Lista de teorías de primer orden

En lógica de primer orden , una teoría de primer orden se define mediante un conjunto de axiomas en algún lenguaje. Esta entrada enumera algunos de los ejemplos más comunes utilizados en la teoría de modelos y algunas de sus propiedades.

Para cada estructura matemática natural existe una signatura σ que enumera las constantes, funciones y relaciones de la teoría junto con sus aridades , de modo que el objeto es naturalmente una σ -estructura . Dada una signatura σ, existe un lenguaje único de primer orden L _σ que puede utilizarse para capturar los hechos expresables de primer orden sobre la σ -estructura.

Existen dos formas comunes de especificar las teorías:

1. Enumera o describe un conjunto de oraciones en el lenguaje L _σ , llamadas axiomas de la teoría.
2. Defina un conjunto de σ -estructuras y defina una teoría como el conjunto de oraciones en L _σ que se cumplen en todos estos modelos. Por ejemplo, la "teoría de los cuerpos finitos" consiste en todas las oraciones en el lenguaje de los cuerpos que son verdaderas en todos los cuerpos finitos.

Una teoría L _σ puede:

• Sea coherente: no existe prueba de contradicción;
• ser satisfacible: existe una σ -estructura para la cual todas las oraciones de la teoría son verdaderas (por el teorema de completitud , la satisfacibilidad es equivalente a la consistencia);
• ser completo: para cualquier enunciado, o bien es demostrable o bien es demostrable su negación;
• tener eliminación de cuantificadores ;
• eliminar imaginarios ;
• ser finitamente axiomatizable ;
• ser decidible : Existe un algoritmo para decidir qué enunciados son demostrables;
• ser recursivamente axiomatizable;
• estar completo en modelo o completo en submodelo;
• ser κ-categórico : Todos los modelos de cardinalidad κ son isomorfos;
• ser estable o inestable;
• ser ω-estable (lo mismo que totalmente trascendental para teorías contables );
• ser superestable
• tener un modelo atómico ;
• tener un modelo principal ;
• tener un modelo saturado .

La signatura de la teoría de la identidad pura es vacía, sin funciones, constantes ni relaciones.

La teoría de la identidad pura no tiene axiomas (no lógicos). Es decidible.

Una de las pocas propiedades interesantes que se pueden enunciar en el lenguaje de la teoría de la identidad pura es la de ser infinito. Esto viene dado por un conjunto infinito de axiomas que establecen que hay al menos 2 elementos, hay al menos 3 elementos, y así sucesivamente:

• ∃ x ₁ ∃ x ₂ ¬ x ₁ = x ₂ , ∃ x ₁ ∃ x ₂ ∃ x ₃ ¬ x ₁ = x ₂ ∧ ¬ x ₁ = x ₃ ∧ ¬ x ₂ = x ₃ ,...

Estos axiomas definen la teoría de un conjunto infinito .

La propiedad opuesta a la finitud no puede enunciarse en lógica de primer orden para ninguna teoría que posea modelos finitos arbitrariamente grandes; de hecho, cualquier teoría de este tipo posee modelos infinitos según el teorema de compacidad . En general, si una propiedad puede enunciarse mediante un número finito de enunciados de lógica de primer orden, entonces la propiedad opuesta también puede enunciarse en lógica de primer orden; pero si una propiedad requiere un número infinito de enunciados, entonces su propiedad opuesta no puede enunciarse en lógica de primer orden.

Cualquier enunciado de la teoría de identidad pura es equivalente a σ( N ) o a ¬σ( N ) para algún subconjunto finito N de los enteros no negativos , donde σ( N ) es el enunciado de que el número de elementos está en N. Incluso es posible describir todas las teorías posibles en este lenguaje de la siguiente manera: cualquier teoría es o bien la teoría de todos los conjuntos de cardinalidad en N para algún subconjunto finito N de los enteros no negativos, o bien la teoría de todos los conjuntos cuya cardinalidad no está en N , para algún subconjunto finito o infinito N de los enteros no negativos. (No existen teorías cuyos modelos sean exactamente conjuntos de cardinalidad N si N es un subconjunto infinito de los enteros). Las teorías completas son las teorías de conjuntos de cardinalidad n para algún n finito , y la teoría de conjuntos infinitos.

Un caso especial de esto es la teoría inconsistente definida por el axioma ∃ x ¬ x = x . Es una teoría perfectamente buena con muchas buenas propiedades: es completa, decidible, finitamente axiomatizable, etc. El único problema es que no tiene ningún modelo. Según el teorema de completitud de Gödel, es la única teoría (para cualquier lenguaje dado) sin modelos. ^{[ 1 ]} No es lo mismo que la teoría del conjunto vacío (en versiones de lógica de primer orden que permiten que un modelo sea vacío): la teoría del conjunto vacío tiene exactamente un modelo, que no tiene elementos.

Un conjunto de relaciones unarias P _i para i en algún conjunto I se denomina independiente si para cada dos subconjuntos finitos disjuntos A y B de I existe algún elemento x tal que P _i ( x ) es verdadero para i en A y falso para i en B. La independencia puede expresarse mediante un conjunto de enunciados de primer orden.

La teoría de un número contable de relaciones unarias independientes es completa, pero carece de modelos atómicos . Es también un ejemplo de teoría superestable pero no totalmente trascendental .

La signatura de las relaciones de equivalencia tiene un símbolo de relación infija binaria ~, ninguna constante ni ninguna función. Las relaciones de equivalencia satisfacen los siguientes axiomas:

• Reflexivo ∀ x x ~ x ;
• Simétrico ∀ x ∀ y x ~ y → y ~ x ;
• Transitivo : ∀ x ∀ y ∀ z ( x ~ y ∧ y ~ z ) → x ~ z .

Algunas propiedades de primer orden de las relaciones de equivalencia son:

• ~ tiene un número infinito de clases de equivalencia ;
• ~ tiene exactamente n clases de equivalencia (para cualquier entero positivo fijo n );
• Todas las clases de equivalencia son infinitas;
• Todas las clases de equivalencia tienen un tamaño exactamente n (para cualquier entero positivo fijo n ).

La teoría de una relación de equivalencia con exactamente 2 clases de equivalencia infinitas es un ejemplo sencillo de una teoría que es ω-categórica pero no categórica para ningún cardinal mayor .

La relación de equivalencia ~ no debe confundirse con el símbolo de identidad '=': si x = y, entonces x ~ y , pero lo contrario no es necesariamente cierto. Las teorías de las relaciones de equivalencia no son particularmente difíciles ni interesantes, pero a menudo proporcionan ejemplos o contraejemplos sencillos para diversas afirmaciones.

Las siguientes construcciones se utilizan a veces para producir ejemplos de teorías con ciertos espectros ; de hecho, al aplicarlas a un pequeño número de teorías explícitas T se obtienen ejemplos de teorías completas numerables con todos los posibles espectros no numerables. Si T es una teoría en algún lenguaje, definimos una nueva teoría 2 ^T agregando una nueva relación binaria al lenguaje y agregando axiomas que establecen que es una relación de equivalencia, de tal manera que hay un número infinito de clases de equivalencia, todas las cuales son modelos de T. Es posible iterar esta construcción transfinitamente : dado un ordinal α, definimos una nueva teoría agregando una relación de equivalencia E _β para cada β < α, junto con axiomas que establecen que siempre que β < γ entonces cada clase de equivalencia E _γ es la unión de infinitas clases de equivalencia E _β , y cada clase de equivalencia E ₀ es un modelo de T. De manera informal, se pueden visualizar los modelos de esta teoría como árboles infinitamente ramificados de altura α con modelos de T unidos a todas las hojas.

La signatura de órdenes no tiene constantes ni funciones, y un símbolo de relación binaria ≤. (Por supuesto, es posible usar ≥, < o > en su lugar como relación básica, con los cambios menores obvios en los axiomas). Definimos x ≥ y , x < y , x > y como abreviaturas de y ≤ x , x ≤ y ∧¬ y ≤ x , y < x ,

Algunas propiedades de primer orden de los órdenes:

• Transitivo : ∀ x ∀ y ∀ z ( x ≤ y) ∧ ( y ≤ z) → x ≤ z
• Reflexivo : ∀ x x ≤ x
• Antisimétrico : ∀ x ∀ y ( x ≤ y ) ∧ ( y ≤ x ) → x = y
• Parcial : Transitivo ∧ Reflexivo ∧ Antisimétrico;
• Lineal (o total ): Parcial ∧ ∀ x ∀ y ( x ≤ y) ∨ ( y ≤ x)
• Denso ("Entre dos elementos distintos cualesquiera hay otro elemento"): ∀ x ∀ z ( x < z) → ∃ y ( x < y) ∧ ( y < z)
• Existe un elemento mínimo: ∃ x ∀ y ( x ≤ y)
• Existe un elemento máximo: ∃ x ∀ y ( y ≤ x)
• Cada elemento tiene un sucesor inmediato: ∀ x ∃ y ∀ z ( x < z) ↔ ( y ≤ z)

La teoría DLO de órdenes lineales densos sin puntos extremos (es decir, sin elemento mínimo ni máximo) es completa, ω-categórica, pero no categórica para ningún cardinal no numerable. Existen otras tres teorías muy similares: la teoría de órdenes lineales densos con:

• Elemento más pequeño pero no el más grande;
• El elemento más grande, pero no el más pequeño;
• Elemento más grande y elemento más pequeño.

Estar bien ordenado ("cualquier subconjunto no vacío tiene un elemento mínimo") no es una propiedad de primer orden; la definición habitual implica cuantificar sobre todos los subconjuntos .

Los retículos pueden considerarse como tipos especiales de conjuntos parcialmente ordenados, con una signatura que consiste en un símbolo de relación binaria ≤ , o como estructuras algebraicas con una signatura que consiste en dos operaciones binarias ∧ y ∨ . Los dos enfoques pueden relacionarse definiendo a ≤ b como a ∧ b = a .

Para dos operaciones binarias, los axiomas de un retículo son:

Para una relación ≤ los axiomas son:

• Axiomas que establecen que ≤ es un orden parcial, como se indicó anteriormente.
• ${\displaystyle \forall a\forall b\exists c\;c\leq a\wedge c\leq b\wedge \forall d\;d\leq a\wedge d\leq b\rightarrow d\leq c}$(existencia de c = a ∧ b)
• ${\displaystyle \forall a\forall b\exists c\;a\leq c\wedge b\leq c\wedge \forall d\;a\leq d\wedge b\leq d\rightarrow c\leq d}$(existencia de c = a ∨ b)

Las propiedades de primer orden incluyen:

• ${\displaystyle \forall x\forall y\forall z\;x\vee (y\wedge z)=(x\vee y)\wedge (x\vee z)}$( redes distributivas )
• ${\displaystyle \forall x\forall y\forall z\;x\vee (y\wedge (x\vee z))=(x\vee y)\wedge (x\vee z)}$( redes modulares )

Las álgebras de Heyting pueden definirse como retículos con ciertas propiedades adicionales de primer orden.

La completitud no es una propiedad de primer orden de las redes.

La signatura de los gráficos no tiene constantes ni funciones, y un símbolo de relación binaria R , donde R ( x , y ) se lee como "hay una arista de x a y ".

Los axiomas de la teoría de grafos son:

• Simétrico : ∀ x ∀ y R ( x , y )→ R ( y , x )
• Antirreflexivo : ∀ x ¬ R ( x , x ) ("sin bucles ")

La teoría de grafos aleatorios tiene los siguientes axiomas adicionales para cada entero positivo n :

• Para cualesquiera dos conjuntos finitos disjuntos de tamaño n , existe un punto unido a todos los puntos del primer conjunto y a ningún punto del segundo. (Para cada n fijo , es fácil escribir esta afirmación en el lenguaje de los grafos).

La teoría de grafos aleatorios es ω categórica, completa y decidible, y su modelo contable se denomina grafo de Rado . Una afirmación en el lenguaje de los grafos es verdadera en esta teoría si y solo si la probabilidad de que un grafo aleatorio de n vértices modele dicha afirmación tiende a 1 en el límite cuando n tiende a infinito.

Existen varias firmas y convenciones diferentes que se utilizan para las álgebras booleanas :

1. La signatura tiene dos constantes, 0 y 1, dos funciones binarias ∧ y ∨ ("y" y "o"), y una función unaria ¬ ("no"). Esto puede resultar confuso, ya que las funciones utilizan los mismos símbolos que las funciones proposicionales de la lógica de primer orden.
2. En teoría de conjuntos , una convención común es que el lenguaje tiene dos constantes, 0 y 1, y dos funciones binarias · y +, y una función unaria − . Las tres funciones tienen la misma interpretación que las funciones de la primera convención. Desafortunadamente, esta convención choca gravemente con la siguiente:
3. En álgebra , la convención habitual es que el lenguaje tenga dos constantes, 0 y 1, y dos funciones binarias · y +. La función · tiene el mismo significado que ∧, pero a + b significa a ∨ b ∧¬( a ∧ b ). La razón de esto es que los axiomas de un álgebra booleana son entonces simplemente los axiomas de un anillo con 1 más ∀ x x ² = x . Desafortunadamente, esto entra en conflicto con la convención estándar en teoría de conjuntos mencionada anteriormente.

Los axiomas son:

• Los axiomas para un retículo distributivo (ver arriba)
• ∀ a a ∧ ¬ a = 0, ∀ a a ∨ ¬ a = 1 (propiedades de la negación)
• Algunos autores añaden el axioma adicional ¬0 = 1, para excluir el álgebra trivial con un elemento.

Tarski demostró que la teoría de las álgebras booleanas es decidible.

Escribimos x ≤ y como abreviatura de x ∧ y = x , y atom( x ) como abreviatura de ¬ x = 0 ∧ ∀ y y ≤ x → y = 0 ∨ y = x , que se lee como " x es un átomo", en otras palabras, un elemento distinto de cero sin nada entre él y 0. Aquí hay algunas propiedades de primer orden de las álgebras booleanas:

• Atómico : ∀ x x = 0 ∨ ∃ y y ≤ x ∧ átomo( y )
• Sin átomos : ∀ x ¬átomo( x )

La teoría de las álgebras booleanas sin átomos es ω-categórica y completa.

Para cualquier álgebra booleana B , existen varios invariantes definidos de la siguiente manera.

• El ideal I ( B ) consiste en elementos que son la suma de un elemento atómico y un elemento sin átomos (un elemento sin átomos debajo de él).
• Las álgebras cociente B ⁱ de B se definen inductivamente por B ⁰ = B , B ^{k +1} = B ^k / I ( B ^k ).
• El invariante m ( B ) es el entero más pequeño tal que B ^{m +1} es trivial, o ∞ si no existe tal entero.
• Si m ( B ) es finito, el invariante n ( B ) es el número de átomos de B ^{m ( B )} si este número es finito, o ∞ si este número es infinito.
• El invariante l ( B ) es 0 si B ^{m ( B )} es atómico o si m ( B ) es ∞ , y 1 en caso contrario.

Entonces, dos álgebras booleanas son elementalmente equivalentes si y solo si sus invariantes l , m y n son iguales. En otras palabras, los valores de estos invariantes clasifican las posibles completaciones de la teoría de las álgebras booleanas. Así, las posibles teorías completas son:

• El álgebra trivial (si esto está permitido; a veces 0 ≠ 1 se incluye como un axioma).
• La teoría con m = ∞
• Las teorías con m un número natural, n un número natural o ∞ , y l = 0 o 1 (con l = 0 si n = 0).

La signatura de la teoría de grupos tiene una constante 1 (la identidad), una función de aridad 1 (la inversa) cuyo valor en t se denota por t ^{− 1} , y una función de aridad 2, que generalmente se omite en los términos. Para cualquier entero n , t ⁿ es una abreviatura del término obvio para la n- ésima potencia de t .

Los grupos se definen mediante los axiomas.

• Identidad : ∀ x 1 x = x ∧ x 1 = x
• Inverso : ∀ x x ^{− 1} x = 1 ∧ xx ^{− 1} = 1
• Asociatividad : ∀ x ∀ y ∀ z ( xy ) z = x ( yz )

Algunas propiedades de los grupos que se pueden definir en el lenguaje de primer orden de los grupos son:

• Abeliano : ∀ x ∀ y xy = yx .
• Sin torsión : ∀ x x ² = 1 → x = 1, ∀ x x ³ = 1 → x = 1, ∀ x x ⁴ = 1 → x = 1, ...
• Divisible : ∀ x ∃ y y ² = x , ∀ x ∃ y y ³ = x , ∀ x ∃ y y ⁴ = x , ...
• Infinito (como en la teoría de la identidad)
• Exponente n (para cualquier entero positivo fijo n ): ∀ x x ⁿ = 1
• Nilpotente de clase n (para cualquier entero positivo fijo n )
• Resoluble de clase n (para cualquier entero positivo fijo n )

La teoría de los grupos abelianos es decidible. ^{[ 2 ]} La teoría de los grupos abelianos infinitos divisibles y libres de torsión es completa, al igual que la teoría de los grupos abelianos infinitos de exponente p (para p primo ).

La teoría de grupos finitos es el conjunto de enunciados de primer orden en el lenguaje de grupos que son verdaderos en todos los grupos finitos (existen numerosos modelos infinitos de esta teoría). No es del todo trivial encontrar algún enunciado de este tipo que no sea verdadero para todos los grupos: un ejemplo es "dados dos elementos de orden 2, o bien son conjugados o bien existe un elemento no trivial que conmuta con ambos".

Las propiedades de ser finito, libre , simple o de torsión no son de primer orden. Más precisamente, la teoría de primer orden de todos los grupos con una de estas propiedades tiene modelos que no poseen dicha propiedad.

La signatura de los anillos (unitarios) tiene dos constantes 0 y 1, dos funciones binarias + y × y, opcionalmente, una función de negación unaria − .

Anillos

Axiomas: La suma convierte el anillo en un grupo abeliano, la multiplicación es asociativa y tiene como elemento neutro 1, y la multiplicación es distributiva por la izquierda y por la derecha.

Anillos conmutativos

Los axiomas para anillos más ∀ x ∀ y xy = yx .

Campos

Los axiomas para anillos conmutativos más ∀ x (¬ x = 0 → ∃ y xy = 1) y ¬ 1 = 0. Muchos de los ejemplos dados aquí tienen solo axiomas universales o algebraicos . La clase de estructuras que satisfacen dicha teoría tiene la propiedad de ser cerrada bajo subestructura. Por ejemplo, un subconjunto de un grupo cerrado bajo las acciones de grupo de multiplicación e inverso es nuevamente un grupo. Dado que la signatura de los cuerpos no suele incluir el inverso multiplicativo y aditivo, los axiomas para los inversos no son universales y, por lo tanto, una subestructura de un cuerpo cerrada bajo la suma y la multiplicación no siempre es un cuerpo. Esto puede remediarse agregando funciones inversas unarias al lenguaje.

Para cualquier entero positivo n, la propiedad de que todas las ecuaciones de grado n tienen una raíz se puede expresar mediante una única oración de primer orden:

• ∀ a ₁ ∀ a ₂ ... ∀ a _n ∃ x (...(( x + a ₁ ) x + a ₂ ) x +...) x + a _n = 0

Campos perfectos

Los axiomas para los cuerpos, más axiomas para cada número primo p que establecen que si p  1 = 0 (es decir, el cuerpo tiene característica p ), entonces cada elemento del cuerpo tiene una raíz p .

Campos algebraicamente cerrados de característica p

Los axiomas para cuerpos, más para cada n positivo el axioma de que todos los polinomios de grado n tienen una raíz, más axiomas que fijan la característica. Los ejemplos clásicos de teorías completas. Categórica en todos los cardinales no numerables. La teoría ACF _p tiene una propiedad de dominio universal , en el sentido de que toda estructura N que satisface los axiomas universales de ACF _p es una subestructura de un cuerpo algebraicamente cerrado suficientemente grande. ${\displaystyle M\models ACF_{0}}$y además, cualesquiera dos de estas incrustaciones N → M inducen un automorfismo de M.

Campos finitos

La teoría de los cuerpos finitos es el conjunto de todas las proposiciones de primer orden que son verdaderas en todos los cuerpos finitos. Ejemplos significativos de tales proposiciones pueden obtenerse, por ejemplo, aplicando el teorema de Chevalley-Warning sobre los cuerpos primos . El nombre puede resultar un tanto engañoso, ya que la teoría cuenta con numerosos modelos infinitos. Ax demostró que la teoría es decidible.

Campos formalmente reales

Los axiomas para campos más, para cada entero positivo n , el axioma:

• ∀ a ₁ ∀ a ₂ ... ∀ a _n a ₁ a ₁ + a ₂ a ₂ + ...+ a _n a _n =0 → a ₁ =0∧ a ₂ =0∧ ... ∧ a _n =0.

Es decir, 0 no es una suma de cuadrados no trivial.

Campos cerrados reales

Los axiomas para cuerpos formalmente reales más los axiomas:

• ∀ x ∃ y ( x = yy ∨ x + yy = 0);
• Para cada entero positivo impar n , el axioma que establece que todo polinomio de grado n tiene una raíz.

La teoría de los cuerpos reales cerrados es efectiva y completa y, por lo tanto, decidible (el teorema de Tarski-Seidenberg ). La adición de otros símbolos de función (por ejemplo, la función exponencial, la función seno) puede cambiar la decidibilidad .

campos p -ádicos

Ax y Kochen (1965) demostraron que la teoría de los campos p -ádicos es decidible y dieron un conjunto de axiomas para ella. ^{[ 3 ]}

Los axiomas de diversos sistemas geométricos suelen emplear un lenguaje tipado, donde los diferentes tipos corresponden a distintos objetos geométricos como puntos, líneas, círculos, planos, etc. La signatura a menudo consiste en relaciones de incidencia binarias entre objetos de distintos tipos; por ejemplo, la relación de que un punto se encuentra sobre una línea. La signatura puede presentar relaciones más complejas; por ejemplo, la geometría ordenada podría tener una relación ternaria de "intermediación" para tres puntos, que indica si uno se encuentra entre otros dos, o una relación de "congruencia" entre dos pares de puntos.

Algunos ejemplos de sistemas axiomatizados de geometría incluyen la geometría ordenada , la geometría absoluta , la geometría afín , la geometría euclidiana , la geometría proyectiva y la geometría hiperbólica . Para cada una de estas geometrías existen numerosos sistemas de axiomas distintos y no equivalentes para diversas dimensiones. Algunos de estos sistemas axiomáticos incluyen axiomas de «completitud» que no son de primer orden.

Como ejemplo típico, los axiomas de la geometría proyectiva utilizan 2 tipos, puntos y líneas, y una relación de incidencia binaria entre puntos y líneas. Si las variables de punto y línea se indican con letras minúsculas y mayúsculas, y una incidencia a A se escribe como aA , entonces un conjunto de axiomas es

• ${\displaystyle \forall a\forall b\;\lnot a=b\rightarrow \exists C\;aC\land bC}$(Hay una línea que pasa por dos puntos distintos cualesquiera a , b ...)
• ${\displaystyle \forall a\forall b\forall C\forall D\;\lnot a=b\land aC\land bC\land aD\land bD\rightarrow C=D}$(... que es único)
• ${\displaystyle \forall a\forall b\forall c\forall d\forall e\forall G\forall H\;aH\land bH\land eH\land cG\land dG\land eG\rightarrow \exists f\exists I\exists J\;aI\land cI\land fI\land bJ\land dJ\land fJ}$(Axioma de Veblen: si ab y cd se encuentran en líneas secantes, entonces ac y bd también lo están ).
• ${\displaystyle \forall A\exists b\exists c\exists d\;bA\land cA\land dA\land \lnot b=c\land \lnot b=d\land \lnot c=d}$(Cada línea tiene al menos 3 puntos)

Euclides no enunció explícitamente todos los axiomas de la geometría euclidiana, y la primera lista completa la proporcionó Hilbert en sus Axiomas . Esta no es una axiomatización de primer orden, ya que uno de los axiomas de Hilbert es un axioma de completitud de segundo orden. Los axiomas de Tarski constituyen una axiomatización de primer orden de la geometría euclidiana. Tarski demostró que este sistema axiomático es completo y decidible al relacionarlo con la teoría completa y decidible de los cuerpos reales cerrados.

• La teoría DF de campos diferenciales .

La signatura es la de los campos (0, 1, +, −, ×) junto con una función unaria ∂, la derivación. Los axiomas son los de los campos junto con

${\displaystyle \forall u\forall v\,\partial (uv)=u\,\partial v+v\,\partial u}$

${\displaystyle \forall u\forall v\,\partial (u+v)=\partial u+\partial v\ .}$

Para esta teoría se puede agregar la condición de que la característica sea p , un número primo o cero, para obtener la teoría DF _p de campos diferenciales de característica p (y de manera similar con las otras teorías a continuación).

Si K es un campo diferencial, entonces el campo de constantes${\displaystyle k=\{u\in K:\partial (u)=0\}.}$ La teoría de los campos diferencialmente perfectos es la teoría de los campos diferenciales junto con la condición de que el campo de constantes sea perfecto; en otras palabras, para cada primo p se cumple el axioma:

${\displaystyle \forall u\,\partial (u)=0\land p1=0\rightarrow \exists v\,v^{p}=u}$

(No tiene mucho sentido exigir que todo el campo sea un campo perfecto , porque en característica no nula esto implica que el diferencial es 0.) Por razones técnicas relacionadas con la eliminación de cuantificadores , a veces es más conveniente forzar que el campo constante sea perfecto añadiendo un nuevo símbolo r a la signatura con los axiomas

${\displaystyle \forall u\,\partial (u)=0\land p1=0\rightarrow r(u)^{p}=u}$

${\displaystyle \forall u\,\lnot \partial (u)=0\rightarrow r(u)=0.}$

• La teoría de campos diferencialmente cerrados (DCF) es la teoría de campos diferencialmente perfectos con axiomas que dicen que si f y g son polinomios diferenciales y el separador de f es distinto de cero y g ≠ 0 y f tiene un orden mayor que el de g , entonces hay algún x en el campo con f ( x ) = 0 y g ( x ) ≠ 0.

La teoría de los números naturales con una función sucesora tiene signatura consistente en una constante 0 y una función unaria S ("sucesor": S ( x ) se interpreta como x +1), y tiene los siguientes axiomas:

1. ∀x ¬ Sx = 0
2. ∀x∀y Sx = Sy → x = y
3. Sea P ( x ) una fórmula de primer orden con una única variable libre x . Entonces la siguiente fórmula es un axioma:

( P (0) ∧ ∀ x ( P ( x ) → P ( Sx ))) → ∀ y P ( y ).

El último axioma (inducción) puede ser reemplazado por los axiomas

• Para cada entero n >0, el axioma ∀x SSS...Sx ≠ x (con n copias de S )
• ∀x ¬ x = 0 → ∃y Sy = x

La teoría de los números naturales con una función sucesora es completa y decidible, y es κ -categórica para κ no numerable pero no para κ numerable .

La aritmética de Presburger es la teoría de los números naturales bajo la suma, cuya signatura consiste en una constante 0, una función unaria S y una función binaria +. Es completa y decidible. Los axiomas son:

1. ∀x ¬ Sx = 0
2. ∀x∀y Sx = Sy → x = y
3. ∀xx + 0 = x
4. ∀x∀yx + Sy = S(x + y)
5. Sea P ( x ) una fórmula de primer orden con una única variable libre x . Entonces la siguiente fórmula es un axioma:

( P (0) ∧ ∀ x ( P ( x ) → P ( Sx ))) → ∀ y P ( y ).

Muchas de las teorías de primer orden descritas anteriormente pueden extenderse a teorías consistentes, recursivamente enumerables y completas. Esto ya no es cierto para la mayoría de las siguientes teorías; por lo general, pueden codificar tanto la multiplicación como la suma de números naturales, lo que les otorga suficiente poder para codificarse a sí mismas, lo que implica que se aplica el teorema de incompletitud de Gödel y que las teorías ya no pueden ser completas y recursivamente enumerables a la vez (a menos que sean inconsistentes).

La firma de una teoría aritmética tiene:

• La constante 0;
• La función unaria , la función sucesora , aquí denotada por el prefijo S , o por el prefijo σ o el sufijo ′ en otros lugares;
• Dos funciones binarias , denotadas por los símbolos infijos + y × , llamadas "suma" y "multiplicación".

Algunos autores toman la signatura para que contenga una constante 1 en lugar de la función S , y luego definen S de la manera obvia como St = 1 + t .

Aritmética de Robinson (también llamada Q ). Los axiomas (1) y (2) rigen el elemento distinguido 0. (3) asegura que S es una inyección . Los axiomas (4) y (5) son la definición recursiva estándar de la suma; (6) y (7) hacen lo mismo para la multiplicación. La aritmética de Robinson puede considerarse como la aritmética de Peano sin inducción. Q es una teoría débil para la cual se cumple el teorema de incompletitud de Gödel . Axiomas:

1. ∀ x ¬ S x = 0
2. ∀ x ¬ x = 0 → ∃ y S y = x
3. ∀ x ∀ y S x = S y → x = y
4. ∀ x x + 0 = x
5. ∀ x ∀ y x + S y = S( x + y )
6. ∀ x x × 0 = 0
7. ∀ x ∀ y x × S y = ( x × y ) + x .

I Σ _n es la aritmética de Peano de primer orden con inducción restringida a fórmulas Σ _n (para n = 0, 1, 2, ...). La teoría I Σ ₀ se suele denotar por I Δ _0. Se trata de una serie de fragmentos cada vez más potentes de la aritmética de Peano. El caso n  =  1 tiene aproximadamente la misma fuerza que la aritmética recursiva primitiva (PRA). La aritmética de funciones exponenciales (EFA) es I Σ ₀ con un axioma que establece que x ^y existe para todo x e y (con las propiedades habituales).

Aritmética de Peano de primer orden , PA. La teoría "estándar" de la aritmética. Los axiomas son los mismos que los de la aritmética de Robinson mencionados anteriormente, junto con el esquema axiomático de inducción:

• ${\displaystyle \phi (0)\wedge (\forall x\phi (x)\rightarrow \phi (Sx))\rightarrow (\forall x\phi (x))}$para cualquier fórmula φ en el lenguaje de PA. φ puede contener variables libres distintas de x .

El artículo de Kurt Gödel de 1931 demostró que PA es incompleto y no tiene completaciones recursivamente enumerables consistentes.

La aritmética completa (también conocida como aritmética verdadera) es la teoría del modelo estándar de la aritmética, los números naturales N. Es completa, pero no posee un conjunto de axiomas recursivamente enumerable.

Para los números reales, la situación es ligeramente diferente: el caso que incluye solo suma y multiplicación no puede codificar los enteros, por lo que el teorema de incompletitud de Gödel no se aplica . Surgen complicaciones al agregar más símbolos de función (por ejemplo, la exponenciación).

La aritmética de segundo orden puede referirse a una teoría de primer orden (a pesar del nombre) con dos tipos de variables, consideradas como variables sobre enteros y subconjuntos de enteros. (También existe una teoría de la aritmética en lógica de segundo orden que se llama aritmética de segundo orden. Tiene solo un modelo, a diferencia de la teoría correspondiente en lógica de primer orden, que es incompleta). La signatura será típicamente la signatura 0, S , +, × de la aritmética, junto con una relación de pertenencia ∈ entre enteros y subconjuntos (aunque hay numerosas variaciones menores). Los axiomas son los de la aritmética de Robinson , junto con esquemas axiomáticos de inducción y comprensión .

Existen muchas subteorías diferentes de aritmética de segundo orden que difieren en las fórmulas permitidas en los esquemas de inducción y comprensión. En orden de fuerza creciente, cinco de los sistemas más comunes son:

• ${\displaystyle {\mathsf {RCA}}_{0}}$, comprensión recursiva
• ${\displaystyle {\mathsf {WKL}}_{0}}$, Lema de Kőnig débil
• ${\displaystyle {\mathsf {ACA}}_{0}}$Comprensión aritmética
• ${\displaystyle {\mathsf {ATR}}_{0}}$Recursión transfinita aritmética
• ${\displaystyle \Pi _{1}^{1}{\mbox{-}}{\mathsf {CA}}_{0}}$,${\displaystyle \Pi _{1}^{1}}$comprensión

Estos conceptos se definen en detalle en los artículos sobre aritmética de segundo orden y matemáticas inversas .

La signatura habitual de la teoría de conjuntos tiene una relación binaria ∈, sin constantes ni funciones. Algunas de las teorías que se presentan a continuación son "teorías de clases", las cuales tienen dos tipos de objetos: conjuntos y clases. Existen tres formas comunes de abordar esto en la lógica de primer orden:

1. Utilice lógica de primer orden con dos tipos.
2. Utilice la lógica ordinaria de primer orden, pero agregue un nuevo predicado unario "Set", donde "Set( t )" significa informalmente " t es un conjunto".
3. Utilice lógica de primer orden ordinaria y, en lugar de agregar un nuevo predicado al lenguaje, trate "Set( t )" como una abreviatura de "∃ y t ∈ y "

Algunas teorías de conjuntos de primer orden incluyen:

• Teorías débiles que carecen de conjuntos de potencias :
  • S' (Tarski, Mostowski y Robinson, 1953); (finitamente axiomatizable)
  • Teoría de conjuntos de Kripke-Platek ; KP;
  • teoría de conjuntos de bolsillo
  • Teoría general de conjuntos , GST
  • Teoría constructiva de conjuntos , CZF
• Teoría de conjuntos de Mac Lane y teoría del topos elemental
• Teoría de conjuntos de Zermelo ; Z
• Teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel ; ZF, ZFC;
• Teoría de conjuntos de Von Neumann-Bernays-Gödel ; NBG; (finitamente axiomatizable)
• teoría de conjuntos de Ackermann ;
• teoría de conjuntos de Scott-Potter
• Nuevas Fundaciones ; NF (finitamente axiomatizable)
• teoría de conjuntos positivos
• Teoría de conjuntos de Morse-Kelley ; MK;
• Teoría de conjuntos de Tarski-Grothendieck ; TG;

Algunos axiomas adicionales de primer orden que se pueden agregar a uno de estos (generalmente ZF) incluyen:

• Axioma de elección , axioma de elección dependiente
• Hipótesis del continuo generalizado
• El axioma de Martin (generalmente junto con la negación de la hipótesis del continuo), el máximo de Martin
• ◊ y ♣
• Axioma de constructibilidad (V=L)
• Axioma de forzamiento adecuado
• Determinación analítica , determinación proyectiva , axioma de determinación
• Muchos axiomas cardinales importantes

• Glosario de áreas de las matemáticas
• Lista de teorías matemáticas

• Chang, CC; Keisler, H. Jerome (1989), Teoría de modelos (3.ª  ed.), Elsevier , ISBN 0-7204-0692-7
• Hodges, Wilfrid (1997), Una teoría de modelos más breve , Cambridge University Press , ISBN 0-521-58713-1
• Marker, David (2002), Teoría de modelos: Una introducción , Textos de posgrado en matemáticas , vol.  217, Springer, ISBN 0-387-98760-6