Elemento mayor y elemento menor

Los elementos mayores están estrechamente relacionados con los límites superiores .

Dejar${\displaystyle (P,\leq )}$ser un conjunto preordenado y dejar${\displaystyle S\subseteq P.}$ Un límite superior de${\displaystyle S}$en${\displaystyle (P,\leq )}$es un elemento${\displaystyle u}$de tal manera que${\displaystyle u\in P}$y${\displaystyle s\leq u}$a pesar de${\displaystyle s\in S.}$Es importante destacar que existe un límite superior de${\displaystyle S}$en${\displaystyle P}$no es necesario que sea un elemento de${\displaystyle S.}$

Si${\displaystyle g\in P}$entonces${\displaystyle g}$es un elemento más importante de${\displaystyle S}$si y solo si${\displaystyle g}$es un límite superior de${\displaystyle S}$en${\displaystyle (P,\leq )}$y${\displaystyle g\in S.}$En particular, cualquier elemento más importante de${\displaystyle S}$es también un límite superior de${\displaystyle S}$(en${\displaystyle P}$) pero un límite superior de${\displaystyle S}$en${\displaystyle P}$es un elemento más importante de${\displaystyle S}$si y solo si pertenece a${\displaystyle S.}$ En el caso particular donde${\displaystyle P=S,}$la definición de "${\displaystyle u}$es un límite superior de${\displaystyle S}$en${\displaystyle S}$" se convierte en:${\displaystyle u}$es un elemento tal que${\displaystyle u\in S}$y${\displaystyle s\leq u}$a pesar de${\displaystyle s\in S,}$lo cual es completamente idéntico a la definición de elemento mayor dada anteriormente. Por lo tanto${\displaystyle g}$es un elemento más importante de${\displaystyle S}$si y solo si${\displaystyle g}$es un límite superior de${\displaystyle S}$en${\displaystyle S}$.

Si${\displaystyle u}$es un límite superior de${\displaystyle S}$en${\displaystyle P}$eso no es un límite superior de${\displaystyle S}$en${\displaystyle S}$(lo cual puede ocurrir si y solo si${\displaystyle u\not \in S}$) entonces${\displaystyle u}$no puede ser el elemento más importante de${\displaystyle S}$(sin embargo, puede ser posible que algún otro elemento sea el elemento más importante de${\displaystyle S}$). En particular, es posible que${\displaystyle S}$no tener simultáneamente un elemento mayor y que exista algún límite superior de${\displaystyle S}$en${\displaystyle P}$.

Aunque un conjunto tenga límites superiores, no necesariamente tiene un elemento máximo, como lo demuestra el ejemplo de los números reales negativos . Este ejemplo también demuestra que la existencia de un límite superior mínimo (el número 0 en este caso) no implica la existencia de un elemento máximo.

El elemento mayor de un subconjunto de un conjunto preordenado no debe confundirse con el elemento máximo del conjunto, que son elementos que no son estrictamente menores que ningún otro elemento del conjunto.

Dejar${\displaystyle (P,\leq )}$ser un conjunto preordenado y dejar${\displaystyle S\subseteq P.}$ Un elemento${\displaystyle m\in S}$Se dice que es un elemento máximo de${\displaystyle S}$si se cumple la siguiente condición:

cuando sea${\displaystyle s\in S}$Satisface${\displaystyle m\leq s,}$entonces necesariamente${\displaystyle s\leq m.}$

Si${\displaystyle (P,\leq )}$es un conjunto parcialmente ordenado entonces${\displaystyle m\in S}$es un elemento máximo de${\displaystyle S}$si y solo si no existe ninguna${\displaystyle s\in S}$de tal manera que${\displaystyle m\leq s}$y${\displaystyle s\neq m.}$ Un elemento máximo de${\displaystyle (P,\leq )}$se define como un elemento máximo del subconjunto${\displaystyle S:=P.}$

Un conjunto puede tener varios elementos máximos sin tener un elemento máximo. Al igual que los límites superiores y los elementos máximos, los elementos máximos pueden no existir.

En un conjunto totalmente ordenado, el elemento máximo y el elemento más grande coinciden; y también se le llama máximo ; en el caso de valores de función, también se le llama máximo absoluto , para evitar confusiones con un máximo local . ^{[ 1 ]} Los términos duales son mínimo y mínimo absoluto . Juntos se les llama extremos absolutos . Conclusiones similares son válidas para los elementos mínimos.

Papel de la (in)comparabilidad en la distinción entre elementos máximos y máximos

Una de las diferencias más importantes entre un elemento más grande${\displaystyle g}$y un elemento maximal${\displaystyle m}$de un conjunto reservado${\displaystyle (P,\leq )}$tiene que ver con qué elementos son comparables. Dos elementos${\displaystyle x,y\in P}$se dice que son comparables si${\displaystyle x\leq y}$o${\displaystyle y\leq x}$; se llaman incomparables si no son comparables. Porque los pedidos anticipados son reflexivos (lo que significa que${\displaystyle x\leq x}$Esto es cierto para todos los elementos.${\displaystyle x}$), cada elemento${\displaystyle x}$Un conjunto siempre es comparable consigo mismo. Por consiguiente, los únicos pares de elementos que podrían ser incomparables son los pares distintos . Sin embargo, en general, los conjuntos preordenados (e incluso los conjuntos parcialmente ordenados dirigidos ) pueden tener elementos incomparables.

Por definición, un elemento${\displaystyle g\in P}$es un elemento más importante de${\displaystyle (P,\leq )}$si${\displaystyle s\leq g,}$por cada${\displaystyle s\in P}$; por lo tanto, por su propia definición, un elemento mayor de${\displaystyle (P,\leq )}$debe, en particular, ser comparable a cada elemento en${\displaystyle P.}$ Esto no es requerido para los elementos máximos. Elementos máximos de${\displaystyle (P,\leq )}$no se requiere que sean comparables a cada elemento en${\displaystyle P.}$ Esto se debe a que, a diferencia de la definición de "elemento mayor", la definición de "elemento máximo" incluye una importante condición "si" . La condición definitoria para${\displaystyle m\in P}$ser un elemento máximo de${\displaystyle (P,\leq )}$puede reformularse como:

A pesar de${\displaystyle s\in P,}$SI${\displaystyle m\leq s}$(por lo que los elementos que son incomparables a${\displaystyle m}$son ignorados) entonces${\displaystyle s\leq m.}$

Ejemplo donde todos los elementos son máximos pero ninguno es el mayor.

Supongamos que${\displaystyle S}$es un conjunto que contiene al menos dos elementos (distintos) y define un orden parcial.${\displaystyle \,\leq \,}$en${\displaystyle S}$declarando que${\displaystyle i\leq j}$si y solo si${\displaystyle i=j.}$ Si${\displaystyle i\neq j}$pertenecer a${\displaystyle S}$entonces ninguno${\displaystyle i\leq j}$ni${\displaystyle j\leq i}$se cumple, lo que demuestra que todos los pares de elementos distintos (es decir, no iguales) en${\displaystyle S}$son comparables. En consecuencia ,${\displaystyle (S,\leq )}$No puede tener un elemento mayor (porque un elemento mayor de${\displaystyle S}$en particular, tendría que ser comparable a cada elemento de${\displaystyle S}$pero${\displaystyle S}$no tiene tal elemento). Sin embargo, cada elemento${\displaystyle m\in S}$es un elemento máximo de${\displaystyle (S,\leq )}$porque hay exactamente un elemento en${\displaystyle S}$que es comparable a ambos${\displaystyle m}$y${\displaystyle \geq m,}$ese elemento es${\displaystyle m}$en sí mismo (que por supuesto, es${\displaystyle \leq m}$). ^{[ nota 1 ]}

Por el contrario, si se trata de un conjunto preordenado${\displaystyle (P,\leq )}$sí que tiene un elemento mayor${\displaystyle g}$entonces${\displaystyle g}$será necesariamente un elemento máximo de${\displaystyle (P,\leq )}$y además, como consecuencia del elemento más importante${\displaystyle g}$ser comparable a cada elemento de${\displaystyle P,}$si${\displaystyle (P,\leq )}$También está parcialmente ordenado, entonces es posible concluir que${\displaystyle g}$es el único elemento máximo de${\displaystyle (P,\leq ).}$ Sin embargo, la conclusión de unicidad ya no está garantizada si el conjunto preordenado${\displaystyle (P,\leq )}$tampoco está parcialmente ordenado. Por ejemplo, supongamos que${\displaystyle R}$es un conjunto no vacío y define un preorden${\displaystyle \,\leq \,}$en${\displaystyle R}$declarando que${\displaystyle i\leq j}$siempre se cumple para todos${\displaystyle i,j\in R.}$El conjunto de pedidos anticipados dirigidos${\displaystyle (R,\leq )}$está parcialmente ordenado si y solo si${\displaystyle R}$tiene exactamente un elemento. Todos los pares de elementos de${\displaystyle R}$son comparables y cada elemento de${\displaystyle R}$es un elemento mayor (y por lo tanto también un elemento máximo) de${\displaystyle (R,\leq ).}$Entonces, en particular, si${\displaystyle R}$tiene al menos dos elementos entonces${\displaystyle (R,\leq )}$tiene múltiples elementos distintivos más importantes.