Teorema del ángulo exterior

El teorema del ángulo exterior es la proposición 1.16 de los Elementos de Euclides , que establece que la medida de un ángulo exterior de un triángulo es mayor que la de cualquiera de los ángulos interiores opuestos. Este es un resultado fundamental en geometría absoluta porque su demostración no depende del postulado de las paralelas .

En varios cursos de geometría de bachillerato, el término «teorema del ángulo exterior» se ha aplicado a un resultado diferente, ^{[ 1 ]} concretamente a la parte de la Proposición 1.32 que establece que la medida de un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de las medidas de los ángulos interiores opuestos. Este resultado, que depende del postulado de las paralelas de Euclides, se denominará «teorema del ángulo exterior de bachillerato» (HSEAT) para distinguirlo del teorema del ángulo exterior de Euclides.

Algunos autores se refieren al "teorema del ángulo exterior de la escuela secundaria" como la forma fuerte del teorema del ángulo exterior y al "teorema del ángulo exterior de Euclides" como la forma débil . ^{[ 2 ]}

Un triángulo tiene tres vértices . Los lados de un triángulo (segmentos de línea) que se unen en un vértice forman dos ángulos (cuatro ángulos si se consideran los lados del triángulo como líneas en lugar de segmentos de línea). ^{[ 3 ]} Solo uno de estos ángulos contiene el tercer lado del triángulo en su interior, y este ángulo se llama ángulo interior del triángulo. ^{[ 4 ]} En la imagen de abajo, los ángulos ∠ABC , ∠BCA y ∠CAB son los tres ángulos interiores del triángulo. Un ángulo exterior se forma al extender uno de los lados del triángulo; el ángulo entre el lado extendido y el otro lado es el ángulo exterior. En la imagen, el ángulo ∠ACD es un ángulo exterior.

La demostración de la Proposición 1.16 dada por Euclides se cita a menudo como un ejemplo de una demostración defectuosa por parte de Euclides. ^{[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]}

Euclides demuestra el teorema del ángulo exterior mediante:

• construir el punto medio E del segmento AC,
• dibuja el rayo BE,
• Construye el punto F en la semirrecta BE de manera que E sea (también) el punto medio de B y F,
• Dibuja el segmento FC.

Mediante triángulos congruentes podemos concluir que ∠ BAC = ∠ ECF y ∠ ECF es menor que ∠ ECD, ∠ ECD = ∠ ACD por lo tanto ∠ BAC es menor que ∠ ACD y lo mismo se puede hacer para el ángulo ∠ CBA bisecando BC.

El error radica en la suposición de que un punto (F, arriba) se encuentra "dentro" del ángulo (∠ ACD). No se ofrece ninguna razón para esta afirmación, pero el diagrama adjunto la hace parecer una afirmación verdadera. Al utilizar un conjunto completo de axiomas de la geometría euclidiana (véase Fundamentos de geometría ), se puede demostrar esta afirmación de Euclides. ^{[ 8 ]}

Invalidez en la geometría esférica

El teorema del ángulo exterior no es válido ni en la geometría esférica ni en la geometría elíptica relacionada . Consideremos un triángulo esférico uno de cuyos vértices es el Polo Norte y los otros dos se encuentran en el ecuador . Los lados del triángulo que parten del Polo Norte ( círculos máximos de la esfera) se encuentran con el ecuador en ángulo recto, por lo que este triángulo tiene un ángulo exterior igual a un ángulo interior lejano. El otro ángulo interior (en el Polo Norte) puede ser mayor de 90°, lo que subraya aún más la inexactitud de esta afirmación. Sin embargo, dado que el teorema del ángulo exterior de Euclides es un teorema de geometría absoluta, es automáticamente válido en geometría hiperbólica .

El teorema del ángulo exterior de la escuela secundaria (HSEAT, por sus siglas en inglés) establece que la medida de un ángulo exterior en un vértice de un triángulo es igual a la suma de las medidas de los ángulos interiores en los otros dos vértices del triángulo (ángulos interiores remotos). Por lo tanto, en la imagen, la medida del ángulo ACD es igual a la medida del ángulo ABC más la medida del ángulo CAB .

La HSEAT es lógicamente equivalente a la afirmación euclidiana de que la suma de los ángulos de un triángulo es 180°. Si se sabe que la suma de las medidas de los ángulos de un triángulo es 180°, entonces la HSEAT se demuestra de la siguiente manera:

${\displaystyle b+d=180^{\circ }}$

${\displaystyle b+d=b+a+c}$

${\displaystyle \therefore d=a+c.}$

Por otro lado, si se toma la afirmación HSEAT como verdadera, entonces:

${\displaystyle d=a+c}$

${\displaystyle b+d=180^{\circ }}$

${\displaystyle \therefore b+a+c=180^{\circ }.}$

Demostrar que la suma de las medidas de los ángulos de un triángulo es 180°.

La demostración euclidiana del HSEAT (y simultáneamente el resultado sobre la suma de los ángulos de un triángulo) comienza construyendo la línea paralela al lado AB que pasa por el punto C y luego utilizando las propiedades de los ángulos correspondientes y los ángulos alternos internos de líneas paralelas para llegar a la conclusión como en la ilustración. ^{[ 9 ]}

El HSEAT puede ser extremadamente útil al intentar calcular las medidas de ángulos desconocidos en un triángulo.

• Faber, Richard L. (1983), Fundamentos de la geometría euclidiana y no euclidiana , Nueva York: Marcel Dekker, Inc., ISBN 0-8247-1748-1
• Greenberg, Marvin Jay (1974), Geometrías euclidianas y no euclidianas: desarrollo e historia , San Francisco: WH Freeman, ISBN 0-7167-0454-4
• Heath, Thomas L. (1956). Los trece libros de los Elementos de Euclides (2.ª ed. [Facsímil. Publicación original: Cambridge University Press, 1925]  ). Nueva York: Dover Publications.

(3 vols.): ISBN 0-486-60088-2(vol. 1), ISBN 0-486-60089-0(vol. 2), ISBN 0-486-60090-4(vol. 3).

• Henderson, David W.; Taimiņa, Daina (2005), Experiencing Geometry/Euclidean and Non-Euclidean with History (3.ª  ed.), Pearson/Prentice-Hall, ISBN 0-13-143748-8
• Venema, Gerard A. (2006), Fundamentos de geometría , Upper Saddle River, NJ: Pearson Prentice Hall, ISBN 0-13-143700-3
• Wylie, CR Jr. (1964), Fundamentos de geometría , Nueva York: McGraw-Hill

Referencias HSEAT

• Libro de texto de geometría - Estándar IX , Junta Estatal de Educación Secundaria y Superior de Maharashtra , Pune - 411 005, India .
• Geometría Common Core , 'Pearson Education: Upper Saddle River, ©2010, páginas 171-173 | Estados Unidos .
• Wheater, Carolyn C. (2007), Ayudantes para las tareas escolares: Geometría , Franklin Lakes, NJ: Career Press, págs. 88–90 , ISBN  978-1-56414-936-7.