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Falacia matemática

En matemáticas , ciertos tipos de demostraciones erróneas se exhiben con frecuencia, y a veces se recopilan, como ejemplos de un concepto llamado falacia matemática . Existe una...

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En matemáticas , ciertos tipos de demostraciones erróneas se exhiben con frecuencia, y a veces se recopilan, como ejemplos de un concepto llamado falacia matemática . Existe una distinción entre un simple error y una falacia matemática en una demostración: un error en una demostración la invalida, mientras que en los ejemplos más conocidos de falacias matemáticas existe algún elemento de ocultamiento o engaño en la presentación de la demostración.

Por ejemplo, la razón por la que falla la validez puede atribuirse a una división por cero que se oculta mediante notación algebraica. Hay una cierta cualidad en la falacia matemática: tal como se presenta típicamente, no solo conduce a un resultado absurdo, sino que lo hace de una manera astuta o ingeniosa. [ 1 ] Por lo tanto, estas falacias, por razones pedagógicas, suelen adoptar la forma de demostraciones espurias de contradicciones obvias . Aunque las demostraciones son defectuosas, los errores, generalmente de forma intencionada, son relativamente sutiles o están diseñados para mostrar que ciertos pasos son condicionales y no son aplicables en los casos que son excepciones a las reglas.

La forma tradicional de presentar una falacia matemática es mezclar un paso de deducción inválido con pasos válidos, de modo que el significado de falacia difiere ligeramente del de falacia lógica . Esta última suele aplicarse a una forma de argumentación que no cumple con las reglas de inferencia válidas de la lógica, mientras que el paso matemático problemático suele ser una regla correcta aplicada con una suposición tácita errónea. Más allá de la pedagogía, la resolución de una falacia puede conducir a una comprensión más profunda de un tema (por ejemplo, la introducción del axioma de Pasch de la geometría euclidiana , [ 2 ] el teorema de los cinco colores de la teoría de grafos ). Pseudaria , un antiguo libro perdido de falsas demostraciones, se atribuye a Euclides . [ 3 ]

Existen falacias matemáticas en muchas ramas de las matemáticas. En álgebra elemental , ejemplos típicos pueden incluir un paso donde se realiza una división por cero , donde se extrae incorrectamente una raíz o, más generalmente, donde se igualan diferentes valores de una función multivaluada . También existen falacias bien conocidas en geometría euclidiana elemental y cálculo . [ 4 ] [ 5 ]

Aulladores

ddincógnita1incógnita=dd1incógnita2=dd1incógnita2=−1incógnita2{\displaystyle {\begin{array}{l}\;\;\;{\dfrac {d}{dx}}{\dfrac {1}{x}}\\={\dfrac {d}{d}}{\dfrac {1}{x^{2}}}\\={\dfrac {\cancel {d}}{\cancel {d}}}{\dfrac {1}{x^{2}}}\\=-{\dfrac {1}{x^{2}}}\end{array}}}
Cancelación anómala en cálculo

Existen ejemplos de resultados matemáticamente correctos derivados de razonamientos incorrectos. Sin embargo, por muy cierta que parezca la conclusión, este tipo de argumento es matemáticamente inválido y se conoce comúnmente como un error lógico . El siguiente es un ejemplo de un error lógico que implica una cancelación anómala : 1664= 1664 =14.{\displaystyle {\frac {16}{64}}={\frac {\ 1{\cancel {6}}}{{\cancel {6}}4\ }}={\frac {1}{4}}.}

Aquí, aunque la conclusión ⁠ 16 / 64 ⁠ = ⁠ 1 / 4 ⁠ es correcta, hay una cancelación falaz e inválida en el paso intermedio. [ nota 1 ] Otro ejemplo clásico de un error garrafal es demostrar el teorema de Cayley-Hamilton simplemente sustituyendo las variables escalares del polinomio característico por la matriz.

Las pruebas, cálculos o derivaciones falsas construidas para producir un resultado correcto a pesar de la lógica o las operaciones incorrectas fueron denominadas "aulladores" por Edwin Maxwell . [ 2 ] Fuera del campo de las matemáticas, el término aullador tiene varios significados, generalmente menos específicos.

División por cero

La falacia de la división por cero tiene muchas variantes. El siguiente ejemplo utiliza una división por cero disfrazada para "probar" que 2  =  1, pero puede modificarse para probar que cualquier número es igual a cualquier otro.

  1. Sean a y b cantidades iguales y distintas de cero.
    a=b{\displaystyle a=b}
  2. Multiplicar por un
    a2=ab{\displaystyle a^{2}=ab}
  3. Resta b 2
    a2−b2=ab−b2{\displaystyle a^{2}-b^{2}=ab-b^{2}}
  4. Factoriza ambos lados: el lado izquierdo se factoriza como una diferencia de cuadrados , el lado derecho se factoriza extrayendo b de ambos términos.
    (a−b)(a+b)=b(a−b){\displaystyle (ab)(a+b)=b(ab)}
  5. Divide ( a − b )
    a+b=b{\displaystyle a+b=b}
  6. Utilice el hecho de que a = b
    b+b=b{\displaystyle b+b=b}
  7. Combina los términos semejantes de la izquierda.
    2b=b{\displaystyle 2b=b}
  8. Dividir por el valor b distinto de cero
    2=1{\displaystyle 2=1}
QED [ 6 ]

La falacia se encuentra en la línea 5: la progresión de la línea 4 a la línea 5 implica una división por a  − b , que es cero ya que a = b . Dado que la división por cero no está definida, el argumento es inválido.   

Análisis

El análisis matemático como estudio matemático del cambio y los límites puede conducir a falacias matemáticas si se ignoran las propiedades de las integrales y diferenciales . Por ejemplo, un uso ingenuo de la integración por partes puede utilizarse para dar una prueba falsa de que 0  =  1: [ 7 ]

∫1incógnitaregistro⁡incógnitadincógnita=1+∫1incógnitaregistro⁡incógnitadincógnita{\displaystyle \int {\frac {1}{x\,\log x}}\,dx=1+\int {\frac {1}{x\,\log x}}\,dx}

Después de lo cual las antiderivadas pueden cancelarse, resultando en 0  =  1. El problema es que las antiderivadas solo están definidas hasta una constante y se permite desplazarlas en 1 o en cualquier otro número. El error se hace evidente cuando introducimos límites de integración arbitrarios a y b .

∫ab1incógnitaregistro⁡incógnitadincógnita=1|ab+∫ab1incógnitaregistro⁡incógnitadincógnita=0+∫ab1incógnitaregistro⁡incógnitadincógnita=∫ab1incógnitaregistro⁡incógnitadincógnita{\displaystyle \int _{a}^{b}{\frac {1}{x\,\log x}}\,dx=1|_{a}^{b}+\int _{a}^{b}{\frac {1}{x\,\log x}}\,dx=0+\int _{a}^{b}{\frac {1}{x\log x}}\,dx=\int _{a}^{b}{\frac {1}{x\log x}}\,dx}

Dado que la diferencia entre dos valores de una función constante se anula, la misma integral definida aparece en ambos lados de la ecuación.

Funciones multivaluadas

Muchas funciones no tienen una inversa única . Por ejemplo, si bien elevar un número al cuadrado da un valor único, existen dos posibles raíces cuadradas de un número positivo. La raíz cuadrada es multivaluada . Por convención, se puede elegir un valor como valor principal ; en el caso de la raíz cuadrada, el valor no negativo es el valor principal, pero no hay garantía de que la raíz cuadrada dada como valor principal del cuadrado de un número sea igual al número original (por ejemplo, la raíz cuadrada principal del cuadrado de −2 es 2). Esto también se aplica a las raíces enésimas .

raíces positivas y negativas

Se debe tener cuidado al tomar la raíz cuadrada de ambos lados de una igualdad . No hacerlo resulta en una "prueba" de [ 8 ] 5  =  4.

Prueba:

Comience desde
−20=−20{\displaystyle -20=-20}
Escribe esto como
25−45=16−36{\displaystyle 25-45=16-36}
Reescribir como
52−5×9=42−4×9{\displaystyle 5^{2}-5\times 9=4^{2}-4\times 9}
Sumar 81 / 4 a ambos lados :
52−5×9+814=42−4×9+814{\displaystyle 5^{2}-5\times 9+{\frac {81}{4}}=4^{2}-4\times 9+{\frac {81}{4}}}
Estos son cuadrados perfectos:
(5−92)2=(4−92)2{\displaystyle \left(5-{\frac {9}{2}}\right)^{2}=\left(4-{\frac {9}{2}}\right)^{2}}
Calcula la raíz cuadrada de ambos lados:
5−92=4−92{\displaystyle 5-{\frac {9}{2}}=4-{\frac {9}{2}}}
Suma 9 / 2 a ambos lados :
5=4{\displaystyle 5=4}
QED

La falacia se encuentra en la penúltima línea, donde se toma la raíz cuadrada de ambos lados: a² = b² solo implica a = b si a y b tienen el mismo signo , lo cual no ocurre aquí. En este caso, implica que a = – b , por lo que la ecuación debería ser:      

5−92=−(4−92){\displaystyle 5-{\frac {9}{2}}=-\left(4-{\frac {9}{2}}\right)}

que , sumando 9 / 2 en ambos lados, se reduce correctamente a 5 = 5 .  

Otro ejemplo que ilustra el peligro de tomar la raíz cuadrada de ambos lados de una ecuación involucra la siguiente identidad fundamental [ 9 ].

porque2⁡incógnita=1−pecado2⁡incógnita{\displaystyle \cos ^{2}x=1-\sin ^{2}x}

lo cual se cumple como consecuencia del teorema de Pitágoras . Luego, al tomar una raíz cuadrada,

porque⁡incógnita=1−pecado2⁡incógnita{\displaystyle \cos x={\sqrt {1-\sin ^{2}x}}}

Evaluando esto cuando x  = π , obtenemos que 

−1=1−0{\displaystyle -1={\sqrt {1-0}}}

o

−1=1{\displaystyle -1=1}

lo cual es incorrecto.

El error en cada uno de estos ejemplos radica fundamentalmente en el hecho de que cualquier ecuación de la forma

incógnita2=a2{\displaystyle x^{2}=a^{2}}

dóndea≠0{\displaystyle a\neq 0}, tiene dos soluciones:

incógnita=±a{\displaystyle x=\pm a}

y es esencial comprobar cuál de estas soluciones es relevante para el problema en cuestión. [ 10 ] En la falacia anterior, la raíz cuadrada que permitió deducir la segunda ecuación a partir de la primera es válida solo cuando cos x es positivo. En particular, cuando x se establece en π , la segunda ecuación se vuelve inválida. 

raíces cuadradas de números negativos

Las pruebas inválidas que utilizan potencias y raíces suelen ser del siguiente tipo:

1=1=(−1)(−1)=−1−1=i⋅i=−1.{\displaystyle 1={\sqrt {1}}={\sqrt {(-1)(-1)}}={\sqrt {-1}}{\sqrt {-1}}=i\cdot i=-1.}

La falacia es que la reglaincógnitay=incógnitay{\displaystyle {\sqrt {xy}}={\sqrt {x}}{\sqrt {y}}}generalmente es válido solo si al menos uno deincógnita{\displaystyle x}yy{\displaystyle y}es no negativo (cuando se trata de números reales), lo cual no es el caso aquí. [ 11 ]

Alternativamente, las raíces imaginarias se ocultan de la siguiente manera:

i=−1=(−1)24=((−1)2)14=114=1{\displaystyle i={\sqrt {-1}}=\left(-1\right)^{\frac {2}{4}}=\left(\left(-1\right)^{2}\right)^{\frac {1}{4}}=1^{\frac {1}{4}}=1}

El error reside en el uso incorrecto de funciones multivaluadas.(−1)12{\displaystyle (-1)^{\frac {1}{2}}}tiene dos valoresi{\displaystyle i}y−i{\displaystyle -i}sin una elección previa de rama, mientras que−1{\displaystyle {\sqrt {-1}}}solo denota el valor principali{\displaystyle i}. [ 12 ] De manera similar,114{\displaystyle 1^{\frac {1}{4}}}tiene cuatro valores diferentes1{\displaystyle 1},i{\displaystyle i},−1{\displaystyle -1}, y−i{\displaystyle -i}, de los cuales soloi{\displaystyle i}es igual al lado izquierdo de la primera igualdad.

exponentes complejos

Cuando un número se eleva a una potencia compleja, el resultado no está definido de forma única (véase Exponenciación §  Fallo de las identidades de potencia y logaritmo ). Si no se reconoce esta propiedad, pueden producirse errores como los siguientes:

mi2πi=1(mi2πi)i=1imi−2π=1{\displaystyle {\begin{aligned}e^{2\pi i}&=1\\\left(e^{2\pi i}\right)^{i}&=1^{i}\\e^{-2\pi }&=1\\\end{aligned}}}

El error aquí es que la regla de multiplicar exponentes como cuando se pasa a la tercera línea no se aplica sin modificaciones con exponentes complejos, incluso si al poner ambos lados a la potencia i solo se elige el valor principal. Cuando se tratan como funciones multivaluadas , ambos lados producen el mismo conjunto de valores, siendo{mi2πnorte|norte∈Z}.{\displaystyle \{e^{2\pi n}|n\in \mathbb {Z} \}.}

Geometría

Muchas falacias matemáticas en geometría surgen al aplicar una igualdad aditiva que involucra cantidades orientadas (como la suma de vectores a lo largo de una línea o la suma de ángulos orientados en el plano) a una identidad válida, pero que solo fija el valor absoluto de (una de) estas cantidades. Esta cantidad se incorpora entonces a la ecuación con la orientación incorrecta, lo que produce una conclusión absurda. Esta orientación incorrecta suele sugerirse implícitamente al proporcionar un diagrama impreciso de la situación, donde las posiciones relativas de puntos o líneas se eligen de una manera que, en realidad, es imposible bajo las hipótesis del argumento, aunque no resulte evidente.

En general, este tipo de falacia se puede desenmascarar fácilmente dibujando una imagen precisa de la situación, en la que algunas posiciones relativas diferirán de las del diagrama proporcionado. Para evitar tales falacias, un argumento geométrico correcto que utilice la suma o la resta de distancias o ángulos siempre debe demostrar que las cantidades se incorporan con su orientación correcta.

Falacia del triángulo isósceles

La falacia del triángulo isósceles, de ( Maxwell 1959 , Capítulo II, § 1) , pretende demostrar que todo triángulo es isósceles , es decir, que dos de sus lados son congruentes . Lewis Carroll conocía esta falacia y es posible que la haya descubierto. Fue publicada en 1899. [ 13 ] [ 14 ]

Dado un triángulo △ABC, demuestre que AB = AC:

  1. Dibuja una línea que biseca el ángulo ∠A.
  2. Dibuja la mediatriz del segmento BC, que biseca a BC en un punto D.
  3. Supongamos que estas dos líneas se encuentran en un punto O.
  4. Dibuja la línea OR perpendicular a AB, y la línea OQ perpendicular a AC.
  5. Dibuja las líneas OB y ​​OC.
  6. Por AAS , △RAO ≅ △QAO (∠ORA = ∠OQA = 90°; ∠RAO = ∠QAO; AO = AO (lado común)).
  7. Por RHS , [ nota 2 ] △ROB ≅ △QOC (∠BRO = ∠CQO = 90°; BO = OC (hipotenusa); RO = OQ (pierna)).
  8. Por lo tanto, AR = AQ, RB = QC y AB = AR + RB = AQ + QC = AC.

QED

Como corolario, se puede demostrar que todos los triángulos son equiláteros, demostrando que AB = BC y AC = BC de la misma manera.

El error en la demostración radica en la suposición, presente en el diagrama, de que el punto O se encuentra dentro del triángulo. De hecho, O siempre se sitúa sobre la circunferencia circunscrita del △ABC (excepto en triángulos isósceles y equiláteros, donde AO y OD coinciden). Además, se puede demostrar que, si AB es más largo que AC, entonces R estará dentro de AB, mientras que Q estará fuera de AC, y viceversa (de hecho, cualquier diagrama dibujado con instrumentos suficientemente precisos verificará estos dos hechos). Por consiguiente, AB sigue siendo AR  +  RB, pero AC es en realidad AQ  −  QC; por lo tanto, las longitudes no son necesariamente iguales.

Demostración por inducción

Existen varias demostraciones falaces por inducción en las que uno de los componentes, el caso base o el paso inductivo, es incorrecto. Intuitivamente, las demostraciones por inducción funcionan argumentando que si una afirmación es verdadera en un caso, también lo es en el siguiente, y por lo tanto, al aplicar esto repetidamente, se puede demostrar que es verdadera para todos los casos. La siguiente "demostración" muestra que todos los caballos son del mismo color . [ 15 ] [ nota 3 ]

  1. Digamos que cualquier grupo de N caballos son todos del mismo color.
  2. Si quitamos un caballo del grupo, nos queda un grupo de N  −  1 caballos del mismo color. Si añadimos otro caballo, nos queda otro grupo de N caballos. Según nuestra suposición anterior, todos los caballos de este nuevo grupo son del mismo color, ya que se trata de un grupo de N caballos.
  3. Así, hemos formado dos grupos de N caballos, todos del mismo color, con N  −  1 caballos en común. Dado que estos dos grupos tienen algunos caballos en común, deben ser del mismo color.
  4. Por lo tanto, al combinar todos los caballos utilizados, tenemos un grupo de N  +  1 caballos del mismo color.
  5. Por lo tanto, si N caballos son todos del mismo color, N  +  1 caballos serán del mismo color.
  6. Esto es claramente cierto para N  =  1 (es decir, un caballo es un grupo donde todos los caballos son del mismo color). Por lo tanto, por inducción, N caballos son del mismo color para cualquier entero positivo N , y por consiguiente, todos los caballos son del mismo color.

La falacia en esta demostración surge en la línea 3. Para N  =  1, los dos grupos de caballos tienen N  −  1  =  0 caballos en común, por lo que no necesariamente son del mismo color, así que el grupo de N  +  1  =  2 caballos no necesariamente son todos del mismo color. La implicación "si todos los N caballos son del mismo color, entonces N  +  1 caballos son del mismo color" funciona para cualquier N  >  1, pero no es cierta cuando N  =  1. El caso base es correcto, pero el paso de inducción tiene un defecto fundamental.

Cambio de unidades

Cuando se realizan operaciones matemáticas con unidades del mundo real, a menudo las unidades también cambian. El análisis dimensional muestra cómo esto puede ser útil. Sin embargo, no tener esto en cuenta puede llevar a problemas como: [ 16 ]

1/4 de dólar = 25 centavos

Tomando la raíz cuadrada de los números en ambos lados

1/2 dólar = 5 centavos.

Sin embargo, los lados no son números, sino unidades monetarias. Y para que funcione, tendría que haber dólares y centavos al cuadrado en la primera línea, o raíces cuadradas de un dólar y centavos en la segunda, lo cual no tiene sentido.

Véase también

Notas

  1. ↑ La misma falacia también se aplica a lo siguiente: 1995= 1995 =152665= 2665 =254998= 4998 =48=12{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {19}{95}}={\frac {\ 1{\cancel {9}}}{{\cancel {9}}5\ }}&={\frac {1}{5}}\\{\frac {26}{65}}={\frac {\ 2{\cancel {6}}}{{\cancel {6}}5\ }}&={\frac {2}{5}}\\{\frac {49}{98}}={\frac {\ 4{\cancel {9}}}{{\cancel {9}}8\ }}&={\frac {4}{8}}={\frac {1}{2}}\end{aligned}}}
  2. ↑ Congruencia hipotenusa-pierna
  3. ↑ La "prueba" original de George Pólya era que cualquier grupo de n niñas tiene los ojos del mismo color.

Referencias

  1. ↑ Maxwell 1959 , pág. 9 
  2. 1 2 Maxwell 1959
  3. ↑ Heath y Heiberg 1908 , Capítulo II, §I
  4. ↑ Barbeau, Ed (1991). "Falacias, fallos y engaños" (PDF) . The College Mathematics Journal . 22 (5). ISSN 0746-8342 . Archivado del original (PDF) el 24 de octubre de 2019. Consultado el 24 de octubre de 2019 . 
  5. ↑ "Pregunta fácil: ¿Las mejores demostraciones falsas? (Una colección de M.SE para el Día de los Inocentes)" . Mathematics Stack Exchange . Consultado el 24 de octubre de 2019 .
  6. ^ Heuser, Harro (1989). Lehrbuch der Analysis – Teil 1 (6ª ed.). Teubner. pag. 51.ISBN​   978-3-8351-0131-9.
  7. ↑ Barbeau, Ed (1990). "Falacias, fallos y engaños n.° 19: el teorema del tonto". The College Mathematics Journal . 21 (3): 216– 218. doi : 10.1080/07468342.1990.11973308 .
  8. ↑ Frohlichstein, Jack (1967). Diversión matemática, juegos y rompecabezas ( edición ilustrada). Courier Corporation. pág. 207. ISBN   0-486-20789-7.Extracto de la página 207
  9. ↑ Maxwell 1959 , Capítulo VI, §I.1
  10. ↑ Maxwell 1959 , Capítulo VI, §II
  11. ^ Nahin, Paul J. (2010). Un cuento imaginario: la historia de " yo " . Prensa de la Universidad de Princeton. pag. 12.ISBN​  978-1-4008-3029-9.Extracto de la página 12
  12. ↑ Saff, EB; Snider, Arthur David (18 de julio de 2013). Fundamentos del análisis complejo en ingeniería, ciencia y matemáticas . Harlow, Essex, Inglaterra: Pearson. ISBN 978-1-292-02375-5.
  13. ↑ Carroll, Lewis (1899). Collingwood, Stuard Dogson (ed.). El libro ilustrado de Lewis Carroll . TF Unwin. págs. 190–191 . 
  14. ↑ Wilson, Robin J. (2008). Lewis Carroll en el país de los números: su fantástica vida matemática y lógica: una agonía en ocho ataques (1.ª ed. estadounidense). Nueva York: WW Norton. págs. 169–170 . ISBN   978-0-393-06027-0OCLC 227016411​​ 
  15. ↑ Pólya, George (1954). Inducción y analogía en matemáticas . Matemáticas y razonamiento plausible. Vol. 1. Princeton. pág. 120.  
  16. ↑ Bradis, VM; Minkowski, VL; Kharcheva, AK (1959). Lapses in Mathematical Reasoning . Pergamon Press. p. 63. 
  • Barbeau, Edward J. (2000). Falacias, fallos y engaños matemáticos . MAA Spectrum. Asociación Matemática de América . ISBN 978-0-88385-529-4. MR 1725831 . 
  • Bunch, Bryan (1997). Falacias y paradojas matemáticas . Nueva York: Dover Publications . ISBN 978-0-486-29664-7. MR 1461270 . 
  • Heath, Sir Thomas Little; Heiberg, Johan Ludvig (1908). Los trece libros de los Elementos de Euclides, Volumen 1 (PDF) . The University Press.
  • Maxwell, EA (1959). Falacias en matemáticas . Cambridge University Press . ISBN 0-521-05700-0. SR 0099907 . {{cite book}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda )
  • Pruebas inválidas en Cut-the-knot (incluidas las referencias bibliográficas)
  • Falacias clásicas con un poco de discusión
  • Más pruebas inválidas de AhaJokes.com
  • Chistes matemáticos que incluyen una demostración inválida.
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