Aritmética

Los principales tipos de números empleados en aritmética son los números naturales , los números enteros , los números racionales y los números reales . ^{[ 12 ]} Los números naturales son números enteros que comienzan en 1 y llegan hasta el infinito. Excluyen el 0 y los números negativos. También se conocen como números de conteo y se pueden expresar como${\displaystyle \{1,2,3,4,...\}}$El símbolo de los números naturales es${\displaystyle \mathbb {N} }$. ^{[ a ]} ​​Los números enteros son idénticos a los números naturales, con la única diferencia de que incluyen el 0. Se pueden representar como${\displaystyle \{0,1,2,3,4,...\}}$y tener el símbolo${\displaystyle \mathbb {N} _ {0}}$. ^{[ 14 ] [ b ]} Algunos matemáticos no distinguen entre los números naturales y los enteros al incluir el 0 en el conjunto de los números naturales. ^{[ 16 ]} El conjunto de los enteros abarca tanto los números enteros positivos como los negativos. Tiene el símbolo${\displaystyle \mathbb {Z} }$y puede expresarse como${\displaystyle \{...,-2,-1,0,1,2,...\}}$. ^{[ 17 ]}

Según cómo se utilicen los números naturales y enteros, se pueden distinguir en números cardinales y ordinales . Los números cardinales, como uno, dos y tres, expresan la cantidad de objetos. Responden a la pregunta "¿cuántos?". Los números ordinales, como primero, segundo y tercero, indican el orden o la posición en una serie. Responden a la pregunta "¿qué posición?". ^{[ 18 ]}

Un número es racional si puede representarse como la razón de dos números enteros. Por ejemplo, el número racional${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$se forma dividiendo el número entero 1, llamado numerador, entre el número entero 2, llamado denominador. Otros ejemplos son${\displaystyle {\tfrac {3}{4}}}$y${\displaystyle {\tfrac {281}{3}}}$El conjunto de los números racionales incluye todos los números enteros, que son fracciones con denominador 1. El símbolo de los números racionales es${\displaystyle \mathbb {Q} }$. ^{[ 19 ]} Las fracciones decimales como 0.3 y 25.12 son un tipo especial de números racionales ya que su denominador es una potencia de 10. Por ejemplo, 0.3 es igual a${\displaystyle {\tfrac {3}{10}}}$y 25,12 es igual a${\displaystyle {\tfrac {2512}{100}}}$. ^{[ 20 ]} Todo número racional corresponde a un decimal finito o periódico . ^{[ 21 ] [ c ]}

Los números irracionales son aquellos que no pueden expresarse como la razón de dos enteros. A menudo se utilizan para describir magnitudes geométricas. Por ejemplo, si un triángulo rectángulo tiene catetos de longitud 1, la longitud de su hipotenusa viene dada por el número irracional.${\displaystyle {\sqrt {2}}}$π es otro número irracional y describe la razón entre la circunferencia de un círculo y su diámetro . [ 22 ^{] La representación} decimal de un número irracional es infinita sin decimales periódicos. ^{[ 23 ]} El conjunto de los números racionales junto con el conjunto de los números irracionales conforma el conjunto de los números reales. El símbolo de los números reales es${\displaystyle \mathbb {R} }$. ^{[ 24 ]} Clases aún más amplias de números incluyen números complejos y cuaterniones . ^{[ 25 ]}

Un numeral es un símbolo que representa un número, y los sistemas numéricos son marcos de representación. ^{[ 26 ]} Suelen tener una cantidad limitada de numerales básicos, que se refieren directamente a ciertos números. El sistema rige cómo se pueden combinar estos numerales básicos para expresar cualquier número. ^{[ 27 ]} Los sistemas numéricos pueden ser posicionales o no posicionales. Todos los primeros sistemas numéricos eran no posicionales. ^{[ 28 ]} En los sistemas numéricos no posicionales, el valor de un dígito no depende de su posición en el numeral. ^{[ 29 ]}

Las marcas de conteo y algunos palos de conteo utilizan el sistema numérico unario no posicional .

El sistema no posicional más simple es el sistema de numeración unario . Se basa en un solo símbolo para el número 1. Todos los números mayores se escriben repitiendo este símbolo. Por ejemplo, el número 7 se puede representar repitiendo el símbolo del 1 siete veces. Este sistema dificulta la escritura de números grandes, razón por la cual muchos sistemas no posicionales incluyen símbolos adicionales para representar directamente números mayores. ^{[ 30 ]} Variaciones de los sistemas de numeración unarios se emplean en palos de conteo con muescas y en marcas de conteo . ^{[ 31 ]}

Los jeroglíficos egipcios tenían un sistema de numeración no posicional más complejo . Poseían símbolos adicionales para números como 10, 100, 1000 y 10 000. Estos símbolos se podían combinar para sumar y así expresar números mayores de forma más conveniente. Por ejemplo, el numeral para 10 405 utiliza una vez el símbolo de 10 000, cuatro veces el de 100 y cinco veces el de 1. Un sistema similar y bien conocido es el sistema de numeración romano . Sus numerales básicos son los símbolos I, V, X, L, C, D y M, que representan los números 1, 5, 10, 50, 100, 500 y 1000. ^{[ 33 ]}

Un sistema numérico es posicional si la posición de un dígito básico en una expresión compuesta determina su valor. Los sistemas numéricos posicionales tienen una base que actúa como multiplicando de las diferentes posiciones. Para cada posición subsiguiente, la base se eleva a una potencia mayor. En el sistema decimal común, también llamado sistema numérico indoarábigo , la base es 10. Esto significa que el primer dígito se multiplica por${\displaystyle 10^{0}}$, el siguiente dígito se multiplica por${\displaystyle 10^{1}}$y así sucesivamente. Por ejemplo, el número decimal 532 representa${\displaystyle 5\cdot 10^{2}+3\cdot 10^{1}+2\cdot 10^{0}}$Debido al efecto de la posición de los dígitos, el número 532 difiere de los números 325 y 253 aunque tengan los mismos dígitos. ^{[ 34 ]}

Otro sistema de numeración posicional ampliamente utilizado en la aritmética computacional es el sistema binario , que tiene una base de 2. Esto significa que el primer dígito se multiplica por${\displaystyle 2^{0}}$, el siguiente dígito por${\displaystyle 2^{1}}$y así sucesivamente. Por ejemplo, el número 13 se escribe como 1101 en notación binaria, que significa${\displaystyle 1\cdot 2^{3}+1\cdot 2^{2}+0\cdot 2^{1}+1\cdot 2^{0}}$En informática, cada dígito en la notación binaria corresponde a un bit . ^{[ 35 ]} El primer sistema posicional fue desarrollado por los antiguos babilonios y tenía una base de 60. ^{[ 36 ]}

Suma y resta

La suma es una operación aritmética en la que dos números, llamados sumandos, se combinan para formar un solo número, llamado suma. El símbolo de la suma es${\displaystyle +}$. Ejemplos son${\displaystyle 2+2=4}$y${\displaystyle 6.3+1.26=7.56}$. ^{[ 44 ]} El término sumatoria se usa cuando se realizan varias sumas seguidas. ^{[ 45 ]} El conteo es un tipo de suma repetida en la que se suma continuamente el número 1. ^{[ 46 ]}

La resta es la operación inversa de la suma. En ella, se quita un número, conocido como sustraendo, de otro, conocido como minuendo. El resultado de esta operación se llama diferencia. El símbolo de la resta es${\displaystyle -}$. ^{[ 47 ]} Ejemplos son${\displaystyle 14-8=6}$y${\displaystyle 45-1.7=43.3}$La resta se suele tratar como un caso especial de la suma: en lugar de restar un número positivo, también es posible sumar un número negativo. Por ejemplo${\displaystyle 14-8=14+(-8)}$Esto ayuda a simplificar los cálculos matemáticos al reducir el número de operaciones aritméticas básicas necesarias para realizarlos. ^{[ 48 ]}

El elemento neutro aditivo es 0 y el inverso aditivo de un número es el negativo de ese número. Por ejemplo,${\displaystyle 13+0=13}$y${\displaystyle 13+(-13)=0}$La suma es tanto conmutativa como asociativa. ^{[ 49 ]}

Multiplicación y división

La multiplicación es una operación aritmética en la que dos números, llamados multiplicador y multiplicando, se combinan en un solo número llamado producto . ^{[ 50 ] [ d ]} Los símbolos de la multiplicación son${\displaystyle \times }$,${\displaystyle \cdot }$y *. Ejemplos:${\displaystyle 2\times 3=6}$y${\displaystyle 0.3\cdot 5=1.5}$. Si el multiplicando es un número natural, entonces la multiplicación es lo mismo que la suma repetida, como en${\displaystyle 2\times 3=2+2+2}$. ^{[ 52 ]}

La división es la operación inversa de la multiplicación. En ella, un número, conocido como dividendo, se divide en varias partes iguales mediante otro número, conocido como divisor. El resultado de esta operación se llama cociente . Los símbolos de la división son:${\displaystyle \div }$y${\displaystyle /}$. Ejemplos son${\displaystyle 48\div 8=6}$y${\displaystyle 29.4/1.4=21}$. ^{[ 53 ]} La división se suele tratar como un caso especial de multiplicación: en lugar de dividir por un número, también es posible multiplicar por su recíproco . El recíproco de un número es 1 dividido por ese número. Por ejemplo,${\displaystyle 48\div 8=48\times {\tfrac {1}{8}}}$. ^{[ 54 ]}

El elemento neutro multiplicativo es 1 y el inverso multiplicativo de un número es el recíproco de ese número. Por ejemplo,${\displaystyle 13\times 1=13}$y${\displaystyle 13\times {\tfrac {1}{13}}=1}$La multiplicación es tanto conmutativa como asociativa. ^{[ 55 ]}

Exponenciación y logaritmo

La exponenciación es una operación aritmética en la que un número, conocido como base, se eleva a la potencia de otro número, conocido como exponente. El resultado de esta operación se llama potencia. La exponenciación a veces se expresa usando el símbolo ^, pero la forma más común es escribir el exponente en superíndice justo después de la base. Ejemplos:${\displaystyle 2^{4}=16}$y${\displaystyle 3}$^${\displaystyle 3=27}$. Si el exponente es un número natural, entonces la potenciación es lo mismo que la multiplicación repetida, como en${\displaystyle 2^{4}=2\times 2\times 2\times 2}$. ^{[ 56 ] [ e ]}

Las raíces son un tipo especial de exponenciación que utiliza un exponente fraccionario. Por ejemplo, la raíz cuadrada de un número es lo mismo que elevar el número a la potencia de${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$y la raíz cúbica de un número es lo mismo que elevar el número a la potencia de${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}}$. Ejemplos son${\displaystyle {\sqrt {4}}=4^{\frac {1}{2}}=2}$y${\displaystyle {\sqrt[{3}]{27}}=27^{\frac {1}{3}}=3}$. ^{[ 58 ]}

El logaritmo es la inversa de la exponenciación. El logaritmo de un número${\displaystyle x}$a la base${\displaystyle b}$es el exponente al que${\displaystyle b}$debe ser criado para producir${\displaystyle x}$. Por ejemplo, dado que${\displaystyle 1000=10^{3}}$, el logaritmo en base 10 de 1000 es 3. El logaritmo de${\displaystyle x}$a base${\displaystyle b}$se denota como${\displaystyle \log _{b}(x)}$, o sin paréntesis,${\displaystyle \log _{b}x}$, o incluso sin la base explícita,${\displaystyle \log x}$, cuando la base se puede entender a partir del contexto. Por lo tanto, el ejemplo anterior se puede escribir${\displaystyle \log _{10}1000=3}$. ^{[ 59 ]}

La exponenciación y el logaritmo no tienen elementos neutros generales ni elementos inversos como la suma y la multiplicación. El elemento neutro de la exponenciación en relación con el exponente es 1, como en${\displaystyle 14^{1}=14}$Sin embargo, la exponenciación no tiene un elemento neutro general, ya que 1 no es el elemento neutro de la base. ^{[ 60 ]} La exponenciación y el logaritmo no son ni conmutativos ni asociativos. ^{[ 61 ]}

La aritmética de enteros es la rama de la aritmética que se ocupa de la manipulación de números enteros positivos y negativos. ^{[ 63 ]} Las operaciones simples de un dígito se pueden realizar siguiendo o memorizando una tabla que presenta los resultados de todas las combinaciones posibles, como una tabla de suma o una tabla de multiplicación . Otros métodos comunes son el conteo verbal y el conteo con los dedos . ^{[ 64 ]}

Ejemplo de suma con acarreo . Los números negros son los sumandos, el número verde es el acarreo y el número azul es la suma.

Ejemplo de multiplicación larga. Los números negros representan el multiplicador y el multiplicando. Los números verdes son los productos intermedios obtenidos al multiplicar el multiplicador por un solo dígito del multiplicando. El número azul es el producto total, calculado sumando los productos intermedios.

Para operaciones con números de más de un dígito, se pueden emplear diferentes técnicas para calcular el resultado utilizando varias operaciones de un dígito consecutivas. Por ejemplo, en el método de suma con acarreos , los dos números se escriben uno encima del otro. Comenzando por el dígito más a la derecha, se suman todos los pares de dígitos. El dígito más a la derecha de la suma se escribe debajo de ellos. Si la suma es un número de dos dígitos, el dígito más a la izquierda, llamado "acarreo", se suma al siguiente par de dígitos a la izquierda. Este proceso se repite hasta que se hayan sumado todos los dígitos. ^{[ 65 ]} Otros métodos utilizados para sumas de enteros son el método de la recta numérica , el método de suma parcial y el método de compensación. ^{[ 66 ]} Se utiliza una técnica similar para la resta: también comienza con el dígito más a la derecha y utiliza un "préstamo" o un acarreo negativo para la columna de la izquierda si el resultado de la resta de un dígito es negativo. ^{[ 67 ]}

Una técnica básica de multiplicación de enteros emplea la suma repetida. Por ejemplo, el producto de${\displaystyle 3\times 4}$se puede calcular como${\displaystyle 3+3+3+3}$[ ^{68 ]} Una técnica común para la multiplicación con números grandes se llama multiplicación larga . ^Este método comienza escribiendo el multiplicador encima del multiplicando. El cálculo comienza multiplicando el multiplicador solo por el dígito más a la derecha del multiplicando y escribiendo el resultado debajo, comenzando en la columna más a la derecha. Lo mismo se hace para cada dígito del multiplicando y el resultado en cada caso se desplaza una posición a la izquierda. Como paso final, todos los productos individuales se suman para llegar al producto total de los dos números de varios dígitos. ^{[ 69 ]} Otras técnicas utilizadas para la multiplicación son el método de cuadrícula y el método de retículo . ^{[ 70 ]} La informática está interesada en algoritmos de multiplicación con una baja complejidad computacional para poder multiplicar eficientemente enteros muy grandes, como el algoritmo de Karatsuba , el algoritmo de Schönhage-Strassen y el algoritmo de Toom-Cook . ^{[ 71 ]} Una técnica común utilizada para la división se llama división larga . Otros métodos incluyen la división corta y la división en bloques . ^{[ 72 ]}

La aritmética de enteros no es cerrada bajo la división. Esto significa que al dividir un entero entre otro, el resultado no siempre es un entero. Por ejemplo, 7 dividido entre 2 no es un número entero, sino 3,5. ^{[ 73 ]} Una forma de asegurar que el resultado sea un entero es redondearlo al número entero más cercano. Sin embargo, este método produce imprecisiones, ya que el valor original se ve alterado. ^{[ 74 ]} Otro método consiste en realizar la división solo parcialmente y conservar el resto . Por ejemplo, 7 dividido entre 2 es 3 con un resto de 1. Estas dificultades se evitan con la aritmética de números racionales, que permite la representación exacta de fracciones. ^{[ 75 ]}

Un método sencillo para calcular la exponenciación es mediante la multiplicación repetida. Por ejemplo, la exponenciación de${\displaystyle 3^{4}}$se puede calcular como${\displaystyle 3\times 3\times 3\times 3}$. ^{[ 76 ]} Una técnica más eficiente utilizada para exponentes grandes es la exponenciación por elevación al cuadrado . Descompone el cálculo en una serie de operaciones de elevación al cuadrado. Por ejemplo, la exponenciación${\displaystyle 3^{65}}$se puede escribir como${\displaystyle (((((3^{2})^{2})^{2})^{2})^{2})^{2}\times 3}$Aprovechando las operaciones repetidas de elevación al cuadrado, solo se necesitan 7 operaciones individuales en lugar de las 64 operaciones requeridas para la multiplicación repetida regular. ^{[ 77 ]} Los métodos para calcular logaritmos incluyen la serie de Taylor y las fracciones continuas . ^{[ 78 ]} La aritmética de enteros no es cerrada bajo logaritmos ni bajo exponenciación con exponentes negativos, lo que significa que el resultado de estas operaciones no siempre es un entero. ^{[ 79 ]}

La aritmética de números racionales es la rama de la aritmética que se ocupa de la manipulación de números que pueden expresarse como una razón de dos enteros. ^{[ 93 ]} La mayoría de las operaciones aritméticas con números racionales pueden calcularse realizando una serie de operaciones aritméticas con enteros sobre los numeradores y denominadores de los números involucrados. Si dos números racionales tienen el mismo denominador, pueden sumarse sumando sus numeradores y manteniendo el denominador común. Por ejemplo,${\displaystyle {\tfrac {2}{7}}+{\tfrac {3}{7}}={\tfrac {5}{7}}}$Se utiliza un procedimiento similar para la resta. Si los dos números no tienen el mismo denominador, deben transformarse para encontrar un denominador común. Esto se puede lograr escalando el primer número con el denominador del segundo número y escalando el segundo número con el denominador del primero. Por ejemplo,${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{2}}={\tfrac {1\cdot 2}{3\cdot 2}}+{\tfrac {1\cdot 3}{2\cdot 3}}={\tfrac {2}{6}}+{\tfrac {3}{6}}={\tfrac {5}{6}}}$. ^{[ 94 ]}

Dos números racionales se multiplican multiplicando sus numeradores y sus denominadores respectivamente, como en${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}\cdot {\tfrac {2}{5}}={\tfrac {2\cdot 2}{3\cdot 5}}={\tfrac {4}{15}}}$La división de un número racional entre otro se puede lograr multiplicando el primer número por el recíproco del segundo. Esto significa que el numerador y el denominador del segundo número cambian de posición. Por ejemplo,${\displaystyle {\tfrac {3}{5}}:{\tfrac {2}{7}}={\tfrac {3}{5}}\cdot {\tfrac {7}{2}}={\tfrac {21}{10}}}$. ^{[ 95 ]} A diferencia de la aritmética de enteros, la aritmética de números racionales es cerrada bajo la división siempre que el divisor no sea 0. ^{[ 96 ]}

Tanto la aritmética de números enteros como la aritmética de números racionales no son cerradas bajo la exponenciación y el logaritmo. ^{[ 97 ]} Una forma de calcular la exponenciación con un exponente fraccionario es realizar dos cálculos separados: una exponenciación usando el numerador del exponente seguida de la extracción de la raíz enésima del resultado basándose en el denominador del exponente. Por ejemplo,${\displaystyle 5^{\frac {2}{3}}={\sqrt[{3}]{5^{2}}}}$La primera operación se puede completar utilizando métodos como la multiplicación repetida o la exponenciación por elevación al cuadrado. Una forma de obtener un resultado aproximado para la segunda operación es emplear el método de Newton , que utiliza una serie de pasos para refinar gradualmente una estimación inicial hasta alcanzar el nivel de precisión deseado. ^{[ 98 ]} La serie de Taylor o el método de fracciones continuas se pueden utilizar para calcular logaritmos. ^{[ 99 ]}

La notación de fracción decimal es una forma especial de representar números racionales cuyo denominador es una potencia de 10. Por ejemplo, los números racionales${\displaystyle {\tfrac {1}{10}}}$,${\displaystyle {\tfrac {371}{100}}}$, y${\displaystyle {\tfrac {44}{10000}}}$se escriben como 0.1, 3.71 y 0.0044 en notación de fracción decimal. ^{[ 100 ]} Se pueden aplicar versiones modificadas de métodos de cálculo de enteros, como la suma con acarreo y la multiplicación larga, a cálculos con fracciones decimales. ^{[ 101 ]} No todos los números racionales tienen una representación finita en notación decimal. Por ejemplo, el número racional${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}}$corresponde a 0,333... con un número infinito de 3. La notación abreviada para este tipo de decimal periódico es 0,3 . ^{[ 102 ]} Todo decimal periódico expresa un número racional. ^{[ 103 ]}

La aritmética de números reales es la rama de la aritmética que se ocupa de la manipulación de números racionales e irracionales. Los números irracionales son aquellos que no pueden expresarse mediante fracciones o decimales repetidos, como la raíz cuadrada de 2 y π . ^{[ 104 ]} A diferencia de la aritmética de números racionales, la aritmética de números reales es cerrada bajo la exponenciación siempre que utilice un número positivo como base. Lo mismo ocurre con el logaritmo de números reales positivos, siempre que la base del logaritmo sea positiva y distinta de 1. ^{[ 105 ]}

Los números irracionales implican una serie infinita no repetitiva de dígitos decimales. Debido a esto, a menudo no hay una forma simple y precisa de expresar los resultados de operaciones aritméticas como${\displaystyle {\sqrt {2}}+\pi }$o${\displaystyle e\cdot {\sqrt {3}}}$[ ^{106 ] En} los casos en que no se requiere precisión absoluta, el problema de calcular operaciones aritméticas con números reales generalmente se aborda mediante truncamiento o redondeo . Para el truncamiento, se conserva una cierta cantidad de dígitos de la izquierda y los dígitos restantes se descartan o se reemplazan por ceros. Por ejemplo, el número π tiene una cantidad infinita de dígitos que comienza con 3.14159... Si este número se trunca a 4 decimales, el resultado es 3.141. El redondeo es un proceso similar en el que el último dígito conservado se incrementa en uno si el siguiente dígito es 5 o mayor, pero permanece igual si el siguiente dígito es menor que 5, de modo que el número redondeado es la mejor aproximación de una precisión dada para el número original. Por ejemplo, si el número π se redondea a 4 decimales, el resultado es 3.142 porque el siguiente dígito es un 5, por lo que 3.142 está más cerca de π que 3.141. ^{[ 107 ]} Estos métodos permiten a las computadoras realizar de manera eficiente cálculos aproximados sobre números reales. ^{[ 108 ]}

En ciencia e ingeniería, los números representan estimaciones de cantidades físicas derivadas de mediciones o modelos. A diferencia de los números matemáticamente exactos como π o ⁠${\displaystyle {\sqrt {2}}}$Los datos numéricos científicamente relevantes son inherentemente inexactos, ya que implican cierta ^{incertidumbre} de medición.[ 109 ^{] Una} forma básica de expresar el grado de certeza sobre el valor de cada número y evitarla falsa precisiónes redondear cada medición a un cierto número de dígitos, llamadosdígitos significativos, que se consideran exactos. Por ejemplo, la altura de una persona medida con unacinta métricapodría conocerse con precisión solo hasta el centímetro más cercano, por lo que debería presentarse como 1,62 metros en lugar de 1,6217 metros. Si se convierte a unidades imperiales, esta cantidad debería redondearse a 64 pulgadas o 63,8 pulgadas en lugar de 63,7795 pulgadas, para transmitir claramente la precisión de la medición. Cuando un número se escribe utilizando la notación decimal ordinaria, los ceros iniciales no son significativos, y los ceros finales de los números que no se escriben con un punto decimal se consideran implícitamente no significativos. ^{[ 110 ]} Por ejemplo, los números 0,056 y 1200 tienen solo 2 cifras significativas cada uno, pero el número 40,00 tiene 4 cifras significativas. Representar la incertidumbre usando solo cifras significativas es un método relativamente rudimentario, con algunas sutilezas poco intuitivas; llevar un registro explícito de una estimación o límite superior delerror de aproximaciónes un enfoque más sofisticado. ^{[ 111 ]} En el ejemplo, la altura de la persona podría representarse como1,62 ± 0,005metros o63,8 ± 0,2 pulgadas. ^{[ 112 ]}

Al realizar cálculos con cantidades inciertas, la incertidumbre debe propagarse a las cantidades calculadas. Al sumar o restar dos o más cantidades, se suman las incertidumbres absolutas de cada sumando para obtener la incertidumbre absoluta de la suma. Al multiplicar o dividir dos o más cantidades, se suman las incertidumbres relativas de cada factor para obtener la incertidumbre relativa del producto. ^{[ 113 ]} Al representar la incertidumbre mediante cifras significativas, esta puede propagarse de forma aproximada redondeando el resultado de la suma o resta de dos o más cantidades al último decimal significativo de la izquierda entre los sumandos, y redondeando el resultado de la multiplicación o división de dos o más cantidades al menor número de cifras significativas entre los factores. ^{[ 114 ]} (Véase Cifras significativas §  Aritmética ).

Los métodos más sofisticados para tratar con valores inciertos incluyen la aritmética de intervalos y la aritmética afín . La aritmética de intervalos describe operaciones sobre intervalos . Los intervalos se pueden usar para representar un rango de valores si no se conoce la magnitud precisa, por ejemplo, debido a errores de medición . La aritmética de intervalos incluye operaciones como la suma y la multiplicación sobre intervalos, como en${\displaystyle [1,2]+[3,4]=[4,6]}$y${\displaystyle [1,2]\times [3,4]=[3,8]}$[ ^{115 ]} Está estrechamente relacionada con la aritmética afín, que busca obtener resultados más precisos mediante cálculos realizados sobre formas afines en lugar de intervalos. Una forma afín es un número junto con términos de error que describen cómo el número puede desviarse de la magnitud real ^{. [ 116 ]}

La precisión de las cantidades numéricas se puede expresar uniformemente mediante la notación científica normalizada , que también resulta conveniente para representar de forma concisa números mucho mayores o menores que 1. En notación científica, un número se descompone en el producto de un número entre 1 y 10, llamado mantisa , y 10 elevado a una potencia entera, llamada exponente . La mantisa consta de las cifras significativas del número y se escribe con un dígito principal del 1 al 9, seguido de un punto decimal y una secuencia de dígitos del 0 al 9. Por ejemplo, la notación científica normalizada del número 8276000 es${\displaystyle 8.276\times 10^{6}}$con mantisa 8.276 y exponente 6, y la notación científica normalizada del número 0.00735 es${\displaystyle 7.35\times 10^{-3}}$con mantisa 7,35 y exponente − 3. ^{[ 117 ]} A diferencia de la notación decimal ordinaria, donde los ceros finales de los números grandes se consideran implícitamente no significativos, en la notación científica cada dígito de la mantisa se considera significativo, y agregar ceros finales indica mayor precisión. Por ejemplo, mientras que el número 1200 tiene implícitamente solo 2 dígitos significativos, el número ⁠${\displaystyle 1.20\times 10^{3}}$explícitamente tiene 3. ^{[ 118 ]}

Un método común empleado por las computadoras para aproximar la aritmética de números reales se llama aritmética de punto flotante . Representa los números reales de forma similar a la notación científica mediante tres números: una mantisa, una base y un exponente. ^{[ 119 ]} La precisión de la mantisa está limitada por el número de bits asignados para representarla. Si una operación aritmética da como resultado un número que requiere más bits de los disponibles, la computadora redondea el resultado al número representable más cercano. Esto conduce a errores de redondeo . ^{[ 120 ]} Una consecuencia de este comportamiento es que ciertas leyes de la aritmética se violan con la aritmética de punto flotante. Por ejemplo, la suma de punto flotante no es asociativa ya que los errores de redondeo introducidos pueden depender del orden de las sumas. Esto significa que el resultado de${\displaystyle (a+b)+c}$a veces es diferente del resultado de${\displaystyle a+(b+c)}$[ ^{121 ] El} estándar técnico más común utilizado para la aritmética de punto flotante se llama IEEE 754. Entre otras cosas, determina cómo se representan los números, cómo se realizan las operaciones aritméticas y el redondeo, y cómo se manejan los errores y las excepciones. ^{[ 122 ]} En los casos en que la velocidad de cálculo no es un factor limitante, es posible utilizar aritmética de precisión arbitraria , para la cual la precisión de los cálculos solo está restringida por la memoria de la computadora. ^{[ 123 ]}

Las formas de aritmética también se pueden distinguir por las herramientas empleadas para realizar los cálculos e incluyen muchos enfoques además del uso regular de lápiz y papel. La aritmética mental se basa exclusivamente en la mente sin herramientas externas. En cambio, utiliza la visualización, la memorización y ciertas técnicas de cálculo para resolver problemas aritméticos. ^{[ 124 ]} Una de estas técnicas es el método de compensación, que consiste en alterar los números para facilitar el cálculo y luego ajustar el resultado. Por ejemplo, en lugar de calcular${\displaystyle 85-47}$uno calcula${\displaystyle 85-50}$lo cual es más fácil porque utiliza un número redondo. En el siguiente paso, se añade${\displaystyle 3}$al resultado para compensar el ajuste anterior. ^{[ 125 ]} El cálculo mental se enseña a menudo en la educación primaria para entrenar las habilidades numéricas de los estudiantes. ^{[ 126 ]}

El cuerpo humano también puede emplearse como herramienta aritmética. El uso de las manos para contar con los dedos se introduce a menudo a los niños pequeños para enseñarles los números y cálculos sencillos. En su forma más básica, el número de dedos extendidos corresponde a la cantidad representada y las operaciones aritméticas como la suma y la resta se realizan extendiendo o retrayendo los dedos. Este sistema se limita a números pequeños en comparación con sistemas más avanzados que emplean diferentes enfoques para representar cantidades mayores. ^{[ 127 ]} La voz humana se utiliza como ayuda aritmética en el conteo verbal. ^{[ 128 ]}

Las marcas de conteo son un sistema sencillo que utiliza herramientas externas, distintas del cuerpo. Este sistema se basa en la creación de marcas, como trazos dibujados sobre una superficie o muescas talladas en un palo de madera, para llevar un registro de las cantidades. Algunas formas de marcas de conteo organizan los trazos en grupos de cinco para facilitar su lectura. ^{[ 129 ]}

El ábaco es una herramienta más avanzada para representar números y realizar cálculos. Un ábaco generalmente consta de una serie de varillas, cada una con varias cuentas . Cada cuenta representa una cantidad, que se cuenta al moverla de un extremo de la varilla al otro. Los cálculos se realizan manipulando la posición de las cuentas hasta que el patrón final revela el resultado. ^{[ 130 ]} Otras ayudas relacionadas incluyen tableros de conteo , que utilizan fichas cuyo valor depende del área del tablero en la que se colocan, ^{[ 131 ]} y varillas de conteo , que se disponen en patrones horizontales y verticales para representar diferentes números. ^{[ 132 ] [ f ]}

Los sectores y las reglas de cálculo son instrumentos de cálculo más refinados que se basan en relaciones geométricas entre diferentes escalas para realizar operaciones aritméticas tanto básicas como avanzadas. ^{[ 134 ] [ g ]} Las tablas impresas fueron particularmente relevantes como ayuda para consultar los resultados de operaciones como logaritmos y funciones trigonométricas . ^{[ 136 ]}

Las calculadoras mecánicas automatizan los procesos de cálculo manual. Presentan al usuario algún tipo de dispositivo de entrada para introducir números girando diales o pulsando teclas. Incluyen un mecanismo interno, generalmente compuesto por engranajes , palancas y ruedas , para realizar cálculos y mostrar los resultados. ^{[ 137 ]} En el caso de las calculadoras electrónicas y los ordenadores , este procedimiento se perfecciona aún más al sustituir los componentes mecánicos por circuitos electrónicos , como microprocesadores , que combinan y transforman señales eléctricas para realizar cálculos. ^{[ 138 ]}

Existen muchos otros tipos de aritmética. La aritmética modular opera sobre un conjunto finito de números. Si una operación resultara en un número fuera de este conjunto finito, el número se ajusta para que vuelva a estar dentro del conjunto, de forma similar a como las manecillas de un reloj vuelven a empezar desde el principio después de completar un ciclo. El número en el que se produce este ajuste se denomina módulo. Por ejemplo, un reloj convencional tiene un módulo de 12. En el caso de sumar 4 a 9, esto significa que el resultado no es 13, sino 1. El mismo principio se aplica también a otras operaciones, como la resta, la multiplicación y la división. ^{[ 139 ]}

Algunas formas de aritmética se ocupan de operaciones realizadas sobre objetos matemáticos distintos de los números. La aritmética de intervalos describe operaciones sobre intervalos. ^{[ 140 ]} La aritmética vectorial y la aritmética matricial describen operaciones aritméticas sobre vectores y matrices , como la suma de vectores y la multiplicación de matrices . ^{[ 141 ]}

Los sistemas aritméticos se pueden clasificar según el sistema numérico en el que se basan. Por ejemplo, la aritmética decimal describe las operaciones aritméticas en el sistema decimal. Otros ejemplos son la aritmética binaria , la aritmética octal y la aritmética hexadecimal . ^{[ 142 ]}

La aritmética de unidades compuestas describe las operaciones aritméticas realizadas sobre magnitudes con unidades compuestas. Implica operaciones adicionales para gobernar la transformación entre cantidades de una sola unidad y cantidades de unidades compuestas. Por ejemplo, la operación de reducción se utiliza para transformar la cantidad compuesta 1 h 90 min en la cantidad de una sola unidad 150 min. ^{[ 143 ]}

La aritmética no diofántica son sistemas aritméticos que violan las intuiciones aritméticas tradicionales e incluyen ecuaciones como${\displaystyle 1+1=1}$y${\displaystyle 2+2=5}$. ^{[ 144 ]} Se pueden emplear para representar algunas situaciones del mundo real en la física moderna y la vida cotidiana. Por ejemplo, la ecuación${\displaystyle 1+1=1}$puede utilizarse para describir la observación de que si una gota de lluvia se añade a otra, no siguen siendo dos entidades separadas, sino que se convierten en una sola. ^{[ 145 ]}

La enseñanza de la aritmética forma parte de la educación primaria . Es una de las primeras formas de enseñanza de las matemáticas con las que se encuentran los niños. La aritmética elemental tiene como objetivo brindar a los estudiantes una noción básica de los números y familiarizarlos con las operaciones numéricas fundamentales como la suma, la resta, la multiplicación y la división. ^{[ 185 ]} Generalmente se introduce en relación con situaciones concretas, como contar cuentas , dividir la clase en grupos de niños del mismo tamaño y calcular el cambio al comprar artículos. Las herramientas comunes en la enseñanza temprana de la aritmética son las rectas numéricas , las tablas de sumar y multiplicar, los bloques de conteo y los ábacos. ^{[ 186 ]}

Las etapas posteriores se centran en una comprensión más abstracta e introducen a los estudiantes a diferentes tipos de números, como números negativos, fracciones, números reales y números complejos. Además, abarcan operaciones numéricas más avanzadas, como la exponenciación, la extracción de raíces y el logaritmo. ^{[ 187 ]} También muestran cómo se emplean las operaciones aritméticas en otras ramas de las matemáticas, como su aplicación para describir figuras geométricas y el uso de variables en álgebra. Otro aspecto es enseñar a los estudiantes el uso de algoritmos y calculadoras para resolver problemas aritméticos complejos. ^{[ 188 ]}

La psicología de la aritmética se interesa en cómo los humanos y los animales aprenden sobre los números, los representan y los utilizan para realizar cálculos. Examina cómo se comprenden y resuelven los problemas matemáticos y cómo las habilidades aritméticas se relacionan con la percepción , la memoria , el juicio y la toma de decisiones . ^{[ 189 ]} Por ejemplo, investiga cómo se encuentran por primera vez en la percepción conjuntos de elementos concretos y cómo se asocian posteriormente con números. ^{[ 190 ]} Otro campo de investigación se refiere a la relación entre los cálculos numéricos y el uso del lenguaje para formar representaciones. ^{[ 191 ]} La psicología también explora el origen biológico de la aritmética como una habilidad innata. Esto se refiere a los procesos cognitivos preverbales y presimbólicos que implementan operaciones similares a la aritmética necesarias para representar con éxito el mundo y realizar tareas como la navegación espacial. ^{[ 192 ]}

Uno de los conceptos estudiados por la psicología es la alfabetización numérica , que es la capacidad de comprender conceptos numéricos, aplicarlos a situaciones concretas y razonar con ellos. Incluye un sentido numérico fundamental, así como la capacidad de estimar y comparar cantidades. Además, abarca la capacidad de representar simbólicamente números en sistemas de numeración, interpretar datos numéricos y evaluar cálculos aritméticos. ^{[ 193 ]} La alfabetización numérica es una habilidad clave en muchos campos académicos. La falta de alfabetización numérica puede obstaculizar el éxito académico y conducir a malas decisiones económicas en la vida cotidiana, por ejemplo, al malinterpretar planes hipotecarios y pólizas de seguros . ^{[ 194 ]}

La filosofía de la aritmética estudia los conceptos y principios fundamentales que subyacen a los números y las operaciones aritméticas. Explora la naturaleza y el estatus ontológico de los números, la relación de la aritmética con el lenguaje y la lógica , y cómo es posible adquirir conocimiento aritmético . ^{[ 195 ]}

Según el platonismo , los números tienen una existencia independiente de la mente: existen como objetos abstractos fuera del espacio-tiempo y sin poderes causales. ^{[ 196 ] [ j ]} Esta visión es rechazada por los intuicionistas , quienes afirman que los objetos matemáticos son construcciones mentales. ^{[ 198 ]} Otras teorías son el logicismo , que sostiene que las verdades matemáticas son reducibles a verdades lógicas , ^{[ 199 ]} y el formalismo , que afirma que los principios matemáticos son reglas sobre cómo se manipulan los símbolos sin afirmar que correspondan a entidades fuera de la actividad regida por las reglas. ^{[ 200 ]}

La visión tradicionalmente dominante en la epistemología de la aritmética sostiene que las verdades aritméticas son cognoscibles a priori . Esto significa que pueden conocerse únicamente mediante el pensamiento, sin necesidad de recurrir a la experiencia sensorial . ^{[ 201 ]} Algunos defensores de esta visión afirman que el conocimiento aritmético es innato, mientras que otros sostienen que existe alguna forma de intuición racional a través de la cual se pueden aprehender las verdades matemáticas. ^{[ 202 ]} Una visión alternativa más reciente fue propuesta por filósofos naturalistas como Willard Van Orman Quine , quienes argumentan que los principios matemáticos son generalizaciones de alto nivel que, en última instancia, se fundamentan en el mundo sensorial descrito por las ciencias empíricas. ^{[ 203 ]}

La aritmética es relevante en muchos campos. En la vida cotidiana , se requiere para calcular el cambio al comprar, administrar las finanzas personales y ajustar una receta de cocina para un número diferente de porciones. Las empresas utilizan la aritmética para calcular ganancias y pérdidas y analizar las tendencias del mercado . En el campo de la ingeniería , se utiliza para medir cantidades, calcular cargas y fuerzas, y diseñar estructuras. ^{[ 204 ]} La criptografía se basa en operaciones aritméticas para proteger la información sensible mediante el cifrado de datos y mensajes. ^{[ 205 ]}

La aritmética está íntimamente ligada a muchas ramas de las matemáticas que dependen de operaciones numéricas. El álgebra se basa en principios aritméticos para resolver ecuaciones con variables. Estos principios también desempeñan un papel fundamental en el cálculo, en su intento por determinar tasas de cambio y áreas bajo curvas . La geometría utiliza operaciones aritméticas para medir las propiedades de las figuras, mientras que la estadística las emplea para analizar datos numéricos. ^{[ 206 ]} Debido a la relevancia de las operaciones aritméticas en todas las matemáticas, su influencia se extiende a la mayoría de las ciencias, como la física , la informática y la economía . Estas operaciones se utilizan en cálculos, resolución de problemas , análisis de datos y algoritmos, lo que las convierte en parte integral de la investigación científica, el desarrollo tecnológico y la modelización económica. ^{[ 207 ]}