Distribución (análisis matemático)

Suppose that f : R → R is a locally integrable function. Then a corresponding distribution T_f may be defined by

${\displaystyle \left\langle T_{f},\varphi \right\rangle =\int _{\mathbf {R} }f(x)\varphi (x)\,dx\quad {\text{para}}\quad \varphi \in D(\mathbf {R} ).}$

This integral is a real number which depends linearly and continuously on ${\displaystyle \varphi }$. Conversely, the values of the distribution T_f on test functions in D(R) determine the pointwise almost everywhere values of the function f on R. In a conventional abuse of notation, f is often used to represent both the original function f and the corresponding distribution T_f. This example suggests the definition of a distribution as a linear and, in an appropriate sense, continuous functional on the space of test functions D(R).

Similarly, if μ is a Radon measure on R, then a corresponding distribution R_μ may be defined by

${\displaystyle \left\langle R_{\mu },\varphi \right\rangle =\int _{\mathbf {R} }\varphi \,d\mu \quad {\text{for}}\quad \varphi \in D(\mathbf {R} ).}$

This integral also depends linearly and continuously on ${\displaystyle \varphi }$, so that R_μ is a distribution. If μ is absolutely continuous with respect to Lebesgue measure with density f and dμ = fdx, then this definition for R_μ is the same as the previous one for T_f, but if μ is not absolutely continuous, then R_μ is a distribution that is not associated with a function. For example, if P is the point-mass measure on R that assigns measure one to the singleton set {0} and measure zero to sets that do not contain zero, then

${\displaystyle \int _{\mathbf {R} }\varphi \,dP=\varphi (0),}$

so that R_P = δ is the Dirac delta.

Distributions may be multiplied by real numbers and added together, so they form a real vector space. Distributions may also be multiplied by infinitely differentiable functions, but it is not possible to define a product of general distributions that extends the usual pointwise product of functions and has the same algebraic properties. This result was shown by Schwartz (1954), and is usually referred to as the Schwartz' Impossibility Theorem.

It is desirable to choose a definition for the derivative of a distribution which, at least for distributions derived from smooth functions, has the property that ${\displaystyle T'_{f}=T_{f'}}$. If ${\displaystyle \varphi }$ is a test function, we can use integration by parts to see that

${\displaystyle \left\langle f',\varphi \right\rangle =\int _{\mathbf {R} }f'\varphi \,dx={\Big [}f(x)\varphi (x){\Big ]}_{-\infty }^{\infty }-\int _{\mathbf {R} }f\varphi '\,dx=-\left\langle f,\varphi '\right\rangle }$

where the last equality follows from the fact that ${\displaystyle \varphi }$ has compact support, so is zero outside of a bounded set. This suggests that if ${\displaystyle T}$ is a distribution, we should define its derivative ${\displaystyle T'}$ by

${\displaystyle \left\langle T',\varphi \right\rangle =-\left\langle T,\varphi '\right\rangle .}$

It turns out that this is the proper definition; it extends the ordinary definition of derivative, every distribution becomes infinitely differentiable and the usual properties of derivatives hold.

Example: Recall that the Dirac delta (so-called Dirac delta function) is the distribution defined by the equation

${\displaystyle \left\langle \delta,\varphi \right\rangle =\varphi (0).}$

It is the derivative of the distribution corresponding to the Heaviside step functionH: For any test function ${\displaystyle \varphi }$,

${\displaystyle \left\langle H',\varphi \right\rangle =-\int _{-\infty }^{\infty }H(x)\varphi '(x)\,dx=-\varphi (\infty )+\varphi (0)=\left\langle \delta ,\varphi \right\rangle ,}$

so H′ = δ. Note, ${\displaystyle \varphi }$(∞) = 0 because ${\displaystyle \varphi }$ has compact support by our definition of a test function. Similarly, the derivative of the Dirac delta is the distribution defined by the equation

${\displaystyle \langle \delta ',\varphi \rangle =-\varphi '(0).}$

This latter distribution is an example of a distribution that is not derived from a function or a measure. Its physical interpretation is the density of a dipole source. Just as the Dirac impulse can be realized in the weak limit as a sequence of various kinds of constant norm bump functions of ever increasing amplitude and narrowing support, its derivative can by definition be realized as the weak limit of the negative derivatives of said functions, which are now antisymmetric about the eventual distribution's point of singular support.

The space D(U) of test functions on U is defined as follows. A function ${\displaystyle \varphi }$ Se dice que U → R tiene soporte compacto si existe un subconjunto compacto K de U tal que${\displaystyle \varphi }$( x ) = 0 para todo x en U \ K . Los elementos de D( U ) son las funciones infinitamente diferenciables${\displaystyle \varphi }$ : U → R con soporte compacto – también conocidas como funciones de bulto . Este es un espacio vectorial real . Se le puede dar una topología definiendo el límite de una secuencia de elementos de D( U ). Una secuencia (${\displaystyle \varphi }$_{Se dice que k} ) en D( U ) converge a${\displaystyle \varphi }$ ∈  D( U ) si se cumplen las dos condiciones siguientes: ^{[ 1 ]}

• Existe un conjunto compacto K  ⊂ U que contiene los soportes de todos ${\displaystyle \varphi }$_k :

${\displaystyle \bigcup \nolimits _{k}\operatorname {supp} (\varphi _{k})\subset K.}$

• Para cada índice múltiple α, la secuencia de derivadas parciales${\displaystyle \partial ^{\alpha }\varphi _ {k}}$tiende uniformemente a${\displaystyle \partial ^{\alpha }\varphi }$.

Con esta definición, D( U ) se convierte en un espacio vectorial topológico localmente convexo completo que satisface la propiedad de Heine-Borel . ^{[ 2 ]}

Esta topología puede ubicarse en el contexto de la siguiente construcción general: sea

${\displaystyle X=\bigcup \nolimits _{i}X_{i}}$

Sea X una unión creciente numerable de espacios vectoriales topológicos localmente convexos y sean ι _i  : X _i → X las aplicaciones de inclusión. En este contexto, la topología límite inductiva , o topología final , τ en X es la topología de espacio vectorial localmente convexo más fina que hace que todas las aplicaciones de inclusión sean${\displaystyle \iota _{i}}$continua. La topología τ se puede describir explícitamente de la siguiente manera: sea β la colección de subconjuntos convexos equilibrados W de X tales que W ∩ X _i es abierto para todo i . Una base para la topología límite inductiva τ consiste entonces en los conjuntos de la forma x + W , donde x en X y W en β .

The proof that τ is a vector space topology makes use of the assumption that each X_i is locally convex. By construction, β is a local base for τ. That any locally convex vector space topology on X must necessarily contain τ means it is the weakest one. One can also show that, for each i, the subspace topology X_i inherits from τ coincides with its original topology. When each X_i is a Fréchet space, (X, τ) is called an LF space.

Now let U be the union of U_i where {U_i} is a countable nested family of open subsets of U with compact closures K_i = U_i. Then we have the countable increasing union

${\displaystyle \mathrm {D} (U)=\bigcup \nolimits _ {i}\mathrm {D} _ {K_ {i}}}$

where D_Ki is the set of all smooth functions on U with support lying in K_i. On each D_Ki, consider the topology given by the seminorms

${\displaystyle \|\varphi \|_{\alpha }=\max _{x\in K_{i}}\left|\partial ^{\alpha }\varphi \right|,}$

i.e. the topology of uniform convergence of derivatives of arbitrary order. This makes each D_Ki a Fréchet space. The resulting LF space structure on D(U) is the topology described in the beginning of the section.

On D(U), one can also consider the topology given by the seminorms

${\displaystyle \|\varphi \|_{\alpha ,K_{i}}=\max _{x\in K_{i}}\left|\partial ^{\alpha }\varphi \right|.}$

However, this topology has the disadvantage of not being complete. On the other hand, because of the particular features of D_Ki's, a set this bounded with respect to τ if and only if it lies in some D_Ki's. The completeness of (D(U), τ) then follow from that of D_Ki's.

The topology τ is not metrizable by the Baire category theorem, since D(U) is the union of subspaces of the first category in D(U).^[3]

A distribution on U is a continuous linear functionalT : D(U) → R (or T : D(U) → C). That is, a distribution T assigns to each test function ${\displaystyle \varphi }$ a real (or complex) scalar T(${\displaystyle \varphi }$) such that

${\displaystyle T(c_{1}\varphi _{1}+c_{2}\varphi _{2})=c_{1}T(\varphi _{1})+c_{2}T(\varphi _{2})}$

for all test functions ${\displaystyle \varphi }$₁, ${\displaystyle \varphi }$₂ and scalars c₁, c₂. Moreover, T is continuous if and only if

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }T(\varphi _{k})=T{\Bigl (}\lim _{k\to \infty }\varphi _{k}{\Bigr )}}$

for every convergent sequence ${\displaystyle \varphi }$_k in D(U). (Even though the topology of D(U) is not metrizable, a linear functional on D(U) is continuous if and only if it is sequentially continuous.) Equivalently, T is continuous if and only if for every compact subset K of U there exists a positive constant C_K and a non-negative integer N_K such that

${\displaystyle |T(\varphi )|\leq C_{K}\sup {\bigl \{}|\partial ^{\alpha }\varphi (x)|\mathrel {\big |} x\in K,|\alpha |\leq N_{K}{\bigr \}}}$

for all test functions ${\displaystyle \varphi }$ with support contained in K.^[4]

The space of distributions on U is denoted by D′(U) and it is the continuous dual space of D(U). No matter what dual topology is placed on D′(U), a sequence of distributions converges in this topology if and only if it converges pointwise (although this need not be true of a net), which is why the topology is sometimes defined to be the weak-* topology. But often the topology of bounded convergence, which in this case is the same as the topology of uniform convergence on compact sets, is placed on D′(U) since it is with this topology that D′(U) becomes a nuclearMontel space and it is with this topology that the kernels theorem of Schwartz holds.^[5] No matter which topology is chosen, D′(U) will be a non-metrizable, locally convex topological vector space.

The duality pairing between a distribution T in D′(U) and a test function ${\displaystyle \varphi }$ in D(U) is denoted using angle brackets by

${\displaystyle {\begin{cases}\mathrm {D} '(U)\times \mathrm {D} (U)\to \mathbf {R} \\(T,\varphi )\mapsto \langle T,\varphi \rangle ,\end{cases}}}$

so that ⟨T,${\displaystyle \varphi }$⟩ = T(${\displaystyle \varphi }$). One interprets this notation as the distribution T acting on the test function ${\displaystyle \varphi }$ to give a scalar, or symmetrically as the test function ${\displaystyle \varphi }$ acting on the distribution T.

A sequence of distributions (T_k) converges with respect to the weak-* topology on D′(U) to a distribution T if and only if

${\displaystyle \langle T_{k},\varphi \rangle \to \langle T,\varphi \rangle }$

for every test function ${\displaystyle \varphi }$en D( U ). Por ejemplo, si f _k  : R → R es la función

${\displaystyle f_{k}(x)={\begin{cases}k&{\text{si}}\ 0\leq x\leq 1/k\\0&{\text{en otro caso}}\end{cases}}}$

y T _k es la distribución correspondiente a f _k , entonces

${\displaystyle \langle T_{k},\varphi \rangle =k\int _{0}^{1/k}\varphi (x)\,dx\to \varphi (0)=\langle \delta ,\varphi \rangle }$

cuando k → ∞, entonces T _k → δ en D′( R ). Por lo tanto, para k grande , la función f _k puede considerarse una aproximación de la distribución delta de Dirac.

La función f  : U → R se denomina localmente integrable si es integrable de Lebesgue ^sobre todo subconjunto compacto K de U. ^{[ 6} ] Esta es una gran clase de funciones que incluye todas las funciones continuas y todas las funciones L ^p . La topología en D( U ) se define de tal manera que cualquier función localmente integrable f produce un funcional lineal continuo en D( U ) – es decir, un elemento de D′( U ) – denotado aquí por T _f , cuyo valor en la función de prueba   ${\displaystyle \varphi }$viene dada por la integral de Lebesgue:

${\displaystyle \langle T_{f},\varphi \rangle =\int _{U}f\varphi \,dx.}$

Convencionalmente, se abusa de la notación al identificar T _f con f , siempre que no pueda surgir confusión y, por lo tanto, el emparejamiento entre T _f y${\displaystyle \varphi }$a menudo se escribe

${\displaystyle \langle f,\varphi \rangle =\langle T_{f},\varphi \rangle .}$

Si f y g son dos funciones localmente integrables, entonces las distribuciones asociadas T _f y T _g son iguales al mismo elemento de D′( U ) si y solo si f y g son iguales casi en todas partes (véase, por ejemplo, Hörmander (1983 , Teorema 1.2.5) ). De manera similar, cada medida de Radon μ en U define un elemento de D′( U ) cuyo valor en la función de prueba${\displaystyle \varphi }$es ∫${\displaystyle \varphi }$ dμ . Como se indicó anteriormente, es convencional abusar de la notación y escribir el emparejamiento entre una medida de Radon μ y una función de prueba.${\displaystyle \varphi }$como${\displaystyle \langle \mu ,\varphi \rangle }$. Por el contrario, como se muestra en un teorema de Schwartz (similar al teorema de representación de Riesz ), toda distribución que es no negativa en funciones no negativas tiene esta forma para alguna medida de Radon (positiva).

Las funciones de prueba son localmente integrables y, por lo tanto, definen distribuciones. Como tales, son densas en D′( U ) con respecto a la topología en D′( U ) en el sentido de que para cualquier distribución T  ∈  D′( U ), existe una red${\displaystyle \varphi }$_i  ∈ D( U ) tal que

${\displaystyle \langle \varphi _{i},\psi \rangle \to \langle T,\psi \rangle }$

para todo Ψ  ∈  D( U ). Este hecho se deduce del teorema de Hahn-Banach , puesto que el dual de D′( U ) con su topología débil-* es el espacio D( U ). ^{[ 7 ]} Un resultado más fuerte de densidad secuencial puede demostrarse de forma más constructiva mediante un argumento de convolución.

Supongamos que A  :  D( U )  →  D( U ) es el operador de derivada parcial.

${\displaystyle A\varphi ={\frac {\partial \varphi }{\partial x_{k}}}.}$

Si${\displaystyle \varphi }$y ψ están en D( U ), entonces una integración por partes da

${\displaystyle \int _{U}{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{k}}}\psi \,dx=-\int _{U}\varphi {\frac {\partial \psi }{\partial x_{k}}}\,dx,}$

de modo que A ^t  =  − A . Este operador es una transformación lineal continua en D( U ). Entonces, si T  ∈  D′( U ) es una distribución, entonces la derivada parcial de T con respecto a la coordenada x _k se define por la fórmula

${\displaystyle \left\langle {\frac {\partial T}{\partial x_{k}}},\varphi \right\rangle =-\left\langle T,{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{k}}}\right\rangle \qquad {\text{for all}}\ \varphi \in D(U).}$

Con esta definición, toda distribución es infinitamente diferenciable, y la derivada en la dirección x _k es un operador lineal en D′( U ).

De forma más general, si α = (α ₁ , ..., α _n ) es un multiíndice arbitrario y ∂ ^α es el operador de derivada parcial asociado, entonces la derivada parcial ∂ ^α T de la distribución T ∈ D′( U ) se define por

${\displaystyle \left\langle \partial ^{\alpha }T,\varphi \right\rangle =(-1)^{|\alpha |}\left\langle T,\partial ^{\alpha }\varphi \right\rangle {\mbox{ for all }}\varphi \in \mathrm {D} (U).}$

La diferenciación de distribuciones es un operador continuo en D′( U ); esta es una propiedad importante y deseable que no comparten la mayoría de las demás nociones de diferenciación.

Si m  : U → R es una función infinitamente diferenciable y T es una distribución en U , entonces el producto m T se define por

${\displaystyle \langle mT,\varphi \rangle =\langle T,m\varphi \rangle \qquad {\text{for all}}\ \varphi \in D(U).}$

Esta definición coincide con la definición de transposición ya que si M  :  D( U )  →  D( U ) es el operador de multiplicación por la función m (es decir, M${\displaystyle \varphi }$= m${\displaystyle \varphi }$), entonces

${\displaystyle \int _{U}M\varphi (x)\cdot \psi (x)\,dx=\int _{U}m(x)\varphi (x)\cdot \psi (x)\,dx=\int _{U}\varphi (x)\cdot m(x)\psi (x)\,dx=\int _{U}\varphi (x)\cdot M\psi (x)\,dx,}$

de modo que M ^t  = M . 

Bajo la multiplicación por funciones suaves, D′( U ) es un módulo sobre el anillo C ^∞ ( U ). Con esta definición de multiplicación por una función suave, la regla del producto ordinaria del cálculo sigue siendo válida. Sin embargo, también surgen varias identidades inusuales. Por ejemplo, si δ es la distribución delta de Dirac en R , entonces mδ  = m (0) δ , y si δ ′ es la derivada de la distribución delta, entonces 

${\displaystyle m\delta '=m(0)\delta '-m'\delta =m(0)\delta '-m'(0)\delta .\,}$

Estas definiciones de diferenciación y multiplicación también permiten definir la operación de un operador diferencial lineal con coeficientes suaves sobre una distribución. Un operador diferencial lineal P transforma una distribución T  ∈  D′( U ) en otra distribución PT dada por una suma de la forma

${\displaystyle PT=\sum \nolimits _{|\alpha |\leq k}p_{\alpha }\partial ^{\alpha }T,}$

donde los coeficientes p _α son funciones suaves en U. La acción de la distribución PT sobre una función de prueba${\displaystyle \varphi }$es dado por

${\displaystyle \left\langle \sum \nolimits _{|\alpha |\leq k}p_{\alpha }\partial ^{\alpha }T,\varphi \right\rangle =\left\langle T,\sum \nolimits _{|\alpha |\leq k}(-1)^{|\alpha |}\partial ^{\alpha }(p_{\alpha }\varphi )\right\rangle .}$

El entero mínimo k para el cual dicha expansión se cumple para cada distribución T se llama orden de P. El espacio D′( U ) es un D-módulo con respecto a la acción del anillo de operadores diferenciales lineales.

Sea T una distribución en un conjunto abierto U  ⊂ R ⁿ . Sea V un conjunto abierto en R ⁿ , y F : V → U . Entonces, siempre que F sea una submersión , es posible definir     

${\displaystyle T\circ F\in \mathrm {D} '(V).}$

Esta es la composición de la distribución T con F , y también se llama retroceso de T a lo largo de F , a veces escrito

${\displaystyle F^{\sharp }:T\mapsto F^{\sharp }T=T\circ F.}$

El retroceso se suele denotar como F* , aunque esta notación no debe confundirse con el uso de '*' para denotar el adjunto de una aplicación lineal.

La condición de que F sea una submersión es equivalente al requisito de que la derivada jacobiana dF ( x ) de F sea una aplicación lineal sobreyectiva para todo x  ∈ V . Una condición necesaria (pero no suficiente) para extender F ^# a distribuciones es que F sea una aplicación abierta . ^{[ 9 ]} El teorema de la función inversa asegura que una submersión satisface esta condición. 

Si F es una inmersión, entonces F ^# se define en distribuciones hallando la transpuesta. La unicidad de esta extensión está garantizada ya que F ^# es un operador lineal continuo en D( U ). Sin embargo, la existencia requiere el uso de la fórmula de cambio de variables , el teorema de la función inversa (localmente) y un argumento de partición de la unidad . ^{[ 10 ]}

En el caso especial en que F es un difeomorfismo de un subconjunto abierto V de R ⁿ sobre un subconjunto abierto U de R ^n, el cambio de variables bajo la integral da

${\displaystyle \int _{V}\varphi \circ F(x)\psi (x)\,dx=\int _{U}\varphi (x)\psi \left(F^{-1}(x)\right)\left|\det dF^{-1}(x)\right|\,dx.}$

En este caso particular, entonces, F ^# se define mediante la fórmula de transposición:

${\displaystyle {\bigl \langle }F^{\sharp }T,\varphi {\bigr \rangle }=\left\langle T,\left|\det d(F^{-1})\right|\varphi \circ F^{-1}\right\rangle .}$

Sean U y V subconjuntos abiertos de R ⁿ con V  ⊂ U . Sea E _VU : D( V ) → D( U ) el operador que extiende por cero una función suave dada con soporte compacto en V a una función suave con soporte compacto en el conjunto mayor U . Entonces, la aplicación de restricción ρ _VU se define como la transpuesta de E _VU . Por lo tanto, para cualquier distribución T ∈ D′( U ), la restricción ρ _VU T es una distribución en el espacio dual D′( V ) definida por       

${\displaystyle \langle \rho _{VU}T,\varphi \rangle =\langle T,E_{VU}\varphi \rangle }$

para todas las funciones de prueba${\displaystyle \varphi }$ ∈  D( V ).

A menos que U  = V , la restricción a V no es ni inyectiva ni sobreyectiva . La falta de sobreyectividad se debe a que las distribuciones pueden divergir hacia el límite de V. Por ejemplo, si U = R y V = (0, 2), entonces la distribución     

${\displaystyle T(x)=\sum _{n=1}^{\infty }n\,\delta \left(x-{\frac {1}{n}}\right)}$

está en D′( V ) pero no admite ninguna extensión a D′( U ).

Sea T  ∈ D′( U ) una distribución en un conjunto abierto U . Entonces se dice que T se anula en un conjunto abierto V de U si T pertenece al núcleo de la aplicación de restricción ρ _VU . Explícitamente, T se anula en V si

${\displaystyle \langle T,\varphi \rangle =0}$

para todas las funciones de prueba${\displaystyle \varphi }$ ∈ C ^∞ ( U ) con soporte en V . Sea V un conjunto abierto maximal en el que la distribución T se anula; es decir, V es la unión de todos los conjuntos abiertos en los que T se anula. El soporte de T es el complemento de V en U . Por lo tanto,

${\displaystyle \operatorname {supp} \,T=U\setminus \bigcup \left\{V\mid \rho _{VU}T=0\right\}.}$

La distribución T tiene soporte compacto si su soporte es un conjunto compacto. Explícitamente, T tiene soporte compacto si existe un subconjunto compacto K de U tal que para cada función de prueba${\displaystyle \varphi }$cuyo soporte está completamente fuera de K , tenemos T (${\displaystyle \varphi }$) = 0. Las distribuciones con soporte compacto definen funcionales lineales continuos en el espacio C ^∞ ( U ); la topología en C ^∞ ( U ) se define de tal manera que una secuencia de funciones de prueba${\displaystyle \varphi }$_k converge a 0 si y solo si todas las derivadas de${\displaystyle \varphi }$_k converge uniformemente a 0 en cada subconjunto compacto de U. Recíprocamente, se puede demostrar que todo funcional lineal continuo en este espacio define una distribución de soporte compacto. La incrustación de C _c ^∞ ( U ) en C ^∞ ( U ), donde los espacios tienen sus respectivas topologías, es continua y tiene imagen densa. Por lo tanto, las distribuciones de soporte compacto se pueden identificar con aquellas distribuciones que se pueden extender de C _c ^∞ ( U ) a C ^∞ ( U ).

Si f  ∈ S ′( R ⁿ ) es una distribución temperada, entonces existe una constante C > 0 y enteros positivos M y N tales que para todas las funciones de Schwartz   ${\displaystyle \varphi }$ ∈ S ( R ⁿ ) 

${\displaystyle \langle f,\varphi \rangle \leq C\sum \nolimits _{|\alpha |\leq N,|\beta |\leq M}\sup _{x\in \mathbf {R} ^{n}}\left|x^{\alpha }D^{\beta }\varphi (x)\right|=C\sum \nolimits _{|\alpha |\leq N,|\beta |\leq M}p_{\alpha ,\beta }(\varphi ).}$

Esta estimación junto con algunas técnicas del análisis funcional se puede utilizar para demostrar que existe una función F continua de crecimiento lento y un índice múltiple α tal que

${\displaystyle f=D^{\alpha }F.\,}$

Si f  ∈  D′( R ⁿ ), entonces para cualquier conjunto compacto K  ⊂ R ⁿ , existe una función continua F con soporte compacto en R ⁿ (posiblemente en un conjunto mayor que K mismo) y un multiíndice α tal que f = D ^α F en C _c ^∞ ( K ). Esto se deduce del resultado citado anteriormente sobre distribuciones temperadas mediante un argumento de localización.   

Si f tiene soporte en un único punto { P }, entonces f es de hecho una combinación lineal finita de derivadas distribucionales de la función δ en P . Es decir, existe un entero m y constantes complejas a _α para multiíndices | α |  ≤ m tales que 

${\displaystyle f=\sum \nolimits _{|\alpha |\leq m}a_{\alpha }D^{\alpha }(\tau _{P}\delta )}$

donde τ _P es el operador de traslación.

Una versión del teorema anterior se cumple localmente en el siguiente sentido ( Rudin 1991 ) . Sea T una distribución en U , entonces se puede encontrar para cada multiíndice α una función continua g _α tal que

${\displaystyle \displaystyle T=\sum \nolimits _{\alpha }D^{\alpha }g_{\alpha }}$

y que cualquier subconjunto compacto K de U interseca los soportes de solo un número finito de g _α ; por lo tanto, para evaluar el valor de T para una función suave f dada con soporte compacto en U , solo necesitamos un número finito de g _α ; por consiguiente, la suma infinita anterior está bien definida como una distribución. Si la distribución T es de orden finito, entonces se puede elegir g _α de tal manera que solo un número finito de ellos sean distintos de cero.