Aritmética de punto flotante

Una representación numérica especifica alguna forma de codificar un número, generalmente como una cadena de dígitos.

Existen varios mecanismos para representar números mediante secuencias de dígitos. En la notación matemática estándar, la secuencia puede tener cualquier longitud, y la posición del punto decimal se indica colocando un punto (o coma) en dicho punto. Si no se especifica el punto decimal, la secuencia representa implícitamente un número entero , y este se ubicaría fuera de la secuencia, junto al dígito menos significativo. En los sistemas de punto fijo , se especifica una posición en la secuencia para el punto decimal. Así, un sistema de punto fijo podría usar una secuencia de 8 dígitos decimales con el punto decimal en el medio, de modo que "00012345" representaría 0001.2345.

En notación científica , el número dado se escala por una potencia de 10 , de modo que se encuentre dentro de un rango específico, generalmente entre 1 y 10, con el punto decimal apareciendo inmediatamente después del primer dígito. Como potencia de diez, el factor de escala se indica por separado al final del número. Por ejemplo, el período orbital de la luna Io de Júpiter es152.853,5047 segundos, un valor que se representaría en notación científica estándar como1,528535047 × 10 ⁵ segundos.

La representación de punto flotante es similar en concepto a la notación científica. Lógicamente, un número de punto flotante consta de:

• Una cadena de dígitos con signo (positivo o negativo) de una longitud determinada en una base dada . Esta cadena de dígitos se denomina mantisa o coeficiente . ^{[ nb 1 ]} La longitud de la mantisa determina la precisión con la que se pueden representar los números. Se supone que la posición del punto de base siempre está dentro de la mantisa, generalmente justo después o justo antes del dígito más significativo, o a la derecha del dígito más a la derecha (menos significativo). Este artículo sigue generalmente la convención de que el punto de base se coloca justo después del dígito más significativo (más a la izquierda).
• Un exponente entero con signo (también denominado característica o escala ), ^{[ nb 2 ]} que modifica la magnitud del número.

Para obtener el valor del número de punto flotante, la mantisa se multiplica por la base elevada a la potencia del exponente , lo que equivale a desplazar el punto decimal de su posición implícita un número de lugares igual al valor del exponente: a la derecha si el exponente es positivo o a la izquierda si el exponente es negativo.

Utilizando la base 10 (la notación decimal familiar ) como ejemplo, el número152.853,5047 , que tiene diez dígitos decimales de precisión, se representa como la mantisa.1528535047 junto con 5 como exponente. Para determinar el valor real, se coloca un punto decimal después del primer dígito de la mantisa y el resultado se multiplica por 10.⁵ para dar1,528535047 × 10⁵ ^, o152.853,5047 . Al almacenar dicho número, no es necesario almacenar la base (10), ya que será la misma para todo el rango de números admitidos y, por lo tanto, se puede inferir.

Simbólicamente, este valor final es: $${\displaystyle {\frac {s}{b^{\,p-1}}}\times b^{e},}$$

donde s es la mantisa (ignorando cualquier punto decimal implícito), p es la precisión (el número de dígitos en la mantisa), b es la base (en nuestro ejemplo, este es el número diez ) y e es el exponente.

Históricamente, se han utilizado varias bases numéricas para representar números de punto flotante, siendo la base dos ( binaria ) la más común, seguida de la base diez ( punto flotante decimal ) y otras variedades menos comunes, como la base dieciséis ( punto flotante hexadecimal ^{[ 4 ] [ 5 ] [ nb 3 ]} ), la base ocho (punto flotante octal ^{[ 1 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 4 ] [ nb 4 ]} ), la base cuatro (punto flotante cuaternario ^{[ 7 ] [ 5 ] [ nb 5 ]} ), la base tres ( punto flotante ternario balanceado ^{[ 1 ]} ) e incluso la base 256 ^{[ 5 ] [ nb 6 ]} y la base65.536 . ^{[ 8 ] [ nb 7 ]}

Un número de punto flotante es un número racional , porque se puede representar como un número entero dividido por otro; por ejemplo1,45 × 10³ es ⁽ 145/100)×1000 o145.000 /100. La base determina las fracciones que se pueden representar; por ejemplo, 1/5 no se puede representar exactamente como un número de punto flotante usando una base binaria, pero 1/5 se puede representar exactamente usando una base decimal (0,2 o2 × 10 ⁻¹ ). Sin embargo, 1/3 no puede representarse exactamente ni en binario (0.010101...) ni en decimal (0.333...), pero en base 3 es trivial (0.1 o 1×3 ⁻¹ ). Las ocasiones en que ocurren expansiones infinitas dependen de la base y sus factores primos .

La forma en que se almacenan en una computadora la mantisa (incluido su signo) y el exponente depende de la implementación. Los formatos IEEE comunes se describen en detalle más adelante y en otros lugares, pero como ejemplo, en la representación de punto flotante de precisión simple binaria (32 bits),${\displaystyle p=24}$y, por lo tanto, la mantisa es una cadena de 24 bits . Por ejemplo, los primeros 33 bits del número π son: $${\displaystyle 11001001\ 00001111\ 1101101{\underline {0}}\ 10100010\ 0.}$$

En esta expansión binaria, denotemos las posiciones desde 0 (bit más a la izquierda o bit más significativo) hasta 32 (bit más a la derecha). La mantisa de 24 bits se detendrá en la posición  23, que se muestra como el bit subrayado.0 arriba. El siguiente bit, en la posición  24, se llama bit de redondeo . Se utiliza para redondear la aproximación de 33 bits al número de 24 bits más cercano (hay reglas específicas para valores intermedios , lo cual no es el caso aquí). Este bit, que esEn este ejemplo, se suma 1 al número entero formado por los 24 bits más a la izquierda, lo que da como resultado: $${\displaystyle 11001001\ 00001111\ 1101101{\underline {1}}.}$$

Cuando esto se almacena en memoria utilizando la codificación IEEE 754, se convierte en la mantisa s . Se supone que la mantisa tiene un punto binario a la derecha del bit más a la izquierda. Por lo tanto, la representación binaria de π se calcula de izquierda a derecha de la siguiente manera: $${\displaystyle {\begin{aligned}&{\biggl (}\sum _{n=0}^{p-1}{\text{bit}}_{n}\times 2^{-n}{\biggr )}\times 2^{e}\\&\qquad {}=\left(1\times 2^{-0}+1\times 2^{-1}+0\times 2^{-2}+0\times 2^{-3}+\cdots +1\times 2^{-23}\right)\times 2^{1}\\[2mu]&\qquad {}\approx 1.57079637\times 2\\[3mu]&\qquad {}\approx 3.1415927\end{aligned}}}$$

donde p es la precisión (24 en este ejemplo), n es la posición del bit de la mantisa desde la izquierda (comenzando en0 y terminando en23 aquí) y e es el exponente (1 en este ejemplo).

Puede requerirse que el dígito más significativo de la mantisa de un número distinto de cero sea distinto de cero (excepto cuando el exponente correspondiente sea menor que el mínimo). Este proceso se denomina normalización . Para formatos binarios (que utilizan solo los dígitos0 y1 ), este dígito distinto de cero es necesariamente1. Por lo tanto, no necesita estar representado en la memoria, lo que permite que el formato tenga un bit más de precisión. Esta regla se denomina de diversas maneras convención de bit principal , convención de bit implícita , convención de bit oculta , ^{[ 1 ]} o convención de bit asumida .

La representación de punto flotante es, con mucho, la forma más común de representar en las computadoras una aproximación a los números reales. Sin embargo, existen alternativas:

• La representación de punto fijo utiliza operaciones de hardware con números enteros controladas por una implementación de software que sigue una convención específica sobre la ubicación del punto binario o decimal; por ejemplo, a 6 bits o dígitos de la derecha. El hardware para manipular estas representaciones es menos costoso que el de punto flotante y también puede utilizarse para realizar operaciones con números enteros. El punto fijo binario se suele usar en aplicaciones específicas de procesadores integrados que solo admiten aritmética de enteros, mientras que el punto fijo decimal es común en aplicaciones comerciales.
• Los sistemas de numeración logarítmica (SNL) representan un número real mediante el logaritmo de su valor absoluto y un bit de signo. La distribución de valores es similar a la de punto flotante, pero la curva de relación valor-representación ( es decir , la gráfica de la función logaritmo) es suave (excepto en 0). A diferencia de la aritmética de punto flotante, en un sistema de numeración logarítmica la multiplicación, la división y la exponenciación son sencillas de implementar, pero la suma y la resta son complejas. La aritmética de índice de nivel (LI y SLI) ( simétrica ) de Charles Clenshaw, Frank Olver y Peter Turner es un esquema basado en una representación logarítmica generalizada .
• Representación de punto flotante cónica , utilizada en formatos Unum , incluido Posit .
• Algunos números racionales simples ( por ejemplo , 1/3 y 1/10) no se pueden representar con exactitud en coma flotante binaria, independientemente de la precisión. El uso de una base diferente permite representar algunos de ellos ( por ejemplo , 1/10 en coma flotante decimal), pero las posibilidades siguen siendo limitadas. Los programas que realizan aritmética racional representan los números como fracciones con numerador y denominador enteros, y por lo tanto pueden representar cualquier número racional con exactitud. Estos programas generalmente necesitan usar aritmética de " números grandes " para los enteros individuales.
• La aritmética de intervalos permite representar números como intervalos y obtener límites garantizados en los resultados. Generalmente se basa en otras operaciones aritméticas, en particular la de punto flotante.
• Los sistemas de álgebra computacional como Mathematica , Maxima y Maple a menudo pueden manejar números irracionales como${\displaystyle \pi }$o${\displaystyle {\sqrt {3}}}$de una manera completamente "formal" ( cálculo simbólico ), sin tratar con una codificación específica de la significando. Dicho programa puede evaluar expresiones como "${\displaystyle \sin(3\pi )}$"Exactamente, porque está programado para procesar las matemáticas subyacentes directamente, en lugar de utilizar valores aproximados para cada cálculo intermedio."

Los números de punto flotante se suelen empaquetar en un dato informático como el bit de signo, el campo del exponente y un campo para la mantisa, de izquierda a derecha. Para los formatos binarios IEEE 754 (básico y extendido) que cuentan con implementaciones de hardware existentes, se distribuyen de la siguiente manera:

Si bien el exponente puede ser positivo o negativo, en formatos binarios se almacena como un número sin signo con un sesgo fijo. Los valores de 0 en este campo están reservados para los ceros y los números subnormales ; los valores de 1 están reservados para los infinitos y los NaN. El rango del exponente para números normales es [−126, 127] para precisión simple, [−1022, 1023] para precisión doble o [−16382, 16383] para precisión cuádruple. Los números normales excluyen los valores subnormales, los ceros, los infinitos y los NaN.

En los formatos de intercambio binario IEEE, el bit principal de una mantisa normalizada no se almacena en el dato informático, ya que siempre es 1. Se le denomina bit "oculto" o "implícito". Por este motivo, el formato de precisión simple tiene una mantisa con 24 bits de precisión, el formato de doble precisión tiene 53, el formato cuádruple tiene 113 y el formato óctuple tiene 237.

Por ejemplo, se mostró anteriormente que π, redondeado a 24 bits de precisión, tiene:

• signo = 0  ; e = 1  ; s = 110010010000111111011011 (incluido el bit oculto)

La suma del sesgo exponencial (127) y el exponente (1) es 128, por lo que esto se representa en el formato de precisión simple como

• 0 10000000 10010010000111111011011 (excluyendo el bit oculto) = 40490FDB ^{[ 28 ]} como un número hexadecimal .

Un ejemplo de diseño para punto flotante de 32 bits es

y la disposición de 64 bits ("doble") es similar.

El redondeo se utiliza cuando el resultado exacto de una operación de punto flotante (o una conversión a formato de punto flotante) necesitaría más dígitos que los dígitos de la mantisa. IEEE 754 requiere un redondeo correcto : es decir, el resultado redondeado es como si se hubiera utilizado aritmética de precisión infinita para calcular el valor y luego redondearlo (aunque en la implementación solo se necesitan tres bits adicionales para garantizar esto). Hay varios esquemas de redondeo diferentes (o modos de redondeo ). Históricamente, el truncamiento era el enfoque típico. Desde la introducción de IEEE 754, el método predeterminado ( redondear al más cercano, empates al par , a veces llamado Redondeo Bancario) es el más utilizado. Este método redondea el resultado ideal (de precisión infinita) de una operación aritmética al valor representable más cercano y da esa representación como resultado. ^{[ nb 8 ]} En caso de empate, se elige el valor que haría que la mantisa terminara en un dígito par. El estándar IEEE 754 exige que se aplique el mismo redondeo a todas las operaciones algebraicas fundamentales, incluidas la raíz cuadrada y las conversiones, cuando el resultado es numérico (distinto de NaN). Esto significa que los resultados de las operaciones IEEE 754 se determinan completamente en todos los bits del resultado, excepto en la representación de los NaN. (Las funciones de la biblioteca, como el coseno y el logaritmo, no son obligatorias).

También existen opciones de redondeo alternativas. La norma IEEE 754 especifica los siguientes modos de redondeo:

• redondeo al más cercano, donde los empates se redondean al dígito par más cercano en la posición requerida (el modo predeterminado y, con mucho, el más común).
• redondear al número entero más cercano; en caso de empate, redondear alejándose de cero (opcional para números de coma flotante binarios y comúnmente utilizado en decimales).
• redondeo hacia arriba (hacia +∞; los resultados negativos se redondean hacia cero)
• redondear hacia abajo (hacia −∞; los resultados negativos se redondean alejándose de cero).
• redondeo hacia cero (truncamiento; es similar al comportamiento común de las conversiones de flotante a entero, que convierten −3,9 a −3 y 3,9 a 3).

Los modos alternativos son útiles cuando se debe limitar la cantidad de error introducido. Las aplicaciones que requieren un error limitado son la aritmética de punto flotante de precisión múltiple y la aritmética de intervalos . Los modos de redondeo alternativos también son útiles para diagnosticar la inestabilidad numérica: si los resultados de una subrutina varían sustancialmente entre el redondeo a + y − infinito, es probable que sea numéricamente inestable y esté afectada por el error de redondeo. ^{[ 35 ]}

Convertir un número binario de punto flotante de doble precisión a una cadena decimal es una operación común, pero un algoritmo que produjera resultados precisos y concisos no apareció impreso hasta 1990, con Dragon4 de Steele y White. Algunas de las mejoras desde entonces incluyen:

• dtoa.c de David M. Gay , una implementación práctica de código abierto de muchas ideas de Dragon4. ^{[ 36 ]}
• Grisu3, con una aceleración de 4 × ya que elimina el uso de números grandes . Debe usarse con un método alternativo, ya que falla en aproximadamente el 0,5 % de los casos. ^{[ 37 ]}
• Errol3, un algoritmo que siempre tiene éxito, similar a Grisu3, pero más lento. Aparentemente no es tan bueno como un Grisu de terminación temprana con reserva. ^{[ 38 ]}
• Ryū, un algoritmo que siempre tiene éxito, es más rápido y sencillo que Grisu3. ^{[ 39 ]}
• Schubfach, un algoritmo que siempre tiene éxito y que se basa en una idea similar a la de Ryū, se desarrolló casi simultáneamente y de forma independiente. ^{[ 40 ]} Tiene un mejor rendimiento que Ryū y Grisu3 en ciertos benchmarks. ^{[ 41 ]}

Muchos entornos de ejecución de lenguajes modernos utilizan Grisu3 con una alternativa Dragon4. ^{[ 42 ]}

El problema de convertir una cadena decimal en una representación binaria de punto flotante es complejo, y no se encontró un analizador preciso hasta el trabajo de Clinger de 1990 (implementado en dtoa.c). ^{[ 36 ]} Asimismo, se ha avanzado en la dirección de un análisis más rápido. ^{[ 43 ]}

Un método sencillo para sumar números de coma flotante consiste en representarlos primero con el mismo exponente. En el ejemplo siguiente, el segundo número (con el exponente menor) se desplaza tres dígitos a la derecha y, a continuación, se procede con el método de suma habitual:

 123456.7 = 1.234567 × 10^5 101,7654 = 1,017654 × 10^2 = 0,001017654 × 10^5

 Por eso: 123456.7 + 101.7654 = (1.234567 × 10^5) + (1.017654 × 10^2) = (1,234567 × 10^5) + (0,001017654 × 10^5) = (1,234567 + 0,001017654) × 10^5 = 1,235584654 × 10^5

En detalle:

 e=5; s=1,234567 (123456,7) + e=2; s=1.017654 (101.7654)

 e=5; s=1,234567 + e=5; s=0,001017654 (después del desplazamiento) -------------------- e=5; s=1,235584654 (suma real: 123558,4654)

Este es el resultado verdadero, la suma exacta de los operandos. Se redondeará a siete dígitos y luego se normalizará si es necesario. El resultado final es

 e=5; s=1,235585 (suma final: 123558,5)

Los tres dígitos menos significativos del segundo operando (654) se pierden prácticamente por completo. Esto se debe a un error de redondeo . En casos extremos, la suma de dos números distintos de cero puede ser igual a uno de ellos.

 e=5; s=1,234567 + e=−3; s=9,876543

 e=5; s=1,234567 + e=5; s=0,00000009876543 (después del desplazamiento) ---------------------- e=5; s=1,23456709876543 (suma real) e=5; s=1,234567 (después del redondeo y la normalización)

En los ejemplos conceptuales anteriores, parecería que el sumador necesitaría proporcionar una gran cantidad de dígitos adicionales para garantizar un redondeo correcto; sin embargo, para la suma o resta binaria, utilizando técnicas de implementación cuidadosas, solo se necesita llevar un bit de guarda , un bit de redondeo y un bit de retención adicional más allá de la precisión de los operandos. ^{[ 18 ] [ 44 ] : 218–220}

Otro problema de pérdida de significado ocurre cuando se restan aproximaciones a dos números casi iguales. En el siguiente ejemplo, e  =  5; s  =  1,234571 y e  =  5; s  =  1,234567 son aproximaciones a los números racionales 123457,1467 y 123456,659.

 e=5; s=1,234571 − e=5; s=1,234567 ---------------- e=5; s=0,000004 e=−1; s=4,000000 (después del redondeo y la normalización)

La diferencia de punto flotante se calcula exactamente porque los números están cerca; el lema de Sterbenz lo garantiza, incluso en caso de subdesbordamiento cuando se admite el subdesbordamiento gradual . A pesar de esto, la diferencia de los números originales es e  =  −1; s  =  4,877000, que difiere más del 20 % de la diferencia e  =  −1; s  =  4,000000 de las aproximaciones. En casos extremos, se pueden perder todos los dígitos significativos de precisión. ^{[ 18 ] [ 45 ]} Esta cancelación ilustra el peligro de asumir que todos los dígitos de un resultado calculado son significativos. Abordar las consecuencias de estos errores es un tema en el análisis numérico ; véase también Problemas de precisión .

Para multiplicar, se multiplican las mantisas mientras se suman los exponentes, y el resultado se redondea y normaliza.

 e=3; s=4,734612 × e=5; s=5,417242 ----------------------- e=8; s=25,648538980104 (producto verdadero) e=8; s=25,64854 (después del redondeo) e=9; s=2,564854 (después de la normalización)

De manera similar, la división se realiza restando el exponente del divisor al exponente del dividendo y dividiendo la mantisa del dividendo entre la mantisa del divisor.

No existen problemas de cancelación o absorción con la multiplicación o la división, aunque pueden acumularse pequeños errores a medida que las operaciones se realizan sucesivamente. ^{[ 18 ]} En la práctica, la forma en que se llevan a cabo estas operaciones en lógica digital puede ser bastante compleja (véase el algoritmo de multiplicación de Booth y el algoritmo de división ). ^{[ nb 9 ]}

Los literales para números de punto flotante dependen del lenguaje. Normalmente usan eo Epara denotar la notación científica . El lenguaje de programación C y el estándar IEEE 754 también definen una sintaxis literal hexadecimal con un exponente de base 2 en lugar de 10. En lenguajes como C , cuando se omite el exponente decimal, se necesita un punto decimal para diferenciarlos de los enteros. Otros lenguajes no tienen un tipo entero (como JavaScript ), o permiten la sobrecarga de tipos numéricos (como Haskell ). En estos casos, las cadenas de dígitos como 123también pueden ser literales de punto flotante.

Ejemplos de literales de punto flotante son:

• 99.9
• -5000.12
• 6.02e23
• -3e-45
• 0x1.fffffep+127en C y IEEE 754

• El 25 de febrero de 1991, una pérdida de precisión en una batería de misiles Patriot MIM-104 impidió que interceptara un misil Scud entrante en Dhahran , Arabia Saudita , contribuyendo a la muerte de 28 soldados del 14.º Destacamento de Intendencia del Ejército de los EE. UU . ^{[ 50 ]} La computadora de control de armas contaba el tiempo en un número entero de décimas de segundo desde el arranque. Para la conversión a un número de segundos de punto flotante en los cálculos de velocidad y posición, el software originalmente multiplicaba este número por una aproximación binaria de punto fijo de 24 bits a 0,1, específicamente$${\displaystyle 0.00011001100110011001100_{2}=0.1\times (1-2^{-20}).}$$ Algunas partes del software se adaptaron posteriormente para utilizar una conversión más precisa a punto flotante, pero otras no se actualizaron y siguieron utilizando la aproximación de 24 bits. ^{[ 51 ]} Estas partes del software se desviaron entre sí en aproximadamente 3,43  milisegundos por hora. Después de 20 horas, la discrepancia de aproximadamente 68,7  ms fue suficiente para que el sistema de seguimiento por radar perdiera el rastro de los Scud; el sistema de control en la batería de misiles de Dhahran había estado funcionando durante aproximadamente 100 horas cuando falló al rastrear e interceptar un Scud entrante. ^{[ 50 ]} El fallo de interceptación no se debió al uso específico de punto flotante, sino a la resta de dos aproximaciones diferentes a la conversión de unidades con errores diferentes al representar el tiempo, por lo que el error de conversión de unidades en la diferencia no se canceló, sino que creció indefinidamente con el tiempo de actividad. ^{[ 51 ]}
• El "salami slicing" es la práctica de separar la parte "invisible" de una transacción y transferirla a una cuenta aparte.

La precisión de la máquina es una magnitud que caracteriza la exactitud de un sistema de punto flotante y se utiliza en el análisis de errores inversos de algoritmos de punto flotante. También se conoce como redondeo unitario o épsilon de máquina . Generalmente se denota como E _mach y su valor depende del redondeo específico que se utilice.

Con redondeo a cero, $${\displaystyle \mathrm {E} _{\text{mach}}=B^{1-P},\,}$$ mientras que redondear al más cercano, $${\displaystyle \mathrm {E} _{\text{mach}}={\tfrac {1}{2}}B^{1-P},}$$ donde B es la base del sistema y P es la precisión de la mantisa (en base B ).

Esto es importante ya que limita el error relativo al representar cualquier número real distinto de cero x dentro del rango normalizado de un sistema de punto flotante: $${\displaystyle \left|{\frac {\operatorname {fl} (x)-x}{x}}\right|\leq \mathrm {E} _{\text{mach}}.}$$

El análisis de errores hacia atrás, cuya teoría fue desarrollada y popularizada por James H. Wilkinson , puede utilizarse para establecer que un algoritmo que implementa una función numérica es numéricamente estable. ^{[ 52 ]} El enfoque básico consiste en demostrar que, si bien el resultado calculado, debido a errores de redondeo, no será exactamente correcto, es la solución exacta a un problema cercano con datos de entrada ligeramente perturbados. Si la perturbación requerida es pequeña, del orden de la incertidumbre en los datos de entrada, entonces los resultados son, en cierto sentido, tan precisos como los datos "merecen". El algoritmo se define entonces como estable hacia atrás . La estabilidad es una medida de la sensibilidad a los errores de redondeo de un procedimiento numérico dado; por el contrario, el número de condición de una función para un problema dado indica la sensibilidad inherente de la función a pequeñas perturbaciones en su entrada y es independiente de la implementación utilizada para resolver el problema. ^{[ 53 ]}

Como ejemplo trivial, consideremos una expresión simple que da el producto escalar de vectores (de longitud dos).${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$, entonces $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {fl} (x\cdot y)&=\operatorname {fl} {\big (}\operatorname {fl} (x_{1}\cdot y_{1})+\operatorname {fl} (x_{2}\cdot y_{2}){\big )},&&{\text{ where }}\operatorname {fl} (){\text{ indicates correctly rounded floating-point arithmetic}}\\&=\operatorname {fl} {\big (}(x_{1}\cdot y_{1})(1+\delta _{1})+(x_{2}\cdot y_{2})(1+\delta _{2}){\big )},&&{\text{ where }}\delta _{n}\leq \mathrm {E} _{\text{mach}},{\text{ from above}}\\&={\big (}(x_{1}\cdot y_{1})(1+\delta _{1})+(x_{2}\cdot y_{2})(1+\delta _{2}){\big )}(1+\delta _{3})\\&=(x_{1}\cdot y_{1})(1+\delta _{1})(1+\delta _{3})+(x_{2}\cdot y_{2})(1+\delta _{2})(1+\delta _{3}),\end{aligned}}}$$ y entonces $${\displaystyle \operatorname {fl} (x\cdot y)={\hat {x}}\cdot {\hat {y}},}$$

dónde

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {x}}_{1}&=x_{1}(1+\delta _{1});&{\hat {x}}_{2}&=x_{2}(1+\delta _{2});\\{\hat {y}}_{1}&=y_{1}(1+\delta _{3});&{\hat {y}}_{2}&=y_{2}(1+\delta _{3}),\\\end{aligned}}}$$

dónde

$${\displaystyle \delta _{n}\leq \mathrm {E} _{\text{mach}}}$$

Por definición, que es la suma de dos datos de entrada ligeramente perturbados (del orden de E _mach ), y por lo tanto es retroestable. Para ejemplos más realistas en álgebra lineal numérica , véase Higham 2002 ^{[ 54 ]} y otras referencias a continuación.

Aunque las operaciones aritméticas individuales de IEEE 754 tienen una precisión garantizada de medio ULP , las fórmulas más complejas pueden sufrir errores mayores por diversas razones. La pérdida de precisión puede ser sustancial si un problema o sus datos están mal condicionados , lo que significa que el resultado correcto es hipersensible a pequeñas perturbaciones en sus datos. Sin embargo, incluso las funciones bien condicionadas pueden sufrir una gran pérdida de precisión si se utiliza un algoritmo numéricamente inestable para esos datos: formulaciones aparentemente equivalentes de expresiones en un lenguaje de programación pueden diferir notablemente en su estabilidad numérica. Un enfoque para eliminar el riesgo de dicha pérdida de precisión es el diseño y análisis de algoritmos numéricamente estables, que es un objetivo de la rama de las matemáticas conocida como análisis numérico . Otro enfoque que puede proteger contra el riesgo de inestabilidades numéricas es el cálculo de valores intermedios (de referencia) en un algoritmo con una precisión mayor que la que requiere el resultado final, ^{[ 55 ]} lo que puede eliminar, o reducir en órdenes de magnitud, ^{[ 56 ]} dicho riesgo: la precisión cuádruple y la precisión extendida IEEE 754 están diseñadas para este propósito cuando se calcula con doble precisión. ^{[ 57 ] [ nb 11 ]}

Por ejemplo, el siguiente algoritmo es una implementación directa para calcular la función.${\displaystyle f(x)={\frac {x-1}{\exp(x-1)-1}}}$, que está bien acondicionado en${\displaystyle x=1}$. ^{[ nb 12 ]} Sin embargo, se puede demostrar que es numéricamente inestable y pierde hasta la mitad de los dígitos significativos que lleva la aritmética cuando se calcula cerca de 1.0. ^{[ 58 ]}

#include <math.h>double f ( double x ) { double y = x - 1.0 ; double z = exp ( y ); if ( z != 1.0 ) { z = y / ( z - 1.0 ); } return z ; }

Un análisis numérico del algoritmo revela que si z = y / (z - 1.0);se realiza el siguiente cambio no obvio en la línea:

z = log ( z ) / ( z - 1.0 );

Entonces el algoritmo se vuelve numéricamente estable y puede calcular con precisión doble completa. ^{[ 58 ]}

Para mantener las propiedades de programas numéricamente estables cuidadosamente diseñados, se requiere un manejo minucioso por parte del compilador . Ciertas optimizaciones que los compiladores pueden realizar (por ejemplo, reordenar operaciones) pueden ir en contra de los objetivos de un software bien comportado. Existe cierta controversia sobre las deficiencias de los compiladores y los diseños de lenguajes en este ámbito: C99 es un ejemplo de un lenguaje donde dichas optimizaciones se especifican cuidadosamente para mantener la precisión numérica. Consulte las referencias externas al final de este artículo.

Un tratamiento detallado de las técnicas para escribir software de punto flotante de alta calidad está fuera del alcance de este artículo, y se remite al lector a ^{[ 54 ] [ 59 ]} y a las demás referencias al final de este artículo. Kahan sugiere varias reglas generales que pueden disminuir sustancialmente en órdenes de magnitud ^{[ 59 ]} el riesgo de anomalías numéricas, además de, o en lugar de, un análisis numérico más cuidadoso. Estas incluyen: como se mencionó anteriormente, calcular todas las expresiones y resultados intermedios con la mayor precisión admitida por el hardware (una regla general común es llevar el doble de la precisión del resultado deseado, es decir, calcular en doble precisión para un resultado final de precisión simple, o en doble precisión extendida o cuádruple para resultados de hasta doble precisión ^{[ 60 ]} ); y redondeando los datos de entrada y los resultados a la precisión requerida y admitida por los datos de entrada (llevar una precisión excesiva en el resultado final más allá de la requerida y admitida por los datos de entrada puede ser engañoso, aumenta el costo de almacenamiento y disminuye la velocidad, y los bits adicionales pueden afectar la convergencia de los procedimientos numéricos: ^{[ 61 ]} en particular, la primera forma del ejemplo iterativo que se presenta a continuación converge correctamente cuando se utiliza esta regla general). A continuación se describen brevemente varios problemas y técnicas adicionales.

Como las fracciones decimales a menudo no se pueden representar exactamente en punto flotante binario, dicha aritmética es más útil cuando simplemente se usa para medir cantidades del mundo real en una amplia gama de escalas (como el período orbital de una luna alrededor de Saturno o la masa de un protón ), y más útil cuando se espera que modele las interacciones de cantidades expresadas como cadenas decimales que se espera que sean exactas. ^{[ 56 ] [ 59 ]} Un ejemplo de este último caso son los cálculos financieros. Por esta razón, el software financiero tiende a no usar una representación numérica de punto flotante binario. ^{[ 62 ]} El tipo de datos "decimal" de los lenguajes de programación C# y Python , y los formatos decimales del estándar IEEE 754-2008 , están diseñados para evitar los problemas de las representaciones de punto flotante binario cuando se aplican a valores decimales exactos ingresados ​​por humanos, y hacen que la aritmética siempre se comporte como se espera cuando los números se imprimen en decimal.

Las expectativas derivadas de las matemáticas pueden no cumplirse en el campo de la computación de punto flotante. Por ejemplo, se sabe que${\displaystyle (x+y)(x-y)=x^{2}-y^{2}\,}$y que${\displaystyle \sin ^{2}{\theta }+\cos ^{2}{\theta }=1\,}$Sin embargo, no se puede confiar en estos datos cuando las cantidades involucradas son el resultado de cálculos de punto flotante.

El uso de la prueba de igualdad ( if (x==y) ...) requiere cuidado al tratar con números de punto flotante. Incluso expresiones simples como 0.6 / 0.2 - 3 == 0no serán verdaderas en la mayoría de las computadoras ^{[ 63 ]} (en IEEE 754, la doble precisión, por ejemplo, 0.6 / 0.2 - 3es aproximadamente igual a−4.440 892 098 500 63 × 10 ⁻¹⁶ ). En consecuencia, tales pruebas a veces se reemplazan con comparaciones "difusas" ( if (abs(x-y) < epsilon) ..., donde épsilon es suficientemente pequeño y adaptado a la aplicación, como 1.0E−13). La conveniencia de hacer esto varía mucho y puede requerir análisis numérico para acotar épsilon. ^{[ 54 ]} Los valores derivados de la representación de datos primarios y sus comparaciones deben realizarse en una precisión más amplia y extendida para minimizar el riesgo de tales inconsistencias debido a errores de redondeo. ^{[ 59 ]} A menudo es mejor organizar el código de tal manera que tales pruebas sean innecesarias. Por ejemplo, en geometría computacional , las pruebas exactas de si un punto está fuera o sobre una línea o plano definido por otros puntos se pueden realizar utilizando precisión adaptativa o métodos aritméticos exactos. ^{[ 64 ]}

Los pequeños errores en la aritmética de punto flotante pueden aumentar cuando los algoritmos matemáticos realizan operaciones un número enorme de veces. Algunos ejemplos son la inversión de matrices , el cálculo de vectores propios y la resolución de ecuaciones diferenciales. Estos algoritmos deben diseñarse con sumo cuidado, utilizando enfoques numéricos como el refinamiento iterativo , para que funcionen correctamente. ^{[ 65 ]}

La suma de un vector de valores de punto flotante es un algoritmo básico en la computación científica , por lo que es fundamental comprender cuándo puede producirse una pérdida de significancia. Por ejemplo, si se suma una cantidad muy grande de números, los sumandos individuales son muy pequeños en comparación con la suma. Esto puede provocar una pérdida de significancia. Una suma típica sería entonces algo como:

3253.671 + 3.141276 ----------- 3256.812

Los tres dígitos menos significativos de los sumandos se pierden efectivamente. Supongamos, por ejemplo, que se necesita sumar muchos números, todos aproximadamente iguales a 3. Después de sumar 1000 de ellos, la suma acumulada es de aproximadamente 3000; los dígitos perdidos no se recuperan. El algoritmo de suma de Kahan puede utilizarse para reducir los errores. ^{[ 54 ]}

El error de redondeo puede afectar la convergencia y la precisión de los procedimientos numéricos iterativos. Por ejemplo, Arquímedes aproximó π calculando los perímetros de polígonos que inscribían y circunscribían un círculo, comenzando con hexágonos y duplicando sucesivamente el número de lados. Como se mencionó anteriormente, los cálculos pueden reorganizarse de una manera matemáticamente equivalente pero menos propensa a errores ( análisis numérico ). Dos formas de la fórmula de recurrencia para el polígono circunscrito son:

• ${\textstyle t_{0}={\frac {1}{\sqrt {3}}}}$
• Primera forma:${\textstyle t_{i+1}={\frac {{\sqrt {t_{i}^{2}+1}}-1}{t_{i}}}}$
• Segunda forma:${\textstyle t_{i+1}={\frac {t_{i}}{{\sqrt {t_{i}^{2}+1}}+1}}}$
• ${\displaystyle \pi \sim 6\times 2^{i}\times t_{i}}$, convergiendo como${\displaystyle i\rightarrow \infty }$

Aquí se muestra un cálculo utilizando la aritmética "double" de IEEE (una mantisa con 53 bits de precisión):

i 6 × 2 i × t i , primera forma 6 × 2 i × t i , segunda forma --------------------------------------------------------- 0 3 .4641016151377543863 3 .4641016151377543863 1 3 .2153903091734710173 3 .2153903091734723496 2 3.1 596599420974940120 3.1 596599420975006733 3 3.14 60862151314012979 3.14 60862151314352708 4 3.14 27145996453136334 3.14 27145996453689225 5 3.141 8730499801259536 3.141 8730499798241950 6 3.141 6627470548084133 3.141 6627470568494473 7 3.141 6101765997805905 3.141 6101766046906629 8 3.14159 70343230776862 3.14159 70343215275928 9 3.14159 37488171150615 3.14159 37487713536668 10 3.141592 9278733740748 3.141592 9273850979885 11 3.141592 7256228504127 3.141592 7220386148377 12 3.1415926 717412858693 3.1415926 707019992125 13 3.1415926 189011456060 3.14159265 78678454728 14 3.1415926 717412858693 3.14159265 46593073709 15 3.14159 19358822321783 3.141592653 8571730119 16 3.1415926 717412858693 3.141592653 6566394222 17 3.1415 810075796233302 3.141592653 6065061913 18 3.1415926 717412858693 3.1415926535 939728836 19 3.141 4061547378810956 3.1415926535 908393901 20 3.14 05434924008406305 3.1415926535 900560168 21 3.14 00068646912273617 3.141592653589 8608396 22 3.1 349453756585929919 3.141592653589 8122118 23 3.14 00068646912273617 3.14159265358979 95552 24 3 .2245152435345525443 3.14159265358979 68907 25 3.14159265358979 62246 26 3.14159265358979 62246 27 3.14159265358979 62246 28 3.14159265358979 62246 El valor real es 3.14159265358979323846264338327...

Si bien las dos formas de la fórmula de recurrencia son claramente equivalentes desde el punto de vista matemático, ^{[ nb 13 ]} la primera resta 1 a un número extremadamente cercano a 1, lo que conlleva una pérdida cada vez más problemática de dígitos significativos . A medida que la recurrencia se aplica repetidamente, la precisión mejora inicialmente, pero luego se deteriora. Nunca supera los 8 dígitos, a pesar de que la aritmética de 53 bits debería ser capaz de alcanzar unos 16 dígitos de precisión. Cuando se utiliza la segunda forma de la recurrencia, el valor converge a 15 dígitos de precisión.

La mencionada falta de asociatividad de las operaciones de punto flotante en general significa que los compiladores no pueden reordenar expresiones aritméticas con la misma eficacia que con la aritmética de enteros y de punto fijo, lo que representa un obstáculo para optimizaciones como la eliminación de subexpresiones comunes y la autovectorización . [ ^{66 ] La} opción "matemáticas rápidas" en muchos compiladores (ICC, GCC, Clang, MSVC...) activa la reasociación junto con suposiciones inseguras como la ausencia de NaN y números infinitos en IEEE 754. Algunos compiladores también ofrecen opciones más granulares para activar únicamente la reasociación o para marcar regiones específicas del código para una optimización más agresiva. ^{[ 67 ]} En cualquier caso, el programador está expuesto a muchos de los problemas de precisión mencionados anteriormente para la parte del programa que utiliza matemáticas "rápidas". ^{[ 68 ]}

En algunos compiladores (GCC y Clang [cuando hay una instalación de GCC presente]), activar las operaciones matemáticas "rápidas" puede provocar que el programa desactive los números de coma flotante subnormales al inicio, lo que afecta al comportamiento de coma flotante no solo del código generado, sino también de cualquier programa que utilice dicho código como biblioteca . Esto se solucionó en GCC 13. ^{[ 69 ]}

En la mayoría de los compiladores de Fortran , según lo permite el estándar ISO/IEC 1539-1:2004, la reasociación es la predeterminada, y la configuración "protect parens" (también activada por defecto) evita en gran medida los problemas. Esta configuración impide que el compilador reasocie más allá de los límites de los paréntesis. ^{[ 70 ]} El compilador Intel Fortran es una excepción notable. ^{[ 71 ]}

Un problema común en las matemáticas "rápidas" es que las subexpresiones pueden no optimizarse de forma idéntica en todos los casos, lo que genera diferencias inesperadas. Una interpretación del problema es que las matemáticas "rápidas", tal como se implementan actualmente, tienen una semántica mal definida. Un intento de formalizar las optimizaciones de matemáticas "rápidas" se observa en Icing , un compilador verificado. ^{[ 72 ]}