0,999...

Si se colocan 0.9, 0.99, 0.999, etc. en la recta numérica , se observa inmediatamente que todos estos puntos están a la izquierda de 1 y que se acercan cada vez más a 1. Para cualquier número${\displaystyle x}$que es menor que 1, la secuencia 0.9, 0.99, 0.999, y así sucesivamente eventualmente alcanzará un número mayor que ⁠${\displaystyle x}$Por lo tanto, no tiene sentido identificar 0,999... con ningún número menor que 1.

Mientras tanto, cualquier número mayor que 1 será mayor que cualquier decimal de la forma 0.999...9 para cualquier número finito de nueves. Por lo tanto, 0.999... tampoco puede identificarse con ningún número mayor que 1.

Dado que 0,999... no puede ser mayor que 1 ni menor que 1, debe ser igual a 1 para ser un número real. ^{[ 3 ] [ 4 ]}

Denotemos por 0.(9) _n el número 0.999...9, con${\displaystyle n}$nueves después del punto decimal. Por lo tanto, 0.(9) ₁ = 0.9 , 0.(9) ₂ = 0.99 , 0.(9) ₃ = 0.999 , y así sucesivamente. Se tiene 1 − 0.(9) ₁ = 0.1 = ⁠${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{10}}}$⁠ ,1 − 0.(9) ₂ = 0.01 = ⁠${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{10^{2}}}}$⁠ , y así sucesivamente; es decir,1 − 0.(9) _n =${\estilo de texto {\frac {1}{10^{n}}}}$para cada número natural${\displaystyle n}$.​

Dejar${\displaystyle x}$sea ​​un número no mayor que 1 y mayor que 0,9, 0,99, 0,999, etc.; es decir, 0,(9) _n <${\displaystyle x}$≤ 1 , para cada${\displaystyle n}$⁠ . Al restar estas desigualdades de 1, se obtiene 0 ≤ 1 −${\displaystyle x}$< ⁠${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{10^{n}}}}$.​

El final de la demostración requiere que no haya ningún número positivo que sea menor que${\estilo de texto {\frac {1}{10^{n}}}}$para todos${\displaystyle n}$Esto se deduce de la propiedad arquimediana , que se puede expresar como: "para cada número real, existe un número natural mayor". Al calcular el recíproco , esto implica que para cada número real positivo, existen números naturales cuyos recíprocos son menores. Por lo tanto, para cualquier número real positivo, debe existir algún${\displaystyle n}$de tal manera que${\estilo de texto {\frac {1}{10^{n}}}}$es más pequeño. ^{[ 5 ] [ 6 ]} Esta propiedad implica que si 1 −${\displaystyle x}$< ⁠${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{10^{n}}}}$para todos​${\displaystyle n}$⁠ , entonces 1 −${\displaystyle x}$solo puede ser igual a 0. Por lo tanto,${\displaystyle x}$= 1 y 1 es el número más pequeño que es mayor que todos 0.9, 0.99, 0.999, etc. Es decir, 1 = 0.999... , como se afirma. ^{[ 7 ]}

Esta demostración se basa en la propiedad arquimediana de los números racionales y reales. Los números reales pueden ampliarse a sistemas numéricos , como los números hiperreales , con números infinitamente pequeños ( infinitesimales ) y números infinitamente grandes ( números infinitos ). ^{[ 8 ] [ 9 ]} Al usar tales sistemas, la notación 0,999... generalmente no se usa, ya que no hay un número más pequeño entre los números mayores que todos 0,(9) _n . ^{[ b ]}

Parte de lo que muestra este argumento es que existe una cota superior mínima de la secuencia 0.9, 0.99, 0.999, etc.: el número más pequeño que es mayor que todos los términos de la secuencia. Uno de los axiomas del sistema de números reales es el axioma de completitud , que establece que toda secuencia acotada tiene una cota superior mínima. ^{[ 10 ] [ 11 ]} Esta cota superior mínima es una forma de definir expansiones decimales infinitas: el número real representado por un decimal infinito es la cota superior mínima de sus truncamientos finitos. ^{[ 12 ]} El argumento aquí no necesita asumir la completitud para ser válido, porque muestra que esta secuencia particular de números racionales tiene una cota superior mínima y que esta cota superior mínima es igual a uno. ^{[ 13 ]}

Un desarrollo común de las expansiones decimales es definirlas como series infinitas . En general $${\displaystyle b_{0}.b_{1}b_{2}b_{3}b_{4}\ldots =b_{0}+b_{1}\left({\tfrac {1}{10}}\right)+b_{2}\left({\tfrac {1}{10}}\right)^{2}+b_{3}\left({\tfrac {1}{10}}\right)^{3}+b_{4}\left({\tfrac {1}{10}}\right)^{4}+\cdots .}$$

Para 0,999... se puede aplicar el teorema de convergencia relativo a las series geométricas , que establece que si ⁠${\displaystyle \vert r\vert }$⁠ < 1, entonces ^{[ 21 ]}$${\displaystyle ar+ar^{2}+ar^{3}+\cdots ={\frac {ar}{1-r}}.}$$

Dado que 0,999... es una suma con${\displaystyle a=9}$y razón común${\displaystyle \textstyle r={\frac {1}{10}}}$⁠ , el teorema resuelve rápidamente la cuestión: $${\displaystyle 0.999\ldots =0+9\left({\tfrac {1}{10}}\right)+9\left({\tfrac {1}{10}}\right)^{2}+9\left({\tfrac {1}{10}}\right)^{3}+\cdots ={\frac {9\left({\tfrac {1}{10}}\right)}{1-{\tfrac {1}{10}}}}=1.}$$

Esta demostración aparece ya en 1770 en los Elementos de Álgebra de Leonhard Euler . ^{[ 22 ]}

La suma de una serie geométrica es un resultado incluso anterior a Euler. Una derivación típica del siglo XVIII utilizaba una manipulación término a término similar a la demostración algebraica anterior, e incluso en 1811, el libro de texto de Bonnycastle, An Introduction to Algebra, utiliza un argumento similar para series geométricas con el fin de justificar la misma maniobra en 0,999... [^{23 ] Una} reacción del siglo XIX contra estos métodos de suma liberales dio como resultado la definición que aún predomina hoy en día: la suma de una serie se define como el límite de la sucesión de sus sumas parciales. Una demostración correspondiente del teorema calcula explícitamente dicha sucesión; se puede encontrar en varias introducciones al cálculo o al análisis basadas en demostraciones. ^{[ 24 ]}

Una secuencia (${\displaystyle x_{0}}$,${\displaystyle x_{1}}$,${\displaystyle x_{2}}$, ...) tiene el valor${\displaystyle x}$como su límite si la distancia${\displaystyle \left\vert x-x_{n}\right\vert }$se vuelve arbitrariamente pequeño a medida que${\displaystyle n}$aumenta. La afirmación de que 0,999... = 1 puede interpretarse y demostrarse como un límite: ^{[ c ]}$${\displaystyle 0.999\ldots \ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ \lim _{n\to \infty }0.\underbrace {99\ldots 9} _{n}\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ \lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}{\frac {9}{10^{k}}}=\lim _{n\to \infty }\left(1-{\frac {1}{10^{n}}}\right)=1-\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{10^{n}}}=1-0=1.}$$

Las dos primeras igualdades pueden interpretarse como definiciones abreviadas de símbolos. Las igualdades restantes pueden demostrarse. El último paso, que 10 ^{− n} se aproxima a 0 como${\displaystyle n}$se aproxima al infinito ( ⁠${\displaystyle \infty }$⁠ ), a menudo se justifica por la propiedad arquimediana de los números reales. Esta actitud basada en límites hacia 0,999... se suele expresar en términos más evocadores pero menos precisos. Por ejemplo, el libro de texto de 1846, The University Arithmetic, explica: "0,999 +, continuado hasta el infinito = 1, porque cada adición de un 9 acerca el valor a 1"; el libro de 1895, Arithmetic for Schools, dice: "cuando se toma una gran cantidad de 9, la diferencia entre 1 y 0,99999... se vuelve inconcebiblemente pequeña". ^{[ 25 ]} Los estudiantes suelen interpretar erróneamente estas heurísticas , creyendo que implican que 0,999... es menor que 1. ^{[ 26 ]}

La definición de serie anterior define el número real representado por su expansión decimal. Un enfoque complementario se adapta al proceso inverso: para un número real dado, se definen las expansiones decimales que lo representan.

Si un número real${\displaystyle x}$Se sabe que se encuentra en el intervalo cerrado [0, 10] (es decir, es mayor o igual que 0 y menor o igual que 10), uno puede imaginar dividir ese intervalo en diez partes que se superponen solo en sus extremos: [0, 1] , [1, 2] , [2, 3] , y así sucesivamente hasta [9, 10] . El número${\displaystyle x}$Debe pertenecer a uno de estos; si pertenece a [2, 3] , entonces se registra el dígito "2" y se subdivide ese intervalo en [2, 2.1] , [2.1, 2.2] , ..., [2.8, 2.9] , [2.9, 3] . Continuando este proceso se obtiene una secuencia infinita de intervalos anidados , etiquetados por una secuencia infinita de dígitos .${\displaystyle b_{1}}$,​​${\displaystyle b_{2}}$,​​${\displaystyle b_{3}}$⁠ , ..., y uno escribe $${\displaystyle x=b_{0}.b_{1}b_{2}b_{3}\ldots .}$$

En este formalismo, las identidades 1 = 0.999... y 1 = 1.000... reflejan, respectivamente, el hecho de que 1 se encuentra tanto en [0, 1] como en [1, 2] , por lo que se puede elegir cualquiera de los subintervalos al encontrar sus dígitos. Para asegurar que esta notación no abuse del signo "=", se necesita una forma de reconstruir un número real único para cada decimal. Esto se puede hacer con límites, pero otras construcciones continúan con el tema del ordenamiento. ^{[ 27 ]}

Una opción sencilla es el teorema de los intervalos anidados , que garantiza que, dada una secuencia de intervalos cerrados anidados cuyas longitudes se vuelven arbitrariamente pequeñas, los intervalos contienen exactamente un número real en su intersección . Por lo tanto ,${\displaystyle b_{1}}$,​​${\displaystyle b_{2}}$,​​${\displaystyle b_{3}}$⁠ , ... se define como el número único contenido dentro de todos los intervalos [${\displaystyle b_{0}}$,${\displaystyle b_{0}}$+ 1 ] , [${\displaystyle b_{0}.b_{1}}$,${\displaystyle b_{0}.b_{1}}$+ 0.1 ] , y así sucesivamente. 0.999... es entonces el único número real que se encuentra en todos los intervalos [0, 1] , [0.9, 1] , [0.99, 1] , y [0.99...9, 1] para cada cadena finita de 9s. Dado que 1 es un elemento de cada uno de estos intervalos, 0.999... = 1 . ^{[ 28 ]}

El teorema de los intervalos anidados se basa generalmente en una característica más fundamental de los números reales: la existencia de cotas superiores mínimas o supremas . Para explotar directamente estos objetos, se puede definir ⁠${\displaystyle b_{0}.b_{1}b_{2}b_{3}}$... para ser la cota superior más pequeña del conjunto de aproximantes${\displaystyle b_{0}}$,​​${\displaystyle b_{0}.b_{1}}$,​​${\displaystyle b_{0}.b_{1}b_{2}}$⁠ , ...‍ .^{[ 29 ]} Se puede demostrar entonces que esta definición (o la definición de intervalos anidados) es consistente con el procedimiento de subdivisión, lo que implica que 0,999... = 1 de nuevo. Tom Apostol concluye: «el hecho de que un número real pueda tener dos representaciones decimales diferentes es simplemente un reflejo del hecho de que dos conjuntos diferentes de números reales pueden tener el mismo supremo». ^{[ 30 ]}

En el enfoque del corte de Dedekind , cada número real${\displaystyle x}$se define como el conjunto infinito de todos los números racionales menores que ⁠${\displaystyle x}$⁠ . ^{[ e ]} En particular, el número real 1 es el conjunto de todos los números racionales que son menores que 1. ^{[ f ]} Toda expansión decimal positiva determina fácilmente un corte de Dedekind: el conjunto de números racionales que son menores que alguna etapa de la expansión. Por lo tanto, el número real 0.999... es el conjunto de números racionales.${\displaystyle r}$de tal manera que${\displaystyle r}$< 0 , o${\displaystyle r}$< 0,9 o${\displaystyle r}$< 0,99 o${\displaystyle r}$es menor que algún otro número de la forma ^{[ 34 ]}$${\displaystyle 1-{\frac {1}{10^{n}}}=0.(9)_{n}=0.\underbrace {99\ldots 9} _{n{\text{ nines}}}.}$$

Cada elemento de 0.999... es menor que 1, por lo que es un elemento del número real 1. Recíprocamente, todos los elementos de 1 son números racionales que se pueden escribir como $${\displaystyle {\frac {a}{b}}<1,}$$ con${\displaystyle b>0}$y​${\displaystyle b>a}$Esto implica $${\displaystyle 1-{\frac {a}{b}}={\frac {b-a}{b}}\geq {\frac {1}{b}}>{\frac {1}{10^{b}}},}$$ y por lo tanto $${\displaystyle {\frac {a}{b}}<1-{\frac {1}{10^{b}}}.}$$

Desde $${\displaystyle 1-{\frac {1}{10^{b}}}=0.(9)_{b}<0.999\ldots ,}$$ Según la definición anterior, cada elemento de 1 es también un elemento de 0.999..., y, combinado con la demostración anterior de que cada elemento de 0.999... es también un elemento de 1, los conjuntos 0.999... y 1 contienen los mismos números racionales y, por lo tanto, son el mismo conjunto, es decir, 0.999... = 1 .

La definición de números reales como cortes de Dedekind fue publicada por primera vez por Richard Dedekind en 1872. ^{[ 35 ]} El enfoque anterior para asignar un número real a cada expansión decimal se debe a un artículo divulgativo titulado "¿Es 0.999 ... = 1 ?" de Fred Richman en Mathematics Magazine . ^{[ 15 ]} Richman señala que tomar cortes de Dedekind en cualquier subconjunto denso de los números racionales produce los mismos resultados; en particular, utiliza fracciones decimales , para las cuales la demostración es más inmediata. También señala que, por lo general, las definiciones permiten {${\displaystyle x}$|${\displaystyle x}$< 1} ser un corte pero no {${\displaystyle x}$|${\displaystyle x}$≤ 1} (o viceversa). ^{[ 36 ]} Una modificación adicional del procedimiento conduce a una estructura diferente donde los dos no son iguales. Aunque es consistente, muchas de las reglas comunes de la aritmética decimal ya no se cumplen, por ejemplo, la fracción${\textstyle {\frac {1}{3}}}$no tiene representación; véase el apartado §  Sistemas de numeración alternativos más abajo.

Otro enfoque consiste en definir un número real como el límite de una sucesión de Cauchy de números racionales. Esta construcción de los números reales utiliza el ordenamiento de los racionales de forma menos directa. Primero, la distancia entre${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$se define como el valor absoluto${\displaystyle \left\vert x-y\right\vert }$⁠ , donde el valor absoluto${\displaystyle \left\vert z\right\vert }$se define como el máximo de ⁠${\displaystyle z}$y​​${\displaystyle -z}$⁠ , por lo tanto nunca negativo. Entonces los reales se definen como las secuencias de racionales que tienen la propiedad de secuencia de Cauchy usando esta distancia. Es decir, en la secuencia ⁠${\displaystyle x_{0}}$,​​${\displaystyle x_{1}}$,​​${\displaystyle x_{2}}$⁠ , ..., una correspondencia de números naturales a racionales, para cualquier racional positivo${\displaystyle \delta }$hay un${\displaystyle N}$de tal manera que${\displaystyle \left\vert x_{m}-x_{n}\right\vert \leq \delta }$para todos${\displaystyle m,n>N}$⁠ ; la distancia entre términos se vuelve menor que cualquier racional positivo. ^{[ 37 ]}

Si${\displaystyle (x_{n})}$y${\displaystyle (y_{n})}$Si son dos sucesiones de Cauchy, entonces se definen como iguales como números reales si la sucesión${\displaystyle (x_{n}-y_{n})}$tiene el límite 0. Truncamientos del número decimal ⁠${\displaystyle b_{0}.b_{1}b_{2}b_{3}}$... generan una sucesión de racionales, que es de Cauchy; esto se toma para definir el valor real del número. ^{[ 38 ]} Por lo tanto, en este formalismo la tarea es demostrar que la sucesión de números racionales $${\displaystyle \left(1-0,1-{9 \over 10},1-{99 \over 100},\ldots \right)=\left(1,{1 \over 10},{1 \over 100},\ldots \right)}$$ tiene un límite 0. Considerando el ⁠${\displaystyle n}$⁠ término n de la secuencia, para ⁠${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$⁠ , por lo tanto, debe demostrarse que $${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1}{10^{n}}}=0.}$$

Esto se puede demostrar mediante la definición de límite . Así que, de nuevo, 0,999... = 1. ^{[ 39 ]}

La definición de números reales como sucesiones de Cauchy fue publicada por primera vez por separado por Eduard Heine y Georg Cantor , también en 1872. ^{[ 35 ]} El enfoque anterior para las expansiones decimales, incluida la demostración de que 0,999... = 1 , sigue de cerca el trabajo de Griffiths y Hilton de 1970, Un libro de texto completo de matemáticas clásicas: Una interpretación contemporánea . ^{[ 40 ]}

Comúnmente en la enseñanza de las matemáticas en la escuela secundaria , los números reales se construyen definiendo un número mediante un entero seguido de un punto decimal y una secuencia infinita escrita como una cadena para representar la parte fraccionaria de cualquier número real dado. En esta construcción, el conjunto de cualquier combinación de un entero y dígitos después del punto decimal (o punto decimal en sistemas que no son de base 10) es el conjunto de los números reales. Se puede demostrar rigurosamente que esta construcción satisface todos los axiomas reales después de definir una relación de equivalencia sobre el conjunto que define 1 = _eq 0.999... así como para cualquier otro decimal distinto de cero con solo un número finito de términos distintos de cero en la cadena decimal con su versión de 9s finales. En otras palabras, que la igualdad 0.999... = 1 sea verdadera es una condición necesaria para que las cadenas de dígitos se comporten como deberían los números reales. ^{[ 41 ] [ 42 ]}

Una de las nociones que puede resolver el problema es el requisito de que los números reales estén densamente ordenados . El ordenamiento denso implica que si no hay ningún elemento nuevo estrictamente entre dos elementos del conjunto, estos dos elementos deben considerarse iguales. Por lo tanto, si 0,999... fuera diferente de 1, tendría que haber otro número real entre ellos, pero no lo hay: no se puede cambiar un solo dígito en ninguno de los dos para obtener tal número. ^{[ 43 ]}

Some proofs that 0.999... = 1 rely on the Archimedean property of the real numbers: that there are no nonzero infinitesimals. Specifically, the difference 1 − 0.999... must be smaller than any positive rational number, so it must be an infinitesimal; but since the reals do not contain nonzero infinitesimals, the difference is zero, and therefore the two values are the same.

However, there are mathematically coherent ordered algebraic structures, including various alternatives to the real numbers, which are non-Archimedean. Non-standard analysis provides a number system with a full array of infinitesimals (and their inverses).^[i]A. H. Lightstone developed a decimal expansion for hyperreal numbers in (0, 1)^∗. Lightstone shows how to associate each number with a sequence of digits, $${\displaystyle 0.d_{1}d_{2}d_{3}\ldots$$ ;\ldots d_{\infty -1}d_{\infty }d_{\infty +1}\ldots ,} indexed by the hypernatural numbers. While he does not directly discuss 0.999..., he shows the real number ${\textstyle {\frac {1}{3}}}$ is represented by 0.333...;...333..., which is a consequence of the transfer principle. As a consequence the number 0.999...;...999... = 1. With this type of decimal representation, not every expansion represents a number. In particular "0.333...;...000..." and "0.999...;...000..." do not correspond to any number.^[68]

The standard definition of the number 0.999... is the limit of the sequence 0.9, 0.99, 0.999, ...‍. A different definition involves an ultralimit, i.e., the equivalence class [(0.9, 0.99, 0.999, ...)] of this sequence in the ultrapower construction, which is a number that falls short of 1 by an infinitesimal amount.^[69] More generally, the hyperreal number ${\displaystyle u_{H}}$ = 0.999...;...999000..., with last digit 9 at infinite hypernatural rank ⁠${\displaystyle H}$⁠, satisfies a strict inequality ⁠${\displaystyle u_{H}<1}$⁠. Accordingly, an alternative interpretation for "zero followed by infinitely many 9s" could be^[70]$${\displaystyle {\underset {H}{0.\underbrace {999\ldots } }}\;=1\;-\;{\frac {1}{10^{H}}}.}$$

Todas esas interpretaciones de "0,999..." están infinitamente cerca de 1. Ian Stewart caracteriza esta interpretación como una forma "completamente razonable" de justificar rigurosamente la intuición de que "falta un poco" de 1 en 0,999... ^{[ j ]} Junto con Katz y Katz (2010b) , Ely (2010) también cuestiona la suposición de que las ideas de los estudiantes sobre 0,999... < 1 son intuiciones erróneas sobre los números reales, interpretándolas más bien como intuiciones no estándar que podrían ser valiosas en el aprendizaje del cálculo. ^{[ 71 ]}

La teoría de juegos combinatorios proporciona un concepto generalizado de número que abarca los números reales y mucho más. ^{[ 72 ]} Por ejemplo, en 1974, Elwyn Berlekamp describió una correspondencia entre cadenas de segmentos rojos y azules en Hackenbush y expansiones binarias de números reales, motivado por la idea de compresión de datos . Por ejemplo, el valor de la cadena de Hackenbush LRRLRLRL... es 0.010101... ₂ =${\textstyle {\frac {1}{3}}}$Sin embargo, el valor de LRLLL... (que corresponde a 0,111... ₂ ) es infinitesimalmente menor que 1. La diferencia entre ambos es el número surrealista.${\textstyle {\frac {1}{\omega }}}$, dónde${\displaystyle \omega }$es el primer ordinal infinito ; el juego relevante es LRRRR... o 0.000... ₂ . ^{[ k ]}

Esto es cierto para las expansiones binarias de muchos números racionales, donde los valores de los números son iguales pero las rutas del árbol binario correspondientes son diferentes. Por ejemplo, 0.10111... ₂ = 0.11000... ₂ , que son ambos iguales a ⁠${\displaystyle \textstyle {\frac {3}{4}}}$⁠ , pero la primera representación corresponde a la ruta del árbol binario LRLRLLL..., mientras que la segunda corresponde a la ruta diferente LRLLRRR...‍ .

Otra forma en que las demostraciones podrían verse socavadas es si 1 − 0.999... simplemente no existe porque la resta no siempre es posible. Las estructuras matemáticas con una operación de suma pero no de resta incluyen semigrupos conmutativos , monoides conmutativos y semianillos . Richman (1999) considera dos de estos sistemas, diseñados de manera que 0.999... < 1. ^{[ 15 ]}

Primero, Richman (1999) define un número decimal no negativo como una expansión decimal literal. Define el orden lexicográfico y una operación de suma, señalando que 0.999... < 1 simplemente porque 0 < 1 en el lugar de las unidades, pero para cualquier no terminado${\displaystyle x}$⁠ , uno tiene 0.999... +${\displaystyle x}$= 1 + ⁠${\displaystyle x}$⁠ . Así pues, una peculiaridad de los números decimales es que la suma no siempre se puede cancelar; otra es que ningún número decimal corresponde a ⁠${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{3}}}$Después de definir la multiplicación, los números decimales forman un semianillo positivo, totalmente ordenado y conmutativo. ^{[ 73 ]}

En el proceso de definir la multiplicación, Richman también define otro sistema que él llama "corte ".${\displaystyle D}$⁠ ", que es el conjunto de cortes de Dedekind de fracciones decimales. Normalmente, esta definición conduce a los números reales, pero para una fracción decimal${\displaystyle d}$él permite ambos cortes ( ⁠${\displaystyle -\infty }$,​​${\displaystyle d}$⁠ )​​y el "corte principal"( ⁠${\displaystyle -\infty }$,​​${\displaystyle d}$] .El resultado es que los números reales "conviven incómodamente" con las fracciones decimales. De nuevo0,999... < 1. No hay infinitesimales positivos en el corte${\displaystyle D}$⁠ , pero hay "una especie de infinitesimal negativo", 0 ⁻ , que no tiene expansión decimal. Concluye que 0.999... = 1 + 0 ⁻ , mientras que la ecuación " 0.999... +${\displaystyle x}$= 1 " no tiene solución. ^{[ l ]}

Cuando se les pregunta sobre 0.999..., los novatos a menudo creen que debería haber un "9 final", creyendo que 1 − 0.999... es un número positivo que escriben como "0.000...1". Tenga o no sentido, el objetivo intuitivo es claro: agregar un 1 al 9 final en 0.999... convertiría todos los 9 en 0 y dejaría un 1 en el lugar de las unidades. Entre otras razones, esta idea falla porque no hay un "9 final" en 0.999... ‍ .^{[ 74 ]} Sin embargo, existe un sistema que contiene una cadena infinita de 9 que incluye un último 9, pero donde el punto decimal está a la derecha de los nueves en lugar de a la izquierda.

El${\displaystyle p}$- Los números ádicos son un sistema numérico alternativo de interés en la teoría de números . Al igual que los números reales, los${\displaystyle p}$- Los números ádicos se pueden construir a partir de los números racionales mediante secuencias de Cauchy ; la construcción utiliza una métrica diferente en la que 0 está más cerca de ⁠${\displaystyle p}$, y mucho más cerca de${\displaystyle p^{n}}$⁠ , que es a 1. ^{[ 75 ]} El${\displaystyle p}$- Los números ádicos forman un campo para los números primos.${\displaystyle p}$y un anillo para otros${\displaystyle p}$⁠ , incluyendo 10. Por lo tanto, la aritmética se puede realizar en el${\displaystyle p}$- ádicos.

En los números de 10 dígitos, los análogos de las expansiones decimales se extienden hacia la izquierda. La expansión de 10 dígitos ...999 tiene un último 9, pero no tiene un primer 9. Se puede sumar 1 a la posición de las unidades, y después de llevar, quedan solo 0: 1 + ...999 = ...000 = 0 , y por lo tanto ...999 = −1 . ^{[ 76 ]} Otra derivación utiliza una serie geométrica. La serie infinita implícita en "...999" no converge en los números reales, pero sí en los de 10 dígitos, por lo que se puede reutilizar la fórmula familiar: ^{[ 77 ]}$${\displaystyle \ldots 999=9+9(10)+9(10)^{2}+9(10)^{3}+\cdots ={\frac {9}{1-10}}=-1.}$$

Compárese con la serie de la sección anterior . Una tercera derivación fue inventada por una alumna de séptimo grado que dudaba del argumento limitante de su profesor de que 0.999... = 1 , pero se inspiró para tomar la demostración de multiplicar por 10 anterior en la dirección opuesta: si${\displaystyle x}$= ...999 , entonces 10${\displaystyle x}$= ...990 , entonces 10${\displaystyle x}$=${\displaystyle x}$− 9 , por lo tanto${\displaystyle x}$= −1 de nuevo. ^{[ 76 ]}

En los números de 10 ádicos, 0,999... no es una expansión significativa, porque las sumas parciales no convergen. Como extensión final, dado que 0,999... = 1 (en los reales) y ...999 = −1 (en los números de 10 ádicos), entonces por "fe ciega y malabarismo descarado de símbolos" ^{[ 78 ]} se pueden sumar las dos ecuaciones y llegar a ...999,999... = 0. Esta ecuación no tiene sentido ni como una expansión de 10 ádicos ni como una expansión decimal ordinaria, pero resulta ser significativa y verdadera en la expansión decimal doblemente infinita del solenoide de 10 ádicos , con extremos izquierdos que eventualmente se repiten para representar los números reales y extremos derechos que eventualmente se repiten para representar los números de 10 ádicos. ^{[ 79 ]}