Lista de demostraciones matemáticas incompletas o incorrectas

En esta página se enumeran ejemplos notables de demostraciones matemáticas publicadas que eran incompletas o incorrectas . La mayoría de ellas se aceptaron como completas o correctas durante varios años, pero luego se descubrió que contenían lagunas o errores. Hay ejemplos en los que luego se encontró una demostración completa o en los que el supuesto resultado resultó ser falso.

• Elementos de Euclides . Las pruebas de Euclides son esencialmente correctas, pero, estrictamente hablando, a veces contienen lagunas porque utiliza tácitamente algunos supuestos no establecidos, como la existencia de puntos de intersección . En 1899, David Hilbert dio un conjunto completo de axiomas ( de segundo orden ) para la geometría euclidiana, llamados axiomas de Hilbert , y entre 1926 y 1959 Tarski dio algunos conjuntos completos de axiomas de primer orden , llamados axiomas de Tarski .
• Desigualdad isoperimétrica . Para tres dimensiones establece que la figura que encierra el máximo volumen por área de superficie es la esfera. Fue formulada por Arquímedes pero no fue demostrada rigurosamente hasta el siglo XIX por Hermann Schwarz .
• Infinitesimales . En el siglo XVIII, los infinitesimales se utilizaban ampliamente en cálculo, aunque no estaban bien definidos. El cálculo se estableció sobre bases sólidas en el siglo XIX y Robinson estableció una base rigurosa para los infinitesimales con la introducción del análisis no estándar en el siglo XX.
• Teorema fundamental del álgebra (véase Historia ). En el siglo XVIII se hicieron muchos intentos incompletos o incorrectos de demostrar este teorema, entre ellos los de D'Alembert (1746), Euler (1749), de Foncenex (1759), Lagrange (1772), Laplace (1795), Wood (1798) y Gauss (1799). La primera demostración rigurosa fue publicada por Argand en 1806.
• Teorema de Dirichlet sobre progresiones aritméticas . En 1808 Legendre publicó un intento de demostración del teorema de Dirichlet, pero como señaló Dupré en 1859 uno de los lemas utilizados por Legendre es falso. Dirichlet presentó una demostración completa en 1837.
• Las demostraciones del teorema de Kronecker-Weber realizadas por Kronecker (1853) y Weber (1886) tenían lagunas. La primera demostración completa fue presentada por Hilbert en 1896.
• En 1879, Alfred Kempe publicó una supuesta prueba del teorema de los cuatro colores , cuya validez como prueba fue aceptada durante once años antes de que Percy Heawood la refutara . Peter Guthrie Tait dio otra prueba incorrecta en 1880, que Julius Petersen demostró que era incorrecta en 1891. Sin embargo, la prueba de Kempe fue suficiente para demostrar el teorema de los cinco colores , más débil . El teorema de los cuatro colores fue finalmente demostrado por Kenneth Appel y Wolfgang Haken en 1976. ^[2]
• Teorema de Schröder-Bernstein . En 1896, Schröder publicó un esbozo de demostración ^{[3] , que, sin embargo,} Alwin Reinhold Korselt demostró que era errónea en 1911 ^[4] (confirmado por Schröder). ^{[5] [6]}
• Teorema de la curva de Jordan . Ha habido cierta controversia sobre si la prueba original de Jordan de este teorema en 1887 contiene lagunas. Oswald Veblen afirmó en 1905 que la prueba de Jordan estaba incompleta, pero en 2007 Hales dijo que las lagunas eran menores y que la prueba de Jordan estaba esencialmente completa.
• En 1905, Lebesgue intentó demostrar el resultado (correcto) de que una función definida implícitamente por una función de Baire es Baire, pero su demostración supuso incorrectamente que la proyección de un conjunto de Borel es Borel. Suslin señaló el error y se inspiró en él para definir los conjuntos analíticos como imágenes continuas de los conjuntos de Borel.
• Lema de Dehn . Dehn publicó un intento de demostración en 1910, pero Kneser encontró una laguna en 1929. Finalmente, fue demostrado en 1956 por Christos Papakyriakopoulos .
• El decimosexto problema de Hilbert sobre la finitud del número de ciclos límite de un campo vectorial polinómico plano. Henri Dulac publicó una solución parcial a este problema en 1923, pero alrededor de 1980 Écalle e Ilyashenko encontraron independientemente una grave laguna y la solucionaron alrededor de 1991. ^[7]
• En 1929, Lazar Lyusternik y Lev Schnirelmann publicaron una demostración del teorema de las tres geodésicas , que más tarde se demostró que era errónea. La demostración fue completada por Werner Ballmann unos 50 años después.
• Regla de Littlewood-Richardson . Robinson publicó una demostración incompleta en 1938, aunque las lagunas no se advirtieron durante muchos años. Las primeras demostraciones completas las dieron Marcel-Paul Schützenberger en 1977 y Thomas en 1974.
• Números de clase de cuerpos cuadráticos imaginarios . En 1952, Heegner publicó una solución a este problema. Su artículo no fue aceptado como prueba completa porque contenía un vacío, y las primeras pruebas completas fueron presentadas alrededor de 1967 por Baker y Stark . En 1969, Stark mostró cómo llenar el vacío en el artículo de Heegner.
• En 1954, Igor Shafarevich publicó una prueba de que todo grupo finito resoluble es un grupo de Galois sobre los racionales . Sin embargo, Schmidt ^{[ ¿quién? ]} señaló una laguna en el argumento en el primo 2, que Shafarevich solucionó en 1989.
• Problema de realización de Nielsen . Kravetz afirmó haberlo resuelto en 1959 demostrando primero que el espacio de Teichmüller tiene una curvatura negativa, pero en 1974 Masur demostró que no tiene una curvatura negativa. El problema de realización de Nielsen fue resuelto finalmente en 1980 por Kerckhoff .
• Problema de Yamabe . Yamabe afirmó haber encontrado una solución en 1960, pero Trudinger descubrió una brecha en 1968 y no se presentó una prueba completa hasta 1984.
• Conjetura de Mordell sobre cuerpos de funciones . Manin publicó una prueba en 1963, pero Coleman (1990) encontró y corrigió una laguna en la prueba.
• En 1973, Britton publicó un intento de solución del problema de Burnside de 282 páginas . En su prueba, supuso la existencia de un conjunto de parámetros que satisfacen algunas desigualdades, pero Adian señaló que estas desigualdades eran inconsistentes. Novikov y Adian habían encontrado previamente una solución correcta alrededor de 1968.
• Clasificación de grupos finitos simples . En 1983, Gorenstein anunció que la prueba de la clasificación había sido completada, pero había sido mal informado sobre el estado de la prueba de clasificación de grupos cuasíticos , que tenía una grave laguna. Una prueba completa para este caso fue publicada por Aschbacher y Smith en 2004.
• En 1986, Spencer Bloch publicó el artículo "Algebraic Cycles and Higher K-theory" (Ciclos algebraicos y teoría K superior), en el que introdujo un grupo de Chow superior , precursor de la cohomología motívica . El artículo utilizó un lema móvil incorrecto; el lema fue reemplazado posteriormente por 30 páginas de argumentos complejos que "tardaron muchos años en ser aceptados como correctos". ^[1]
• Conjetura de Kepler . Hsiang publicó una prueba incompleta de esto en 1993. En 1998, Hales publicó una prueba que dependía de largos cálculos informáticos.

• En 1759 Euler afirmó que no existían recorridos cerrados de caballos en un tablero de ajedrez con 3 filas, pero en 1917 Ernest Bergholt encontró recorridos en tableros de 3 por 10 y 3 por 12. ^[8]
• Conjetura de Euler sobre los cuadrados grecolatinos . En la década de 1780, Euler conjeturó que no existen tales cuadrados para ningún número par impar n ≡ 2 (mod 4). En 1959, RC Bose y SS Shrikhande construyeron contraejemplos de orden 22. Luego, ET Parker encontró un contraejemplo de orden 10 utilizando una búsqueda de computadora de una hora. Finalmente, Parker, Bose y Shrikhande demostraron que esta conjetura era falsa para todo n ≥ 10.
• En 1798 AM Legendre afirmó que 6 no es la suma de 2 cubos racionales, ^[9] lo cual, como señaló Lamé en 1865, es falso ya que 6 = (37/21) ³  + (17/21) ³ .
• En 1803, Gian Francesco Malfatti afirmó haber demostrado que una determinada disposición de tres círculos cubriría la máxima área posible dentro de un triángulo rectángulo. Sin embargo, para ello hizo ciertas suposiciones infundadas sobre la configuración de los círculos. En 1930 se demostró que los círculos con una configuración diferente podían cubrir un área mayor, y en 1967 se demostró que la configuración de Malfatti nunca fue óptima. Véase Círculos de Malfatti .
• En 1806, André-Marie Ampère afirmó haber demostrado que una función continua es diferenciable en la mayoría de los puntos (aunque no está del todo claro lo que afirmaba, ya que no dio una definición precisa de función). Sin embargo, en 1872 Weierstrass dio un ejemplo de una función continua que no era diferenciable en ningún punto: la función de Weierstrass .
• Teoría de la intersección . En 1848, Steiner afirmó que el número de cónicas tangentes a 5 cónicas dadas es 7776 = 6 ⁵ , pero más tarde se dio cuenta de que esto era incorrecto. El número correcto 3264 fue encontrado por Berner en 1865 y por Ernest de Jonquieres alrededor de 1859 y por Chasles en 1864 utilizando su teoría de las características. Sin embargo, estos resultados, como muchos otros en la teoría clásica de la intersección, no parecen haber recibido pruebas completas hasta el trabajo de Fulton y Macpherson en aproximadamente 1978.
• Principio de Dirichlet . Riemann lo utilizó en 1851, pero Weierstrass encontró un contraejemplo de una versión de este principio en 1870, y Hilbert formuló y demostró una versión correcta en 1900.
• Cayley  (1878) afirmó incorrectamente que hay tres grupos diferentes de orden 6. Este error es extraño porque en un artículo anterior de 1854 afirmó correctamente que solo hay dos de esos grupos.
• Los fundamentos de las matemáticas de Frege en su libro Begriffsschrift de 1879 resultaron ser inconsistentes debido a la paradoja de Russell , descubierta en 1901.
• En 1885, Evgraf Fedorov clasificó los poliedros convexos con caras rómbicas congruentes, pero pasó por alto un caso. Stanko Bilinski en 1960 redescubrió el dodecaedro de Bilinski (olvidado tras su publicación anterior en 1752) y demostró que, con la adición de esta forma, la clasificación estaba completa. ^[10]
• Wronskianos . En 1887, Mansion afirmó en su libro de texto que si un wronskiano de algunas funciones se anula en todas partes, entonces las funciones son linealmente dependientes. En 1889, Peano señaló el contraejemplo x ² y x | x |. El resultado es correcto si las funciones son analíticas .
• Vahlen  (1891) publicó un supuesto ejemplo de una curva algebraica en un espacio proyectivo tridimensional que no podía definirse como los ceros de tres polinomios, pero en 1941 Perron encontró tres ecuaciones que definían la curva de Vahlen. En 1961 Kneser demostró que cualquier curva algebraica en un espacio proyectivo tridimensional puede expresarse como los ceros de tres polinomios. ^[11]
• En 1898, Miller publicó un artículo en el que afirmaba incorrectamente que demostraba que el grupo de Mathieu M ₂₄ no existe, aunque en 1900 señaló que su prueba era errónea.
• Little afirmó en 1900 que la torsión de un diagrama de nudos reducido es invariante. Sin embargo, en 1974 Perko descubrió un contraejemplo llamado par de Perko , un par de nudos que figuran como distintos en las tablas durante muchos años y que, de hecho, son el mismo.
• El vigésimo primer problema de Hilbert . En 1908, Plemelj afirmó haber demostrado la existencia de ecuaciones diferenciales fuchsianas con cualquier grupo de monodromía dado , pero en 1989 Bolibruch descubrió un contraejemplo.
• En 1925, Ackermann publicó una prueba de que un sistema débil puede demostrar la consistencia de una versión del análisis, pero von Neumann encontró un error explícito en ella unos años más tarde. Los teoremas de incompletitud de Gödel demostraron que no es posible demostrar la consistencia del análisis utilizando sistemas más débiles.
• Grupos de orden 64. En 1930, Miller publicó un artículo afirmando que hay 294 grupos de orden 64. Hall y Senior demostraron en 1964 que el número correcto es 267.
• El intento original de Church publicado en 1932 de definir un sistema formal era inconsistente, como también lo fue su corrección en 1933. La parte consistente de su sistema más tarde se convirtió en el cálculo lambda .
• En 1933, Kurt Gödel demostró que la verdad de una determinada clase de enunciados de aritmética de primer orden , conocidos en la literatura como [∃ ^* ∀ ² ∃ ^* ,  all , (0)], era decidible . Es decir, existía un método para decidir correctamente si cualquier enunciado de esa forma era verdadero. En la última frase de ese artículo, afirmó que la misma prueba funcionaría para la decidibilidad de la clase más grande [∃ ^* ∀ ² ∃ ^* ,  all , (0)] ₌ , que también incluye fórmulas que contienen un predicado de igualdad. Sin embargo, a mediados de la década de 1960, Stål Aanderaa demostró que la prueba de Gödel no se aplicaría a la clase más grande, y en 1982 Warren Goldfarb demostró que la validez de las fórmulas de la clase más grande era, de hecho, indecidible. ^{[12] [13]}
• Teorema de Grunwald-Wang . Wilhelm Grunwald publicó una prueba incorrecta de un teorema incorrecto en 1933, y George Whaples publicó posteriormente otra prueba incorrecta. Shianghao Wang encontró un contraejemplo en 1948 y publicó una versión corregida del teorema en 1950.
• En 1934 Severi afirmó que el espacio de clases de equivalencia racional de ciclos en una superficie algebraica es de dimensión finita, pero Mumford (1968) demostró que esto es falso para superficies de género geométrico positivo.
• Quine publicó su descripción original del sistema de lógica matemática en 1940, pero en 1942 Rosser demostró que era inconsistente. Wang encontró una corrección en 1950; la consistencia de este sistema revisado aún no está clara.
• Uno de los muchos ejemplos de la geometría algebraica de la primera mitad del siglo XX: Severi (1946) afirmó que una superficie de grado n en un espacio proyectivo tridimensional tiene como máximo (^{n +2}
  ₃)−4 nodos, B. Segre señaló que esto era erróneo; por ejemplo, para el grado 6 el número máximo de nodos es 65, alcanzado por el séxtico de Barth , que es más que el máximo de 52 reclamado por Severi.
• Invariante de Rokhlin . En 1951, Rokhlin afirmó incorrectamente que el tercer tronco estable de los grupos de homotopía de esferas es de orden 12. En 1952 descubrió su error: de hecho es cíclico de orden 24. La diferencia es crucial ya que da como resultado la existencia del invariante de Rokhlin, una herramienta fundamental en la teoría de variedades tridimensionales y tetradimensionales .
• En 1961, Jan-Erik Roos publicó un teorema incorrecto sobre la desaparición del primer funtor derivado del funtor límite inverso bajo ciertas condiciones generales. ^[14] Sin embargo, en 2002, Amnon Neeman construyó un contraejemplo. ^[15] Roos demostró en 2006 que el teorema se cumple si se agrega el supuesto de que la categoría tiene un conjunto de generadores . ^[16]
• El multiplicador de Schur del grupo de Mathieu M ₂₂ es particularmente notorio ya que fue mal calculado más de una vez: Burgoyne y Fong (1966) primero afirmaron que tenía orden 3, luego en una corrección de 1968 afirmaron que tenía orden 6; su orden es de hecho (actualmente se cree que es) 12. Esto causó un error en el título del artículo de Janko Un nuevo grupo simple finito de orden 86,775,570,046,077,562,880 que posee M ₂₄ y el grupo de cobertura completo de M ₂₂ como subgrupo en J4 : no tiene el grupo de cobertura completo como subgrupo, ya que el grupo de cobertura completo es más grande de lo que se pensaba en ese momento.
• La declaración original de la clasificación de los grupos N realizada por Thompson en 1968 omitió accidentalmente el grupo de Tits , aunque pronto corrigió esto.
• En 1967, Reinhardt propuso los cardinales de Reinhardt , que Kunen demostró que eran inconsistentes con ZFC en 1971, aunque no se sabe que sean inconsistentes con ZF .
• La versión original de la teoría de tipos intuicionista propuesta por Per Martin-Löf en 1971 fue demostrada como inconsistente por Jean-Yves Girard en 1972, y fue reemplazada por una versión corregida.
• En 1975, Leitzel, Madan y Queen afirmaron incorrectamente que solo hay 7 campos de funciones sobre campos finitos con género > 0 y número de clase 1, pero en 2013 Stirpe encontró otro: de hecho, hay exactamente 8.
• Problema de Busemann-Petty . Zhang publicó dos artículos en Annals of Mathematics en 1994 y 1999, en el primero de los cuales demostró que el problema de Busemann-Petty en R ⁴ tiene una solución negativa, y en el segundo demostró que tiene una solución positiva.
• Pilas algebraicas . El libro de Laumon y Moret-Bailly (2000) sobre pilas algebraicas afirmaba erróneamente que los morfismos de las pilas algebraicas inducen morfismos de topos lisos . Los resultados que dependen de esto fueron corregidos por Olsson (2007).

• Convergencia uniforme . En su Cours d'Analyse de 1821, Cauchy "demostró" que si una suma de funciones continuas converge puntualmente , entonces su límite también es continuo. Sin embargo, Abel observó tres años después que este no es el caso. Para que la conclusión sea válida, "convergencia puntual" debe reemplazarse por " convergencia uniforme ". No está del todo claro que el resultado original de Cauchy fuera erróneo, porque su definición de convergencia puntual era un poco vaga y puede haber sido más fuerte que la que se usa actualmente, y hay formas de interpretar su resultado para que sea correcto. ^[17] Hay muchos contraejemplos que usan la definición estándar de convergencia puntual. Por ejemplo, una serie de Fourier de funciones seno y coseno , todas continuas, puede converger puntualmente a una función discontinua como una función escalonada .
• La conjetura de la función totiente de Carmichael fue enunciada como teorema por Robert Daniel Carmichael en 1907, pero en 1922 señaló que su demostración estaba incompleta. En 2016 el problema sigue abierto.
• Escuela italiana de geometría algebraica . La mayoría de las lagunas en las demostraciones se deben a un sutil descuido técnico o, antes del siglo XX, a una falta de definiciones precisas. Una excepción importante a esto es la escuela italiana de geometría algebraica de la primera mitad del siglo XX, donde gradualmente se aceptaron estándares de rigor más bajos. El resultado fue que hay muchos artículos en esta área donde las demostraciones son incompletas o los teoremas no están enunciados con precisión. Esta lista contiene algunos ejemplos representativos, donde el resultado no solo se demostró de manera incompleta sino que también fue irremediablemente erróneo.
• En 1933, George David Birkhoff y Waldemar Joseph Trjitzinsky publicaron un teorema muy general ^[18] sobre la asintótica de las sucesiones que satisfacen recurrencias lineales. El teorema fue popularizado por Jet Wimp y Doron Zeilberger en 1985. ^[19] Sin embargo, aunque el resultado probablemente sea cierto, a día de hoy (2021) la prueba de Birkhoff y Trjitzinsky no es generalmente aceptada por los expertos, y el teorema se demuestra (aceptablemente) solo en casos especiales. ^[20]
• Conjetura jacobiana . Keller planteó esta pregunta en 1939 y en los años siguientes se publicaron varias demostraciones incompletas, incluidas tres de B. Segre, pero Vitushkin encontró lagunas en muchas de ellas. La conjetura jacobiana es (a fecha de 2016) un problema abierto y se anuncian regularmente más demostraciones incompletas. Hyman Bass, Edwin H. Connell y David Wright (1982) analizan los errores de algunas de estas demostraciones incompletas.
• Un reforzamiento del decimosexto problema de Hilbert que pregunta si existe un límite superior finito uniforme para el número de ciclos límite de campos vectoriales polinómicos planos de grado dado n . En la década de 1950, Evgenii Landis e Ivan Petrovsky publicaron una supuesta solución, pero se demostró que era errónea a principios de la década de 1960. ^[7]
• En 1954, Zarankiewicz afirmó haber resuelto el problema de la fábrica de ladrillos de Turán sobre el número de cruces de grafos bipartitos completos , pero Kainen y Ringel notaron más tarde una laguna en su prueba.
• Estructuras complejas en la esfera de seis dimensiones. En 1969, Alfred Adler publicó un artículo en el American Journal of Mathematics en el que afirmaba que la esfera de seis dimensiones no tiene una estructura compleja. Su argumento era incompleto y (a fecha de 2016) sigue siendo un importante problema abierto.
• Geodésicas cerradas . En 1978, Wilhelm Klingenberg publicó una prueba de que las variedades compactas suaves sin borde tienen infinitas geodésicas cerradas. Su prueba fue controvertida y actualmente (a fecha de 2016) no hay consenso sobre si su prueba es completa.
• En 1991, Kapranov y Voevodsky publicaron un artículo en el que afirmaban demostrar una versión de la hipótesis de la homotopía . Más tarde, Simpson demostró que el resultado del artículo no era cierto, pero conjeturó que una variante del resultado podría serlo, la variante que ahora se conoce como la conjetura de Simpson.
• Conjetura del telescopio . Ravenel anunció una refutación de esta teoría en 1992, pero luego la retiró y la conjetura sigue abierta.
• Fibrados matroidales. En 2003, Daniel Biss publicó un artículo en Annals of Mathematics en el que afirmaba que los fibrados matroidales son equivalentes a los fibrados vectoriales reales, pero en 2009 publicó una corrección que señalaba una grave laguna en la prueba. ^[21] Su corrección se basaba en un artículo de 2007 de Mnëv. ^[22]
• En 2012, el matemático japonés Shinichi Mochizuki publicó en Internet una serie de artículos en los que afirmaba demostrar la conjetura abc . A pesar de su posterior publicación en una revista revisada por pares, su prueba no ha sido aceptada como correcta en la comunidad matemática convencional. ^[23]

• Lista de demostraciones matemáticas largas
• Lista de ideas matemáticas refutadas
• Teorías superadas en la ciencia

• Lecat, Maurice (1935), Erreurs de mathématiciens des origines à nos jours , Bruselas - Lovaina: Librairie Castaigne - Ém. Desbarax— Enumera más de cien páginas de errores publicados (en su mayoría triviales) cometidos por matemáticos.

• Correo electrónico de David Mumford sobre los errores de la escuela de geometría algebraica italiana bajo Severino
• Las primeras 9 páginas de [1] mencionan algunos ejemplos de resultados incorrectos en la teoría de la homotopía.

• Ilya Nikokoshev, ¿El error matemático más interesante?
• Kevin Buzzard ¿Qué errores cometieron realmente los geómetras algebraicos italianos?
• Will Jagy, ¿Resultados matemáticos ampliamente aceptados que luego se demostró que eran erróneos?
• John Stillwell, ¿Cuáles son algunos resultados correctos descubiertos con pruebas incorrectas (o nulas)?
• Moritz. Teoremas degradados a conjeturas
• Mei Zhang, pruebas que se demuestran erróneas después de la formalización con el asistente de pruebas

• Steven-Owen, En la historia de las matemáticas, ¿ha habido alguna vez un error?