Número real

En matemáticas , un número real es un número que puede usarse para medir una magnitud continua unidimensional , como una longitud , una duración o una temperatura . Aquí, continuo significa que pares de valores pueden tener diferencias arbitrariamente pequeñas. ^{[ a ]} Todo número real puede representarse de forma casi única mediante una expansión decimal infinita . ^{[ b ]}

Los números reales son fundamentales en el cálculo y en muchas otras ramas de las matemáticas, en particular por su papel en las definiciones clásicas de límites , continuidad y derivadas . ^{[ c ]}

El conjunto de los números reales, a veces llamado "los reales", se suele representar con una R en negrita o con la letra negrita de la pizarra .${\displaystyle \mathbb {R} }$⁠ .

El adjetivo real , utilizado en el siglo XVII por René Descartes , distingue los números reales de los números imaginarios, como las raíces cuadradas de los números negativos. ^{[ 1 ]}

Los números reales incluyen los números racionales , como el entero −5 y la fracción 4/3 . Los números reales que no son racionales son irracionales . Aquellos números reales que son raíces de polinomios con coeficientes racionales son números algebraicos , que incluyen todos los números racionales y también números irracionales como √2 = 1,414... . Otros números reales, como π = 3,1415... , no son raíces de polinomios; estos son los números trascendentales . ^{[ 1 ]}

Los números reales pueden considerarse como los puntos en una línea , llamada recta numérica o recta real , en la que los puntos correspondientes a los números enteros ( ..., −2, −1, 0, 1, 2, ... ) están igualmente espaciados.

Las descripciones informales anteriores de los números reales no son suficientes para un razonamiento riguroso sobre ellos. El desarrollo de una definición formal adecuada fue un logro importante de las matemáticas del siglo XIX y es la base del análisis real , el estudio de las funciones reales y las sucesiones de valores reales . Una definición axiomática moderna es que los números reales forman el único cuerpo ordenado completo de Dedekind ( salvo isomorfismo ) . ^{[ d ]} Otras definiciones comunes de números reales incluyen clases de equivalencia de sucesiones de Cauchy (de números racionales), cortes de Dedekind y representaciones decimales infinitas . Todas estas definiciones satisfacen la definición axiomática y, por lo tanto, son equivalentes.

Los números reales se caracterizan completamente por sus propiedades fundamentales, que se resumen en que forman un cuerpo ordenado Dedekind completo . En este contexto, "completamente caracterizado" significa que existe un isomorfismo único entre cualesquiera dos cuerpos ordenados Dedekind completos, y por lo tanto, que sus elementos poseen exactamente las mismas propiedades. Esto implica que se pueden manipular los números reales y realizar cálculos con ellos sin necesidad de conocer su definición; así lo hicieron matemáticos y físicos durante varios siglos antes de que se proporcionaran las primeras definiciones formales en la segunda mitad del siglo XIX. Véase " Construcción de los números reales" para obtener más detalles sobre estas definiciones formales y la demostración de su equivalencia.

Los números reales forman un cuerpo ordenado . Intuitivamente, esto significa que se les aplican los métodos y reglas de la aritmética elemental . Más precisamente, existen dos operaciones binarias , la suma y la multiplicación , y un orden total que poseen las siguientes propiedades.

• La suma de dos números reales a y b produce un número real denotado${\displaystyle a+b,}$que es la suma de a y b .
• La multiplicación de dos números reales a y b produce un número real denotado${\displaystyle ab,}$${\displaystyle a\cdot b}$o${\displaystyle a\times b,}$que es el producto de a y b .
• La suma y la multiplicación son conmutativas , lo que significa que${\displaystyle a+b=b+a}$y${\displaystyle ab=ba}$para todos los números reales a y b .
• La suma y la multiplicación son asociativas , lo que significa que${\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)}$y${\displaystyle (ab)c=a(bc)}$para todos los números reales a , b y c .
• La multiplicación es distributiva sobre la suma, lo que significa que${\displaystyle a(b+c)=ab+ac}$y${\displaystyle (a+b)c=ac+bc}$para todos los números reales a , b y c .
• Existe un número real llamado cero y denotado 0 que es una identidad aditiva , lo que significa que${\displaystyle a+0=0+a=a}$para cada número real a .
• Existe un número real denotado por 1 que es una identidad multiplicativa , lo que significa que${\displaystyle a\times 1=1\times a=a}$para cada número real a .
• Todo número real a tiene un inverso aditivo denotado${\displaystyle -a.}$Esto significa que${\displaystyle a+(-a)=(-a)+a=0}$para cada número real a .
• Todo número real distinto de cero a tiene un inverso multiplicativo denotado${\displaystyle a^{-1}}$o${\displaystyle {\tfrac {1}{a}}.}$Esto significa que${\displaystyle aa^{-1}=a^{-1}a=1}$para cada número real distinto de cero a .
• El pedido total se indica${\displaystyle a<b.}$Ser un pedido total significa que tiene las dos propiedades siguientes:

1. Para cualesquiera dos números reales a y b , exactamente uno de${\displaystyle a<b}$,${\displaystyle \;a=b}$,${\displaystyle \;b<a}$Es cierto.
2. Si${\displaystyle a<b}$y${\displaystyle b<c,}$entonces${\displaystyle a<c}$.

• El orden es compatible con la suma y la multiplicación, lo que significa que${\displaystyle a<b}$implica${\displaystyle a+c<b+c}$para cada número real c y${\displaystyle 0<ab}$está implícito por${\displaystyle 0<a}$y${\displaystyle 0<b.}$

De las propiedades anteriores se pueden deducir muchas otras. En particular:

• ${\displaystyle 0\cdot a=0}$para cada número real un
• ${\displaystyle 0<1}$
• ${\displaystyle 0<a^{2}}$para cada número real distinto de cero un

Las propiedades anteriores no distinguen entre números reales y racionales . Esta distinción la proporciona la completitud de Dedekind , que establece que todo conjunto no vacío de números reales con una cota superior admite una cota superior mínima . Esto significa lo siguiente:

• Un conjunto de números reales${\displaystyle S}$está acotado superiormente si hay un número real${\displaystyle u}$de tal manera que${\displaystyle s\leq u}$a pesar de${\displaystyle s\in S}$; tal es un${\displaystyle u}$se denomina límite superior de${\displaystyle S.}$Por lo tanto, la completitud de Dedekind significa que, si S no es vacío y está acotado superiormente, tiene un límite superior que es menor que cualquier otro límite superior.

La completitud de Dedekind implica otros tipos de completitud (véase más abajo), pero también tiene algunas consecuencias importantes.

• Propiedad arquimediana : para cada número real x , existe un entero n tal que${\displaystyle x<n}$(llevar${\displaystyle n=u+1,}$dónde${\displaystyle u}$es el límite superior más pequeño de los enteros menores que x ).
• De forma equivalente, si x es un número real positivo, existe un entero positivo n tal que${\displaystyle 0<{\tfrac {1}{n}}<x}$.
• Todo número real positivo x tiene una raíz cuadrada positiva , es decir, existe un número real positivo${\displaystyle r}$de tal manera que${\displaystyle r^{2}=x.}$
• Todo polinomio univariado de grado impar con coeficientes reales tiene al menos una raíz real (si el coeficiente principal es positivo, se toma el límite superior más pequeño de los números reales para los cuales el valor del polinomio es negativo).

Las dos últimas propiedades se resumen diciendo que los números reales forman un cuerpo cerrado real . Esto implica la versión real del teorema fundamental del álgebra , a saber, que todo polinomio con coeficientes reales puede factorizarse en polinomios con coeficientes reales de grado como máximo dos.

La forma más común de describir un número real es mediante su representación decimal, una secuencia de dígitos decimales, cada uno de los cuales representa el producto de un entero entre cero y nueve por una potencia de diez , extendiéndose a un número finito de potencias positivas de diez a la izquierda y a un número infinito de potencias negativas de diez a la derecha. Para un número x cuya representación decimal se extiende k lugares a la izquierda, la notación estándar es la yuxtaposición de los dígitos.${\displaystyle b_{k}b_{k-1}\cdots b_{0}.a_{1}a_{2}\cdots ,}$en orden descendente por potencia de diez, con potencias de diez no negativas y negativas separadas por un punto decimal , que representan la serie infinita.

${\displaystyle x=b_{k}10^{k}+b_{k-1}10^{k-1}+\cdots +b_{0}+{\frac {a_{1}}{10}}+{\frac {a_{2}}{10^{2}}}+\cdots .}$

Por ejemplo, para la constante del círculo${\displaystyle \pi =3.14159\cdots ,}$k es cero y${\displaystyle b_{0}=3,}$${\displaystyle a_{1}=1,}$${\displaystyle a_{2}=4,}$etc.

De manera más formal, una representación decimal para un número real no negativo x consiste en un entero no negativo k y enteros entre cero y nueve en la secuencia infinita.

${\displaystyle b_{k},b_{k-1},\ldots ,b_{0},a_{1},a_{2},\ldots .}$

(Si${\displaystyle k>0,}$entonces por convención${\displaystyle b_{k}\neq 0.}$)

Dicha representación decimal especifica el número real como el límite superior mínimo de las fracciones decimales que se obtienen al truncar la secuencia: dado un entero positivo n , el truncamiento de la secuencia en la posición n es la suma parcial finita.

${\displaystyle {\begin{aligned}D_{n}&=b_{k}10^{k}+b_{k-1}10^{k-1}+\cdots +b_{0}+{\frac {a_{1}}{10}}+\cdots +{\frac {a_{n}}{10^{n}}}\\&=\sum _{i=0}^{k}b_{i}10^{i}+\sum _{j=1}^{n}a_{j}10^{-j}\end{aligned}}}$

El número real x definido por la secuencia es el límite superior más pequeño de la${\displaystyle D_{n},}$que existe por completitud de Dedekind.

Por el contrario, dado un número real no negativo x , se puede definir una representación decimal de x por inducción , como sigue:

Definir${\displaystyle b_{k}\cdots b_{0}}$como representación decimal del entero más grande${\displaystyle D_{0}}$de tal manera que${\displaystyle D_{0}\leq x}$(este número entero existe debido a la propiedad arquimediana). Entonces, suponiendo por inducción que la fracción decimal${\displaystyle D_{i}}$se ha definido para${\displaystyle i<n,}$uno define${\displaystyle a_{n}}$como el dígito más grande tal que${\displaystyle D_{n-1}+{\tfrac {a_{n}}{10^{n}}}\leq a,}$y uno se${\displaystyle D_{n}=D_{n-1}+{\tfrac {a_{n}}{10^{n}}}.}$

Se pueden utilizar las propiedades definitorias de los números reales para demostrar que x es el límite superior más pequeño de la${\displaystyle D_{n}.}$Por lo tanto, la secuencia de dígitos resultante se llama representación decimal de x .

Se puede obtener otra representación decimal reemplazando${\displaystyle \leq x}$con${\displaystyle <x}$en la construcción anterior. Estas dos representaciones son idénticas, a menos que x sea una fracción decimal de la forma${\textstyle {\tfrac {m}{10^{h}}}.}$En este caso, en la primera representación decimal, todos${\displaystyle a_{n}}$son cero para${\displaystyle n>h,}$y, en la segunda representación, todos${\displaystyle a_{n}}$9. (véase 0,999... para más detalles).

En resumen, existe una biyección entre los números reales y las representaciones decimales que no terminan con un número infinito de 9 al final.

Las consideraciones anteriores se aplican directamente a cada base numérica.${\displaystyle B\geq 2,}$simplemente reemplazando 10 con${\displaystyle B}$y 9 con${\displaystyle B-1.}$

Una razón principal para usar números reales es que muchas secuencias tienen límites . Más formalmente, los números reales son completos (en el sentido de espacios métricos o espacios uniformes , que es un sentido diferente a la completitud de Dedekind del orden en la sección anterior):

Una secuencia${\displaystyle (x_{n})}$una sucesión de números reales se denomina sucesión de Cauchy si para cualquier${\displaystyle \varepsilon >0}$existe un número entero${\displaystyle N}$(posiblemente dependiendo de${\displaystyle \varepsilon }$) de tal manera que la distancia${\displaystyle |x_{n}-x_{m}|}$es menor que${\displaystyle \varepsilon }$a pesar de${\displaystyle n}$y${\displaystyle m}$que son ambos mayores que${\displaystyle N}$. Esta definición, proporcionada originalmente por Cauchy , formaliza el hecho de que el${\displaystyle x_{n}}$Finalmente, llegan y permanecen arbitrariamente cerca unos de otros.

Una secuencia${\displaystyle (x_{n})}$converge al límite${\displaystyle x}$si sus elementos finalmente se acercan y permanecen arbitrariamente cerca de${\displaystyle x}$, es decir, si para algún${\displaystyle \varepsilon >0}$existe un número entero${\displaystyle N}$(posiblemente dependiendo de${\displaystyle \varepsilon }$) de tal manera que la distancia${\displaystyle |x_{n}-x|}$es menor que${\displaystyle \varepsilon }$para${\displaystyle n}$más que${\displaystyle N}$.

Toda sucesión convergente es una sucesión de Cauchy, y lo contrario es cierto para los números reales, lo que significa que el espacio topológico de los números reales es completo.

El conjunto de los números racionales no es completo. Por ejemplo, la sucesión (1; 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142; 1,41421; ...), donde cada término suma un dígito de la expansión decimal de la raíz cuadrada positiva de 2, es de Cauchy pero no converge a un número racional (en los números reales, en cambio, converge a la raíz cuadrada positiva de 2).

La propiedad de completitud de los números reales es la base sobre la que se construye el cálculo y, más generalmente, el análisis matemático . En particular, la prueba de que una sucesión es una sucesión de Cauchy permite demostrar que una sucesión tiene un límite, sin calcularlo e incluso sin conocerlo.

Por ejemplo, la serie estándar de la función exponencial

${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}}$

converge a un número real para cada${\displaystyle x}$, porque las sumas

${\displaystyle \sum _{n=N}^{M}{\frac {x^{n}}{n!}}}$

puede hacerse arbitrariamente pequeño (independientemente de${\displaystyle M}$) al elegir${\displaystyle N}$suficientemente grande. Esto prueba que la sucesión es de Cauchy y, por lo tanto, converge, lo que demuestra que${\displaystyle e^{x}}$está bien definido para cada${\displaystyle x}$.

The set of all real numbers is uncountable, in the sense that while both the set of all natural numbers{1, 2, 3, 4, ...} and the set of all real numbers are infinite sets, there exists no one-to-one function from the real numbers to the natural numbers. The cardinality of the set of all real numbers is called the cardinality of the continuum and commonly denoted by ${\displaystyle {\mathfrak {c}}.}$ It is strictly greater than the cardinality of the set of all natural numbers, denoted ${\displaystyle \aleph _{0}}$ and called aleph-zero or aleph-nought. The cardinality of the continuum equals the cardinality of the power set of the natural numbers, that is, the set of all subsets of the natural numbers.

The statement that there is no cardinality strictly greater than ${\displaystyle \aleph _{0}}$ and strictly smaller than ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ is known as the continuum hypothesis (CH). The axiom system most commonly used in mathematics, Zermelo-Fraenkel set theory with the axiom of choice (ZFC), is insufficient to decide whether CH holds: assuming that ZFC is consistent, CH can be neither proved nor disproved within ZFC, since some models of ZFC satisfy CH, while others violate it.^[2]

As a topological space, the real numbers are separable. This is because the set of rationals, which is countable, is dense in the real numbers. The irrational numbers are also dense in the real numbers, however they are uncountable and have the same cardinality as the reals.

The real numbers form a metric space: the distance between ${\displaystyle x}$ and ${\displaystyle y}$ is defined as the absolute value${\displaystyle |x-y|}$Por ser un conjunto totalmente ordenado, también poseen una topología de orden ; la topología derivada de la métrica y la derivada del orden son idénticas, pero dan lugar a diferentes presentaciones de la topología: en la topología de orden como intervalos ordenados, en la topología métrica como bolas épsilon. La construcción de cortes de Dedekind utiliza la presentación de la topología de orden, mientras que la construcción de secuencias de Cauchy utiliza la presentación de la topología métrica. Los números reales forman un espacio métrico contráctil (por lo tanto conexo y simplemente conexo ), separable y completo de dimensión de Hausdorff  1. Los números reales son localmente compactos pero no compactos . Existen diversas propiedades que los especifican de forma única; por ejemplo, todas las topologías de orden no acotadas, conexas y separables son necesariamente homeomorfas a los números reales.

Todo número real no negativo tiene una raíz cuadrada en${\displaystyle \mathbb {R} }$, aunque ningún número negativo lo hace. Esto demuestra que el orden en${\displaystyle \mathbb {R} }$está determinado por su estructura algebraica. Además, todo polinomio de grado impar admite al menos una raíz real: estas dos propiedades hacen que${\displaystyle \mathbb {R} }$el ejemplo principal de un cuerpo cerrado real . Demostrar esto es la primera parte de una demostración del teorema fundamental del álgebra .

Los números reales poseen una medida canónica , la medida de Lebesgue , que es la medida de Haar en su estructura como un grupo topológico normalizado de tal manera que el intervalo unitario${\displaystyle [0;1]}$tiene medida 1. Existen conjuntos de números reales que no son medibles según Lebesgue, por ejemplo, los conjuntos de Vitali .

El axioma del supremo de los reales se refiere a subconjuntos de los reales y, por lo tanto, es una proposición lógica de segundo orden. No es posible caracterizar los reales solo con lógica de primer orden : el teorema de Löwenheim-Skolem implica que existe un subconjunto denso numerable de los números reales que satisface exactamente las mismas proposiciones en lógica de primer orden que los propios números reales. El conjunto de los números hiperreales satisface las mismas proposiciones de primer orden que${\displaystyle \mathbb {R} }$. Campos ordenados que satisfacen las mismas sentencias de primer orden que${\displaystyle \mathbb {R} }$se denominan modelos no estándar de${\displaystyle \mathbb {R} }$. Esto es lo que hace que el análisis no estándar funcione; al probar una afirmación de primer orden en algún modelo no estándar (lo cual puede ser más fácil que probarla en${\displaystyle \mathbb {R} }$), sabemos que la misma afirmación también debe ser cierta${\displaystyle \mathbb {R} }$.

El campo${\displaystyle \mathbb {R} }$de números reales es un campo de extensión del campo${\displaystyle \mathbb {Q} }$de números racionales y${\displaystyle \mathbb {R} }$por lo tanto, puede verse como un espacio vectorial sobre${\displaystyle \mathbb {Q} }$La teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel, con su axioma de elección, garantiza la existencia de una base de este espacio vectorial: existe un conjunto B de números reales tal que todo número real puede expresarse de forma única como una combinación lineal finita de elementos de este conjunto, utilizando únicamente coeficientes racionales, y tal que ningún elemento de B es una combinación lineal racional de los demás. Sin embargo, este teorema de existencia es puramente teórico, ya que dicha base nunca se ha descrito explícitamente.

El teorema del buen orden implica que los números reales pueden estar bien ordenados si se asume el axioma de elección: existe un orden total en${\displaystyle \mathbb {R} }$con la propiedad de que cada subconjunto no vacío de${\displaystyle \mathbb {R} }$tiene un elemento mínimo en este ordenamiento. (El ordenamiento estándar)${\displaystyle \leq }$de los números reales no es un buen ordenamiento ya que, por ejemplo, un intervalo abierto no contiene un elemento mínimo en este ordenamiento. Nuevamente, la existencia de tal buen ordenamiento es puramente teórica, ya que no se ha descrito explícitamente. Si se asume el axioma de constructibilidad además de los axiomas de ZF, se puede demostrar que un buen ordenamiento de los números reales es explícitamente definible mediante una fórmula. ^{[ 3 ]}

Un número real puede ser computable o no computable; aleatorio algorítmicamente o no; y aleatorio aritméticamente o no.

Los egipcios utilizaban fracciones simples alrededor del año 1000 a. C .;  los " Shulba Sutras " védicos ("Las reglas de las cuerdas"), hacia el año 600 a. C. , incluyen lo que podría ser el primer "uso" de números irracionales. El concepto de irracionalidad fue aceptado implícitamente por matemáticos indios primitivos como Manava ( c. 750-690 a. C.) , quien era consciente de que las raíces cuadradas de ciertos números, como 2 y 61, no podían determinarse con exactitud. ^{[ 4 ]}

Alrededor del año 500  a. C., los matemáticos griegos liderados por Pitágoras también se dieron cuenta de que la raíz cuadrada de 2 es irracional.

Para los matemáticos griegos, los números eran únicamente los números naturales . Los números reales se denominaban «proporciones», siendo la razón entre dos longitudes, o equivalentemente, medidas de una longitud en función de otra, llamada unidad de longitud. Dos longitudes son «conmensurables» si existe una unidad en la que ambas se miden con números enteros; es decir, en terminología moderna, si su razón es un número racional . Eudoxo de Cnido (c. 390-340 a. C.) proporcionó una definición de la igualdad de dos proporciones irracionales de forma similar a los cortes de Dedekind (introducidos más de 2000 años después), con la salvedad de que no utilizó ninguna operación aritmética más allá de la multiplicación de una longitud por un número natural (véase Eudoxo de Cnido ). Esta puede considerarse la primera definición de los números reales.

La Edad Media trajo consigo la aceptación del cero , los números negativos , los enteros y los números fraccionarios , primero por matemáticos indios y chinos , y luego por matemáticos árabes , quienes también fueron los primeros en tratar los números irracionales como objetos algebraicos (esto último fue posible gracias al desarrollo del álgebra). ^{[ 5 ]} Los matemáticos árabes fusionaron los conceptos de " número " y " magnitud " en una idea más general de números reales. ^{[ 6 ]} El matemático egipcio Abū Kāmil Shujā ibn Aslam ( c. 850–930) fue el primero en aceptar los números irracionales como soluciones de ecuaciones cuadráticas , o como coeficientes en una ecuación (a menudo en forma de raíces cuadradas, raíces cúbicas y raíces cuartas ). ^{[ 7 ]} En Europa, tales números, no conmensurables con la unidad numérica, se llamaban irracionales o radicales ("sordos").

En el siglo XVI, Simon Stevin sentó las bases de la notación decimal moderna e insistió en que, a este respecto, no existe diferencia entre números racionales e irracionales.

En el siglo XVII, Descartes introdujo el término "real" para describir las raíces de un polinomio , distinguiéndolas de los números "imaginarios".

En los siglos XVIII y XIX, se trabajó mucho en números irracionales y trascendentales. Lambert (1761) dio una demostración defectuosa de que π no puede ser racional; Legendre (1794) completó la demostración ^{[ 8 ]} y mostró que π no es la raíz cuadrada de un número racional. ^{[ 9 ] Liouville} ( 1840) mostró que ni e ni e² pueden ser raíz de una ecuación cuadrática entera , y luego estableció la existencia de números trascendentales; Cantor (1873) extendió y simplificó enormemente esta demostración. ^{[ 10 ]} Hermite (1873) demostró que e es trascendental, y Lindemann (1882) demostró que π es trascendental. La demostración de Lindemann fue muy simplificada por Weierstrass (1885), Hilbert (1893) , Hurwitz ^{[ 11 ]} y Gordan . ^{[ 12 ]}

Los antiguos griegos conocían bien el concepto de que existían muchos puntos entre números racionales, como la raíz cuadrada de 2. La existencia de una recta numérica continua se consideraba evidente, pero no comprendían la naturaleza de esta continuidad, actualmente denominada completitud . El rigor desarrollado para la geometría no se aplicó al concepto de números hasta el siglo XIX. ^{[ 13 ]}

El sistema de números reales${\displaystyle (\mathbb {R}$ ;{}+{};{}\cdot {};{}<{})} se puede definir axiomáticamente salvo un isomorfismo , que se describe a continuación. También hay muchas maneras de construir "el" sistema de números reales, y un enfoque popular implica partir de los números naturales, luego definir los números racionales algebraicamente, y finalmente definir los números reales como clases de equivalencia de sus secuencias de Cauchy o como cortes de Dedekind, que son ciertos subconjuntos de los números racionales. ^{[ 16 ]} Otro enfoque es partir de alguna axiomatización rigurosa de la geometría euclidiana (por ejemplo, de Hilbert o de Tarski ), y luego definir el sistema de números reales geométricamente. Se ha demostrado que todas estas construcciones de los números reales son equivalentes, en el sentido de que los sistemas de números resultantes son isomorfos .

El conjunto de todos los números reales se denota como${\displaystyle \mathbb {R} }$( negrita de pizarra ) o R (negrita vertical). ^{[ 22 ]}

Como está dotado naturalmente de la estructura de un cuerpo , el cuerpo de expresiones de los números reales se utiliza con frecuencia cuando se consideran sus propiedades algebraicas.

A menudo se observan los conjuntos de números reales positivos y números reales negativos.${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$y${\displaystyle \mathbb {R} ^{-}}$, ^{[ 23 ]} respectivamente;${\displaystyle \mathbb {R} _{+}}$y${\displaystyle \mathbb {R} _{-}}$También se utilizan. ^{[ 24 ]} Se pueden observar los números reales no negativos.${\displaystyle \mathbb {R} _{\geq 0}}$pero a menudo se observa este conjunto.${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}\cup \{0\}.}$^{[ 23 ]}

La notación${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$se refiere al conjunto de las n -tuplas de elementos de${\displaystyle \mathbb {R} }$( espacio de coordenadas reales ), que puede identificarse con el producto cartesiano de n copias de${\displaystyle \mathbb {R} .}$Es un espacio vectorial n - dimensional sobre el campo de los números reales, a menudo llamado espacio de coordenadas de dimensión n ; este espacio puede identificarse con el espacio euclidiano n - dimensional tan pronto como se haya elegido un sistema de coordenadas cartesianas en este último. En esta identificación, un punto del espacio euclidiano se identifica con la tupla de sus coordenadas cartesianas .

En matemáticas, «real» se usa como adjetivo, indicando que el campo subyacente es el de los números reales (o el campo real ). Por ejemplo, matriz real , polinomio real y álgebra de Lie real . La palabra también se usa como sustantivo , refiriéndose a un número real (como en «el conjunto de todos los números reales»).

Los números reales pueden generalizarse y extenderse en varias direcciones diferentes:

• Los números complejos contienen soluciones para todas las ecuaciones polinómicas y, por lo tanto, constituyen un cuerpo algebraicamente cerrado, a diferencia de los números reales. Sin embargo, los números complejos no son un cuerpo ordenado.
• El sistema de números reales extendido afínmente añade dos elementos +∞ y −∞ . Es un espacio compacto . Ya no es un cuerpo, ni siquiera un grupo aditivo, pero aún conserva un orden total; además, es un retículo completo .
• La recta proyectiva real suma solo un valor, ∞ . También es un espacio compacto. Nuevamente, ya no es un cuerpo, ni siquiera un grupo aditivo. Sin embargo, permite la división de un elemento no nulo por cero. Posee un orden cíclico con una topología descrita por la separación de pares de puntos .
• La larga línea real se pega junto${\displaystyle \aleph _{1}^{*}+\aleph _{1}}$copias de la línea real más un solo punto (aquí${\displaystyle \aleph _{1}^{*}}$denota el orden inverso de${\displaystyle \aleph _{1}}$) para crear un conjunto ordenado que sea "localmente" idéntico a los números reales, pero de alguna manera más largo; por ejemplo, existe una incrustación que preserva el orden de${\displaystyle \aleph _{1}}$En la recta real larga, pero no en los números reales. La recta real larga es el conjunto ordenado más grande que es completo y localmente arquimediano. Al igual que en los dos ejemplos anteriores, este conjunto ya no es un cuerpo ni un grupo aditivo.
• Los cuerpos ordenados que extienden los números reales son los números hiperreales y los números surrealistas ; ambos contienen números infinitesimales e infinitamente grandes y, por lo tanto, son cuerpos ordenados no arquimedianos .
• Los operadores autoadjuntos en un espacio de Hilbert (por ejemplo, matrices cuadradas complejas autoadjuntas ) generalizan los números reales en muchos aspectos: pueden ser ordenados (aunque no totalmente ordenados), son completos, todos sus autovalores son reales y forman un álgebra asociativa real . Los operadores definidos positivos corresponden a los números reales positivos y los operadores normales corresponden a los números complejos.

• Completitud de los números reales
• fracción continua
• Números reales definibles
• Números reales positivos
• Análisis real

• "Real number", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]