Línea numérica

En la recta numérica, la distancia entre dos puntos es de longitud unitaria si y solo si la diferencia de los números representados es igual a 1. Son posibles otras opciones.

Una de las opciones más comunes es la escala logarítmica , que es una representación de los números positivos en una línea, de modo que la distancia entre dos puntos es la unidad de longitud, si la razón de los números representados tiene un valor fijo, normalmente 10. En dicha escala logarítmica, el origen representa 1; una pulgada a la derecha, se tiene 10, una pulgada a la derecha de 10 se tiene 10×10 = 100 , luego 10×100 = 1000 = 10³ ^, luego 10×1000 = 10 000 = 10⁴ ^, etc. De manera similar, una pulgada a la izquierda de 1, se tiene 1/10 = 10⁻¹ ^, luego 1/100 = 10⁻² ^, etc.

Este enfoque resulta útil cuando se desea representar, en una misma figura, valores de muy diferente orden de magnitud . Por ejemplo, se requiere una escala logarítmica para representar simultáneamente el tamaño de los distintos cuerpos que existen en el Universo , como un fotón , un electrón , un átomo , una molécula , un ser humano , la Tierra , el Sistema Solar , una galaxia y el Universo visible.

Las reglas de cálculo utilizan escalas logarítmicas para multiplicar o dividir números sumando o restando longitudes en escalas logarítmicas.

Una línea trazada a través del origen, perpendicular a la recta numérica real, puede usarse para representar los números imaginarios . Esta línea, llamada línea imaginaria , extiende la recta numérica a un plano de números complejos , cuyos puntos representan números complejos .

Alternativamente, se puede trazar una recta numérica horizontalmente para representar los posibles valores de un número real, comúnmente llamado x , y otra recta numérica verticalmente para representar los posibles valores de otro número real, comúnmente llamado y . Juntas, estas rectas forman lo que se conoce como un sistema de coordenadas cartesianas , y cualquier punto en el plano representa el valor de un par de números reales. Además, el sistema de coordenadas cartesianas se puede extender visualizando una tercera recta numérica que "sale de la pantalla (o página)", midiendo una tercera variable llamada z . Los números positivos están más cerca de los ojos del observador que la pantalla, mientras que los números negativos están "detrás de la pantalla"; los números mayores están más lejos de la pantalla. Entonces, cualquier punto en el espacio tridimensional en el que vivimos representa los valores de un trío de números reales.

La recta real es un continuo lineal bajo el ordenamiento estándar < . Específicamente, la recta real está ordenada linealmente por < , y este ordenamiento es denso y tiene la propiedad de cota superior mínima .

Además de las propiedades mencionadas, la recta real no tiene máximo ni mínimo . También posee un subconjunto denso numerable , a saber, el conjunto de los números racionales . Un teorema establece que cualquier continuo lineal con un subconjunto denso numerable y sin máximo ni mínimo es isomorfo a la recta real.

La recta real también satisface la condición de cadena numerable : toda colección de intervalos abiertos no vacíos y disjuntos entre sí en R es numerable. En teoría del orden , el famoso problema de Suslin pregunta si todo continuo lineal que satisface la condición de cadena numerable y que no tiene elementos máximos ni mínimos es necesariamente isomorfo a R. Se ha demostrado que esta afirmación es independiente del sistema axiomático estándar de la teoría de conjuntos conocido como ZFC .

La recta real forma un espacio métrico , cuya función de distancia viene dada por la diferencia absoluta:

${\displaystyle d(x,y)=|xy|.}$

El tensor métrico es claramente la métrica euclidiana unidimensional . Dado que la métrica euclidiana n- dimensional se puede representar en forma matricial como la matriz identidad n- × n , la métrica en la recta real es simplemente la matriz identidad 1-×1, es decir, 1.

Si p ∈ R y ε > 0 , entonces la ε - bola en R centrada en p es simplemente el intervalo abierto ( p − ε , p + ε ) .

Esta recta real posee varias propiedades importantes como espacio métrico:

• La recta real es un espacio métrico completo , en el sentido de que cualquier sucesión de puntos de Cauchy converge en ella.
• La recta real es conexa por trayectoria y es uno de los ejemplos más simples de un espacio métrico geodésico .
• La dimensión de Hausdorff de la recta real es igual a uno.

La recta real posee una topología estándar , que puede introducirse de dos maneras diferentes y equivalentes. Primero, dado que los números reales están totalmente ordenados , poseen una topología de orden . Segundo, los números reales heredan una topología métrica de la métrica definida anteriormente. La topología de orden y la topología métrica en R son idénticas. Como espacio topológico, la recta real es homeomorfa al intervalo abierto (0, 1) .

La recta real es, trivialmente, una variedad topológica de dimensión 1. Salvo homeomorfismo, es una de las dos únicas 1-variedades conexas distintas sin frontera , siendo la otra el círculo . Además, posee una estructura diferenciable estándar, lo que la convierte en una variedad diferenciable . (Salvo difeomorfismo , el espacio topológico admite una única estructura diferenciable).

La recta real es un espacio localmente compacto y paracompacto , además de ser segundo-contable y normal . También es conexa por caminos y, por lo tanto , conexa , aunque puede desconectarse eliminando cualquier punto. La recta real es también contraíble , y como tal, todos sus grupos de homotopía y grupos de homología reducidos son cero.

Como espacio localmente compacto, la recta real puede compactificarse de varias maneras. La compactificación de un punto de R es un círculo (es decir, la recta proyectiva real ), y el punto adicional puede considerarse como un infinito sin signo. Alternativamente, la recta real tiene dos extremos , y la compactificación resultante de los extremos es la recta real extendida [−∞, +∞] . También existe la compactificación de Stone-Čech de la recta real, que implica añadir un número infinito de puntos adicionales.

En algunos contextos, resulta útil aplicar otras topologías al conjunto de los números reales, como la topología del límite inferior o la topología de Zariski . Para los números reales, esta última es equivalente a la topología del complemento finito .

La recta real es un espacio vectorial sobre el cuerpo R de los números reales (es decir, sobre sí misma) de dimensión 1. Tiene la multiplicación usual como producto interno , lo que la convierte en un espacio vectorial euclidiano . La norma definida por este producto interno es simplemente el valor absoluto .

La recta real posee una medida canónica , la medida de Lebesgue . Esta medida se define como la completación de una medida de Borel definida en R , donde la medida de cualquier intervalo es su longitud.

La medida de Lebesgue en la recta real es uno de los ejemplos más sencillos de una medida de Haar en un grupo localmente compacto .

Cuando A es un álgebra real unitaria , el producto de números reales por 1 es una recta real dentro del álgebra. Por ejemplo, en el plano complejo z = x + i y , el subespacio { z  : y = 0} es una recta real. De manera similar, el álgebra de cuaterniones

q = w + x i + y j + z k

tiene una línea real en el subespacio { q  : x = y = z = 0}.

Cuando el álgebra real es una suma directa${\displaystyle A=R\oplus V,}$Luego se introduce una conjugación en A mediante el mapeo.${\displaystyle v\to -v}$ del subespacio V. De esta manera, la recta real consta de los puntos fijos de la conjugación.

Para una dimensión n , las matrices cuadradas forman un anillo que tiene una línea real en forma de productos reales con la matriz identidad en el anillo.