Transformación geométrica

En matemáticas , una transformación geométrica es cualquier biyección de un conjunto a sí mismo (o a otro conjunto similar) con algún fundamento geométrico destacado , como la preservación de distancias, ángulos o razones (escala). Más específicamente, es una función cuyo dominio y rango son conjuntos de puntos , generalmente un espacio de coordenadas reales .${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$o${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$—de tal manera que la función sea biyectiva, por lo que su inversa existe. ^{[ 1 ]} El estudio de la geometría puede abordarse mediante el estudio de estas transformaciones, como en la geometría de transformaciones . ^{[ 2 ]}

Las transformaciones geométricas se pueden clasificar según la dimensión de sus conjuntos de operandos (distinguiendo así, por ejemplo, entre transformaciones planas y espaciales). También se pueden clasificar según las propiedades que conservan:

• Los desplazamientos conservan las distancias y los ángulos orientados (por ejemplo, las traslaciones ); ^{[ 3 ]}
• Las isometrías conservan ángulos y distancias (por ejemplo, transformaciones euclidianas ); ^{[ 4 ] [ 5 ]}
• Las similitudes conservan los ángulos y las proporciones entre distancias (por ejemplo, al redimensionar); ^{[ 6 ]}
• Las transformaciones afines preservan el paralelismo (por ejemplo, escalamiento , cizallamiento ); ^{[ 5 ] [ 7 ]}
• Las transformaciones proyectivas preservan la colinealidad ; ^{[ 8 ]}

Cada una de estas clases contiene la anterior. ^{[ 8 ]}

• Las transformaciones de Möbius que utilizan coordenadas complejas en el plano (así como la inversión de círculos ) conservan el conjunto de todas las líneas y círculos, pero pueden intercambiar líneas y círculos.

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  Imagen original (basada en el mapa de Francia)
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  Isometría
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  Semejanza
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  transformación afín
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  Transformación proyectiva
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  Inversión

• Las transformaciones conformes preservan los ángulos y son, en primer orden, semejanzas.
• Las transformaciones equiareales conservan áreas en el caso plano o volúmenes en el caso tridimensional. ^{[ 9 ]} y son, en primer orden, transformaciones afines de determinante 1.
• Los homeomorfismos (transformaciones bicontinuas) preservan los entornos de los puntos.
• Los difeomorfismos (transformaciones bidiferenciables) son transformaciones afines de primer orden; contienen a las anteriores como casos especiales y pueden refinarse aún más.

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  Transformación conforme
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  transformación equiareal
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  Homeomorfismo
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  Difeomorfismo

Las transformaciones del mismo tipo forman grupos que pueden ser subgrupos de otros grupos de transformaciones.

Muchas transformaciones geométricas se expresan con álgebra lineal. Las transformaciones lineales biyectivas son elementos de un grupo lineal general . La transformación lineal A es no singular. Para un vector fila v , el producto matricial vA da otro vector fila w = vA .

La transpuesta de un vector fila v es un vector columna v ^T , y la transpuesta de la igualdad anterior es${\displaystyle w^{T}=(vA)^{T}=A^{T}v^{T}.}$Aquí, A ^T proporciona una acción izquierda sobre los vectores columna.

En geometría de transformaciones existen composiciones AB . Partiendo de un vector fila v , la acción derecha de la transformación compuesta es w = vAB . Después de la transposición,

${\displaystyle w^{T}=(vAB)^{T}=(AB)^{T}v^{T}=B^{T}A^{T}v^{T}.}$

Por lo tanto, para AB la acción de grupo izquierda asociada es${\displaystyle B^{T}A^{T}.}$En el estudio de grupos opuestos , se hace la distinción entre acciones de grupos opuestos porque los grupos conmutativos son los únicos grupos para los que estos opuestos son iguales.

• Transformación de coordenadas
• Programa de Erlangen
• Simetría (geometría)
• Movimiento
• Reflexión
• Transformación rígida
• Rotación
• Topología
• Matriz de transformación

• Adler, Irving (2012) [1966], Una nueva mirada a la geometría , Dover, ISBN 978-0-486-49851-5
• Dienes, ZP ; Golding, EW (1967). Geometría a través de transformaciones (3 vols.): Geometría de la distorsión , Geometría de la congruencia y Grupos y coordenadas . Nueva York: Herder and Herder.
• David Gans – Transformaciones y geometrías .
• Hilbert, David ; Cohn-Vossen, Stephan (1952). Geometría y la imaginación (2.ª  ed.). Chelsea. ISBN 0-8284-1087-9.{{cite book}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda )
• John McCleary (2013) Geometría desde un punto de vista diferenciable , Cambridge University Press ISBN 978-0-521-11607-7
• Modenov, PS; Parkhomenko, AS (1965). Transformaciones geométricas (2 vols.): Transformaciones euclidianas y afines , y transformaciones proyectivas . Nueva York: Academic Press.
• AN Pressley – Geometría diferencial elemental .
• Yaglom, IM (1962, 1968, 1973, 2009). Transformaciones geométricas (4 vols.). Random House (I, II y III), MAA (I, II, III y IV).