espacio perfectoide

En matemáticas , los espacios perfectoides son espacios ádicos de un tipo especial, que aparecen en el estudio de problemas de " característica mixta ", como campos locales de característica cero que tienen campos residuales de característica prima p .

Un campo perfectoide es un campo topológico completo K cuya topología está inducida por una valoración no discreta de rango 1, de tal manera que el endomorfismo de Frobenius Φ es sobreyectivo en K °/ p donde K ° denota el anillo de elementos acotados por potencia .

Los espacios perfectoides pueden utilizarse para (y fueron inventados con ese fin) comparar situaciones de características mixtas con situaciones de características puramente finitas. Las herramientas técnicas para precisar esta comparación son la equivalencia de inclinación y el teorema de casi pureza. Estas nociones fueron introducidas en 2012 por Peter Scholze . ^{[ 1 ]}

Para cualquier campo perfectoide K existe una inclinación K ^♭ , que es un campo perfectoide de característica finita p . Como conjunto , se puede definir como

${\displaystyle K^{\flat }=\varprojlim _{x\mapsto x^{p}}K.}$

Explícitamente, un elemento de K ^{♭ es una} secuencia infinita ( x ₀ , x ₁ , x ₂ , ...) de elementos de K tales que x _i = x ^p _{i +1} . La multiplicación en K ^♭ se define término a término, mientras que la suma es más complicada. Si K tiene característica finita, entonces K ≅ K ^♭ . Si K es la completación p -ádica de${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}(p^{1/p^{\infty }})}$, entonces K ^♭ es la completación t -ádica de${\displaystyle \mathbb {F} _{p}((t))(t^{1/p^{\infty }})}$.

Existen nociones de álgebras perfectoides y espacios perfectoides sobre un cuerpo perfectoide K , aproximadamente análogas a las álgebras conmutativas y los esquemas sobre un cuerpo . La operación de inclinación se extiende a estos objetos. Si X es un espacio perfectoide sobre un cuerpo perfectoide K , entonces se puede formar un espacio perfectoide X ^♭ sobre K ^♭ . La equivalencia de inclinación es un teorema que establece que el functor de inclinación (-) ^♭ induce una equivalencia de categorías entre espacios perfectoides sobre K y espacios perfectoides sobre K ^♭ . Nótese que, si bien un cuerpo perfectoide de característica finita puede tener varias "inclinaciones" no isomorfas , las categorías de espacios perfectoides sobre ellos serían todas equivalentes.

• Campo perfecto

• Bhatt, Bhargav . "¿Qué es un... espacio perfectoide?" (PDF) . Boletín de la AMS . Consultado el 2 de enero de 2020 .
• "¿Qué son los "espacios perfectoides"?" . MathOverflow .
• Fundamentos de los espacios perfectoides por Matthew Morrow
• Espacios perfectoides Lean . La definición de espacios perfectoides formalizada en el demostrador de teoremas Lean.