División por cero

La división​${\displaystyle N/D=Q}$⁠ puede interpretarse conceptualmente de varias maneras. ^{[ 1 ]}

En la división cotitiva , el dividendo${\displaystyle N}$Se imagina que se divide en partes de tamaño${\displaystyle D}$( el divisor) y el cociente${\displaystyle Q}$⁠ es el número de partes resultantes. Por ejemplo, imagina que se van a hacer sándwiches con diez rebanadas de pan, cada uno de los cuales requiere dos rebanadas de pan. Se pueden hacer un total de cinco sándwiches ( ⁠${\displaystyle {\tfrac {10}{2}}=5}$Ahora imaginemos que no se necesitan rebanadas de pan por sándwich (quizás un wrap de lechuga ). Se pueden hacer arbitrariamente muchos sándwiches de este tipo con diez rebanadas de pan, ya que el pan es irrelevante. ^{[ 2 ]}

El concepto de división cociente se presta al cálculo mediante resta repetida : dividir implica contar cuántas veces se puede restar el divisor antes de que se agote el dividendo. Dado que ningún número finito de restas de cero agotará jamás un dividendo distinto de cero, calcular la división por cero de esta manera nunca termina . ^{[ 3 ]} Este algoritmo de división por cero interminable se exhibe físicamente en algunas calculadoras mecánicas . ^{[ 4 ]}

En la división partitiva , el dividendo${\displaystyle N}$Se imagina que se divide en${\displaystyle D}$partes y el cociente${\displaystyle Q}$⁠ es el tamaño resultante de cada parte. Por ejemplo, imagina que diez galletas se van a dividir entre dos amigos. Cada amigo recibirá cinco galletas ( ⁠${\displaystyle {\tfrac {10}{2}}=5}$Ahora imagina que las diez galletas se van a repartir entre cero amigos. ¿ Cuántas galletas recibirá cada amigo? Como no hay amigos, esto es absurdo. ^{[ 5 ]}

En otra interpretación, el cociente ⁠${\displaystyle Q}$representa la razón​${\displaystyle N:D}$⁠ . ^{[ 6 ]} Por ejemplo, una receta de pastel podría requerir diez tazas de harina y dos tazas de azúcar, una proporción de ⁠${\displaystyle 10:2}$o , proporcionalmente ,${\displaystyle 5:1}$⁠ . Para adaptar esta receta a cantidades mayores o menores de pastel, utilice una proporción de harina a azúcar proporcional a ⁠${\displaystyle 5:1}$⁠ podría mantenerse, por ejemplo, una taza de harina y un quinto de taza de azúcar, o cincuenta tazas de harina y diez tazas de azúcar. ^{[ 7 ]} Ahora imagina que una receta de pastel sin azúcar requiere diez tazas de harina y cero tazas de azúcar. La proporción ⁠${\displaystyle 10:0}$⁠ , o proporcionalmente ⁠${\displaystyle 1:0}$⁠ , es perfectamente lógico: ^{[ 8 ]} simplemente significa que el pastel no tiene azúcar. Sin embargo, la pregunta "¿Cuántas partes de harina por cada parte de azúcar?" sigue sin tener una respuesta numérica significativa.

Una representación geométrica de la interpretación de la división como razón es la pendiente de una línea recta en el plano cartesiano . ^{[ 9 ]} La pendiente se define como la "elevación" (cambio en la coordenada vertical) dividida por el "desplazamiento" (cambio en la coordenada horizontal) a lo largo de la línea. Cuando esto se escribe utilizando la notación de razón simétrica, una línea horizontal tiene pendiente ⁠${\displaystyle 0:1}$y una línea vertical tiene pendiente${\displaystyle 1:0}$Sin embargo, si se toma la pendiente como un único número real , entonces una línea horizontal tiene pendiente${\displaystyle {\tfrac {0}{1}}=0}$⁠ mientras que una línea vertical tiene una pendiente indefinida, ya que en la aritmética de números reales el cociente ⁠${\displaystyle {\tfrac {1}{0}}}$⁠ no está definido. ^{[ 10 ]} La pendiente de valor real ⁠${\displaystyle {\tfrac {y}{x}}}$La coordenada vertical de una línea que pasa por el origen es la coordenada vertical de la intersección entre la línea y una línea vertical en la coordenada horizontal .${\displaystyle 1}$⁠ , líneas discontinuas negras en la figura. Las líneas verticales rojas y discontinuas negras son paralelas , por lo que no se intersecan en el plano. A veces se dice que se intersecan en un punto en el infinito , y la razón ⁠${\displaystyle 1:0}$Se representa mediante un nuevo número .${\displaystyle \infty }$⁠ ; ^{[ 11 ]} véase §  Línea real extendida proyectivamente más abajo. A veces se dice que las líneas verticales tienen una pendiente "infinitamente pronunciada".

La división es la inversa de la multiplicación , lo que significa que multiplicar y luego dividir por la misma cantidad distinta de cero, o viceversa, deja la cantidad original sin cambios; por ejemplo :${\displaystyle (5\times 3)/3=(5/3)\times 3=5}$⁠ . ^{[ 12 ]} Así, un problema de división como "¿cuánto es 6 dividido entre 3?" se puede resolver reescribiéndolo como una ecuación equivalente que involucre multiplicación, "¿qué número multiplicado por 3 es igual a 6?", y luego encontrando el valor para el cual la afirmación es verdadera; simbólicamente, estos podrían escribirse como ⁠${\displaystyle {\tfrac {6}{3}}={?}}$y de forma equivalente${\displaystyle {?}\times 3=6}$, donde​${\displaystyle$ ?} representa la misma cantidad desconocida en cada ecuación; en este caso, la cantidad desconocida es${\displaystyle 2}$⁠ , porque ⁠${\displaystyle 2\times 3=6}$⁠ , por lo tanto ⁠${\displaystyle {\tfrac {6}{3}}=2}$⁠ . ^{[ 13 ]}

Un problema análogo que implica división por cero ,${\displaystyle {\tfrac {6}{0}}={?}}$⁠ , requiere determinar una cantidad desconocida que satisfaga ⁠${\displaystyle {?}\times 0=6}$Sin embargo, cualquier número multiplicado por cero es cero en lugar de seis, por lo que no existe ningún número que pueda sustituir a${\displaystyle$ ?} para hacer una afirmación verdadera. ^{[ 14 ]}

Cuando el problema se cambia a${\displaystyle {\tfrac {0}{0}}={?}}$⁠ , la expresión multiplicativa equivalente es ⁠${\displaystyle {?}\times 0=0}$En este caso, cualquier valor puede sustituirse por la cantidad desconocida para obtener una afirmación verdadera, por lo que no hay un único número que pueda asignarse como cociente .${\displaystyle {\tfrac {0}{0}}}$⁠ .

Debido a estas dificultades, los cocientes cuyo divisor es cero se consideran tradicionalmente indefinidos , y la división por cero no está permitida. ^{[ 15 ] [ 16 ]}

Una razón de peso para no permitir la división por cero es que permitirla conduce a falacias .

Al trabajar con números, es fácil identificar una división ilegal por cero. Por ejemplo:

Desde​${\displaystyle 0\times 1=0}$y​​${\displaystyle 0\times 2=0}$uno obtiene​${\displaystyle 0\times 1=0\times 2}$Cancelación​​${\displaystyle 0}$⁠ de ambos lados produce ⁠${\displaystyle 1=2}$⁠ , una afirmación falsa.

La falacia aquí surge de la suposición de que es legítimo cancelar .${\displaystyle 0}$como cualquier otro número, mientras que, de hecho, hacerlo es una forma de división por${\displaystyle 0}$⁠ .

Utilizando álgebra , es posible disfrazar una división por cero ^{[ 17 ]} para obtener una prueba inválida . Por ejemplo: ^{[ 18 ]}

Dejemos​${\displaystyle x=1}$⁠ . Multiplica ambos lados por ⁠${\displaystyle x}$para obtener​${\displaystyle \textstyle x=x^{2}}$. Restar​${\displaystyle 1}$de cada lado para obtener$${\displaystyle x-1=x^{2}-1.}$$El lado derecho puede ser factorizado,$${\displaystyle x-1=(x+1)(x-1).}$$Dividiendo ambos lados por${\displaystyle x-1}$⁠ rendimientos$${\displaystyle 1=x+1.}$$Sustituyendo​${\displaystyle x=1}$⁠ rendimientos$${\displaystyle 1=2.}$$

Este es esencialmente el mismo cálculo falaz que la versión numérica anterior, pero la división por cero se ocultó porque escribimos ⁠${\displaystyle 0}$como​​${\displaystyle x-1}$⁠ .

Los números reales extendidos afínmente se obtienen a partir de los números reales ⁠${\displaystyle \mathbb {R} }$sumando dos números nuevos${\displaystyle +\infty }$y​​${\displaystyle -\infty }$⁠ , que se leen como "infinito positivo" e "infinito negativo" respectivamente, y que representan puntos en el infinito . Con la adición de ⁠${\displaystyle \pm \infty }$⁠ , el concepto de "límite en el infinito" puede funcionar como un límite finito. Al tratar con números reales extendidos tanto positivos como negativos, la expresión ⁠${\displaystyle 1/0}$⁠ normalmente se deja sin definir. Sin embargo, en contextos donde solo se consideran valores no negativos, a menudo es conveniente definir ⁠${\displaystyle 1/0=+\infty }$⁠ .

El conjunto${\displaystyle \mathbb {R} \cup \{\infty \}}$⁠ es la recta real extendida proyectivamente , que es una compactificación de un punto de la recta real. Aquí ⁠${\displaystyle \infty }$⁠ significa un infinito sin signo o un punto en el infinito , una cantidad infinita que no es ni positiva ni negativa. Esta cantidad satisface ⁠${\displaystyle -\infty =\infty }$⁠ , lo cual es necesario en este contexto. En esta estructura, ⁠${\displaystyle {\tfrac {a}{0}}=\infty }$⁠ se puede definir para valores distintos de cero ⁠${\displaystyle a}$y​​${\displaystyle {\tfrac {a}{\infty }}=0}$cuando​​${\displaystyle a}$⁠ no es ⁠${\displaystyle \infty }$⁠ . Es la forma natural de ver el rango de las funciones tangente y cotangente de la trigonometría : ⁠${\displaystyle \tan x}$⁠ se aproxima al punto único en el infinito cuando ⁠${\displaystyle x}$⁠ se acerca a cualquiera de los dos ⁠${\displaystyle +{\tfrac {1}{2}}\pi }$o​​${\displaystyle -{\tfrac {1}{2}}\pi }$desde cualquier dirección.

Esta definición conduce a muchos resultados interesantes. Sin embargo, la estructura algebraica resultante no es un cuerpo , y no se debe esperar que se comporte como tal. Por ejemplo ,${\displaystyle \infty +\infty }$⁠ no está definido en esta extensión de la recta real.

La asignatura de análisis complejo aplica los conceptos del cálculo a los números complejos . De gran importancia en esta asignatura son los números complejos extendidos .${\displaystyle \mathbb {C} \cup \{\infty \}}$⁠ , el conjunto de números complejos con un único número adicional, generalmente denotado por el símbolo de infinito ⁠${\displaystyle \infty }$y representando un punto en el infinito , que se define como contenido en cada dominio exterior , haciendo de estos sus vecindarios topológicos .

Esto puede entenderse intuitivamente como envolver los bordes infinitos del plano complejo y unirlos en un único punto .${\displaystyle \infty }$⁠ , una compactificación de un punto , que hace que los números complejos extendidos sean topológicamente equivalentes a una esfera . Esta equivalencia puede extenderse a una equivalencia métrica mapeando cada número complejo a un punto en la esfera mediante proyección estereográfica inversa , con la distancia esférica resultante aplicada como una nueva definición de distancia entre números complejos; y, en general, la geometría de la esfera puede estudiarse utilizando aritmética compleja, y a la inversa, la aritmética compleja puede interpretarse en términos de geometría esférica . Como consecuencia, el conjunto de números complejos extendidos se denomina a menudo esfera de Riemann . El conjunto se suele denotar mediante el símbolo de los números complejos decorado con un asterisco, una línea superior, una tilde o un acento circunflejo, por ejemplo ⁠${\displaystyle {\hat {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}}$⁠ .

En los números complejos extendidos, para cualquier número complejo distinto de cero${\displaystyle z}$⁠ , la aritmética compleja ordinaria se extiende mediante reglas adicionales ⁠${\displaystyle {\tfrac {z}{0}}=\infty }$,​​${\displaystyle {\tfrac {z}{\infty }}=0}$,​​${\displaystyle \infty +0=\infty }$,​​${\displaystyle \infty +z=\infty }$,​​${\displaystyle \infty \cdot z=\infty }$⁠ . Sin embargo, ⁠${\displaystyle {\tfrac {0}{0}}}$,​​${\displaystyle {\tfrac {\infty }{\infty }}}$y​​${\displaystyle 0\cdot \infty }$⁠ quedan sin definir.

En los números hiperreales , la división por cero sigue siendo imposible, pero la división por infinitesimales distintos de cero es posible. ^{[ 27 ]} Lo mismo ocurre en los números surrealistas . ^{[ 28 ]}

En la teoría de la distribución se puede extender la función ⁠${\displaystyle {\tfrac {1}{x}}}$⁠ a una distribución en todo el espacio de los números reales (en efecto, utilizando los valores principales de Cauchy ). Sin embargo, no tiene sentido pedir un "valor" de esta distribución en ⁠${\displaystyle x=0}$⁠ ; una respuesta sofisticada se refiere al soporte singular de la distribución.

En álgebra matricial , los bloques cuadrados o rectangulares de números se manipulan como si fueran números en sí mismos: las matrices se pueden sumar y multiplicar , y en algunos casos, también existe una versión de la división. Dividir por una matriz significa, más precisamente, multiplicar por su inversa . No todas las matrices tienen inversa. ^{[ 29 ]} Por ejemplo, una matriz que contiene solo ceros no es invertible.

Se puede definir una pseudodivisión, estableciendo ⁠${\displaystyle \textstyle a/b=ab^{+}}$, en el cual${\displaystyle \textstyle b^{+}}$⁠ representa la pseudoinversa de ⁠${\displaystyle b}$⁠ . Se puede demostrar que si ⁠${\displaystyle \textstyle b^{-1}}$Si existe, entonces${\displaystyle \textstyle b^{+}=b^{-1}}$⁠ . Si ⁠${\displaystyle b=0}$⁠ , entonces ⁠${\displaystyle \textstyle b^{+}=0}$⁠ .

En álgebra abstracta , los números enteros, racionales, reales y complejos pueden abstraerse a estructuras algebraicas más generales, como un anillo conmutativo , que es una estructura matemática donde la suma, la resta y la multiplicación se comportan como en los sistemas numéricos más familiares, pero la división puede no estar definida. Adjuntar un inverso multiplicativo a un anillo conmutativo se llama localización . Sin embargo, la localización de todo anillo conmutativo en cero es el anillo trivial , donde${\displaystyle 0=1}$⁠ , por lo que los anillos conmutativos no triviales no tienen inversos en cero, y por lo tanto la división por cero no está definida para los anillos conmutativos no triviales.

Sin embargo, cualquier sistema numérico que forme un anillo conmutativo puede extenderse a una estructura llamada rueda en la que la división por cero siempre es posible. ^{[ 30 ]} Sin embargo, la estructura matemática resultante ya no es un anillo conmutativo, ya que la multiplicación ya no se distribuye sobre la suma. Además, en una rueda, la división de un elemento por sí mismo ya no da como resultado el elemento identidad multiplicativo .${\displaystyle 1}$⁠ , y si el sistema original era un dominio integral , la multiplicación en la rueda ya no da como resultado un semigrupo cancelativo .

Los conceptos aplicados a la aritmética estándar son similares a los de estructuras algebraicas más generales, como anillos y cuerpos . En un cuerpo, todo elemento distinto de cero es invertible bajo la multiplicación; como se mencionó anteriormente, la división plantea problemas solo cuando se intenta dividir por cero. Esto también es cierto en un cuerpo sesgado (que por esta razón se llama anillo de división ). Sin embargo, en otros anillos, la división por elementos distintos de cero también puede plantear problemas. Por ejemplo, el anillo ⁠${\displaystyle \mathbf {Z} /6\mathbf {Z} }$de enteros módulo 6. El significado de la expresión${\displaystyle {\tfrac {2}{2}}}$Esa debería ser la solución .${\displaystyle x}$de la ecuación${\displaystyle 2x=2}$⁠ . Pero en el ring ⁠${\displaystyle \mathbf {Z} /6\mathbf {Z} }$,​​${\displaystyle 2}$⁠ es un divisor de cero . Esta ecuación tiene dos soluciones distintas, ⁠${\displaystyle x=1}$y​​${\displaystyle x=4}$⁠ , por lo tanto la expresión ⁠${\displaystyle {\tfrac {2}{2}}}$no está definido .

En teoría de campos, la expresión${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}$⁠ es solo una forma abreviada de la expresión formal ⁠${\displaystyle \textstyle ab^{-1}}$, donde​${\displaystyle \textstyle b^{-1}}$es el inverso multiplicativo de${\displaystyle b}$⁠ . Dado que los axiomas de campo solo garantizan la existencia de tales inversas para elementos distintos de cero, esta expresión no tiene sentido cuando ⁠${\displaystyle b}$⁠ es cero. Los textos modernos, que definen los campos como un tipo especial de anillo, incluyen el axioma ⁠${\displaystyle 0\neq 1}$para cuerpos (o su equivalente) de modo que el anillo cero quede excluido de ser un cuerpo. En el anillo cero, la división por cero es posible, lo que demuestra que los demás axiomas de cuerpo por sí solos no son suficientes para excluir la división por cero al definir un cuerpo.

En informática, la mayoría de los cálculos numéricos se realizan con aritmética de punto flotante , estandarizada desde la década de 1980 por la especificación IEEE 754. En la aritmética de punto flotante IEEE, los números se representan mediante un signo (positivo o negativo), una mantisa de precisión fija y un exponente entero . Los números cuyo exponente es demasiado grande para representarlos se desbordan hacia el infinito positivo o negativo (+∞ o −∞), mientras que los números cuyo exponente es demasiado pequeño para representarlos se desbordan hacia el cero positivo o negativo (+0 o −0). Un valor NaN (no es un número) representa resultados indefinidos.

En la aritmética IEEE, la división de 0/0 o ∞/∞ da como resultado NaN, pero en otros casos la división siempre produce un resultado bien definido. Dividir cualquier número distinto de cero entre cero positivo (+0) da como resultado un infinito del mismo signo que el dividendo. Dividir cualquier número distinto de cero entre cero negativo (−0) da como resultado un infinito del signo opuesto al del dividendo. Esta definición conserva el signo del resultado en caso de subdesbordamiento aritmético . ^{[ 31 ]}

Por ejemplo, utilizando aritmética IEEE de precisión simple, si${\displaystyle \textstyle x=-2^{-149}}$⁠ , entonces ⁠${\displaystyle x/2}$⁠ desborda hacia ⁠${\displaystyle -0}$y dividiendo​${\displaystyle 1}$⁠ este resultado produce ⁠${\displaystyle 1/(x/2)=-\infty }$⁠ . El resultado exacto ⁠${\displaystyle \textstyle -2^{150}}$⁠ es demasiado grande para representarlo como un número de precisión simple, por lo que en su lugar se utiliza un infinito del mismo signo para indicar desbordamiento.

La división entera por cero se maneja generalmente de manera diferente a la de punto flotante ya que no hay una representación entera para el resultado. Las CPU difieren en su comportamiento: por ejemplo, los procesadores x86 activan una excepción de hardware , mientras que los procesadores PowerPC generan silenciosamente un resultado incorrecto para la división y continúan, y los procesadores ARM pueden causar una excepción de hardware o devolver cero. ^{[ 32 ]} Debido a esta inconsistencia entre plataformas, los lenguajes de programación C y C++ consideran el resultado de la división por cero como un comportamiento indefinido . ^{[ 33 ]} En lenguajes de programación típicos de alto nivel , como Python , ^{[ 34 ]} se genera una excepción para el intento de división por cero, que puede manejarse en otra parte del programa.

Muchos asistentes de demostración , como Rocq y Lean , definen 1/0 = 0. Esto se hace para que todas las funciones sean totales . Dicha definición no crea contradicciones, ya que manipulaciones posteriores (como la cancelación ) aún requieren un divisor distinto de cero. ^{[ 35 ] [ 36 ]}