Estructura de regularidad

La teoría de las estructuras de regularidad de Martin Hairer proporciona un marco para estudiar una gran clase de ecuaciones diferenciales parciales estocásticas parabólicas subcríticas que surgen de la teoría cuántica de campos . ^{[ 1 ]} El marco abarca la ecuación de Kardar-Parisi-Zhang , la${\displaystyle \Phi _{3}^{4}}$ecuación y el modelo parabólico de Anderson, todos los cuales requieren renormalización para tener una noción bien definida de solución.

Una ventaja clave de las estructuras de regularidad sobre los métodos anteriores es su capacidad para plantear la solución de ecuaciones estocásticas no lineales singulares en términos de argumentos de punto fijo en un espacio de "distribuciones controladas" sobre una estructura de regularidad fija. El espacio de distribuciones controladas reside en un espacio analítico/algebraico construido para codificar propiedades clave de las ecuaciones en cuestión. Como en muchos enfoques similares, la existencia de este punto fijo se plantea inicialmente como un problema similar donde el término de ruido está regularizado. Posteriormente, la regularización se elimina como un proceso límite. Una dificultad clave en estos problemas es demostrar que los objetos estocásticos asociados a estas ecuaciones convergen al eliminar esta regularización.

Hairer ganó el Premio Breakthrough 2021 en matemáticas por introducir estructuras de regularidad. ^{[ 2 ]}

Una estructura de regularidad es una tripleta${\displaystyle {\mathcal {T}}=(A,T,G)}$compuesto por:

• un subconjunto${\displaystyle A}$(conjunto de índices) de${\displaystyle \mathbb {R} }$que está delimitado inferiormente y no tiene puntos de acumulación ;
• el espacio modelo: un espacio vectorial graduado${\displaystyle T=\oplus _{\alpha \in A}T_{\alpha }}$, donde cada${\displaystyle T_{\alpha }}$es un espacio Banach ; y
• el grupo de estructura: un grupo${\displaystyle G}$de operadores lineales continuos${\displaystyle \Gamma \colon T\to T}$de tal manera que, para cada${\displaystyle \alpha \in A}$y cada uno${\displaystyle \tau \in T_{\alpha }}$, tenemos${\displaystyle (\Gamma -1)\tau \in \oplus _{\beta <\alpha }T_{\beta }}$.

Otra noción clave en la teoría de las estructuras de regularidad es la de un modelo para una estructura de regularidad, que es una forma concreta de asociar a cualquier${\displaystyle \tau \in T}$y${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{d}}$un "polinomio de Taylor" basado en${\displaystyle x_{0}}$y representado por${\displaystyle \tau }$, sujeto a ciertos requisitos de consistencia. Más precisamente, un modelo para${\displaystyle {\mathcal {T}}=(A,T,G)}$en${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$, con${\displaystyle d\geq 1}$consta de dos mapas

${\displaystyle \Pi \colon \mathbb {R} ^{d}\to \mathrm {Lin} (T;{\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{d}))}$,

${\displaystyle \Gamma \colon \mathbb {R} ^{d}\times \mathbb {R} ^{d}\to G}$.

De este modo,${\displaystyle \Pi }$asigna a cada punto${\displaystyle x}$un mapa lineal${\displaystyle \Pi _{x}}$, que es un mapa lineal de${\displaystyle T}$en el espacio de distribuciones en${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$; ${\displaystyle \Gamma }$asigna a cualesquiera dos puntos${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$un operador acotado${\displaystyle \Gamma _{xy}}$, que tiene la función de convertir una expansión basada en${\displaystyle y}$en uno con sede en${\displaystyle x}$Estos mapas${\displaystyle \Pi }$y${\displaystyle \Gamma }$Se requiere que satisfagan las condiciones algebraicas

${\displaystyle \Gamma _{xy}\Gamma _{yz}=\Gamma _{xz}}$,

${\displaystyle \Pi _{x}\Gamma _{xy}=\Pi _{y}}$,

y las condiciones analíticas que, dada cualquier${\displaystyle r>|\inf A|}$cualquier conjunto compacto${\displaystyle K\subset \mathbb {R} ^{d}}$y cualquier${\displaystyle \gamma >0}$, existe una constante${\displaystyle C>0}$de tal manera que los límites

${\displaystyle |(\Pi _{x}\tau )\varphi _{x}^{\lambda }|\leq C\lambda ^{|\tau |}\|\tau \|_{T_{\alpha }}}$,

${\displaystyle \|\Gamma _{xy}\tau \|_{T_{\beta }}\leq C|xy|^{\alpha -\beta }\|\tau \|_{T_{\alpha }}}$,

mantener uniformemente para todos${\displaystyle r}$-veces funciones de prueba continuamente diferenciables${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R} }$con unidad${\displaystyle {\mathcal {C}}^{r}}$norma, apoyada en la unidad bola sobre el origen en${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$, para todos los puntos${\displaystyle x,y\in K}$, todo${\displaystyle 0<\lambda \leq 1}$y todos${\displaystyle \tau \in T_{\alpha }}$con${\displaystyle \beta <\alpha \leq \gamma }$. Aquí${\displaystyle \varphi _{x}^{\lambda }\colon \mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R} }$denota la versión desplazada y escalada de${\displaystyle \varphi }$dado por

${\displaystyle \varphi _{x}^{\lambda }(y)=\lambda ^{-d}\varphi \left({\frac {y-x}{\lambda }}\right)}$.