Aritmética de índice de nivel simétrico

La representación de números mediante índice de nivel ( LI ), y sus algoritmos para operaciones aritméticas , fueron introducidos por Charles Clenshaw y Frank Olver en 1984. ^{[ 1 ]}

La forma simétrica del sistema LI y sus operaciones aritméticas fueron presentadas por Clenshaw y Peter Turner en 1987. ^{[ 2 ]}

Michael Anuta, Daniel Lozier, Nicolas Schabanel y Turner desarrollaron el algoritmo para la aritmética de nivel-índice simétrico ( SLI ) y su implementación paralela. Se ha trabajado extensamente en el desarrollo de algoritmos de aritmética SLI y su extensión a operaciones aritméticas complejas y vectoriales .

La idea del sistema de índice de nivel es representar un número real no negativo X como

${\displaystyle X=e^{e^{e^{\cdots ^{e^{f}}}}},}$

dónde${\displaystyle 0\leq f<1}$y el proceso de exponenciación se realiza ℓ veces, con${\displaystyle \ell \geq 0}$ℓ y f son el nivel y el índice de X respectivamente. x = ℓ + f es la imagen LI de X. Por ejemplo,

${\displaystyle X=1234567=e^{e^{e^{0.9711308}}},}$

por lo que su imagen LI es

${\displaystyle x=\ell +f=3+0.9711308=3.9711308.}$

La forma simétrica se utiliza para permitir exponentes negativos, si la magnitud de X es menor que  1. Se toma sgn (log( X )) o sgn( | X |  − | X | ⁻¹ )  y se almacena (después de sustituir +1 por 0 para el signo recíproco; dado que para X  =  1  = e ⁰  la imagen LI es x  =  1.0 y define de forma única X = 1 , podemos prescindir de un tercer estado y usar solo un bit para los dos estados −1 y +1 ) como el signo recíproco r _X . Matemáticamente, esto es equivalente a tomar el recíproco (inverso multiplicativo) de un número de pequeña magnitud y luego encontrar la imagen SLI para el recíproco. Usar un bit para el signo recíproco permite la representación de números extremadamente pequeños.

También se puede usar un bit de signo para permitir números negativos. Se toma sgn ( X ) y se almacena (después de sustituir +1 por 0 para el signo; dado que para X  =  0 la imagen LI es x  =  0.0 y define de forma única X  =  0 , podemos prescindir de un tercer estado y usar solo un bit para los dos estados −1 y +1 ) como el signo sX _. Matemáticamente, esto es equivalente a tomar el inverso (inverso aditivo) de un número negativo y luego encontrar la imagen SLI para el inverso. Usar un bit para el signo permite la representación de números negativos.

La función de mapeo se llama función logaritmo generalizado . Se define como

${\displaystyle \psi (X)={\begin{cases}X&{\text{si }}0\leq X<1,\\1+\psi (\ln X)&{\text{si }}X\geq 1,\end{cases}}}$

y se mapea${\displaystyle [0,\infty )}$sobre sí misma monótonamente, siendo así invertible en este intervalo. La inversa, la función exponencial generalizada , se define por

${\displaystyle \varphi (x)={\begin{cases}x&{\text{si }}0\leq x<1,\\e^{\varphi (x-1)}&{\text{si }}x\geq 1.\end{cases}}}$

La densidad de valores X representada por x no tiene discontinuidades cuando pasamos del nivel ℓ a ℓ  +  1 (una propiedad muy deseable) ya que

${\displaystyle \left.{\frac {d\varphi (x)}{dx}}\right|_{x=1}=\left.{\frac {d\varphi (e^{x})}{dx}}\right|_{x=0}.}$

La función logaritmo generalizado está estrechamente relacionada con el logaritmo iterado que se utiliza en el análisis de algoritmos en informática.

Formalmente, podemos definir la representación SLI para un X real arbitrario (distinto de 0 o 1) como

${\displaystyle X=s_{X}\varphi (x)^{r_{X}},}$

donde s _X es el signo (inversión aditiva o no) de X , y r _X es el signo recíproco (inversión multiplicativa o no) como en las siguientes ecuaciones:

${\displaystyle s_{X}=\operatorname {sgn}(X),\quad r_{X}=\operatorname {sgn} {\big (}|X|-|X|^{-1}{\big )},\quad x=\psi {\big (}\max {\big (}|X|,|X|^{-1}{\big )}{\big )}=\psi {\big (}|X|^{r_{X}}{\big )},}$

mientras que para X = 0 o 1, tenemos

${\displaystyle s_{0}=+1,\quad r_{0}=+1,\quad x=0.0,}$

${\displaystyle s_{1}=+1,\quad r_{1}=+1,\quad x=1.0.}$

Por ejemplo,

${\displaystyle X=-{\dfrac {1}{1234567}}=-e^{-e^{e^{0.9711308}}},}$

y su representación SLI es

${\displaystyle x=-\varphi (3.9711308)^{-1}.}$

• Tetración
• Punto flotante (FP)
• Punto flotante cónico (TFP)
• Sistema numérico logarítmico (SNL)
• Nivel (cantidad logarítmica)

• Clenshaw, Charles William; Olver, Frank William John ; Turner, Peter R. (1989). «Aritmética de índice de nivel: una introducción». Análisis numérico y procesamiento paralelo (Actas de la conferencia / Escuela de verano de análisis numérico de Lancaster, 1987). Lecture Notes in Mathematics (LNM). 1397 : 95–168 . doi : 10.1007/BFb0085718 . ISBN 978-3-540-51645-3.
• Clenshaw, Charles William; Turner, Peter R. (1989-06-23) [1988-10-04]. "Raíz cuadrada usando aritmética de índice de nivel". Computing . 43 (2). Springer-Verlag : 171– 185. doi : 10.1007/BF02241860 . ISSN 0010-485X . 
• Zehendner, Eberhard (verano de 2008). "Rechnerarithmetik: Logarithmische Zahlensysteme" (PDF) (guión de la conferencia) (en alemán). Universidad Friedrich Schiller de Jena . págs. 21 y 22. Archivado (PDF) desde el original el 9 de julio de 2018 . Consultado el 9 de julio de 2018 . 
• Hayes, Brian (septiembre-octubre de 2009). "La aritmética superior" . American Scientist . 97 (5): 364–368 . doi : 10.1511/2009.80.364 . Archivado del original el 9 de julio de 2018. Consultado el 9 de julio de 2018 .También reimpreso en: Hayes, Brian (2017). «Capítulo 8: Aritmética superior». Foolproof, and Other Mathematical Meditations (1.ª ed.). The MIT Press . págs. 113–126 . ISBN   978-0-26203686-3ISBN​ 0-26203686-X.

• sli-c-library (alojada por Google Code), "Implementación en C++ de la aritmética de índice de nivel simétrico" .