Notación posicional

Las fracciones decimales fueron desarrolladas y utilizadas por primera vez por los chinos en forma de cálculo de varillas en el siglo I a. C., y luego se extendieron al resto del mundo. ^{[ 6 ] [ 7 ]} J. Lennart Berggren señala que las fracciones decimales posicionales estaban siendo utilizadas en Damasco por el matemático Abu'l-Hasan al-Uqlidisi a mediados del siglo X. ^{[ 8 ]} El matemático judío Immanuel Bonfils utilizó fracciones decimales alrededor de 1350, pero no desarrolló ninguna notación para representarlas. ^{[ 9 ]} El matemático persa Jamshīd al-Kāshī adoptó de manera similar su uso en el siglo XV. ^{[ 8 ]} Al Khwarizmi introdujo las fracciones en los países islámicos a principios del siglo IX; su presentación de fracciones era similar a las fracciones matemáticas chinas tradicionales de Sunzi Suanjing . ^{[ 10 ]} Esta forma de fracción con numerador arriba y denominador abajo sin barra horizontal también fue utilizada por Abu'l-Hasan al-Uqlidisi del siglo X y por Jamshīd al-Kāshī en su obra "Clave aritmética" del siglo XV . ^{[ 10 ] [ 11 ]}

La adopción de la representación decimal de números menores que uno, una fracción , se atribuye a menudo a Simon Stevin a través de su libro de texto De Thiende ; ^{[ 12 ]} pero tanto Stevin como EJ Dijksterhuis indican que Regiomontanus contribuyó a la adopción europea de los decimales generales : ^{[ 13 ] : 17, 18}

Los matemáticos europeos, al heredar de los hindúes, a través de los árabes, la idea del valor posicional para los números enteros, descuidaron extenderla a las fracciones. Durante varios siglos se limitaron a utilizar fracciones comunes y sexagesimales  ... Esta falta de compromiso nunca se ha superado del todo, y las fracciones sexagesimales siguen constituyendo la base de nuestra trigonometría, astronomía y medición del tiempo.

...  Los matemáticos intentaron evitar las fracciones tomando el radio R igual a un número de unidades de longitud de la forma 10 ⁿ y luego asumiendo para n un valor entero tan grande que todas las cantidades que aparecieran pudieran expresarse con suficiente precisión mediante números enteros.

El primero en aplicar este método fue el astrónomo alemán Regiomontano. En la medida en que expresó los segmentos de línea goniométricos en una unidad R /10n ^, se puede considerar a Regiomontano un precursor de la doctrina de las fracciones posicionales decimales.

Según Dijksterhuis, «tras la publicación de De Thiende, solo se requería un pequeño avance para establecer el sistema completo de fracciones posicionales decimales, y varios autores dieron este paso con prontitud... después de Stevin, la figura más importante en este desarrollo fue Regiomontanus». Dijksterhuis señaló que [Stevin] «reconoce plenamente la contribución previa de Regiomontanus, afirmando que las tablas trigonométricas del astrónomo alemán contienen en realidad toda la teoría de los "números de décima progresión"». ^{[ 13 ] : 19}

En los sistemas de numeración matemática, la base r suele ser el número de dígitos únicos , incluido el cero, que un sistema de numeración posicional utiliza para representar números. En algunos casos, como con una base negativa , la base es el valor absoluto.${\displaystyle r=|b|}$de base b . Por ejemplo, en el sistema decimal, la base es diez, porque utiliza los diez dígitos del 0 al 9. Cuando un número llega al 9, el siguiente no será otro símbolo diferente, sino un "1" seguido de un "0". En binario, la base es dos, ya que después de llegar al "1", en lugar de "2" u otro símbolo escrito, salta directamente a "10", seguido de "11" y "100".

El símbolo de mayor valor en un sistema de numeración posicional suele tener un valor uno menor que el valor de la base de dicho sistema. Los sistemas de numeración posicional estándar se diferencian entre sí únicamente en la base que utilizan.

La base es un número entero mayor que 1, ya que una base de cero no tendría ningún dígito y una base de 1 solo tendría el dígito cero. Las bases negativas se utilizan raramente. En un sistema con más de${\displaystyle |b|}$Los dígitos únicos y los números pueden tener muchas representaciones posibles diferentes.

Es importante que la base sea finita, de lo cual se deduce que el número de dígitos es bastante bajo. De lo contrario, la longitud de un numeral no necesariamente sería logarítmica .

(En ciertos sistemas de numeración posicional no estándar , incluida la numeración biyectiva , la definición de la base o de los dígitos permitidos difiere de lo anterior).

En la notación posicional estándar de base diez ( decimal ), hay diez dígitos decimales ^{[ 14 ]} y el número

${\displaystyle 5305_{\mathrm {dec} }=(5\times 10^{3})+(3\times 10^{2})+(0\times 10^{1})+(5\times 10^{0})}$.

En el sistema estándar de base dieciséis ( hexadecimal ), hay dieciséis dígitos hexadecimales (0–9 y A–F) ^{[ 15 ]} y el número

${\displaystyle 14\mathrm {B} 9_{\mathrm {hex} }=(1\times 16^{3})+(4\times 16^{2})+(\mathrm {B} \times 16^{1})+(9\times 16^{0})\qquad (=5305_{\mathrm {dec} }),}$

donde B representa el número once como un solo símbolo.

En general, en base b , hay b dígitos.${\displaystyle \{d_{1},d_{2},\dotsb ,d_{b}\}=:D}$y el número

${\displaystyle (a_{3}a_{2}a_{1}a_{0})_{b}=(a_{3}\times b^{3})+(a_{2}\times b^{2})+(a_{1}\times b^{1})+(a_{0}\times b^{0})}$

tiene${\displaystyle \forall k\colon a_{k}\in D.}$ Tenga en cuenta que${\displaystyle a_{3}a_{2}a_{1}a_{0}}$representa una secuencia de dígitos, no una multiplicación .

Al describir la base en notación matemática , la letra b se usa generalmente como símbolo para este concepto, por lo que, para un sistema binario , b es igual a 2. Otra forma común de expresar la base es escribiéndola como subíndice decimal después del número que se está representando (esta notación se usa en este artículo). 1111011 ₂ implica que el número 1111011 es un número de base 2, igual a 123 ₁₀ (una representación en notación decimal ), 173 ₈ ( octal ) y 7B ₁₆ ( hexadecimal ). En libros y artículos, cuando se usan inicialmente las abreviaturas escritas de las bases numéricas, la base no se imprime posteriormente: se asume que el binario 1111011 es lo mismo que 1111011 ₂ .

La base b también puede indicarse con la frase "base- b ". Así, los números binarios son "base-2"; los números octales son "base-8"; los números decimales son "base-10"; y así sucesivamente.

Para una base b dada, el conjunto de dígitos {0, 1, ..., b −2, b −1} se denomina conjunto estándar de dígitos. Así, los números binarios tienen los dígitos {0, 1}; los números decimales tienen los dígitos {0, 1, 2, ..., 8, 9}; y así sucesivamente. Por lo tanto, los siguientes son errores de notación: 52 ₂ , 2 ₂ , 1A ₉ . (En todos los casos, uno o más dígitos no pertenecen al conjunto de dígitos permitidos para la base dada).

Los sistemas de numeración posicional funcionan mediante la exponenciación de la base. El valor de un dígito es el dígito multiplicado por el valor de su posición. Los valores posicionales son el número de la base elevado a la enésima potencia, donde n es el número de dígitos que hay entre un dígito dado y el punto decimal . Si un dígito está a la izquierda del punto decimal (es decir, su valor es un número entero ), entonces n es positivo o cero; si el dígito está a la derecha del punto decimal (es decir, su valor es fraccionario), entonces n es negativo.

Como ejemplo de uso, el número 465 en su respectiva base b (que debe ser al menos de base 7 porque su dígito más alto es 6) es igual a:

${\displaystyle 4\times b^{2}+6\times b^{1}+5\times b^{0}}$

Si el número 465 estuviera en base 10, entonces sería igual a:

${\displaystyle 465_{10}=4\times 10^{2}+6\times 10^{1}+5\times 10^{0}=4\times 100+6\times 10+5\times 1=465_{10}}$

Sin embargo, si el número estuviera en base 7, entonces sería igual a:

${\displaystyle 465_{7}=4\times 7^{2}+6\times 7^{1}+5\times 7^{0}=4\times 49+6\times 7+5\times 1=243_{10}}$

10 _b = b para cualquier base b , ya que 10 _b = 1 × b ¹ + 0 × b ^0. Por ejemplo, 10 ₂ = 2; 10 ₃ = 3; 10 ₁₆ = 16 _10. Nótese que el último "16" indica que está en base 10. La base no influye en los números de una sola cifra.

Este concepto se puede ilustrar con un diagrama. Un objeto representa una unidad. Cuando el número de objetos es igual o mayor que la base b , se crea un grupo de b objetos. Cuando el número de estos grupos supera b , se crea un grupo de estos grupos de objetos con b grupos de b objetos; y así sucesivamente. Por lo tanto, el mismo número en diferentes bases tendrá valores distintos.

241 en base 5: 2 grupos de 5 2 (25) 4 grupos de 5 1 grupo de 1 ooooo ooooo ooooo ooooo ooooo ooooo ooooo ooooo + + o ooooo ooooo ooooo ooooo ooooo ooooo

241 en base 8: 2 grupos de 8 2 (64) 4 grupos de 8 1 grupo de 1 oooooooo oooooooo oooooooo oooooooo ooooooo ooooooo ooooooo ooooooooo oooooooo oooooooo + + o oooooooo oooooooo ooooooo ooooooo ooooooo ooooooooo oooooooo oooooooo oooooooo oooooooo

La notación se puede ampliar aún más añadiendo un signo menos al principio. Esto permite representar números negativos. Para una base dada, cada representación corresponde a un único número real , y cada número real tiene al menos una representación. Las representaciones de números racionales son aquellas que son finitas, utilizan la notación de barra o terminan con un ciclo infinito de dígitos.

Un dígito es un símbolo que se utiliza para la notación posicional, y un numeral consta de uno o más dígitos que se utilizan para representar un número mediante dicha notación. Los dígitos más comunes hoy en día son los dígitos decimales "0", "1", "2", "3", "4", "5", "6", "7", "8" y "9". La distinción entre un dígito y un numeral es más evidente en el contexto de una base numérica.

Un número distinto de cero con más de una posición de dígito significará un número diferente en una base numérica diferente, pero en general, los dígitos significarán lo mismo. ^{[ 16 ]} Por ejemplo, el número en base 8 23 ₈ contiene dos dígitos, "2" y "3", y con un número base (subíndice) "8". Cuando se convierte a base 10, el 23 ₈ es equivalente a 19 ₁₀ , es decir, 23 ₈ = 19 ₁₀ . En nuestra notación aquí, el subíndice " ₈ " del número 23 ₈ es parte del número, pero esto puede no ser siempre el caso.

Imaginemos que el numeral "23" tiene una base ambigua . Entonces, "23" podría ser cualquier base, desde la base 4 en adelante. En base 4, "23" significa 11 ₁₀ , es decir, 23 ₄ = 11 _10. En base 60, "23" significa el número 123 ₁₀ , es decir, 23 ₆₀ = 123 _10. El numeral "23" entonces, en este caso, corresponde al conjunto de números en base 10 {11, 13, 15, 17, 19, 21, 23 , ..., 121, 123} mientras que sus dígitos "2" y "3" siempre conservan su significado original: el "2" significa "dos de" y el "3" significa "tres de".

En ciertas aplicaciones, cuando un numeral con un número fijo de posiciones necesita representar un número mayor, se puede utilizar una base numérica más alta con más dígitos por posición. Un numeral decimal de tres dígitos solo puede representar hasta 999. Pero si la base numérica se incrementa a 11, por ejemplo, añadiendo el dígito "A", entonces las mismas tres posiciones, maximizadas a "AAA", pueden representar un número tan grande como 1330. Podríamos aumentar la base numérica nuevamente y asignar "B" a 11, y así sucesivamente (pero también existe una posible encriptación entre número y dígito en la jerarquía número-dígito-numeral). Un numeral de tres dígitos "ZZZ" en base 60 podría significar215 999 . Si utilizamos toda la colección de nuestros alfanuméricos , podríamos llegar a servir como un sistema numérico de base 62 , pero eliminamos dos dígitos, la "I" mayúscula y la "O" mayúscula, para reducir la confusión con los dígitos "1" y "0". ^{[ 17 ]} Nos queda un sistema numérico de base 60, o sexagesimal, que utiliza 60 de los 62 alfanuméricos estándar. (Pero véase Sistema sexagesimal más abajo). En general, el número de valores posibles que puede representar un${\displaystyle d}$número de dígitos en base${\displaystyle r}$es${\displaystyle r^{d}}$.

Los sistemas numéricos más comunes en informática son el binario (base 2), el octal (base 8) y el hexadecimal (base 16). En binario, solo los dígitos "0" y "1" forman parte de los números. En octal , los dígitos son del 0 al 7. En hexadecimal , los dígitos son del 0 al 9 y de la A a la F, donde los diez dígitos numéricos conservan su significado habitual y los dígitos alfabéticos corresponden a los valores del 10 al 15, para un total de dieciséis dígitos. El número "10" es el número binario "2", el número octal "8" o el número hexadecimal "16".

La notación se puede extender a los exponentes negativos de la base b . De este modo, el llamado punto de base, generalmente  ».«, se utiliza como separador de las posiciones con exponente no negativo y las que tienen exponente negativo.

Los números que no son enteros utilizan posiciones más allá del punto decimal . Por cada posición después de este punto (y, por lo tanto, después del dígito de las unidades), el exponente n de la potencia b ⁿ disminuye en 1 y la potencia tiende a 0. Por ejemplo, el número 2,35 es igual a:

${\displaystyle 2\times 10^{0}+3\times 10^{-1}+5\times 10^{-2}}$

Si la base y todos los dígitos de la secuencia son no negativos, no se pueden expresar números negativos. Para solucionar esto, se añade un signo menos , en este caso −, al sistema numérico. En la notación habitual, se antepone a la secuencia de dígitos que representa el número, que de otro modo sería no negativo.

La conversión a una base${\displaystyle b_{2}}$de un entero n representado en base${\displaystyle b_{1}}$se puede hacer mediante una sucesión de divisiones euclidianas por${\displaystyle b_{2}:}$el dígito más a la derecha en base${\displaystyle b_{2}}$es el resto de la división de n por${\displaystyle b_{2};}$El segundo dígito más a la derecha es el resto de la división del cociente por${\displaystyle b_{2},}$y así sucesivamente. El dígito más a la izquierda es el último cociente. En general, el k -ésimo dígito desde la derecha es el resto de la división por${\displaystyle b_{2}}$del cociente ( k −1) -ésimo.

Por ejemplo: convertir A10B _Hex a decimal (41227):

0xA10B/10 = Q: 0x101A, R: 7 (unidades) 0x101A/10 = Q: 0x19C, R: 2 (decenas) 0x19C/10 = Q: 0x29, R: 2 (centésimas) 0x29/10 = Q: 0x4, R: 1 ... 4

Al convertir a una base mayor (como de binario a decimal), el resto representa${\displaystyle b_{2}}$como un solo dígito, usando dígitos de${\displaystyle b_{1}}$. Por ejemplo: convertir 0b11111001 (binario) a 249 (decimal):

0b11111001/10 = Q: 0b11000, R: 0b1001 (0b1001 = "9" para la posición de las unidades) 0b11000/10 = Q: 0b10, R: 0b100 (0b100 = "4" para las decenas) 0b10/10 = Q: 0b0, R: 0b10 (0b10 = "2" para centenas)

Para la parte fraccionaria , la conversión se puede realizar tomando los dígitos posteriores al punto decimal (el numerador) y dividiéndolos por el denominador implícito en la base de destino. Puede ser necesaria una aproximación debido a la posibilidad de dígitos no terminantes si el denominador de la fracción reducida tiene un factor primo distinto de cualquiera de los factores primos de la base a la que se convierte. Por ejemplo, 0.1 en decimal (1/10) es 0b1/0b1010 en binario; al dividir esto en esa base, el resultado es 0b0.0 0011 (porque uno de los factores primos de 10 es 5). Para fracciones y bases más generales, consulte el algoritmo para bases positivas .

Alternativamente, el método de Horner puede utilizarse para la conversión de bases mediante multiplicaciones repetidas, con la misma complejidad computacional que las divisiones repetidas. ^{[ 18 ]} Un número en notación posicional puede considerarse como un polinomio, donde cada dígito es un coeficiente. Los coeficientes pueden ser mayores que un dígito, por lo que una forma eficiente de convertir bases es convertir cada dígito y luego evaluar el polinomio mediante el método de Horner dentro de la base de destino. Convertir cada dígito es una simple tabla de búsqueda , eliminando la necesidad de costosas operaciones de división o módulo; y la multiplicación por x se convierte en un desplazamiento a la derecha. Sin embargo, otros algoritmos de evaluación de polinomios también funcionarían, como la elevación al cuadrado repetida para dígitos individuales o dispersos. Ejemplo:

Convertir 0xA10B a 41227 A10B = (10*16^3) + (1*16^2) + (0*16^1) + (11*16^0)

Tabla de búsqueda: 0x0 = 0 0x1 = 1 ... 0x9 = 9 0xA = 10 0xB = 11 0xC = 12 0xD = 13 0xE = 14 0xF = 15 Por lo tanto, los dígitos decimales de 0xA10B son 10, 1, 0 y 11.

Disponga los dígitos de esta manera. El dígito más significativo (10) se "elimina": 10 1 0 11 <- Dígitos de 0xA10B

 --------------- 10 Luego multiplicamos el número inferior de la base de origen (16), el producto se coloca debajo del siguiente dígito del valor de origen y luego sumamos: 10 1 0 11 160 --------------- 10 161

Repita el proceso hasta realizar la última suma: 10 1 0 11 160 2576 41216 --------------- 10 161 2576 41227

y eso es 41227 en decimal.

Convertir 0b11111001 a 249 Tabla de búsqueda: 0b0 = 0 0b1 = 1

Resultado: 1 1 1 1 1 0 0 1 <- Dígitos de 0b11111001 2 6 14 30 62 124 248 ------------------------- 1 3 7 15 31 62 124 249

Los números que tienen una representación finita forman el semianillo.

${\displaystyle {\frac {\mathbb {N} _{0}}{b^{\mathbb {N} _{0}}}}:=\left\{mb^{-\nu }\mid m\in \mathbb {N} _{0}\wedge \nu \in \mathbb {N} _{0}\right\}.}$

Más explícitamente, si${\displaystyle p_{1}^{\nu _{1}}\cdot \ldots \cdot p_{n}^{\nu _{n}}:=b}$es una factorización de${\displaystyle b}$en los números primos${\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{n}\in \mathbb {P} }$con exponentes${\displaystyle \nu _{1},\ldots ,\nu _{n}\in \mathbb {N} }$, ^{[ 19 ]} entonces con el conjunto no vacío de denominadores${\displaystyle S:=\{p_{1},\ldots ,p_{n}\}}$ tenemos

${\displaystyle \mathbb {Z} _{S}:=\left\{x\in \mathbb {Q} \left|\,\exists \mu _{i}\in \mathbb {Z} :x\prod _{i=1}^{n}{p_{i}}^{\mu _{i}}\in \mathbb {Z} \right.\right\}=b^{\mathbb {Z} }\,\mathbb {Z} ={\langle S\rangle }^{-1}\mathbb {Z} }$

dónde${\displaystyle \langle S\rangle }$es el grupo generado por el${\displaystyle p\in S}$y${\displaystyle {\langle S\rangle }^{-1}\mathbb {Z} }$es la llamada localización de${\displaystyle \mathbb {Z} }$con respecto a${\displaystyle S}$.

El denominador de un elemento de${\displaystyle \mathbb {Z} _{S}}$contiene si se reduce a su mínima expresión solo factores primos de${\displaystyle S}$. Este anillo de todas las fracciones terminantes a base${\displaystyle b}$es denso en el campo de los números racionales${\displaystyle \mathbb {Q} }$Su completitud para la métrica usual (arquimediana) es la misma que para${\displaystyle \mathbb {Q} }$, es decir, los números reales${\displaystyle \mathbb {R} }$. Entonces, si${\displaystyle S=\{p\}}$entonces${\displaystyle \mathbb {Z} _{\{p\}}}$no debe confundirse con${\displaystyle \mathbb {Z} _{(p)}}$, el anillo de valoración discreta para el primo${\displaystyle p}$, que es igual a${\displaystyle \mathbb {Z} _{T}}$con${\displaystyle T=\mathbb {P} \setminus \{p\}}$.

Si${\displaystyle b}$divide${\displaystyle c}$, tenemos${\displaystyle b^{\mathbb {Z} }\,\mathbb {Z} \subseteq c^{\mathbb {Z} }\,\mathbb {Z} .}$

En el sistema de numeración indoarábigo decimal (base 10) , cada posición comenzando desde la derecha es una potencia mayor de 10. La primera posición representa 10 ⁰ (1), la segunda posición 10 ¹ (10), la tercera posición 10 ² ( 10 × 10 o 100), la cuarta posición 10 ³ ( 10 × 10 × 10 o 1000), y así sucesivamente.

Los valores fraccionarios se indican mediante un separador , cuya posición puede variar. Generalmente, este separador es un punto o una coma . Los dígitos a su derecha se multiplican por 10 elevado a una potencia negativa. La primera posición a la derecha del separador indica 10⁻¹ ( ^0,1 ), la segunda 10⁻² ( ^0,01 ), y así sucesivamente en cada posición sucesiva.

Como ejemplo, el número 2674 en un sistema numérico de base 10 es:

(2 × 10 ³ ) + (6 × 10 ² ) + (7 × 10 ¹ ) + (4 × 10 ⁰ )

o

(2 × 1000) + (6 × 100) + (7 × 10) + (4 × 1).

El sistema sexagesimal o de base 60 se utilizaba para las partes enteras y fraccionarias de los numerales babilónicos y otros sistemas mesopotámicos. Los astrónomos helenísticos empleaban numerales griegos únicamente para la parte fraccionaria, y todavía se utiliza para el tiempo y los ángulos modernos, pero solo para minutos y segundos. Sin embargo, no todos estos usos eran posicionales.

La hora moderna separa cada posición con dos puntos o una prima . Por ejemplo, la hora podría ser 10:25:59 (10 horas 25 minutos 59 segundos). Los ángulos usan una notación similar. Por ejemplo, un ángulo podría ser 10° ‍ 25 ′ ‍ 59 ″ (10 grados 25 minutos 59 segundos ). En ambos casos, solo los minutos y los segundos usan notación sexagesimal; los grados angulares pueden ser mayores que 59 (una rotación alrededor de un círculo son 360°, dos rotaciones son 720°, etc.), y tanto la hora como los ángulos usan fracciones decimales de segundo. Esto contrasta con los números utilizados por los astrónomos helenísticos y renacentistas , que usaban tercios , cuartos , etc., para incrementos más finos. Donde nosotros podríamos escribir 10° ‍ 25 ′ ‍ 59.392 ″ , ellos habrían escrito 10° ‍ 25 ′ ‍ 59 ′′ ‍ 23 ′′′ ‍ 31 ′′′′ ‍ 12 ′′′′′ o 10° ‍ 25ⁱ ‍ 59ⁱⁱ ‍ 23ⁱⁱⁱ ‍ 31^iv ‍ 12^v .

El uso de un conjunto de dígitos con letras mayúsculas y minúsculas permite una notación abreviada para números sexagesimales, por ejemplo, 10:25:59 se convierte en 'ARz' (omitiendo la I y la O, pero no la i y la o), lo cual es útil para su uso en URL, etc., pero no es muy inteligible para los humanos.

En la década de 1930, Otto Neugebauer introdujo un sistema de notación moderno para los números babilónicos y helenísticos que sustituye la notación decimal moderna del 0 al 59 en cada posición, utilizando un punto y coma (;) para separar las partes enteras y fraccionarias del número y una coma (,) para separar las posiciones dentro de cada parte. ^{[ 22 ]} Por ejemplo, el mes sinódico medio utilizado por los astrónomos babilónicos y helenísticos, y que aún se utiliza en el calendario hebreo, es de 29;31,50,8,20 días, y el ángulo utilizado en el ejemplo anterior se escribiría como 10;25,59,23,31,12 grados.

En informática , las bases más utilizadas son la binaria (base 2), la octal (base 8) y la hexadecimal (base 16). En su nivel más básico, las computadoras solo trabajan con secuencias de ceros y unos convencionales, por lo que, en este sentido, es más sencillo trabajar con potencias de dos. El sistema hexadecimal se utiliza como una notación abreviada para el binario: cada cuatro dígitos binarios (bits) se corresponden con un único dígito hexadecimal. En hexadecimal, los seis dígitos posteriores al 9 se representan con las letras A, B, C, D, E y F (y a veces a, b, c, d, e y f).

El sistema de numeración octal también se utiliza como otra forma de representar números binarios. En este caso, la base es 8 y, por lo tanto, solo se utilizan los dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7. Al convertir de binario a octal, cada 3 bits corresponden a un único dígito octal.

Se han utilizado bases hexadecimales, decimales, octales y una amplia variedad de otras bases para la codificación de binario a texto , implementaciones de aritmética de precisión arbitraria y otras aplicaciones.

Para obtener una lista de bases y sus aplicaciones, consulte la lista de sistemas numéricos .

Los sistemas de base 12 ( duodecimal o doceal) han sido populares porque la multiplicación y la división son más fáciles que en base 10, y la suma y la resta son igual de fáciles. Doce es una base útil porque tiene muchos factores . Es el múltiplo común más pequeño de uno, dos, tres, cuatro y seis. Todavía existe una palabra especial para "docena" en inglés, y por analogía con la palabra para 10² ^, hundred , el comercio desarrolló una palabra para 12² ^, gross . El reloj estándar de 12 horas y el uso común de 12 en las unidades inglesas enfatizan la utilidad de la base. Además, antes de su conversión a decimal, la antigua moneda británica Pound Sterling (GBP) usaba parcialmente la base 12; había 12 peniques (d) en un chelín (s), 20 chelines en una libra (£), y por lo tanto 240 peniques en una libra. De ahí el término LSD o, más propiamente, £sd .

La civilización maya y otras civilizaciones de la Mesoamérica precolombina utilizaban el sistema de numeración de base 20 ( vigesimal ), al igual que varias tribus norteamericanas (dos de ellas en el sur de California). También se encuentran evidencias de sistemas de numeración de base 20 en las lenguas de África central y occidental .

También existen vestigios del sistema galo de base 20 en francés, como se observa hoy en los nombres de los números del 60 al 99. Por ejemplo, sesenta y cinco es soixante-cinq (literalmente, "sesenta y cinco"), mientras que setenta y cinco es soixante-quinze (literalmente, "sesenta y quince"). Además, para cualquier número entre 80 y 99, la cifra de las decenas se expresa como un múltiplo de veinte. Por ejemplo, ochenta y dos es quatre-vingt-deux (literalmente, cuatro veintes y dos), mientras que noventa y dos es quatre-vingt-douze (literalmente, cuatro veintes y doce). En francés antiguo, cuarenta se expresaba como dos veintes y sesenta como tres veintes, de modo que cincuenta y tres se expresaba como dos veintes y trece, y así sucesivamente.

En inglés, el mismo sistema de numeración de base 20 aparece en el uso de " scores ". Aunque es principalmente histórico, ocasionalmente se usa coloquialmente. El versículo 10 del Salmo 90 en la versión King James de la Biblia comienza: "Los días de nuestros años son sesenta años y diez; y si por razón de fortaleza llegan a ochenta años, con todo, su fortaleza es trabajo y aflicción". El Discurso de Gettysburg comienza: "Hace ochenta y siete años".

El idioma irlandés también utilizó la base 20 en el pasado, siendo veinte fichid , cuarenta dhá fhichid , sesenta trí fhichid y ochenta ceithre fhichid . Un resto de este sistema puede verse en la palabra moderna 40, daoichead .

El galés sigue utilizando un sistema de numeración de base 20 , especialmente para la edad, las fechas y las expresiones comunes. El 15 también es importante, y los números del 16 al 19 se representan como «uno de cada 15», «dos de cada 15», etc. El 18 se suele representar como «dos nueves». Se utiliza comúnmente un sistema decimal.

Las lenguas inuit utilizan un sistema de numeración de base 20. Estudiantes de Kaktovik, Alaska, inventaron un sistema de numeración de base 20 en 1994 ^{[ 23 ].}

Los números daneses presentan una estructura similar de base 20 .

El idioma maorí de Nueva Zelanda también presenta evidencia de un sistema subyacente de base 20, como se observa en los términos Te Hokowhitu a Tu, que se refiere a un grupo de guerra (literalmente "los siete 20 de Tu"), y Tama-hokotahi , que se refiere a un gran guerrero ("el único hombre igual a 20").

El sistema binario se utilizó en el Imperio Antiguo egipcio, desde el 3000  a. C. hasta el 2050  a. C. Era cursivo y se escribía redondeando los números racionales menores que 1 a 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 , descartando el término 1/64 (el sistema se llamaba el Ojo de Horus ).

Varias lenguas aborígenes australianas emplean sistemas de conteo binarios o similares. Por ejemplo, en Kala Lagaw Ya , los números del uno al seis son urapon , ukasar , ukasar-urapon , ukasar-ukasar , ukasar-ukasar-urapon , ukasar-ukasar-ukasar .

Los nativos de América del Norte y Central usaban el sistema de base 4 ( cuaternario ) para representar los cuatro puntos cardinales. Los mesoamericanos solían añadir un segundo sistema de base 5 para crear un sistema de base 20 modificado.

El sistema de base 5 ( quinario ) se ha utilizado en muchas culturas para contar. Claramente, se basa en el número de dedos de la mano humana. También puede considerarse una subbase de otras bases, como la base 10, la base 20 y la base 60.

Un sistema de base 8 ( octal ) fue ideado por la tribu Yuki del norte de California, que utilizaba los espacios entre los dedos para contar, correspondientes a los dígitos del uno al ocho. ^{[ 24 ]} También hay evidencia lingüística que sugiere que los protoindoeuropeos de la Edad del Bronce ( de quienes descienden la mayoría de las lenguas europeas e índicas) podrían haber reemplazado un sistema de base 8 (o un sistema que solo podía contar hasta 8) por un sistema de base 10. La evidencia es que la palabra para 9, newm , es sugerida por algunos como derivada de la palabra para "nuevo", newo- , lo que sugiere que el número 9 había sido inventado recientemente y llamado el "nuevo número". ^{[ 25 ]}

Muchos sistemas de numeración antiguos utilizan el cinco como base principal, casi con seguridad derivada del número de dedos en la mano. A menudo, estos sistemas se complementan con una base secundaria, a veces diez, a veces veinte. En algunas lenguas africanas, la palabra para cinco es la misma que para "mano" o "puño" ( lengua dyola de Guinea-Bissau , lengua banda de África Central ). El conteo continúa sumando 1, 2, 3 o 4 a combinaciones de 5, hasta alcanzar la base secundaria. En el caso de veinte, esta palabra suele significar "hombre completo". Este sistema se denomina quinquavigesimal y se encuentra en muchas lenguas de la región del Sudán .

La lengua telefol , hablada en Papúa Nueva Guinea , destaca por poseer un sistema numérico de base 27.