Distribución homogénea

En matemáticas , una distribución homogénea es una distribución S en el espacio euclidiano R ⁿ o R ⁿ \ {0 } que es homogénea en el sentido de que, en términos generales,

${\displaystyle S(tx)=t^{m}S(x)\,}$

para todo t > 0.

Más precisamente, sea el operador de división escalar en R ⁿ . Una distribución S en R ⁿ o R ⁿ \ {0 } es homogénea de grado m siempre que ${\displaystyle \mu_{t}:x\mapsto x/t}$

${\displaystyle S[t^{-n}\varphi \circ \mu _{t}]=t^{m}S[\varphi ]}$

para todos los valores reales positivos t y todas las funciones de prueba φ. El factor adicional de t ^{− n} es necesario para reproducir la noción habitual de homogeneidad para funciones localmente integrables, y surge del cambio jacobiano de variables . El número m puede ser real o complejo.

Puede ser un problema no trivial extender una distribución homogénea dada de R ⁿ \ {0} a una distribución en R ⁿ , aunque esto es necesario para que se apliquen muchas de las técnicas del análisis de Fourier , en particular la transformada de Fourier . Sin embargo, tal extensión existe en la mayoría de los casos, aunque puede no ser única.

Si S es una distribución homogénea en R ⁿ \ {0} de grado α, entonces la primera derivada parcial débil de S

${\displaystyle {\frac {\parcial S}{\parcial x_{i}}}}$

tiene grado α−1. Además, se cumple una versión del teorema de la función homogénea de Euler : una distribución S es homogénea de grado α si y solo si

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}{\frac {\partial S}{\partial x_{i}}}=\alpha S.}$

Es posible una clasificación completa de distribuciones homogéneas en una dimensión. Las distribuciones homogéneas en R \ {0 } están dadas por varias funciones de potencia . Además de las funciones de potencia, las distribuciones homogéneas en R incluyen la función delta de Dirac y sus derivadas.

La función delta de Dirac es homogénea de grado −1. Intuitivamente,

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} }\delta (tx)\varphi (x)\,dx=\int _{\mathbb {R} }\delta (y)\varphi (y/t)\,{\frac {dy}{t}}=t^{-1}\varphi (0)}$

haciendo un cambio de variables y = tx en la "integral". Además, la derivada débil k -ésima de la función delta δ ^{( k )} es homogénea de grado − k −1. Todas estas distribuciones tienen un soporte que consiste únicamente en el origen: cuando se localizan sobre R \ {0 }, estas distribuciones son todas idénticamente cero.

En una dimensión, la función

${\displaystyle x_{+}^{\alpha }={\begin{cases}x^{\alpha }&{\text{si }}x>0\\0&{\text{en caso contrario}}\end{cases}}}$

es localmente integrable en R \ {0} , y por lo tanto define una distribución. La distribución es homogénea de grado α. De manera similar , y son distribuciones homogéneas de grado α. ${\displaystyle x_{-}^{\alpha }=(-x)_{+}^{\alpha }}$${\displaystyle |x|^{\alpha }=x_{+}^{\alpha }+x_{-}^{\alpha }}$

Sin embargo, cada una de estas distribuciones solo es localmente integrable en todos los R siempre que Re(α) > −1. Pero aunque la función definida ingenuamente por la fórmula anterior no es localmente integrable para Re α ≤ −1, la aplicación ${\displaystyle x_{+}^{\alpha }}$

${\displaystyle \alpha \mapsto x_{+}^{\alpha }}$

es una función holomorfa del semiplano derecho al espacio vectorial topológico de distribuciones templadas. Admite una única extensión meromórfica con polos simples en cada entero negativo α = −1, −2, ... . La extensión resultante es homogénea de grado α, siempre que α no sea un entero negativo, ya que por un lado la relación

${\displaystyle x_{+}^{\alpha }[\varphi \circ \mu _{t}]=t^{\alpha +1}x_{+}^{\alpha }[\varphi ]}$

se cumple y es holomorfo en α > 0. Por otra parte, ambos lados se extienden meromórficamente en α, y por lo tanto permanecen iguales en todo el dominio de definición.

En todo el dominio de la definición, x^alfa
₊También satisface las siguientes propiedades:

• ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}x_{+}^{\alpha }=\alpha x_{+}^{\alpha -1}}$
• ${\displaystyle xx_{+}^{\alpha }=x_{+}^{\alpha +1}}$

Hay varias formas distintas de extender la definición de funciones de potencia a distribuciones homogéneas en R en los números enteros negativos.

χ^alfa
₊

Los polos en x^alfa
₊Los enteros negativos se pueden eliminar mediante la renormalización.

${\displaystyle \chi _{+}^{\alpha }={\frac {x_{+}^{\alpha }}{\Gamma (1+\alpha )}}.}$

Esta es una función completa de α. En los números enteros negativos,

${\displaystyle \chi _{+}^{-k}=\delta ^{(k-1)}.}$

Las distribuciones tienen las propiedades ${\displaystyle \chi_{+}^{a}}$

• ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\chi _{+}^{\alpha }=\chi _{+}^{\alpha -1}}$
• ${\displaystyle x\chi _{+}^{\alpha }=\alpha \chi _{+}^{\alpha +1}.}$

${\displaystyle {\underline {x}}^{k}}$

Un segundo enfoque es definir la distribución , para k = 1, 2, ...,${\displaystyle {\underline {x}}^{-k}}$

${\displaystyle {\underline {x}}^{-k}={\frac {(-1)^{k-1}}{(k-1)!}}{\frac {d^{k}}{dx^{k}}}\log |x|.}$

Estas conservan claramente las propiedades originales de las funciones de potencia:

• ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}{\underline {x}}^{-k}=-k{\underline {x}}^{-k-1}}$
• ${\displaystyle x{\underline {x}}^{-k}={\underline {x}}^{-k+1},\quad {\text{si }}k>1.}$

Estas distribuciones también se caracterizan por su acción sobre las funciones de prueba.

${\displaystyle {\underline {x}}^{-k}=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\phi (x)-\sum _{j=0}^{k-1}x^{j}\phi ^{(j)}(0)/j!}{x^{k}}}\,dx,}$

y así generalizar la distribución del valor principal de Cauchy de 1/ x que surge en la transformada de Hilbert .

( x ± i0) ^α

Otra distribución homogénea viene dada por el límite distribucional

${\displaystyle (x+i0)^{\alpha }=\lim _{\epsilon \downarrow 0}(x+i\epsilon )^{\alpha }.}$

Es decir, actuar sobre funciones de prueba.

${\displaystyle (x+i0)^{\alpha }[\varphi ]=\lim _{\epsilon \downarrow 0}\int _{\mathbb {R} }(x+i\epsilon )^{\alpha }\varphi (x)\,dx.}$

Se elige que la rama del logaritmo sea univalente en el semiplano superior y que concuerde con el logaritmo natural a lo largo del eje real positivo. Como límite de funciones completas, ( x + i0) ^α [φ] es una función completa de α. De manera similar,

${\displaystyle (x-i0)^{\alpha }=\lim _{\epsilon \downarrow 0}(x-i\epsilon )^{\alpha }}$

También es una distribución bien definida para todos los α

Cuando Re α > 0,

${\displaystyle (x\pm i0)^{\alpha }=x_{+}^{\alpha }+e^{\pm i\pi \alpha }x_{-}^{\alpha },}$

que entonces se cumple por continuación analítica siempre que α no sea un entero negativo. Por la permanencia de las relaciones funcionales,

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}(x\pm i0)^{\alpha }=\alpha (x\pm i0)^{\alpha -1}.}$

En los números enteros negativos, la identidad se cumple (a nivel de distribuciones en R \ {0})

${\displaystyle (x\pm i0)^{-k}=x_{+}^{-k}+(-1)^{k}x_{-}^{-k}\pm \pi i(-1)^{k}{\frac {\delta ^{(k-1)}}{(k-1)!}},}$

y las singularidades se cancelan para dar una distribución bien definida en R . El promedio de las dos distribuciones concuerda con : ${\displaystyle {\underline {x}}^{-k}}$

${\displaystyle {\frac {(x+i0)^{-k}+(x-i0)^{-k}}{2}}={\underline {x}}^{-k}.}$

La diferencia de las dos distribuciones es un múltiplo de la función delta:

${\displaystyle (x+i0)^{-k}-(x-i0)^{-k}=2\pi i(-1)^{k}{\frac {\delta ^{(k-1)}}{(k-1)!}},}$

que se conoce como la relación de salto de Plemelj .

Se cumple el siguiente teorema de clasificación (Gel'fand y Shilov 1966, §3.11). Sea S una distribución homogénea de grado α en R \ {0 }. Entonces, para algunas constantes a , b . Cualquier distribución S en R homogénea de grado α ≠ −1, −2, ... es también de esta forma. Como resultado, toda distribución homogénea de grado α ≠ −1, −2, ... en R \ {0 } se extiende a R . ${\displaystyle S=ax_{+}^{\alpha }+bx_{-}^{\alpha }}$

Finalmente, las distribuciones homogéneas de grado − k , un entero negativo, en R son todas de la forma:

${\displaystyle a{\underline {x}}^{-k}+b\delta ^{(k-1)}.}$

Las distribuciones homogéneas en el espacio euclidiano R ⁿ \ {0 } con el origen eliminado son siempre de la forma

donde ƒ es una distribución sobre la esfera unitaria S ^{n −1} . El número λ, que es el grado de la distribución homogénea S , puede ser real o complejo.

Cualquier distribución homogénea de la forma ( 1 ) en R ⁿ \ {0 } se extiende de forma única a una distribución homogénea en R ⁿ siempre que Re λ > − n . De hecho, un argumento de continuación analítica similar al caso unidimensional extiende esto para todo λ ≠ − n , − n −1, ... .

• Gel'fand, IM; Shilov, GE (1966), Funciones generalizadas , vol. 1, Academic Press.
• Hörmander, L. (1976), Operadores diferenciales parciales lineales, volumen 1 , Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-00662-6.
• Taylor, Michael (1996), Ecuaciones diferenciales parciales, vol. 1 , Springer-Verlag.