Problema constante

En matemáticas , el problema de la constante es el problema de decidir si una expresión dada es igual a cero .

Este problema también se conoce como el problema de la identidad ^{[ 1 ]} o el método de las estimaciones de cero . No tiene una formulación formal como tal, pero se refiere a un problema general frecuente en la teoría de números trascendentales . A menudo, las demostraciones en la teoría de la trascendencia son demostraciones por contradicción . Específicamente, utilizan alguna función auxiliar para crear un entero n  ≥  0, que se demuestra que satisface n  <  1. Claramente, esto significa que n debe tener el valor cero, por lo que surge una contradicción si se puede demostrar que, de hecho, n no es cero.

En muchas demostraciones de trascendencia, probar que n  ≠  0 es muy difícil, por lo que se ha trabajado mucho en el desarrollo de métodos que permitan probar que ciertas expresiones no se anulan. La gran generalidad del problema dificulta la demostración de resultados generales y la búsqueda de métodos generales para abordarlo. El número n que aparece puede involucrar integrales , límites , polinomios , otras funciones y determinantes de matrices .

En ciertos casos, existen algoritmos u otros métodos para probar que una expresión dada es distinta de cero, o para demostrar que el problema es indecidible . Por ejemplo, si x ₁ ,  ..., x _n son números reales , entonces existe un algoritmo ^{[ 2 ]} para decidir si existen enteros a ₁ , ..., a _n tales que   

${\displaystyle a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}=0\,.}$

Si la expresión que nos interesa contiene una función oscilante, como el seno o el coseno , se ha demostrado que el problema es indecidible, un resultado conocido como el teorema de Richardson . En general, se requieren métodos específicos para la expresión en estudio para probar que no puede ser cero.

• Algoritmo de relación entera