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Sexagésimo

El sexagesimal , también conocido como base 60 , [ 1 ] es un sistema de numeración con sesenta como base . Se originó con los antiguos sumerios en el tercer milenio a. C., se tr...

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El sexagesimal , también conocido como base 60 , [ 1 ] es un sistema de numeración con sesenta como base . Se originó con los antiguos sumerios en el tercer milenio a. C., se transmitió a los antiguos babilonios y todavía se utiliza —en una forma modificada— para medir el tiempo , los ángulos y las coordenadas geográficas .

El número 60, un número compuesto superior , tiene doce divisores : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 y 60, de los cuales 2, 3 y 5 son números primos . Con tantos factores, muchas fracciones que involucran números sexagesimales se simplifican. Por ejemplo, una hora se puede dividir en segmentos iguales de 30 minutos, 20 minutos, 15 minutos, 12 minutos, 10 minutos, 6 minutos, 5 minutos, 4 minutos, 3 minutos, 2 minutos y 1 minuto. 60 es el número más pequeño divisible por todos los números del 1 al 6; es decir, es el mínimo común múltiplo de 1, 2, 3, 4, 5 y 6.

En este artículo, todos los dígitos sexagesimales se representan como números decimales, salvo que se indique lo contrario. Por ejemplo, el dígito sexagesimal más grande es "59".

Origen

Según Otto Neugebauer , los orígenes del sistema sexagesimal no son tan simples, consistentes ni singulares en el tiempo como a menudo se presentan. A lo largo de sus muchos siglos de uso, que continúa hoy en día para temas especializados como el tiempo, los ángulos y los sistemas de coordenadas astronómicas, las notaciones sexagesimales siempre han contenido una fuerte influencia de la notación decimal, como en la forma en que se escriben los dígitos sexagesimales. Su uso también siempre ha incluido (y sigue incluyendo) inconsistencias en dónde y cómo se utilizan las distintas bases para representar números, incluso dentro de un mismo texto. [ 2 ]

Protocuneiforme primitivo (IV milenio a. C.) y signos cuneiformes para el sistema sexa gesimal

El impulsor más poderoso para el uso riguroso y completamente autoconsistente del sexagesimal siempre han sido sus ventajas matemáticas para escribir y calcular fracciones. En los textos antiguos esto se muestra en el hecho de que el sexagesimal se usa de manera más uniforme y consistente en tablas matemáticas de datos. [ 2 ] Otro factor práctico que ayudó a expandir el uso del sexagesimal en el pasado, aunque menos consistente que en las tablas matemáticas, fueron sus claras ventajas para los comerciantes y compradores para hacer más fáciles las transacciones financieras cotidianas cuando implicaban negociar y dividir grandes cantidades de bienes. A finales del tercer milenio a. C., las unidades de peso sumerias / acadias incluían el kakkaru ( talento , aproximadamente 30 kg) dividido en 60 manû ( mina ), que se subdividía a su vez en 60 šiqlu ( shekel ); los descendientes de estas unidades persistieron durante milenios, aunque los griegos forzaron posteriormente esta relación a la proporción más compatible con la base 10 de un shekel como un 50.º de una mina .

Aparte de las tablas matemáticas, las inconsistencias en la representación de los números en la mayoría de los textos se extendían hasta los símbolos cuneiformes más básicos utilizados para representar cantidades numéricas. [ 2 ] Por ejemplo, el símbolo cuneiforme para 1 era una elipse formada al aplicar el extremo redondeado del estilete en ángulo sobre la arcilla, mientras que el símbolo sexagesimal para 60 era un óvalo más grande o "1 grande". Pero en los mismos textos donde se usaban estos símbolos, el número 10 se representaba como un círculo formado al aplicar el extremo redondeado del estilete perpendicularmente a la arcilla, y un círculo más grande o "10 grande" se usaba para representar 100. Estos símbolos de cantidades numéricas de múltiples bases podían mezclarse entre sí y con abreviaturas, incluso dentro de un mismo número. Los detalles e incluso las magnitudes implícitas (ya que el cero no se usaba de forma consistente ) eran propios de los períodos de tiempo, las culturas y las cantidades o conceptos representados. En tiempos modernos existe la reciente innovación de agregar fracciones decimales a las coordenadas astronómicas sexagesimales. [ 2 ]

Uso

matemáticas babilónicas

El sistema sexagesimal utilizado en la antigua Mesopotamia no era un sistema de base 60 puro, en el sentido de que no utilizaba 60 símbolos distintos para sus dígitos . En cambio, los dígitos cuneiformes utilizaban el diez como subbase a modo de notación signo-valor : un dígito sexagesimal se componía de un grupo de marcas estrechas en forma de cuña que representaban unidades hasta nueve ( , , , , ..., ) y un grupo de marcas anchas en forma de cuña que representaban hasta cinco decenas ( , , , , ). El valor del dígito era la suma de los valores de sus partes componentes:

Los números mayores que 59 se indicaban mediante múltiples bloques de símbolos de esta forma en la notación de valor posicional . Debido a que no existía un símbolo para el cero , no siempre es inmediatamente obvio cómo debe interpretarse un número, y su verdadero valor a veces debe haber sido determinado por su contexto. Por ejemplo, los símbolos para 1 y 60 son idénticos. [ 3 ] [ 4 ] Textos babilónicos posteriores utilizaron un marcador de posición ( ) para representar el cero, pero solo en las posiciones mediales, y no en el lado derecho del número, como en números como13 200 . [ 4 ]

Otros usos históricos

Las combinaciones de los cinco elementos y los doce animales del zodiaco chino forman el ciclo sexagenario de 60 años .

En el calendario chino , se utiliza comúnmente un sistema en el que los días o años se nombran según su posición en una secuencia de diez troncos y en otra secuencia de doce ramas. El mismo tronco y rama se repiten cada 60 pasos a lo largo de este ciclo.

El Libro VIII de la República de Platón incluye una alegoría del matrimonio centrada en el número 60 4 =12 960 000 y sus divisores. Este número tiene la representación sexagesimal particularmente simple 1,0,0,0,0. Estudiosos posteriores han recurrido tanto a las matemáticas babilónicas como a la teoría musical en un intento de explicar este pasaje. [ 5 ]

El Almagesto de Ptolomeo , un tratado de astronomía matemática escrito en el siglo II d. C., utiliza la base 60 para expresar las partes fraccionarias de los números. En particular, su tabla de cuerdas , que fue prácticamente la única tabla trigonométrica extensa durante más de un milenio, tiene partes fraccionarias de un grado en base  60, y era prácticamente equivalente a una tabla moderna de valores de la función seno .

Los astrónomos medievales también usaban números sexagesimales para registrar el tiempo. Al-Biruni fue el primero en subdividir la hora sexagesimalmente en minutos , segundos , tercios y cuartos en 1000 mientras hablaba de los meses judíos. [ 6 ] Alrededor de 1235, Juan de Sacrobosco continuó esta tradición, aunque Nothaft creía que Sacrobosco fue el primero en hacerlo. [ 7 ] La versión parisina de las tablas alfonsinas (ca. 1320) usaba el día como unidad básica de tiempo, registrando múltiplos y fracciones de un día en notación de base 60. [ 8 ]

El sistema de numeración sexagesimal siguió siendo utilizado frecuentemente por los astrónomos europeos para realizar cálculos hasta 1671. [ 9 ] Por ejemplo, Jost Bürgi en Fundamentum Astronomiae (presentado al emperador Rodolfo II en 1592), su colega Ursus en Fundamentum Astronomicum , y posiblemente también Henry Briggs , utilizaron tablas de multiplicar basadas en el sistema sexagesimal a finales del siglo XVI para calcular senos. [ 10 ]

A finales del siglo XVIII y principios del XIX, se descubrió que los astrónomos tamiles realizaban cálculos astronómicos, utilizando conchas marinas y una mezcla de notaciones decimales y sexagesimales desarrolladas por astrónomos helenísticos . [ 11 ]

Los sistemas numéricos de base 60 también se han utilizado en otras culturas que no están relacionadas con los sumerios, por ejemplo, por el pueblo Ekari del oeste de Nueva Guinea . [ 12 ] [ 13 ]

Uso moderno

Los usos modernos del sistema sexagesimal incluyen la medición de ángulos , coordenadas geográficas , navegación electrónica y tiempo . [ 14 ]

Una hora se divide en 60 minutos , y un minuto en 60 segundos. Por lo tanto, una medida de tiempo como 3:23:17 (3 horas, 23 minutos y 17 segundos) puede interpretarse como un número sexagesimal entero (sin punto sexagesimal), es decir, 3 × 60² + 23 × 60¹ + 17 × 60⁰ segundos . Sin embargo, cada uno de los tres dígitos sexagesimales de este número (3,  23 y  17) se escribe utilizando el sistema decimal .

De manera similar, la unidad práctica de medida angular es el grado , del cual hay 360 (seis sesentas) en un círculo. Hay 60 minutos de arco en un grado y 60 segundos de arco en un minuto.

YAML

En la versión 1.1 [ 15 ] del formato de almacenamiento de datos YAML , se admiten sexagesimales para escalares simples, y se especifican formalmente tanto para enteros [ 16 ] como para números de punto flotante. [ 17 ] Esto ha generado confusión, ya que, por ejemplo, algunas direcciones MAC se reconocen como sexagesimales y se cargan como enteros, mientras que otras no, y se cargan como cadenas. En YAML 1.2 se eliminó la compatibilidad con sexagesimales. [ 18 ]

Notaciones

En los textos astronómicos griegos helenísticos , como los escritos de Ptolomeo , los números sexagesimales se escribían utilizando numerales alfabéticos griegos , y cada dígito sexagesimal se trataba como un número distinto. Los astrónomos helenísticos adoptaron un nuevo símbolo para el cero, — ° , que con el paso de los siglos evolucionó hacia otras formas, incluyendo la letra griega ómicron, ο, que normalmente significa 70, pero que es permisible en un sistema sexagesimal donde el valor máximo en cualquier posición es 59. [ 19 ] [ 20 ] Los griegos limitaron el uso de los números sexagesimales a la parte fraccionaria de un número. [ 21 ]

En los textos latinos medievales, los números sexagesimales se escribían usando numerales arábigos ; los diferentes niveles de fracciones se denotaban minuta (es decir, fracción), minuta secunda , minuta tertia , etc. Para el siglo XVII se hizo común denotar la parte entera de los números sexagesimales con un cero superíndice, y las distintas partes fraccionarias con uno o más acentos. John Wallis , en su Mathesis universalis , generalizó esta notación para incluir múltiplos superiores de 60; dando como ejemplo el número 49‵‵‵‵36‵‵‵25‵‵15‵1°15′25″36‴49⁗ ; donde los números de la izquierda se multiplican por potencias superiores de 60, los números de la derecha se dividen por potencias de 60, y el número marcado con el cero en superíndice se multiplica por 1. [ 22 ] Esta notación conduce a los signos modernos para grados, minutos y segundos. La misma nomenclatura de minutos y segundos también se utiliza para unidades de tiempo, y la notación moderna para el tiempo con horas, minutos y segundos escritos en decimal y separados entre sí por dos puntos puede interpretarse como una forma de notación sexagesimal.

En algunos sistemas de uso, cada posición posterior al punto sexagesimal se numeraba utilizando raíces latinas o francesas: prime o primus , seconde o secundus , tierce , quatre , quinte , etc. Hasta el día de hoy , llamamos «segundo» a la segunda parte de una hora o de un grado . Al menos hasta el siglo XVIII, 1/60 de segundo se denominaba «terciopelo». [ 23 ] [ 24 ]

En la década de 1930, Otto Neugebauer introdujo un sistema de notación moderno para los números babilónicos y helenísticos que sustituye la notación decimal moderna del 0 al 59 en cada posición, utilizando un punto y coma (;) para separar las partes enteras y fraccionarias del número y una coma (,) para separar las posiciones dentro de cada parte. [ 25 ] Por ejemplo, el mes sinódico medio utilizado tanto por los astrónomos babilónicos como por los helenísticos, y que aún se utiliza en el calendario hebreo, es de 29;31,50,8,20 días. Esta notación se utiliza en este artículo.

Fracciones y números irracionales

Fracciones

En el sistema sexagesimal, cualquier fracción cuyo denominador sea un número regular (que solo tenga 2, 3 y 5 en su factorización prima ) puede expresarse exactamente. [ 26 ] Aquí se muestran todas las fracciones de este tipo cuyo denominador es menor o igual a 60:

1/2 = 0 ; 30
1/3 = 0,20​
1/4 = 0; 15
1/5 = 0; 12
1/6 = 0 ; 10
1/8 = 0 ; 7,30
1/9 = 0 ; 6,40
1/10 = 0 ;6
1/12 = 0; 5
1/15 = 0 ;4
1/16 = 0 ;3,45
1/18 = 0 ;3,20
1/20 = 0; 3
1/24 = 0 ;2,30
1/25 = 0 ;2,24
1/27 = 0 ; 2,13,20
1/30 = 0; 2
1/32 = 0; 1,52,30
1/36 = 0 ;1,40
1/40 = 0 ;1,30
1/45 = 0 ;1,20
1/48 = 0 ;1,15
1/50 = 0 ;1,12
1/54 = 0 ;1,6,40
1/60 = 0 ;1

Sin embargo, los números que no son regulares forman fracciones periódicas más complejas . Por ejemplo:

1/7 = 0; 8,34,17 (la barra indica que la secuencia de dígitos sexagesimales 8,34,17 se repite infinitas veces)
1/11 = 0 ; 5,27,16,21,49
1/13 = 0 ; 4,36,55,23
1/14 = 0; 4 , 17,8,34
1/17 = 0 ; 3,31,45,52,56,28,14,7
1/19 = 0 ; 3,9,28,25,15,47,22,6,18,56,50,31,34,44,12,37,53,41
1/59 = 0 ; 1
1/61 = 0 ; 0,59

El hecho de que los dos números adyacentes a sesenta, 59 y 61, sean ambos números primos implica que las fracciones que se repiten con un período de uno o dos dígitos sexagesimales solo pueden tener como denominadores múltiplos regulares de 59 o 61, y que otros números no regulares tienen fracciones que se repiten con un período más largo.

Números irracionales

Tablilla babilónica YBC 7289 que muestra el número sexagesimal 1;24,51,10 que se aproxima a √2 

Las representaciones de números irracionales en cualquier sistema numérico posicional (incluidos el decimal y el sexagesimal) no terminan ni se repiten .

La raíz cuadrada de 2 , la longitud de la diagonal de un cuadrado unitario , fue aproximada por los babilonios del Período Paleobabilónico ( 1900 a. C. – 1650 a. C. ) como

1;24,51,10=1+2460+51602+10603=3054721600≈1.41421296…{\displaystyle 1;24,51,10=1+{\frac {24}{60}}+{\frac {51}{60^{2}}}+{\frac {10}{60^{3}}}={\frac {30547}{21600}}\approx 1.41421296\ldots }[ 27 ]

Porque √ 2  ≈ 1,414 213 56 ... es un número irracional , no se puede expresar exactamente en sexagesimal (ni en ningún sistema de base entera), pero su expansión sexagesimal comienza 1;24,51,10,7,46,6,4,44... ( OEIS : A070197  )

El valor de π utilizado por el matemático y científico griego Ptolomeo era 3 ;8,30 = 3 + 8 / 60 + 30 / 60 2 = 377 / 120 ≈3.141 666 .... [ 28 ] Jamshīd al-Kāshī , un matemático persa del siglo XV , calculó 2 π como una expresión sexagesimal a su valor correcto cuando se redondea a nueve subdígitos (es decir, a 1 / 60 9 ) ; su valor para 2 π fue 6;16,59,28,1,34,51,46,14,50. [ 29 ] [ 30 ] Al igual que √ 2 arriba, 2 π es un número irracional y no se puede expresar exactamente en sexagesimal. Su expansión sexagesimal comienza 6;16,59,28,1,34,51,46,14,49,55,12,35... ( OEIS : A091649 ) 

Véase también

Referencias

  1. ↑ Se pronuncia / s ɛ k s ə ˈ dʒ ɛ s ɪ m əl / y / s ɛ k ˈ s æ dʒ ɪ n ər i / ; ver "sexagesimal" , Oxford English Dictionary (  edición en línea), Oxford University Press(Se requiere suscripción o membresía en una institución participante )
  2. 1 2 3 4 Neugebauer, O. (1969), Las ciencias exactas en la antigüedad , Acta Historica Scientiarum Naturalium et Medicinalium, vol. 9, Dover, págs. 17 a 19, ISBN   0-486-22332-9, PMID 14884919 
  3. ↑ Bello, Ignacio; Britton, Jack R.; Kaul, Anton (2009), Temas de matemáticas contemporáneas (9.ª ed.), Cengage Learning, pág. 182, ISBN   9780538737791.
  4. 1 2 Lamb, Evelyn (31 de agosto de 2014), "¡Mira, mamá, no hay cero!" , Scientific American , Roots of Unity
  5. ↑ Barton, George A. (1908), "Sobre el origen babilónico del número nupcial de Platón", Journal of the American Oriental Society , 29 : 210–219 , doi : 10.2307/592627 , JSTOR 592627 McClain , Ernest G.; Platón (1974), "Matrimonios musicales" en la "República" de Platón", Journal of Music Theory , 18 (2): 242– 272, JSTOR 843638 
  6. ↑ Al-Biruni (1879) [1000], Cronología de las naciones antiguas , traducido por Sachau, C. Edward, págs. 147–149 
  7. ↑ Nothaft, C. Philipp E. (2018), Scandalous Error: Calendar Reform and Calendrical Astronomy in Medieval Europe , Oxford: Oxford University Press, p. 126, ISBN  9780198799559Sacrobosco optó por las fracciones sexagesimales, pero las hizo más adecuadas para el uso computacional aplicándolas no al día sino a la hora, inaugurando así el uso de horas, minutos y segundos que aún prevalece en el siglo XXI.
  8. ↑ Nothaft, C. Philipp E. (2018), Scandalous Error: Calendar Reform and Calendrical Astronomy in Medieval Europe , Oxford: Oxford University Press, p. 196, ISBN  9780198799559Una característica destacable de las Tablas Alfonsinas en su encarnación latino-parisina es la estricta "sexagesimalización" de todos los parámetros tabulados, ya que... los movimientos y los intervalos de tiempo se disolvían sistemáticamente en múltiplos de base 60 y fracciones de días o grados.
  9. ↑ Newton, Isaac (1671), El método de las fluxiones y las series infinitas: con su aplicación a la geometría de las líneas curvas. , Londres : Henry Woodfall (publicado en 1736), pág. 146, La más notable de ellas es la escala sexagenaria o sexagesimal de aritmética, de uso frecuente entre los astrónomos, que expresa todos los números posibles, enteros o fracciones, racionales o radicales, por potencias de sesenta y ciertos coeficientes numéricos que no superan los cincuenta y nueve. 
  10. ↑ Folkerts, Menso ; Launert, Dieter; Thom, Andreas (2016), "Método de Jost Bürgi para calcular los senos", Historia Mathematica , 43 (2): 133– 147, arXiv : 1510.03180 , doi : 10.1016/j.hm.2016.03.001 , MR 3489006 , S2CID 119326088  
  11. ↑ Neugebauer, Otto (1952), "Astronomía tamil: un estudio sobre la historia de la astronomía en la India", Osiris , 10 : 252–276 , doi : 10.1086/368555 , S2CID 143591575 ; reimpreso en Neugebauer, Otto (1983), Astronomía e historia: ensayos seleccionados , Nueva York: Springer-Verlag , Bibcode : 1983ahse.book.....N , ISBN 0-387-90844-7
  12. ↑ Bowers, Nancy (1977), "Enumeración kapauku: Cálculo, racismo, erudición y sistemas de conteo melanesios" (PDF) , Journal of the Polynesian Society , 86 (1): 105–116 , archivado del original (PDF) el 5 de marzo de 2009.
  13. ↑ Lean, Glendon Angove (1992), Sistemas de conteo de Papúa Nueva Guinea y Oceanía , tesis doctoral, Universidad Tecnológica de Papúa Nueva Guinea , archivada del original el 5 de septiembre de 2007.. Véase especialmente el capítulo 4 Archivado el 28-09-2007 en Wayback Machine .
  14. ↑ Powell, Marvin A. (2008). «Sistema sexagesimal». Enciclopedia de la historia de la ciencia, la tecnología y la medicina en las culturas no occidentales . págs. 1998–1999 . doi : 10.1007/978-1-4020-4425-0_9055 . ISBN  978-1-4020-4559-2.
  15. ↑ "YAML no es lenguaje de marcado (YAML™) Versión 1.1" .
  16. ↑ "Tipo de entero independiente del lenguaje para YAML versión 1.1" .
  17. ↑ "Tipo de punto flotante independiente del lenguaje para YAML™ versión 1.1" .
  18. ↑ Oren Ben-Kiki; Clark Evans; Brian Ingerson (1 de octubre de 2009), "YAML no es lenguaje de marcado (YAML™) Versión 1.2 (3.ª edición, parcheada el 1 de octubre de 2009) §10.3.2 Resolución de etiquetas" , Sitio web oficial de YAML , consultado el 30 de enero de 2019.
  19. ^ Neugebauer, Otto (1969) [1957], "Las ciencias exactas en la antigüedad", Acta Historica Scientiarum Naturalium et Medicinalium , 9 (2 ed.), Publicaciones de Dover : 13-14 , lámina 2, ISBN  978-0-486-22332-2, PMID 14884919 {{citation}}: CS1 mantenimiento: parámetro de trabajo con ISBN ( enlace )
  20. ↑ Mercier, Raymond, "Consideración del símbolo griego 'cero'"" (PDF) , Hogar de Kairos
  21. ↑ Aaboe, Asger (1964), Episodes from the Early History of Mathematics , New Mathematical Library, vol. 13, Nueva York: Random House, pp . 103–104  
  22. ↑ Cajori, Florian (2007) [1928], A History of Mathematical Notations , vol. 1, Nueva York: Cosimo, Inc., p. 216, ISBN   9781602066854
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  25. ↑ Neugebauer, Otto ; Sachs, Abraham Joseph ; Götze, Albrecht (1945), Textos cuneiformes matemáticos , American Oriental Series, vol. 29, New Haven: American Oriental Society y American Schools of Oriental Research, pág. 2  
  26. ^ Neugebauer, Otto E. (1955), Textos cuneiformes astronómicos , Londres: Lund Humphries
  27. ↑ Fowler, David ; Robson, Eleanor (1998), "Aproximaciones de raíz cuadrada en las matemáticas babilónicas antiguas: YBC 7289 en contexto", Historia Mathematica , 25 (4): 366–378 , doi : 10.1006/hmat.1998.2209 , MR 1662496 
  28. ^ Toomer, GJ , ed. (1984), Almagesto de Ptolomeo , Nueva York: Springer Verlag, p. 302, ISBN  0-387-91220-7
  29. ↑ Youschkevitch, Adolf P., "Al-Kashi", en Rosenfeld, Boris A. (ed.), Diccionario de biografía científica , pág. 256 .
  30. ↑ Aaboe (1964) , pág. 125

Lecturas adicionales

  • Ifrah, Georges (1999), La historia universal de los números: desde la prehistoria hasta la invención de la computadora , Wiley, ISBN 0-471-37568-3.
  • Nissen, Hans J.; Damerow, P.; Englund, R. (1993), Archaic Bookkeeping , University of Chicago Press, ISBN 0-226-58659-6
  • «Hechos sobre el cálculo de grados y minutos» es un libro en árabe escrito por Sibṭ al-Māridīnī, Badr al-Dīn Muḥammad ibn Muḥammad (nacido en 1423). Esta obra ofrece un tratamiento muy detallado de las matemáticas sexagesimales e incluye lo que parece ser la primera mención de la periodicidad de las fracciones sexagesimales.
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