Geometría absoluta

La geometría absoluta es una geometría basada en un sistema axiomático para la geometría euclidiana sin el postulado de las paralelas ni ninguna de sus alternativas. Tradicionalmente, esto ha significado usar solo los primeros cuatro postulados de Euclides . ^{[ 1 ]} El término fue introducido por János Bolyai en 1832. ^{[ 2 ]} A veces se la denomina geometría neutral , ^{[ 3 ]} ya que es neutral con respecto al postulado de las paralelas. Ahora se sabe que los primeros cuatro postulados de Euclides son una base insuficiente para la geometría euclidiana, por lo que se utilizan otros sistemas (como los axiomas de Hilbert sin el axioma de las paralelas) en su lugar. ^{[ 4 ]}

En los Elementos de Euclides , las primeras 28 proposiciones y la proposición 31 evitan el uso del postulado de las paralelas y, por lo tanto, son válidas en geometría absoluta. También se puede demostrar en geometría absoluta el teorema del ángulo exterior (un ángulo exterior de un triángulo es mayor que cualquiera de los ángulos externos), así como el teorema de Saccheri-Legendre , que establece que la suma de las medidas de los ángulos de un triángulo tiene como máximo 180°. ^{[ 5 ]}

La proposición 31 es la construcción de una línea paralela a una línea dada que pasa por un punto que no está en dicha línea. ^{[ 6 ]} Como la demostración solo requiere el uso de la proposición 27 (el teorema de los ángulos alternos internos), es una construcción válida en geometría absoluta. Más precisamente, dada cualquier línea l y cualquier punto P que no está en l , existe al menos una línea que pasa por P y es paralela a l . Esto se puede demostrar utilizando una construcción conocida: dada una línea l y un punto P que no está en l , se traza la perpendicular m desde P a l , y luego se traza una perpendicular n a m que pasa por P. Por el teorema de los ángulos alternos internos, l es paralela a n . (El teorema de los ángulos alternos internos establece que si las líneas a y b son cortadas por una transversal t de manera que exista un par de ángulos alternos internos congruentes, entonces a y b son paralelas). La construcción anterior, y el teorema de los ángulos alternos internos, no dependen del postulado de paralelismo y, por lo tanto, son válidos en geometría absoluta. ^{[ 7 ]}

En geometría absoluta, también se puede demostrar que dos líneas perpendiculares a la misma línea no pueden intersecarse (es decir, deben ser paralelas). ^{[ 8 ]}

Los teoremas de la geometría absoluta se cumplen en la geometría hiperbólica , que es una geometría no euclidiana , así como en la geometría euclidiana . ^{[ 9 ]} La geometría absoluta es incompatible con la geometría elíptica o la geometría esférica : la noción de ordenamiento o intermediación de puntos en líneas, utilizada para axiomatizar la geometría absoluta, es incompatible con estas otras geometrías. ^{[ 10 ]}

La geometría absoluta es una extensión de la geometría ordenada y, por lo tanto, todos los teoremas de la geometría ordenada son válidos en la geometría absoluta. Lo contrario no es cierto. La geometría absoluta presupone los primeros cuatro axiomas de Euclides (o sus equivalentes), a diferencia de la geometría afín , que no presupone el tercer y cuarto axioma de Euclides. (3: «Describir un círculo con cualquier centro y radio de distancia .», 4: «Que todos los ángulos rectos son iguales entre sí.») La geometría ordenada es un fundamento común tanto de la geometría absoluta como de la afín. ^{[ 11 ]}

La geometría de la relatividad especial se ha desarrollado a partir de nueve axiomas y once proposiciones de geometría absoluta. ^{[ 12 ] [ 13 ]} Los autores Edwin B. Wilson y Gilbert N. Lewis luego van más allá de la geometría absoluta cuando introducen la rotación hiperbólica como la transformación que relaciona dos marcos de referencia .

Un plano que satisface los axiomas de incidencia , intermediación y congruencia de Hilbert se denomina plano de Hilbert . ^{[ 14 ]} Los planos de Hilbert son modelos de geometría absoluta. ^{[ 15 ]}

La geometría absoluta es un sistema axiomático incompleto , en el sentido de que se pueden añadir axiomas independientes sin que el sistema se vuelva inconsistente. Se puede extender la geometría absoluta añadiendo diversos axiomas sobre líneas paralelas y obtener sistemas axiomáticos mutuamente incompatibles pero internamente consistentes, dando lugar a la geometría euclidiana o hiperbólica. Por lo tanto, todo teorema de la geometría absoluta es un teorema de la geometría hiperbólica y de la geometría euclidiana. Sin embargo, lo contrario no es cierto.

• Geometría afín
• Programa de Erlangen
• Fundamentos de geometría
• Geometría de incidencia
• Geometría no euclidiana

• Coxeter, HSM (1969), Introducción a la geometría (2.ª  ed.), Nueva York: John Wiley & Sons
• Faber, Richard L. (1983), Fundamentos de la geometría euclidiana y no euclidiana , Nueva York: Marcel Dekker, ISBN 0-8247-1748-1
• Bien, Benjamín; Moldenhauer, Anja; Rosenberger, Gerhard; Schürenberg, Annika; Wienke, Leonard (2022), Geometría y matemáticas discretas: una selección de aspectos destacados , De Gruyter Textbooks (2.a  ed.), Walter de Gruyter, ISBN 9783110740783
• Greenberg, Marvin Jay (2007), Geometrías euclidianas y no euclidianas: desarrollo e historia (4.ª  ed.), Nueva York: WH Freeman, ISBN 0-7167-9948-0
• Greenberg, Marvin Jay (2010), "Resultados antiguos y nuevos en los fundamentos de las geometrías euclidianas y no euclidianas del plano elemental" (PDF) , Mathematical Association of America Monthly , 117 : 198–219 , archivado del original (PDF) el 27 de marzo de 2023 , consultado el 1 de noviembre de 2018.
• Hartshorne, Robin (2005), Geometría: Euclides y más allá , Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 0-387-98650-2
• Pambuccain, Victor. Axiomatizaciones de geometrías hiperbólicas y absolutas , en: Geometrías no euclidianas (A. Prékopa y E. Molnár, eds.). Volumen conmemorativo de János Bolyai. Actas de la conferencia internacional sobre geometría hiperbólica, Budapest, Hungría, 6-12 de julio de 2002. Nueva York, NY: Springer, 119-153, 2006.

• Contenido multimedia relacionado con la geometría absoluta en Wikimedia Commons.
• Weisstein, Eric W. "Geometría absoluta" . MathWorld .