Geometría ordenada

La geometría ordenada es una forma de geometría que presenta el concepto de intermediación (o "intermediación") pero, al igual que la geometría proyectiva , omite la noción básica de medición . La geometría ordenada es una geometría fundamental que forma un marco común para la geometría afín , euclidiana , absoluta e hiperbólica (pero no para la geometría proyectiva).

Historia

Moritz Pasch definió por primera vez una geometría sin referencia a la medición en 1882. Sus axiomas fueron mejorados por Peano (1889), Hilbert (1899) y Veblen (1904). ^[1]^{: 176} Euclides anticipó el enfoque de Pasch en la definición 4 de Los Elementos : "una línea recta es una línea que se encuentra uniformemente con los puntos sobre sí misma". ^[2]

Conceptos primitivos

Las únicas nociones primitivas en geometría ordenada son los puntos A , B , C , ... y la relación ternaria de intermediación [ ABC ] que puede leerse como " B está entre A y C ".

Definiciones

El segmento AB es el conjunto de puntos P tales que [ APB ].

El intervalo AB es el segmento AB y sus puntos finales A y B.

El rayo A / B (léase "el rayo que sale de A desde B ") es el conjunto de puntos P tales que [ PAB ].

La recta AB es el intervalo AB y los dos rayos A / B y B / A . Se dice que los puntos de la recta AB son colineales .

Un ángulo consta de un punto O (el vértice ) y dos rayos no colineales que salen de O (los lados ).

Un triángulo está dado por tres puntos no colineales (llamados vértices ) y sus tres segmentos AB , BC y CA.

Si tres puntos A , B y C no son colineales, entonces un plano ABC es el conjunto de todos los puntos colineales con pares de puntos en uno o dos de los lados del triángulo ABC .

Si cuatro puntos A , B , C y D no son coplanares, entonces un espacio ( 3-espacio ) ABCD es el conjunto de todos los puntos colineales con pares de puntos seleccionados de cualquiera de las cuatro caras (regiones planas) del tetraedro ABCD .

Axiomas de la geometría ordenada

Existen al menos dos puntos:
Si A y B son puntos distintos, existe un C tal que [ABC].
Si [ ABC ], entonces A y C son distintos ( A ≠ C ).
Si [ ABC ], entonces [ CBA ] pero no [ CAB ].
Si C y D son puntos distintos en la línea AB , entonces A está en la línea CD .
Si AB es una recta, hay un punto C que no está en la recta AB .
( Axioma de Pascua ) Si ABC es un triángulo y [ BCD ] y [ CEA ], entonces existe un punto F en la línea DE para el cual [ AFB ].
Axioma de dimensionalidad :
1. En la geometría ordenada plana, todos los puntos están en un plano. O
2. Si ABC es un plano, entonces existe un punto D que no está en el plano ABC .
Todos los puntos están en el mismo plano, espacio, etc. (dependiendo de la dimensión en la que uno elija trabajar).
(Axioma de Dedekind) Para cada partición de todos los puntos de una línea en dos conjuntos no vacíos tales que ningún punto de ninguno de ellos se encuentre entre dos puntos del otro, hay un punto de un conjunto que se encuentra entre cada otro punto de ese conjunto y cada punto del otro conjunto.

Estos axiomas están estrechamente relacionados con los axiomas de orden de Hilbert . Para un estudio exhaustivo de las axiomatizaciones de la geometría ordenada, véase Victor (2011). ^[3]

Resultados

Problema de puntos colineales de Sylvester

El teorema de Sylvester-Gallai se puede demostrar dentro de la geometría ordenada. ^[4]^[1]^{: 181, 2}

Paralelismo

Gauss , Bolyai y Lobachevsky desarrollaron una noción de paralelismo que puede expresarse en geometría ordenada. ^[1]^{: 189, 90}

Teorema (existencia de paralelismo): Dado un punto A y una recta r , que no pasa por A , existen exactamente dos rayos límite que parten de A en el plano Ar y que no cortan a r . Por lo tanto, existe una recta paralela que pasa por A y que no corta a r .

Teorema (transmisibilidad del paralelismo): El paralelismo de un rayo y una línea se conserva añadiendo o restando un segmento al comienzo de un rayo.

La transitividad del paralelismo no puede demostrarse en geometría ordenada. ^[5] Por lo tanto, el concepto "ordenado" de paralelismo no forma una relación de equivalencia en líneas.

Véase también

Referencias

^ abc Coxeter, HSM (1969). Introducción a la geometría (2.ª ed.). John Wiley and Sons . ISBN 0-471-18283-4.Zbl 0181.48101 .
^ Heath, Thomas (1956) [1925]. Los trece libros de los elementos de Euclides (Vol. 1) . Nueva York: Dover Publications . pp. 165. ISBN. 0-486-60088-2.
^ Pambuccian, Victor (2011). "La axiomática de la geometría ordenada: I. Espacios de incidencia ordenados". Expositiones Mathematicae . 29 : 24–66. doi :10.1016/j.exmath.2010.09.004.
^ Pambuccian, Victor (2009). "Un análisis inverso del teorema de Sylvester-Gallai". Notre Dame Journal of Formal Logic . 50 (3): 245–260. doi : 10.1215/00294527-2009-010 . Zbl 1202.03023.
^ Busemann, Herbert (1955). Geometría de las geodésicas . Matemáticas puras y aplicadas. Vol. 6. Nueva York: Academic Press . pág. 139. ISBN. 0-12-148350-9.Zbl 0112.37002 .

[Coxeter69-1] Coxeter, HSM (1969). Introducción a la geometría (2.ª ed.). John Wiley and Sons . ISBN 0-471-18283-4.Zbl 0181.48101 .

[2] Heath, Thomas (1956) [1925]. Los trece libros de los elementos de Euclides (Vol. 1) . Nueva York: Dover Publications . pp. 165. ISBN. 0-486-60088-2.

[3] Pambuccian, Victor (2011). "La axiomática de la geometría ordenada: I. Espacios de incidencia ordenados". Expositiones Mathematicae . 29 : 24–66. doi :10.1016/j.exmath.2010.09.004.

[4] Pambuccian, Victor (2009). "Un análisis inverso del teorema de Sylvester-Gallai". Notre Dame Journal of Formal Logic . 50 (3): 245–260. doi : 10.1215/00294527-2009-010 . Zbl 1202.03023.

[5] Busemann, Herbert (1955). Geometría de las geodésicas . Matemáticas puras y aplicadas. Vol. 6. Nueva York: Academic Press . pág. 139. ISBN. 0-12-148350-9.Zbl 0112.37002 .