Propiedad del límite superior mínimo

Sea S un conjunto no vacío de números reales .

• Un número real x se denomina cota superior para S si x ≥ s para todo s ∈ S.
• Un número real x es el menor límite superior (o supremo ) para S si x es un límite superior para S y x ≤ y para cada límite superior y de S.

La propiedad del límite superior mínimo establece que cualquier conjunto no vacío de números reales que tenga un límite superior debe tener un límite superior mínimo en números reales .

De forma más general, se puede definir un límite superior y un límite superior mínimo para cualquier subconjunto de un conjunto parcialmente ordenado X , donde "número real" se reemplaza por "elemento de X ". En este caso, decimos que X tiene la propiedad de límite superior mínimo si todo subconjunto no vacío de X con un límite superior tiene un límite superior mínimo en X.

Por ejemplo, el conjunto Q de números racionales no tiene la propiedad de cota superior mínima bajo el orden usual. Por ejemplo, el conjunto

${\displaystyle \left\{x\in \mathbf {Q} :x^{2}\leq 2\right\}=\mathbf {Q} \cap \left(-{\sqrt {2}},{\sqrt {2}}\right)}$

tiene una cota superior en Q , pero no tiene una cota superior mínima en Q (ya que la raíz cuadrada de dos es irracional ). La construcción de los números reales mediante cortes de Dedekind aprovecha esta limitación definiendo los números irracionales como las cotas superiores mínimas de ciertos subconjuntos de los racionales.

Para los números reales, la propiedad de cota superior mínima es equivalente a otras formas del axioma de completitud , como la convergencia de sucesiones de Cauchy o el teorema de intervalos anidados . El estatus lógico de la propiedad depende de la construcción de los números reales utilizados: en un enfoque sintético , la propiedad se suele tomar como un axioma ; en otros enfoques, la propiedad debe demostrarse como un teorema , ya sea directamente a partir de la construcción o como consecuencia de alguna otra forma de completitud.

La propiedad de cota superior mínima se puede demostrar a partir de la propiedad arquimediana junto con la suposición de que toda sucesión de Cauchy de números reales converge. ^{[ 3 ]} Sea S un conjunto no vacío de números reales. Si S tiene exactamente un elemento, entonces su único elemento es una cota superior mínima. Consideremos entonces S con más de un elemento y supongamos que S tiene una cota superior B ₁ . Dado que S no es vacío y tiene más de un elemento, existe un número real A ₁ que no es una cota superior para S . Definamos las sucesiones A ₁ , A ₂ , A ₃ , ... y B ₁ , B ₂ , B ₃ , ... recursivamente de la siguiente manera:

1. Compruebe si ( A _n + B _n ) ⁄ 2 es una cota superior para S .
2. Si es así, sea A _{n +1} = A _n y sea B _{n +1} = ( A _n + B _n ) ⁄ 2 .
3. De lo contrario, debe haber un elemento s en S tal que s > ( A _n + B _n ) / 2. Sea A _{n + 1} = s y sea B _{n + 1} = B _n .

Entonces A ₁ ≤ A ₂ ≤ A ₃ ≤ ⋯ ≤ B ₃ ≤ B ₂ ≤ B ₁ . Ahora | A _n − B _n | → 0 cuando n → ∞ , por la propiedad arquimediana. De ello se deduce que ambas sucesiones son de Cauchy y tienen el mismo límite L , que debe ser la menor cota superior para S .

Sea f : [ a , b ] → R una función continua , y supongamos que f ( a ) < 0 y f ( b ) > 0 . En este caso, el teorema del valor intermedio establece que f debe tener una raíz en el intervalo [ a , b ] . Este teorema se puede demostrar considerando el conjunto

S = { s ∈ [ a , b ] : f ( x ) < 0 para todo x ≤ s } .

Es decir, S es el segmento inicial de [ a , b ] que toma valores negativos bajo f . Entonces b es una cota superior para S , y la cota superior más pequeña debe ser una raíz de f .

El teorema de Bolzano-Weierstrass para R establece que toda sucesión x _n de números reales en un intervalo cerrado [ a , b ] debe tener una subsucesión convergente . Este teorema se puede demostrar considerando el conjunto

S = { s ∈ [ a , b ] : s ≤ x _n para infinitos n }

Claramente, ${\displaystyle a\in S}$y S no está vacío. Además, b es una cota superior para S , por lo que S tiene una cota superior mínima c . Entonces c debe ser un punto límite de la secuencia x _n , y se deduce que x _n tiene una subsecuencia que converge a c .

Sea f : [ a , b ] → R una función continua y sea M = sup f ([ a , b ]) , donde M = ∞ si f ([ a , b ]) no tiene límite superior. El teorema del valor extremo establece que M es finito y f ( c ) = M para algún c ∈ [ a , b ] . Esto se puede demostrar considerando el conjunto

S = { s ∈ [ a , b ] : sup f ([ s , b ]) = M } .

Por definición de M , a ∈ S , y por su propia definición, S está acotado por b . Si c es el menor límite superior de S , entonces se deduce de la continuidad que f ( c ) = M.

Sea [ a , b ] un intervalo cerrado en R , y sea { U _α } una colección de conjuntos abiertos que cubre [ a , b ] . Entonces el teorema de Heine-Borel establece que alguna subcolección finita de { U _α } también cubre [ a , b ] . Esta afirmación se puede demostrar considerando el conjunto

S = { s ∈ [ a , b ] : [ a , s ] puede ser cubierto por un número finito de U _α } .

El conjunto S obviamente contiene a y está acotado por b por construcción. Por la propiedad de cota superior mínima, S tiene una cota superior mínima c ∈ [ a , b ] . Por lo tanto, c es en sí mismo un elemento de algún conjunto abierto U _α , y se sigue para c < b que [ a , c + δ ] puede ser cubierto por un número finito de U _α para algún δ > 0 suficientemente pequeño . Esto prueba que c + δ ∈ S y que c no es una cota superior para S . En consecuencia, c = b .