Geometría elíptica

La geometría elíptica es un ejemplo de geometría en la que no se cumple el postulado de las paralelas de Euclides . En cambio, al igual que en la geometría esférica , no existen líneas paralelas, ya que cualquier par de líneas debe intersecarse. Sin embargo, a diferencia de la geometría esférica, se suele asumir que dos líneas se intersecan en un único punto (en lugar de dos). Por este motivo, la geometría elíptica descrita en este artículo se denomina a veces geometría elíptica simple , mientras que la geometría esférica se denomina a veces geometría elíptica doble .

La aparición de trabajos sobre esta geometría en el siglo XIX estimuló el desarrollo de la geometría no euclidiana en general, incluida la geometría hiperbólica .

La geometría elíptica posee diversas propiedades que difieren de las de la geometría euclidiana clásica. Por ejemplo, la suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo siempre es mayor que 180°.

Definiciones

La geometría elíptica se puede derivar de la geometría esférica identificando los puntos antipodales de la esfera a un único punto elíptico. Las líneas elípticas corresponden a círculos máximos reducidos mediante la identificación de puntos antipodales. Dado que dos círculos máximos cualesquiera se intersecan, no existen líneas paralelas en la geometría elíptica.

En geometría elíptica, dos líneas perpendiculares a una línea dada deben intersecarse. De hecho, todas las perpendiculares a una línea dada se intersecan en un único punto llamado polo absoluto de esa línea.

Cada punto corresponde a una línea polar absoluta de la cual es el polo absoluto. Cualquier punto sobre esta línea polar forma un par conjugado absoluto con el polo. Dicho par de puntos es ortogonal , y la distancia entre ellos es un cuadrante . ^{[ 1 ]}^{: 89}

La distancia entre un par de puntos es proporcional al ángulo entre sus polares absolutas. ^{[ 1 ]}^{: 101}

Como explica HSM Coxeter :

El término «elíptico» puede resultar engañoso. No implica ninguna conexión directa con la curva llamada elipse, sino solo una analogía bastante rebuscada. Una cónica central se denomina elipse o hipérbola según no tenga asíntota o tenga dos asíntotas . De forma análoga, un plano no euclidiano se denomina elíptico o hiperbólico según si cada una de sus líneas no contiene ningún punto en el infinito o tiene dos puntos en el infinito. ^{[ 2 ]}

Dos dimensiones

Plano elíptico

El plano elíptico es el plano proyectivo real provisto de una métrica . Kepler y Desargues utilizaron la proyección gnomónica para relacionar un plano σ con puntos en un hemisferio tangente a él. Con O como centro del hemisferio, un punto P en σ determina una línea OP que interseca el hemisferio, y cualquier línea L ⊂ σ determina un plano OL que interseca el hemisferio en la mitad de un círculo máximo . El hemisferio está delimitado por un plano que pasa por O y es paralelo a σ . Ninguna línea ordinaria de σ corresponde a este plano; en su lugar, se añade a σ una línea en el infinito . Como cualquier línea en esta extensión de σ corresponde a un plano que pasa por O , y puesto que cualquier par de tales planos se intersecan en una línea que pasa por O , se puede concluir que cualquier par de líneas en la extensión se intersecan: el punto de intersección se encuentra donde la intersección del plano se encuentra con σ o con la línea en el infinito. De este modo, se confirma el axioma de la geometría proyectiva, que exige que todos los pares de líneas en un plano se intersequen. ^[³^]

Dados P y Q en σ , la distancia elíptica entre ellos es la medida del ángulo POQ , generalmente tomada en radianes. Arthur Cayley inició el estudio de la geometría elíptica cuando escribió "Sobre la definición de distancia". ^{[ 4 ]}^{: 82} Esta incursión en la abstracción en geometría fue seguida por Felix Klein y Bernhard Riemann, lo que condujo a la geometría no euclidiana y la geometría riemanniana .

Comparación con la geometría euclidiana

En geometría euclidiana, una figura puede ampliarse o reducirse indefinidamente, y las figuras resultantes son similares, es decir, tienen los mismos ángulos y las mismas proporciones internas. En geometría elíptica, esto no sucede. Por ejemplo, en el modelo esférico, la distancia entre dos puntos cualesquiera debe ser estrictamente menor que la mitad de la circunferencia de la esfera (debido a que se identifican puntos antipodales). Por lo tanto, un segmento de línea no puede ampliarse indefinidamente.

Gran parte de la geometría euclidiana se traslada directamente a la geometría elíptica. Por ejemplo, el primer y el cuarto postulado de Euclides, que establece que existe una única línea entre dos puntos cualesquiera y que todos los ángulos rectos son iguales, se cumplen en geometría elíptica. El postulado 3, que afirma que se puede construir un círculo con cualquier centro y radio dados, no se cumple si por "cualquier radio" se entiende "cualquier número real", pero sí se cumple si se entiende "la longitud de cualquier segmento de línea dado". Por lo tanto, cualquier resultado de la geometría euclidiana que se derive de estos tres postulados se cumplirá en geometría elíptica, como la proposición 1 del libro I de los Elementos , que afirma que, dado cualquier segmento de línea, se puede construir un triángulo equilátero con dicho segmento como base.

La geometría elíptica se asemeja a la geometría euclidiana en que el espacio es continuo, homogéneo, isótropo y sin límites. La isotropía está garantizada por el cuarto postulado, que establece que todos los ángulos rectos son iguales. Como ejemplo de homogeneidad, cabe destacar que la proposición I.1 de Euclides implica que el mismo triángulo equilátero puede construirse en cualquier punto, no solo en lugares con características especiales. La ausencia de límites se deriva del segundo postulado, la extensibilidad de un segmento de recta.

Una diferencia entre la geometría elíptica y la euclidiana radica en que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es mayor de 180 grados. En el modelo esférico, por ejemplo, se puede construir un triángulo con vértices en los puntos donde los tres ejes cartesianos positivos intersecan la esfera, y sus tres ángulos internos miden 90 grados, sumando un total de 270 grados. Para triángulos suficientemente pequeños, el exceso de ángulos sobre 180 grados puede ser arbitrariamente pequeño.

El teorema de Pitágoras falla en la geometría elíptica. En el triángulo de 90°–90°–90° descrito anteriormente, los tres lados tienen la misma longitud y, por consiguiente, no satisfacen $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ El resultado pitagórico se recupera en el límite de triángulos pequeños.

La relación entre la circunferencia de un círculo y su área es menor que en la geometría euclidiana. En general, el área y el volumen no se escalan como potencias segunda y tercera de dimensiones lineales.

Espacio elíptico (el caso 3D)

Nota: En esta sección, el término «espacio elíptico» se refiere específicamente a la geometría elíptica tridimensional. Esto contrasta con la sección anterior, que trataba sobre la geometría elíptica bidimensional. Los cuaterniones se utilizan para describir este espacio.

El espacio elíptico se puede construir de forma similar a la construcción del espacio vectorial tridimensional: mediante clases de equivalencia . Se utilizan arcos dirigidos sobre círculos máximos de la esfera. Así como los segmentos de línea dirigidos son equilentantes cuando son paralelos, de la misma longitud y con una orientación similar, los arcos dirigidos sobre círculos máximos son equilentantes cuando tienen la misma longitud, orientación y se encuentran sobre el mismo círculo máximo. Estas relaciones de equipotencia dan lugar al espacio vectorial tridimensional y al espacio elíptico, respectivamente.

El acceso a la estructura del espacio elíptico se proporciona a través del álgebra vectorial de William Rowan Hamilton : él concibió una esfera como un dominio de raíces cuadradas de menos uno. Luego, la fórmula de Euler $\exp(\theta r)=\cos \theta +r\sin \theta$ (donde r está en la esfera) representa el círculo máximo en el plano que contiene a 1 y r . Los puntos opuestos r y − r corresponden a círculos con direcciones opuestas. Un arco entre θ y φ es equipolent con uno entre 0 y φ − θ. En el espacio elíptico, la longitud del arco es menor que π, por lo que los arcos pueden parametrizarse con θ en [0, π) o (−π/2, π/2]. ^{[ 5 ]}

Para $z=\exp(\theta r),\ z^{*}=\exp(-\theta r)\implies zz^{*}=1.$ Se dice que el módulo o norma de z es uno (Hamilton lo llamó tensor de z). Pero como r se extiende sobre una esfera en el espacio tridimensional, exp( θr ) se extiende sobre una esfera en el espacio tetradimensional, ahora llamada 3-esfera , ya que su superficie tiene tres dimensiones. Hamilton llamó a su álgebra cuaterniones y rápidamente se convirtió en una herramienta útil y reconocida de las matemáticas. Su espacio de cuatro dimensiones se expresa en coordenadas polares. $t\exp(\theta r),$ con t en los números reales positivos .

Al realizar trigonometría en la Tierra o en la esfera celeste , los lados de los triángulos son arcos de círculo máximo. El primer éxito de los cuaterniones fue la traducción de la trigonometría esférica al álgebra. ^{[ 6 ]} Hamilton denominó versor a un cuaternión de norma uno , y estos son los puntos del espacio elíptico.

Con $r$ fijo, los versores

e^{ar},\quad 0\leq a<\pi

formen una línea elíptica . La distancia desde $e^{ar}$ a 1 es $a$ . Para un versor arbitrario $u$ , la distancia será aquella θ para la cual $cos θ = ($ $u$ $+$ $u$ $*$ $)/2$ ya que esta es la fórmula para la parte escalar de cualquier cuaternión.

Un movimiento elíptico se describe mediante el mapeo de cuaterniones.

q\mapsto uqv,

donde

u

y

v

son versores fijos.

Las distancias entre puntos son iguales a las distancias entre puntos imagen de un movimiento elíptico. Si $u$ y $v$ son cuaterniones conjugados, el movimiento es una rotación espacial y su vector constituye el eje de rotación. En el caso de $u = 1,$ el movimiento elíptico se denomina traslación de Clifford derecha o parataxia . El caso de $v$ $= 1$ corresponde a una traslación de Clifford izquierda.

Las líneas elípticas que pasan por el versor $u$ pueden tener la forma

\lbrace ue^{ar}:0\leq a<\pi \rbrace

o

\lbrace e^{ar}u:0\leq a<\pi \rbrace

para un r

fijo .

Son las traslaciones de Clifford derecha e izquierda de $u$ a lo largo de una línea elíptica que pasa por 1. El espacio elíptico se forma a partir de $S$ $3$ identificando puntos antipodales. ^[⁷^]

El espacio elíptico tiene estructuras especiales llamadas paralelas de Clifford y superficies de Clifford .

Los puntos versores del espacio elíptico se mapean mediante la transformada de Cayley a $\mathbb {R} ^{3}$ para una representación alternativa del espacio.

Espacios de dimensiones superiores

Modelo hiperesférico

El modelo hiperesférico es la generalización del modelo esférico a dimensiones superiores. Los puntos del espacio elíptico n -dimensional son los pares de vectores unitarios $(x, -x) en$ R n ^{+ 1} , es decir, pares de puntos antipodales en la superficie de la bola unitaria en el espacio ( n + 1) -dimensional (la hiperesfera n- dimensional). Las líneas en este modelo son círculos máximos , es decir, intersecciones de la hiperesfera con hipersuperficies planas de dimensión n que pasan por el origen.

Geometría elíptica proyectiva

En el modelo proyectivo de geometría elíptica, los puntos del espacio proyectivo real n -dimensional se utilizan como puntos del modelo. Esto modela una geometría elíptica abstracta que también se conoce como geometría proyectiva .

Los puntos del espacio proyectivo n -dimensional se pueden identificar con líneas que pasan por el origen en el espacio ( n +1) -dimensional, y se pueden representar de forma no única mediante vectores no nulos en R ^{n +1} , entendiendo que $u$ y $λ u$ $, para cualquier escalar λ$ no nulo , representan el mismo punto. La distancia se define utilizando la métrica

d(u,v)=\arccos \left({\frac {|u\cdot v|}{\|u\|\ \|v\|}}\right);

Es decir, la distancia entre dos puntos es el ángulo entre sus líneas correspondientes en R ^{n +1} . La fórmula de la distancia es homogénea en cada variable, con $d (λ u, μ v) = d (u, v)$ si $λ$ y $μ$ son escalares distintos de cero, por lo que sí define una distancia en los puntos del espacio proyectivo.

Una propiedad notable de la geometría elíptica proyectiva es que, para dimensiones pares, como el plano, la geometría no es orientable . Elimina la distinción entre rotación en sentido horario y antihorario al identificarlas.

Modelo estereográfico

Un modelo que representa el mismo espacio que el modelo hiperesférico puede obtenerse mediante proyección estereográfica . Sea E ⁿ el espacio R ⁿ ∪ {∞}, es decir, el espacio real $n$ -dimensional extendido por un único punto en el infinito. Podemos definir una métrica, la métrica cordal , en E ⁿ mediante

\delta (u,v)={\frac {2\|u-v\|}{\sqrt {(1+\|u\|^{2})(1+\|v\|^{2})}}}

donde $u$ y $v$ son dos vectores cualesquiera en R ⁿ y $\|\cdot \|$ es la norma euclidiana usual. También definimos

\delta (u,\infty )=\delta (\infty ,u)={\frac {2}{\sqrt {1+\|u\|^{2}}}}.

El resultado es un espacio métrico en E ⁿ , que representa la distancia a lo largo de una cuerda de los puntos correspondientes en el modelo hiperesférico, al cual se mapea biyectivamente mediante proyección estereográfica. Obtenemos un modelo de geometría esférica si utilizamos la métrica

d(u,v)=2\arcsin \left({\frac {\delta (u,v)}{2}}\right).

La geometría elíptica se obtiene a partir de esto identificando los puntos antipodales $u$ y $- u / ‖ u ‖ 2$ , y tomando la distancia de $v$ a este par como el mínimo de las distancias de $v$ a cada uno de estos dos puntos.

Autoconsistencia

Dado que la geometría elíptica esférica puede modelarse, por ejemplo, como un subespacio esférico de un espacio euclidiano, se deduce que si la geometría euclidiana es autoconsistente, también lo es la geometría elíptica esférica. Por lo tanto, no es posible demostrar el postulado de las paralelas basándose en los otros cuatro postulados de la geometría euclidiana.

Tarski demostró que la geometría euclidiana elemental es completa : existe un algoritmo que, para cada proposición, puede demostrar que es verdadera o falsa. ^{[ 8 ]} (Esto no viola el teorema de Gödel , porque la geometría euclidiana no puede describir una cantidad suficiente de aritmética para que el teorema sea aplicable. ^{[ 9 ]} ) Por lo tanto, se deduce que la geometría elíptica elemental también es autoconsistente y completa.

Véase también

Notas

1 2 Duncan Sommerville (1914) Los elementos de la geometría no euclidiana , capítulo 3 Geometría elíptica, págs. 88 a 122, George Bell & Sons
↑ Coxeter 1969 94
↑ HSM Coxeter (1965) Introducción a la geometría, página 92
↑ Cayley, Arthur (1859), "Una sexta memoria sobre la mecánica cuántica" , Philosophical Transactions of the Royal Society of London , 149 : 61–90 , doi : 10.1098/rstl.1859.0004 , ISSN 0080-4614 , JSTOR 108690
↑ Rafael Artzy (1965) Geometría lineal , capítulo 3–8 Cuaterniones y espacio tridimensional elíptico, págs. 186–94, Addison-Wesley
↑ WR Hamilton (1844-1850) Sobre cuaterniones o un nuevo sistema de imaginarios en álgebra , Philosophical Magazine , enlace a la colección de David R. Wilkins en el Trinity College de Dublín.
^ Lemaître, Georges (1948), "Quaternions et espace elliptique", Pontificia Academia Scientiarum, Acta , 12 : 57– 78, ISSN 0370-2138
↑ Tarski (1951)
^ Franzén 2005, págs. 25-26.

Referencias

Alan F. Beardon, La geometría de los grupos discretos , Springer-Verlag, 1983
HSM Coxeter (1942) Geometría no euclidiana , capítulos 5, 6 y 7: Geometría elíptica en 1, 2 y 3 dimensiones, University of Toronto Press , reeditado en 1998 por Mathematical Association of America , ISBN 0-88385-522-4.
HSM Coxeter (1969) Introducción a la geometría , §6.9 El plano elíptico, pp. 92–95. John Wiley & Sons .
"Geometría elíptica" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
Felix Klein (1871) «Sobre la llamada geometría no neuclideana» Mathematische Annalen 4:573–625, traducido e introducido en John Stillwell (1996) Sources of Hyperbolic Geometry , American Mathematical Society ISBN 0-8218-0529-0.
Boris Odehnal "Sobre las congruencias isotrópicas de líneas en el espacio elíptico tridimensional"
Eduard Study (1913) DH Delphenich traductor, "Fundamentos y objetivos de la cinemática analítica" , página 20.
Alfred Tarski (1951) Un método de decisión para álgebra y geometría elementales . Univ. de California Press.
Franzén, Torkel (2005). El teorema de Gödel: una guía incompleta sobre su uso y abuso . AK Peters. ISBN 1-56881-238-8.
Alfred North Whitehead (1898) Álgebra Universal Archivado el 3 de septiembre de 2014 en Wayback Machine , Libro VI Capítulo 2: Geometría Elíptica, pp 371–98.
Weisstein, Eric W. "Geometría elíptica" . MathWorld—Un recurso web de Wolfram . Consultado el 26 de noviembre de 2024 .

Enlaces externos

Contenido multimedia relacionado con la geometría elíptica en Wikimedia Commons.

[DS-1] 1 2 Duncan Sommerville (1914) Los elementos de la geometría no euclidiana , capítulo 3 Geometría elíptica, págs. 88 a 122, George Bell & Sons

[2] Coxeter 1969 94

[3] HSM Coxeter (1965) Introducción a la geometría, página 92

[4] Cayley, Arthur (1859), "Una sexta memoria sobre la mecánica cuántica" , Philosophical Transactions of the Royal Society of London , 149 : 61–90 , doi : 10.1098/rstl.1859.0004 , ISSN 0080-4614 , JSTOR 108690

[5] Rafael Artzy (1965) Geometría lineal , capítulo 3–8 Cuaterniones y espacio tridimensional elíptico, págs. 186–94, Addison-Wesley

[6] WR Hamilton (1844-1850) Sobre cuaterniones o un nuevo sistema de imaginarios en álgebra , Philosophical Magazine , enlace a la colección de David R. Wilkins en el Trinity College de Dublín.

[7] Lemaître, Georges (1948), "Quaternions et espace elliptique", Pontificia Academia Scientiarum, Acta , 12 : 57– 78, ISSN 0370-2138

[8] Tarski (1951)

[9] Franzén 2005, págs. 25-26.

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