Multiplicación reticular

La multiplicación reticular , también conocida como método italiano , método chino , retícula china , multiplicación gelosia , ^{[ 1 ]} multiplicación por criba , shabakh , diagonalmente o cuadrados venecianos , es un método de multiplicación que utiliza una retícula para multiplicar dos números de varias cifras. Es matemáticamente idéntica al algoritmo de multiplicación larga más comúnmente utilizado , pero divide el proceso en pasos más pequeños, que algunos practicantes encuentran más fáciles de usar. ^{[ 2 ]}

El método ya existía en la Edad Media y se ha utilizado durante siglos en diversas culturas. Todavía se enseña en algunos planes de estudio actuales. ^{[ 3 ] [ 4 ]}

Se dibuja una cuadrícula y cada celda se divide diagonalmente. Los dos multiplicandos del producto a calcular se escriben en la parte superior y derecha de la cuadrícula, respectivamente, con un dígito por columna en la parte superior para el primer multiplicando (el número escrito de izquierda a derecha) y un dígito por fila en la parte derecha para el segundo multiplicando (el número escrito de arriba abajo). Luego, cada celda de la cuadrícula se rellena con el producto del dígito de su columna y fila.

Como ejemplo, consideremos la multiplicación de 58 por 213. Después de escribir los multiplicandos en los laterales, observemos cada celda, comenzando por la superior izquierda. En este caso, el dígito de la columna es 5 y el de la fila es 2. Escribamos su producto, 10, en la celda, con el dígito 1 encima de la diagonal y el dígito 0 debajo de la diagonal (vea la imagen del paso 1).

Si al producto simple le falta un dígito en la posición de las decenas, simplemente rellene la posición de las decenas con un 0. ^{[ 2 ]}

Una vez rellenadas todas las celdas de esta forma, se suman los dígitos de cada diagonal, desde la diagonal inferior derecha hasta la superior izquierda. La suma de cada diagonal se anota donde termina la diagonal. Si la suma contiene más de un dígito, el valor de las decenas se traslada a la siguiente diagonal (véase el paso 2).

Los números se colocan a la izquierda y en la parte inferior de la cuadrícula, y la respuesta son los números que se leen de arriba abajo (a la izquierda) y de abajo arriba (a la derecha). En el ejemplo mostrado, el resultado de multiplicar 58 por 213 es 12354.

La técnica de la cuadrícula también se puede usar para multiplicar fracciones decimales . Por ejemplo, para multiplicar 5.8 por 2.13, el proceso es el mismo que para multiplicar 58 por 213, como se describe en la sección anterior. Para encontrar la posición del punto decimal en la respuesta final, se puede trazar una línea vertical desde el punto decimal en 5.8 y una línea horizontal desde el punto decimal en 2.13. (Ver imagen para el paso 4). La diagonal de la cuadrícula que pasa por la intersección de estas dos líneas determina la posición del punto decimal en el resultado. ^{[ 2 ]} En el ejemplo mostrado, el resultado de la multiplicación de 5.8 y 2.13 es 12.354.

Aunque la multiplicación reticular se ha utilizado históricamente en muchas culturas, en el comentario del siglo XII sobre la «Lilavati», un libro de matemáticas indias de Bhaskaracharya, se menciona un método llamado «Kapat-sandhi», muy similar al método reticular. Se está investigando dónde surgió por primera vez y si se desarrolló de forma independiente en más de una región del mundo. ^{[ 5 ]} El primer uso registrado de la multiplicación reticular: ^{[ 6 ]}

• en matemáticas árabes fue por Ibn al-Banna' al-Marrakushi en su Talkhīṣ a'māl al-ḥisāb , en el Magreb a finales del siglo XIII.
• en matemáticas europeas fue del autor desconocido de un tratado en latín en Inglaterra, Tractatus de minutis philosophicis et vulgaribus , c. 1300.
• en matemáticas chinas fue de Wu Jing en su Jiuzhang suanfa bilei daquan , completado en 1450.

El matemático y educador David Eugene Smith afirmó que la multiplicación reticular fue traída a Italia desde Oriente Medio. ^{[ 7 ]} Esto se ve reforzado al observar que el término árabe para el método, shabakh , tiene el mismo significado que el término italiano para el método, gelosia , es decir, la rejilla o celosía metálica para una ventana.

A veces se afirma erróneamente que la multiplicación reticular fue descrita por Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī (Bagdad, c. 825) o por Fibonacci en su Liber Abaci (Italia, 1202, 1228). ^{[ 8 ]} Sin embargo, de hecho, no se ha encontrado ningún uso de la multiplicación reticular por parte de ninguno de estos dos autores. En el capítulo 3 de su Liber Abaci , Fibonacci describe una técnica de multiplicación relacionada mediante lo que denominó quadrilatero in forma scacherii (“rectángulo en forma de tablero de ajedrez”). En esta técnica, las celdas cuadradas no se subdividen diagonalmente; solo se escribe el dígito de menor orden en cada celda, mientras que cualquier dígito de orden superior debe recordarse o registrarse en otro lugar y luego “llevarse” para agregarlo a la siguiente celda. Esto contrasta con la multiplicación reticular, cuya característica distintiva es que cada celda del rectángulo tiene su propio lugar correcto para el dígito de acarreo; esto también implica que las celdas se pueden llenar en cualquier orden deseado. Swetz ^{[ 9 ]} compara y contrasta la multiplicación por gelosia (retícula), por scacherii (tablero de ajedrez) y otros métodos de tableau.

Otros usos históricos notables de la multiplicación reticular incluyen: ^{[ 6 ]}

• El Miftāḥ al-ḥisāb de Jamshīd al-Kāshī (Samarqand, 1427), en el que los numerales utilizados son sexagesimales (base 60) y la cuadrícula está girada 45 grados a una orientación de "diamante".
• El Arte dell'Abbaco , un texto anónimo publicado en dialecto veneciano en 1478, a menudo llamado Aritmética de Treviso porque fue impreso en Treviso, tierra adentro desde Venecia, Italia.
• Summa de arithmetica de Luca Pacioli (Venecia, 1494)
• El comentario del astrónomo indio Gaṇeśa sobre el Lilāvati de Bhāskara II (siglo XVI).

Derivaciones de este método también aparecieron en las obras del siglo XVI Umdet-ul Hisab del polímata otomano-bosnio Matrakçı Nasuh . ^{[ 10 ]} La versión triangular de la técnica de multiplicación de Matrakçı Nasuh se observa en el ejemplo que muestra 155 x 525 a la derecha y se explica en el ejemplo que muestra 236 x 175 en la figura de la izquierda. ^{[ 11 ]}

El mismo principio descrito por Matrakçı Nasuh sirvió de base para el desarrollo posterior de las varas de cálculo conocidas como huesos de Napier (Escocia, 1617) y reglas de Genaille-Lucas (Francia, finales del siglo XIX).

• Gobernantes Genaille-Lucas
• Los huesos de Napier