen para C. Por ejemplo, la ley distributiva impone

( a + bi )( c + di ) = ac + bci + adi + bdi ² = ( ac − bd ) + ( bc + ad ) i .

Es evidente que se trata de una expresión del tipo mencionado anteriormente, y así los números complejos forman un campo. Los números complejos pueden representarse geométricamente como puntos en el plano , con coordenadas cartesianas dadas por los números reales de su expresión descriptiva, o como flechas que parten del origen y llegan a estos puntos, especificadas por su longitud y un ángulo delimitado por una dirección determinada. La suma corresponde entonces a combinar las flechas para formar el intuitivo paralelogramo (sumar las coordenadas cartesianas), y la multiplicación consiste —de forma menos intuitiva— en combinar la rotación y el escalado de las flechas (sumar los ángulos y multiplicar las longitudes). Los campos de los números reales y complejos se utilizan en matemáticas, física, ingeniería, estadística y muchas otras disciplinas científicas.

En la antigüedad, varios problemas geométricos se referían a la (in)viabilidad de construir ciertos números con compás y regla . Por ejemplo, los griegos desconocían que, en general, es imposible trisecar un ángulo dado de esta manera. Estos problemas pueden resolverse utilizando el campo de los números construibles . ^{[ 7 ]} Los números construibles reales son, por definición, longitudes de segmentos de línea que pueden construirse desde los puntos 0 y 1 en un número finito de pasos utilizando únicamente compás y regla . Estos números, dotados de las operaciones de campo de los números reales, restringidas a los números construibles, forman un campo que incluye propiamente el campo Q de los números racionales. La ilustración muestra la construcción de raíces cuadradas de números construibles, no necesariamente contenidos en Q. Utilizando el etiquetado de la ilustración, construya los segmentos AD , DB y un semicírculo sobre AB (centro en el punto medio O ), que interseca la línea perpendicular que pasa por D en un punto C , a una distancia de exactamente${\displaystyle h={\sqrt {p}}}$desde B cuando BD tiene longitud uno.

No todos los números reales son construibles. Se puede demostrar que${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$no es un número construible, lo que implica que es imposible construir con compás y regla la longitud del lado de un cubo con volumen 2 , otro problema planteado por los antiguos griegos.

Además de los sistemas numéricos familiares como los racionales, existen otros ejemplos menos inmediatos de cuerpos. El siguiente ejemplo es un cuerpo que consta de cuatro elementos llamados O , I , A y B. La notación se elige de tal manera que O desempeña el papel del elemento identidad aditivo (denotado 0 en los axiomas anteriores), e I es el elemento identidad multiplicativo (denotado 1 en los axiomas anteriores). Los axiomas del cuerpo se pueden verificar utilizando teoría de cuerpos adicional o mediante cálculo directo. Por ejemplo,

A ⋅ ( B + A ) = A ⋅ I = A , lo que equivale a A ⋅ B + A ⋅ A = I + B = A , como lo exige la propiedad distributiva.

Este campo se denomina campo finito o campo de Galois con cuatro elementos, y se denota F ₄ o GF(4) . ^{[ 8 ]} El subconjunto formado por O e I (resaltado en rojo en las tablas de la derecha) también es un campo, conocido como el campo binario F ₂ o GF(2) .

Se tiene a ⋅ 0 = 0 y − a = (−1) ⋅ a . ^{[ 9 ]}

Si ab = 0, entonces a o b deben ser 0 , ya que, si a ≠ 0 , entonces b = ( a ⁻¹ a ) b = a ⁻¹ ( ab ) = a ⁻¹ ⋅ 0 = 0. Esto significa que todo campo es un dominio de integridad .

Además, las siguientes propiedades son verdaderas para cualesquiera elementos a y b :

−0 = 0

1 ⁻¹ = 1

−(− a ) = a

( a ⁻¹ ) ⁻¹ = a si a ≠ 0

(− a ) ⋅ b = a ⋅ (− b ) = −( a ⋅ b )

Los axiomas de un cuerpo F implican que es un grupo abeliano bajo la adición. Este grupo se denomina grupo aditivo del cuerpo y a veces se denota por ( F , +) cuando simplemente denotarlo como F podría resultar confuso.

De manera similar, los elementos no nulos de F forman un grupo abeliano bajo la multiplicación, llamado grupo multiplicativo , y se denota por${\displaystyle (F\smallsetminus \{0\},\cdot )}$o simplemente${\displaystyle F\smallsetminus \{0\}}$, o F ^× .

Un cuerpo puede definirse así como un conjunto F equipado con dos operaciones denominadas suma y multiplicación, de tal manera que F es un grupo abeliano bajo la suma,${\displaystyle F\smallsetminus \{0\}}$es un grupo abeliano bajo la multiplicación (donde 0 es el elemento neutro de la suma), y la multiplicación es distributiva sobre la suma. ^{[ b ]} Por lo tanto, se pueden obtener algunas afirmaciones elementales sobre cuerpos aplicando hechos generales de grupos . Por ejemplo, los inversos aditivo y multiplicativo − a y a ⁻¹ están determinados unívocamente por a .

El requisito 1 ≠ 0 se impone por convención para excluir el anillo trivial , que consta de un solo elemento; de hecho, los elementos no nulos del anillo trivial (no hay ninguno) no forman un grupo, ya que un grupo debe tener al menos un elemento. ^{[ c ]}

Todo subgrupo finito del grupo multiplicativo de un cuerpo es cíclico (véase Raíz de la unidad §  Grupos cíclicos ).

Además de la multiplicación de dos elementos de F , es posible definir el producto n ⋅ a de un elemento arbitrario a de F por un entero positivo n como la suma n -ésima.

a + a + ... + a (que es un elemento de F .)

Si no existe ningún entero positivo tal que

n ⋅ 1 = 0 ,

Entonces se dice que F tiene característica 0. [ 11 ^{] Por ejemplo} , el cuerpo de los números racionales Q tiene característica 0 ya que ningún entero positivo n es cero. De lo contrario, si hay un entero positivo n que satisface esta ecuación, se puede demostrar que el entero positivo más pequeño de este tipo es un número primo . Generalmente se denota por p y se dice que el cuerpo tiene característica p entonces. Por ejemplo, el cuerpo F ₄ tiene característica 2 ya que (en la notación de la tabla de suma anterior) I + I = O.

Si F tiene característica p , entonces p ⋅ a = 0 para todo a en F. Esto implica que

( a + b ) ^p = a ^p + b ^p ,

ya que todos los demás coeficientes binomiales que aparecen en la fórmula binomial son divisibles por p . Aquí, a ^p  := a ⋅ a ⋅ ⋯ ⋅ a ( p factores) es la p -ésima potencia, es decir, el p -ésimo producto del elemento a . Por lo tanto, el mapa de Frobenius

F → F  : x ↦ x ^p

es compatible con la suma en F (y también con la multiplicación), y por lo tanto es un homomorfismo de cuerpos. ^{[ 12 ]} La existencia de este homomorfismo hace que los cuerpos en característica p sean bastante diferentes de los cuerpos de característica 0 .

Un subcampo E de un campo F es un subconjunto de F que es un campo con respecto a las operaciones de campo de F. Equivalentemente, E es un subconjunto de F que contiene a 1 y es cerrado bajo la suma, la multiplicación, el inverso aditivo y el inverso multiplicativo de un elemento distinto de cero. Esto significa que 1 ∊ E , que para todo a , b ∊ E, tanto a + b como a ⋅ b están en E , y que para todo a ≠ 0 en E , tanto −a como 1 / a están en E.

Los homomorfismos de cuerpos son aplicaciones φ : E → F entre dos cuerpos tales que φ ( e ₁ + e ₂ ) = φ ( e ₁ ) + φ ( e ₂ ) , φ ( e ₁ e ₂ ) = φ ( e ₁ ) φ ( e ₂ ) , y φ (1 _E ) = 1 _F , donde e ₁ y e ₂ son elementos arbitrarios de E . Todos los homomorfismos de cuerpos son inyectivos . ^{[ 13 ]} Si φ también es sobreyectivo , se llama isomorfismo (o los cuerpos E y F se llaman isomorfos).

Un cuerpo se denomina cuerpo primo si no tiene subcuerpos propios (es decir, estrictamente menores). Todo cuerpo F contiene un cuerpo primo. Si la característica de F es p (un número primo), el cuerpo primo es isomorfo al cuerpo finito F _p que se introduce más adelante. En caso contrario , el cuerpo primo es isomorfo a Q. ^{[ 14 ]}

Un anillo conmutativo es un conjunto que está equipado con una operación de suma y multiplicación y satisface todos los axiomas de un cuerpo, excepto por la existencia de inversos multiplicativos a ⁻¹ . ^{[ 26 ]} Por ejemplo, los enteros Z forman un anillo conmutativo, pero no un cuerpo: el recíproco de un entero n no es en sí mismo un entero, a menos que n = ±1 .

En la jerarquía de estructuras algebraicas, los cuerpos se pueden caracterizar como los anillos conmutativos R en los que cada elemento no nulo es una unidad (lo que significa que cada elemento es invertible). De manera similar, los cuerpos son los anillos conmutativos con precisamente dos ideales distintos , (0) y R. Los cuerpos también son precisamente los anillos conmutativos en los que (0) es el único ideal primo .

Dado un anillo conmutativo R , hay dos maneras de construir un cuerpo relacionado con R , es decir, dos maneras de modificar R de tal manera que todos los elementos no nulos se vuelvan invertibles: formando el cuerpo de fracciones y formando cuerpos residuales. El cuerpo de fracciones de Z es Q , los racionales, mientras que los cuerpos residuales de Z son los cuerpos finitos F _p .

Los campos se pueden construir dentro de un campo contenedor más grande dado. Supongamos que se da un campo E y un campo F que contiene a E como subcampo. Para cualquier elemento x de F , hay un subcampo mínimo de F que contiene a E y a x , llamado subcampo de F generado por x y denotado por E ( x ) . ^{[ 29 ]} El paso de E a E ( x ) se denomina adjuntar un elemento a E. De manera más general, para un subconjunto S ⊂ F , hay un subcampo mínimo de F que contiene a E y a S , denotado por E ( S ) .

El compuesto de dos subcampos E y E ′ de algún campo F es el subcampo más pequeño de F que contiene tanto a E como a E ′ . El compuesto se puede usar para construir el subcampo más grande de F que satisface una propiedad determinada, por ejemplo ^, el subcampo más grande de F que, en el lenguaje que se introduce más adelante, es algebraico sobre E. ^[ d ^]

La noción de un subcampo E ⊂ F también puede considerarse desde el punto de vista opuesto, haciendo referencia a que F es una extensión de cuerpo (o simplemente extensión) de E , denotada por

F / E ,

y lee " F sobre E ".

Un dato básico de una extensión de campo es su grado [ F  : E ] , es decir, la dimensión de F como un espacio vectorial E. Satisface la fórmula ^{[ 30 ]}

[ G  : E ] = [ G  : F ] [ F  : E ] .

Las extensiones cuyo grado es finito se denominan extensiones finitas. Las extensiones C / R y F ₄ / F ₂ son de grado 2 , mientras que R / Q es una extensión infinita.

Un cuerpo es algebraicamente cerrado si no tiene extensiones algebraicas estrictamente mayores o, equivalentemente, si ninguna ecuación polinómica

f _n x ⁿ + f _{n −1} x ^{n −1} + ⋯ + f ₁ x + f ₀ = 0 , con coeficientes f _n , ..., f ₀ ∈ F , n > 0 ,

tiene una solución x ∊ F . ^{[ 33 ]} Por el teorema fundamental del álgebra , C es algebraicamente cerrado, es decir, cualquier ecuación polinómica con coeficientes complejos tiene una solución compleja. Los números racionales y reales no son algebraicamente cerrados ya que la ecuación

x ² + 1 = 0

No tiene ninguna solución racional o real. Un cuerpo que contiene a F se denomina clausura algebraica de F si es algebraico sobre F (en términos generales, no demasiado grande en comparación con F ) y es algebraicamente cerrado (lo suficientemente grande como para contener soluciones de todas las ecuaciones polinómicas).

Por lo anterior, C es una clausura algebraica de R. Es bastante especial que la clausura algebraica de algún cuerpo F sea una extensión finita de F , porque por el teorema de Artin-Schreier , el grado de esta extensión es necesariamente 2 , y F es elementalmente equivalente a R. Dichos cuerpos también se conocen como cuerpos reales cerrados .

Todo cuerpo F tiene una clausura algebraica, que además es única salvo isomorfismo (no único). Se la suele denominar clausura algebraica y se denota F. Por ejemplo, la clausura algebraica Q de Q se llama cuerpo de números algebraicos . El cuerpo F suele ser bastante implícito, ya que su construcción requiere el lema del ultrafiltro , un axioma de teoría de conjuntos más débil que el axioma de elección . ^{[ 34 ]} En este sentido, la clausura algebraica de F _q es excepcionalmente simple. Es la unión de los cuerpos finitos que contienen a F _q (los de orden q ⁿ ). Para cualquier cuerpo algebraicamente cerrado F de característica 0 , la clausura algebraica del cuerpo F (( t )) de series de Laurent es el cuerpo de series de Puiseux , obtenido mediante la concatenación de raíces de t . ^{[ 35 ]}

Un cuerpo F se denomina cuerpo ordenado si se pueden comparar dos elementos cualesquiera, de modo que x + y ≥ 0 y xy ≥ 0 siempre que x ≥ 0 e y ≥ 0. Por ejemplo, los números reales forman un cuerpo ordenado, con el orden usual ≥ . El teorema de Artin-Schreier establece que un cuerpo puede ser ordenado si y solo si es un cuerpo formalmente real , lo que significa que cualquier ecuación cuadrática 

${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\dots +x_{n}^{2}=0}$

tiene como única solución x ₁ = x ₂ = ⋯ = x _n = 0 . ^{[ 36 ]} El conjunto de todos los órdenes posibles en un cuerpo fijo F es isomorfo al conjunto de homomorfismos de anillos del anillo de Witt W( F ) de formas cuadráticas sobre F , a Z . ^{[ 37 ]}

Un cuerpo arquimediano es un cuerpo ordenado tal que para cada elemento existe una expresión finita.

1 + 1 + ⋯ + 1

cuyo valor es mayor que ese elemento, es decir, no hay elementos infinitos. Equivalentemente, el cuerpo no contiene infinitesimales ( elementos menores que todos los números racionales); o, aún equivalente, el cuerpo es isomorfo a un subcuerpo de R.

Un cuerpo ordenado es Dedekind-completo si existen todos los límites superiores , límites inferiores (véase corte de Dedekind ) y límites que deberían existir. Más formalmente, se requiere que cada subconjunto acotado de F tenga un límite superior mínimo. Cualquier cuerpo completo es necesariamente arquimediano, ^{[ 38 ]} ya que en cualquier cuerpo no arquimediano no hay ni un infinitesimal máximo ni un racional positivo mínimo, por lo que la secuencia 1/2, 1/3, 1/4, ... , cuyos elementos son todos mayores que cualquier infinitesimal, no tiene límite.

Dado que todo subcampo propio de los reales también contiene tales huecos, R es el único campo ordenado completo, salvo isomorfismo. ^{[ 39 ]} Varios resultados fundamentales del cálculo se derivan directamente de esta caracterización de los reales.

Los hiperreales R ^* forman un cuerpo ordenado que no es arquimediano. Es una extensión de los reales que se obtiene al incluir números infinitos e infinitesimales. Estos son mayores y menores, respectivamente, que cualquier número real. Los hiperreales constituyen la base fundamental del análisis no estándar .

Otro refinamiento de la noción de campo es un campo topológico , en el que el conjunto F es un espacio topológico , de tal manera que todas las operaciones del campo (suma, multiplicación, las aplicaciones a ↦ − a y a ↦ a ⁻¹ ) son aplicaciones continuas con respecto a la topología del espacio. ^{[ 40 ]} La topología de todos los campos que se discuten a continuación se induce a partir de una métrica , es decir, una función

d  : F × F → R ,

que mide la distancia entre dos elementos cualesquiera de F.

La completitud de F es otro campo en el que, informalmente hablando, se rellenan las "brechas" del campo original F , si las hay. Por ejemplo, cualquier número irracional x , como x = √2 , es una "brecha" en el campo Q de los números racionales, en el sentido de que no pertenece a Q, pero existen números racionales que están arbitrariamente cerca de él para la distancia dada por el valor absoluto. La completitud de Q para la métrica definida por el valor absoluto es el campo de los números reales R , y la construcción de los números reales mediante sucesiones de Cauchy consiste esencialmente en introducir nuevos números para rellenar todas esas brechas.

El cuerpo Q _p se utiliza en teoría de números y análisis p -ádico . La clausura algebraica Q _p posee una norma única que extiende la de Q _p , pero no es completa. Sin embargo, la completitud de esta clausura algebraica es algebraicamente cerrada. Debido a su analogía aproximada con los números complejos, a veces se le denomina números p -ádicos complejos y se denota C _p . ^{[ 41 ]}

Los campos diferenciales son campos equipados con una derivación , es decir, un operador D tal que $${\displaystyle \mathbf {D} (ab)=\mathbf {D} (a)b+a\mathbf {D} (b)}$$ para todos los elementos a y b del campo. ^{[ 44 ]} Por ejemplo, el campo R ( X ) , junto con el operador de derivada estándar D en polinomios, forma un campo diferencial. Estos campos son fundamentales para la teoría de Galois diferencial , una variante de la teoría de Galois que trata ecuaciones diferenciales lineales .

En la teoría de modelos , una rama de la lógica matemática , dos campos E y F se denominan elementalmente equivalentes si toda proposición matemática verdadera para E también lo es para F , y viceversa. Las proposiciones matemáticas en cuestión deben ser sentencias de primer orden (que involucren 0 , 1 , la suma y la multiplicación). Un ejemplo típico, para n > 0 , donde n es un entero, es:

φ ( E ) = "cualquier polinomio de grado n en E tiene una raíz en E "

El conjunto de tales fórmulas para todo n expresa que E es algebraicamente cerrado. El principio de Lefschetz establece que C es elementalmente equivalente a cualquier cuerpo algebraicamente cerrado F de característica cero. Además, cualquier enunciado fijo φ se cumple en C si y solo si se cumple en cualquier cuerpo algebraicamente cerrado de característica suficientemente alta. ^{[ 50 ]}

Si U es un ultrafiltro en un conjunto I , y F _i es un cuerpo para cada i en I , el ultraproducto de F _i con respecto a U es un cuerpo. ^{[ 51 ]} Se denota por

ulim _{i →∞} F _i ,

puesto que se comporta de varias maneras como un límite de los campos F _i : el teorema de Łoś establece que cualquier enunciado de primer orden que se cumple para todos excepto para un número finito de F _i , también se cumple para el ultraproducto. Aplicado a la sentencia anterior φ , esto muestra que existe un isomorfismo ^{[ f ].}

${\displaystyle \operatorname {ulim} _{p\to \infty }{\overline {\mathbf {F} }}_{p}\cong \mathbf {C} .}$

El teorema de Ax-Kochen mencionado anteriormente también se deduce de esto y de un isomorfismo de los ultraproductos (en ambos casos sobre todos los primos p ).

ulim _p Q _p ≅ ulim _p F _p (( t )) .

Además, la teoría de modelos también estudia las propiedades lógicas de otros tipos de campos, como los campos reales cerrados o los campos exponenciales (que están equipados con una función exponencial exp  : F → F ^× ). ^{[ 52 ]}

Para los cuerpos que no son algebraicamente cerrados (o no separablemente cerrados), el grupo de Galois absoluto Gal( F ) es fundamentalmente importante: extendiendo el caso de extensiones de Galois finitas descritas anteriormente, este grupo rige _todas las extensiones separables finitas de F. Por medios elementales, se puede demostrar que el grupo Gal( Fq ) es el grupo de Prüfer , la completación profinita de Z. Esta afirmación engloba el hecho de que las únicas extensiones algebraicas de _Gal ( Fq ) son los cuerpos Gal( _Fqn ) para ^_n > 0 , y que los grupos de Galois de estas extensiones finitas están dados por

Gal( F _{q ⁿ} / F _q ) = Z / n Z .

También se conoce una descripción en términos de generadores y relaciones para los grupos de Galois de cuerpos numéricos p -ádicos (extensiones finitas de Q _p ). ^{[ 53 ]}

Las representaciones de grupos de Galois y de grupos relacionados, como el grupo de Weil, son fundamentales en muchas ramas de la aritmética, como el programa de Langlands . El estudio cohomológico de dichas representaciones se realiza utilizando la cohomología de Galois . ^{[ 54 ]} Por ejemplo, el grupo de Brauer , que se define clásicamente como el grupo de F -álgebras simples centrales , puede reinterpretarse como un grupo de cohomología de Galois, a saber:

Br( F ) = H ² ( F , G _m ) .

La teoría K de Milnor se define como

${\displaystyle K_{n}^{M}(F)=F^{\times }\otimes \cdots \otimes F^{\times }/\left\langle x\otimes (1-x)\mid x\in F\smallsetminus \{0,1\}\right\rangle .}$

El teorema de isomorfismo de residuos de norma , demostrado alrededor del año 2000 por Vladimir Voevodsky , relaciona esto con la cohomología de Galois mediante un isomorfismo.

${\displaystyle K_{n}^{M}(F)/p=H^{n}(F,\mu _{l}^{\otimes n}).}$

La teoría K algebraica está relacionada con el grupo de matrices invertibles cuyos coeficientes pertenecen al cuerpo dado. Por ejemplo, el proceso de calcular el determinante de una matriz invertible conduce a un isomorfismo K ₁ ( F ) = F ^× . El teorema de Matsumoto demuestra que K ₂ ( F ) coincide con K ₂ ^M ( F ) . En grados superiores, la teoría K diverge de la teoría K de Milnor y, en general, sigue siendo difícil de calcular.

Si a ≠ 0 , entonces la ecuación

ax = b

tiene una solución única x en un campo F , a saber:${\displaystyle x=a^{-1}b.}$Esta consecuencia inmediata de la definición de un cuerpo es fundamental en álgebra lineal . Por ejemplo, es un ingrediente esencial de la eliminación gaussiana y de la demostración de que cualquier espacio vectorial tiene una base . ^{[ 55 ]}

La teoría de módulos (el análogo de los espacios vectoriales sobre anillos en lugar de cuerpos) es mucho más compleja, ya que la ecuación anterior puede tener varias soluciones o ninguna. En particular, los sistemas de ecuaciones lineales sobre un anillo son mucho más difíciles de resolver que en el caso de los cuerpos, incluso en el caso especialmente sencillo del anillo Z de los números enteros.

Una rutina criptográfica ampliamente aplicada utiliza el hecho de que la exponenciación discreta, es decir, el cálculo

a ⁿ = a ⋅ a ⋅ ⋯ ⋅ a ( n factores, para un entero n ≥ 1 )

En un campo finito (grande) F _q se puede realizar de forma mucho más eficiente que el logaritmo discreto , que es la operación inversa, es decir, determinar la solución n de una ecuación.

a ⁿ = b .

En la criptografía de curva elíptica , la multiplicación en un campo finito se reemplaza por la operación de sumar puntos en una curva elíptica , es decir, las soluciones de una ecuación de la forma

y ² = x ³ + ax + b .

Los campos finitos también se utilizan en la teoría de la codificación y la combinatoria .

Las funciones definidas en un espacio topológico adecuado X sobre un cuerpo F pueden sumarse y multiplicarse punto por punto; por ejemplo, el producto de dos funciones se define mediante el producto de sus valores dentro del dominio:

( f ⋅ g )( x ) = f ( x ) ⋅ g ( x ) .

Esto convierte a estas funciones en un álgebra F - conmutativa .

Para tener un campo de funciones, se deben considerar álgebras de funciones que sean dominios de integridad . En este caso, las razones de dos funciones, es decir, expresiones de la forma

${\displaystyle {\frac {f(x)}{g(x)}},}$

forman un campo, llamado campo de funciones.

Esto ocurre en dos casos principales. Cuando X es una variedad compleja X . En este caso, se considera el álgebra de funciones holomorfas , es decir, funciones diferenciables de valores complejos. Sus cocientes forman el cuerpo de funciones meromorfas en X .

El cuerpo de funciones de una variedad algebraica X (un objeto geométrico definido como los ceros comunes de ecuaciones polinómicas) consiste en cocientes de funciones regulares , es decir, cocientes de funciones polinómicas sobre la variedad. Por ejemplo, el cuerpo de funciones del espacio vectorial n -dimensional F ⁿ sobre un cuerpo F es F ( x ₁ , ..., x _n ) : el cuerpo que consiste en cocientes de polinomios en n indeterminadas sobre F . El cuerpo de funciones de X es el mismo que el de cualquier subvariedad densa abierta . En otras palabras, el cuerpo de funciones es insensible a la sustitución de X por una subvariedad (ligeramente) menor.

El campo de funciones es invariante bajo isomorfismo y equivalencia birracional de variedades. Por lo tanto, es una herramienta importante para el estudio de variedades algebraicas abstractas y para la clasificación de variedades algebraicas. Por ejemplo, la dimensión , que es igual al grado de trascendencia de F ( X ) , es invariante bajo equivalencia birracional. ^{[ 56 ]} Para curvas (es decir, la dimensión es uno), el campo de funciones F ( X ) es muy cercano a X : si X es suave y propia (el análogo de ser compacta ), X puede reconstruirse, salvo isomorfismo, a partir de su campo de funciones. ^{[ g ]} En dimensiones superiores, el campo de funciones recuerda menos información, pero aún decisiva, sobre X . El estudio de los campos de funciones y su significado geométrico en dimensiones superiores se denomina geometría birracional . El programa del modelo mínimo intenta identificar las variedades algebraicas más simples (en cierto sentido preciso) con un campo de funciones prescrito.

Los campos globales son de gran importancia en la teoría algebraica de números y la geometría aritmética . Por definición, son campos numéricos (extensiones finitas de Q ) o campos de funciones sobre F _q (extensiones finitas de F _q ( t ) ). Al igual que los campos locales, estos dos tipos de campos comparten varias características similares, aunque sean de característica cero y positiva, respectivamente. Esta analogía con los campos de funciones puede ayudar a definir las expectativas matemáticas, a menudo comenzando por comprender las cuestiones relativas a los campos de funciones y, posteriormente, abordando el caso de los campos numéricos. Este último suele ser más complejo. Por ejemplo, la hipótesis de Riemann sobre los ceros de la función zeta de Riemann (abierta desde 2017) puede considerarse paralela a las conjeturas de Weil (demostradas en 1974 por Pierre Deligne ).

Los campos ciclotómicos se encuentran entre los campos numéricos más estudiados. Tienen la forma Q ( ζ _n ) , donde ζ _n es una raíz primitiva n -ésima de la unidad , es decir, un número complejo ζ que satisface ζ ⁿ = 1 y ζ ^m ≠ 1 para todo 0 < m < n . ^{[ 57 ]} Para n siendo un primo regular , Kummer utilizó campos ciclotómicos para demostrar el Último Teorema de Fermat , que afirma la no existencia de soluciones racionales no nulas para la ecuación

x ⁿ + y ⁿ = z ⁿ .

Los campos locales son completaciones de campos globales. El teorema de Ostrowski afirma que las únicas completaciones de Q , un campo global, son los campos locales Q _p y R. El estudio de problemas aritméticos en campos globales a veces se puede realizar analizando los problemas correspondientes localmente. Esta técnica se conoce como el principio local-global . Por ejemplo, el teorema de Hasse-Minkowski reduce el problema de encontrar soluciones racionales de ecuaciones cuadráticas a resolver estas ecuaciones en R y Q _p , cuyas soluciones se pueden describir fácilmente. ^{[ 58 ]}

A diferencia de los cuerpos locales, los grupos de Galois de los cuerpos globales son desconocidos. La teoría de Galois inversa estudia el problema (aún sin resolver) de si algún grupo finito es el grupo de Galois Gal( F / Q ) para algún cuerpo numérico F. ^{[ 59 ]} La teoría de cuerpos de clases describe las extensiones abelianas , es decir, aquellas con grupo de Galois abeliano, o equivalentemente los grupos de Galois abelianizados de cuerpos globales. Un enunciado clásico, el teorema de Kronecker-Weber ^, describe la extensión abeliana máxima Qab de Q : es el cuerpo

Q ( ζ _n , n ≥ 2)

obtenido al adjuntar todas las raíces n- ésimas primitivas de la unidad. El Jugendtraum de Kronecker pide una descripción igualmente explícita de F ^ab de los cuerpos numéricos generales F . Para cuerpos cuadráticos imaginarios ,${\displaystyle F=\mathbf {Q} ({\sqrt {-d}})}$, d > 0 , la teoría de la multiplicación compleja describe F ^ab usando curvas elípticas . Para campos numéricos generales, no se conoce tal descripción explícita.

Eliminar uno o varios axiomas en la definición de un cuerpo conduce a otras estructuras algebraicas. Como se mencionó anteriormente, los anillos conmutativos satisfacen todos los axiomas de cuerpo excepto la existencia de inversos multiplicativos. Eliminar la conmutatividad de la multiplicación conduce al concepto de anillo de división o cuerpo sesgado ; a veces, la asociatividad también se debilita. Históricamente, los anillos de división a veces se denominaban "cuerpos", mientras que los cuerpos se llamaban "cuerpos conmutativos". Los únicos anillos de división que son espacios vectoriales R de dimensión finita son R mismo, C (que es un cuerpo) y los cuaterniones H (en los que la multiplicación no es conmutativa). Este resultado se conoce como el teorema de Frobenius . Los octoniones O , para los cuales la multiplicación no es ni conmutativa ni asociativa, son un álgebra de división alternativa normada , pero no son un anillo de división. Este hecho fue demostrado utilizando métodos de topología algebraica en 1958 por Michel Kervaire , Raoul Bott y John Milnor . ^{[ 62 ]}

El pequeño teorema de Wedderburn afirma que todos los anillos de división finitos son cuerpos.