Intervalos anidados

Para demostrar este algoritmo, aquí hay un ejemplo de cómo se puede utilizar para encontrar el valor de${\displaystyle {\sqrt {19}}}$. Tenga en cuenta que desde${\displaystyle 1^{2}<19<5^{2}}$, el primer intervalo para el algoritmo se puede definir como${\displaystyle I_{1}:=[1,5]}$, desde${\displaystyle {\sqrt {19}}}$Sin duda, debe encontrarse dentro de este intervalo. Por lo tanto, utilizando este intervalo, se puede continuar con el siguiente paso del algoritmo calculando el punto medio del intervalo, determinando si el cuadrado del punto medio es mayor o menor que 19, y estableciendo los límites del siguiente intervalo en consecuencia antes de repetir el proceso:

${\displaystyle {\begin{aligned}m_{1}&={\dfrac {1+5}{2}}=3&&\Rightarrow \;m_{1}^{2}=9\leq 19&&\Rightarrow \;I_{2}=[3,5]\\m_{2}&={\dfrac {3+5}{2}}=4&&\Rightarrow \;m_{2}^{2}=16\leq 19&&\Rightarrow \;I_{3}=[4,5]\\m_{3}&={\dfrac {4+5}{2}}=4.5&&\Rightarrow \;m_{3}^{2}=20.25>19&&\Rightarrow \;I_{4}=[4,4.5]\\m_{4}&={\dfrac {4+4.5}{2}}=4.25&&\Rightarrow m_{4}^{2}=18.0625\leq 19&&\Rightarrow \;I_{5}=[4.25,4.5]\\m_{5}&={\dfrac {4.25+4.5}{2}}=4.375&&\Rightarrow \;m_{5}^{2}=19.140625>19&&\Rightarrow \;I_{5}=[4.25,4.375]\\&\vdots &&\end{aligned}}}$

Cada vez que se calcula un nuevo punto medio, el rango de valores posibles para${\displaystyle {\sqrt {19}}}$es posible restringirlo de manera que los valores que permanecen dentro del intervalo se acerquen cada vez más al valor real de${\displaystyle {\sqrt {19}}=4.35889894\dots }$. Es decir, cada cambio sucesivo en los límites del intervalo dentro del cual ${\displaystyle {\sqrt {19}}}$debe mentir permite el valor de${\displaystyle {\sqrt {19}}}$para ser estimado con mayor precisión, ya sea aumentando los límites inferiores del intervalo o disminuyendo los límites superiores del intervalo.

Este procedimiento puede repetirse tantas veces como sea necesario para alcanzar el nivel de precisión deseado. Teóricamente, repitiendo los pasos indefinidamente, se puede llegar al valor real de esta raíz cuadrada.

El método babilónico utiliza un algoritmo aún más eficiente que produce aproximaciones precisas de${\displaystyle {\sqrt {x}}}$para un${\displaystyle x>0}$aún más rápido. La descripción moderna que utiliza intervalos anidados es similar al algoritmo anterior, pero en lugar de utilizar una secuencia de puntos medios, se utiliza una secuencia${\displaystyle (c_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$dado por

${\displaystyle c_{n+1}:={\frac {1}{2}}\cdot \left(c_{n}+{\frac {x}{c_{n}}}\right)}$.

Esto da como resultado una secuencia de intervalos dada por${\displaystyle I_{n+1}:=\left[{\frac {x}{c_{n}}},c_{n}\right]}$y${\displaystyle I_{1}=[0,k]}$, dónde${\displaystyle k^{2}>x}$, proporcionará límites superiores e inferiores precisos para${\displaystyle {\sqrt {x}}}$muy rápido. En la práctica, solo${\displaystyle c_{n}}$debe tenerse en cuenta, lo que converge a${\displaystyle {\sqrt {x}}}$(al igual que, por supuesto, el límite inferior del intervalo). Este algoritmo es un caso especial del método de Newton .

Cabe señalar que algunos autores se refieren a dichas secuencias de intervalos, que satisfacen ambas propiedades anteriores, como intervalos anidados decrecientes . En este caso, una secuencia de intervalos anidados se refiere a una secuencia que solo satisface la propiedad 1.

La intersección de cada secuencia${\displaystyle (I_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ de intervalos anidados contiene exactamente un número real${\displaystyle x}$.

Prueba: Esta afirmación se puede verificar fácilmente por contradicción. Supongamos que existen dos números diferentes.${\displaystyle x,y\in \cap _{n\in \mathbb {N} }I_{n}}$. De${\displaystyle x\neq y}$De ello se deduce que difieren por${\displaystyle |x-y|>0.}$Dado que ambos números deben estar contenidos en cada intervalo, se deduce que${\displaystyle |I_{n}|\geq |x-y|}$a pesar de${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$Esto contradice la propiedad 2 de la definición de intervalos anidados; por lo tanto, la intersección puede contener como máximo un número${\displaystyle x}$El axioma de completitud garantiza que tal número real${\displaystyle x}$existe.${\displaystyle \;\square }$

• Este axioma es fundamental en el sentido de que una secuencia de intervalos anidados no necesariamente contiene un número racional, lo que significa que${\displaystyle \cap _{n\in \mathbb {N} }I_{n}}$podría producir${\displaystyle \emptyset }$, si tan solo consideramos los racionales.
• El axioma es equivalente a la existencia del ínfimo y el supremo (demostración a continuación), la convergencia de las sucesiones de Cauchy y el teorema de Bolzano-Weierstrass . Esto significa que uno de los cuatro debe introducirse axiomáticamente, mientras que los otros tres pueden demostrarse sucesivamente.

Si${\displaystyle A\subset \mathbb {R} }$tiene un límite superior, es decir, existe un número${\displaystyle b}$, de tal manera que${\displaystyle x\leq b}$a pesar de${\displaystyle x\in A}$, se puede llamar al número${\displaystyle s=\sup(A)}$el supremo de${\displaystyle A}$, si

1. el número${\displaystyle s}$es un límite superior de${\displaystyle A}$, significado${\displaystyle \forall x\in A:\;x\leq s}$
2. ${\displaystyle s}$es el límite superior más bajo de${\displaystyle A}$, significado${\displaystyle \forall \sigma <s:\;\exists x\in A:\;x>\sigma }$

Solo uno de esos números${\displaystyle s}$puede existir. Análogamente se puede definir el ínfimo (${\displaystyle \inf(B)}$) de un conjunto${\displaystyle B\subset \mathbb {R} }$, que está acotado inferiormente, como el mayor límite inferior de ese conjunto.

Cada conjunto${\displaystyle A\subset \mathbb {R} }$tiene un supremo (ínfimo), si está limitado por arriba (por abajo).

Prueba: Sin pérdida de generalidad, se puede observar un conjunto${\displaystyle A\subset \mathbb {R} }$que tiene un límite superior. Ahora se puede construir una secuencia.${\displaystyle (I_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$de intervalos anidados${\displaystyle I_{n}=[a_{n},b_{n}]}$, que tiene las dos propiedades siguientes:

1. ${\displaystyle b_{n}}$es un límite superior de${\displaystyle A}$a pesar de${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$
2. ${\displaystyle a_{n}}$nunca es un límite superior de${\displaystyle A}$para cualquier${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$.

La construcción sigue una recursión comenzando con cualquier número${\displaystyle a_{1}}$, eso no es un límite superior (por ejemplo${\displaystyle a_{1}=c-1}$, dónde ${\displaystyle c\in A}$y un límite superior arbitrario${\displaystyle b_{1}}$de${\displaystyle A}$). Dado${\displaystyle I_{n}=[a_{n},b_{n}]}$para algunos${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$se puede calcular el punto medio${\displaystyle m_{n}:={\frac {a_{n}+b_{n}}{2}}}$y definir

${\displaystyle I_{n+1}:=\left\{{\begin{matrix}\left[a_{n},m_{n}\right]&&{\text{if}}\;m_{n}\;{\text{is an upper bound of}}\;A\\\left[m_{n},b_{n}\right]&&{\text{if}}\;m_{n}\;{\text{is not an upper bound}}\end{matrix}}\right.}$

Cabe destacar que esta secuencia de intervalos está bien definida y, obviamente, es una secuencia de intervalos anidados por construcción.

Ahora dejemos${\displaystyle s}$sea ​​el número en cada intervalo (cuya existencia está garantizada por el axioma ).${\displaystyle s}$es un límite superior de${\displaystyle A}$, de lo contrario existe un número${\displaystyle x\in A}$, de tal manera que${\displaystyle x>s}$Además, esto implicaría la existencia de un intervalo${\displaystyle I_{m}=[a_{m},b_{m}]}$con${\displaystyle b_{m}-a_{m}<x-s}$, de la cual${\displaystyle b_{m}-s<x-s}$sigue, debido a${\displaystyle s}$también siendo un elemento de${\displaystyle I_{m}}$. Pero esto es una contradicción con la propiedad 1 del supremo (que significa${\displaystyle b_{m}<s}$a pesar de${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$). Por lo tanto${\displaystyle s}$es de hecho un límite superior de${\displaystyle A}$.

Supongamos que existe un límite superior inferior.${\displaystyle \sigma <s}$de${\displaystyle A}$. Desde${\displaystyle (I_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$es una secuencia de intervalos anidados, las longitudes de los intervalos se vuelven arbitrariamente pequeñas; en particular, existe un intervalo con una longitud menor que${\displaystyle s-\sigma }$Pero desde${\displaystyle s\in I_{n}}$uno consigue${\displaystyle s-a_{n}<s-\sigma }$y por lo tanto${\displaystyle a_{n}>\sigma }$Siguiendo las reglas de esta construcción,${\displaystyle a_{n}}$tendría que ser un límite superior de${\displaystyle A}$, lo que contradice la propiedad 2 de todas las secuencias de intervalos anidados.

En dos pasos se ha demostrado que${\displaystyle s}$es un límite superior de${\displaystyle A}$y que no puede existir un límite superior inferior. Por lo tanto${\displaystyle s}$es el supremo de${\displaystyle A}$por definición.

Como se vio, la existencia de supremas e ínfimos de conjuntos acotados es una consecuencia de la completitud de${\displaystyle \mathbb {R} }$En efecto, ambos son realmente equivalentes, lo que significa que cualquiera de los dos puede introducirse axiomáticamente.

Prueba: Dejemos${\displaystyle (I_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$con${\displaystyle I_{n}=[a_{n},b_{n}]}$sea ​​una secuencia de intervalos anidados. Entonces el conjunto${\displaystyle A:=\{a_{1},a_{2},\dots \}}$está delimitado desde arriba, donde cada${\displaystyle b_{n}}$es un límite superior. Esto implica que el límite superior mínimo${\displaystyle s=\sup(A)}$cumple${\displaystyle a_{n}\leq s\leq b_{n}}$a pesar de${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$. Por lo tanto${\displaystyle s\in I_{n}}$a pesar de${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$respectivamente${\displaystyle s\in \cap _{n\in \mathbb {N} }I_{n}}$.