Paraproducto

En matemáticas , un paraproducto es un operador bilineal no conmutativo que actúa sobre funciones y que, en cierto sentido, es como el producto de las dos funciones sobre las que actúa. Según Svante Janson y Jaak Peetre, en un artículo de 1988, ^{[ 1 ]} "el nombre 'paraproducto' denota una idea más que una definición única; existen varias versiones que pueden usarse para los mismos fines". El concepto surgió en la teoría de operadores paradiferenciales de J.-M. Bony . ^{[ 2 ]}

Dicho esto, para un operador determinado${\displaystyle \Lambda }$Para ser definido como un paraproducto, normalmente se requiere que cumpla las siguientes propiedades:

• Debe "reconstruir el producto" en el sentido de que para cualquier par de funciones${\displaystyle (f,g)}$en su dominio,

${\displaystyle fg=\Lambda (f,g)+\Lambda (g,f).}$

• Para cualquier función apropiada${\displaystyle f}$y${\displaystyle h}$con${\displaystyle h(0)=0}$, es el caso que${\displaystyle h(f)=\Lambda (f,h'(f))}$.
• Debe satisfacer alguna forma de la regla de Leibniz .

También puede ser necesario un paraproducto para satisfacer alguna forma de la desigualdad de Hölder .

• Árpád Bényi, Diego Maldonado y Virginia Naibo, "¿Qué es un paraproducto?" , Notices of the American Mathematical Society , vol. 57, n.º 7 (agosto de 2010), págs.  858-860.