isomorfismo de orden

En el campo matemático de la teoría del orden , un isomorfismo de orden es un tipo especial de función monótona que constituye una noción adecuada de isomorfismo para conjuntos parcialmente ordenados (posets). Cuando dos posets son isomorfos en orden, pueden considerarse "esencialmente iguales" en el sentido de que cualquiera de los órdenes puede obtenerse del otro simplemente renombrando elementos. Dos nociones estrictamente más débiles relacionadas con los isomorfismos de orden son las incrustaciones de orden y las conexiones de Galois . ^{[ 1 ]}

La idea de isomorfismo puede entenderse para órdenes finitas en términos de diagramas de Hasse . Dos órdenes finitas son isomorfos precisamente cuando un único diagrama de Hasse ( salvo un cambio de etiquetas en sus elementos) los expresa a ambos; en otras palabras, cuando cualquier diagrama de Hasse de uno puede convertirse en un diagrama de Hasse del otro simplemente cambiando las etiquetas de los vértices.

Formalmente, dados dos conjuntos parcialmente ordenados${\displaystyle (S,\leq _{S})}$y${\displaystyle (T,\leq _{T})}$, un isomorfismo de orden de${\displaystyle (S,\leq _{S})}$a${\displaystyle (T,\leq _{T})}$es una función biyectiva${\displaystyle f}$de${\displaystyle S}$a${\displaystyle T}$con la propiedad que, para cada${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$en${\displaystyle S}$,${\displaystyle x\leq _{S}y}$si y solo si${\displaystyle f(x)\leq _{T}f(y)}$. Es decir, es una incrustación de orden biyectiva . ^{[ 2 ]}

También es posible definir un isomorfismo de orden como una incrustación de orden sobreyectiva . Los dos supuestos que${\displaystyle f}$cubrir todos los elementos de${\displaystyle T}$y que preserve los órdenes, son suficientes para asegurar que${\displaystyle f}$También es uno a uno, porque si${\displaystyle f(x)=f(y)}$entonces (por el supuesto de que${\displaystyle f}$preserva el orden) se seguiría que${\displaystyle x\leq y}$y${\displaystyle y\leq x}$, lo que implica por la definición de un orden parcial que${\displaystyle x=y}$.

Otra caracterización de los isomorfismos de orden es que son precisamente las biyecciones monótonas que tienen una inversa monótona. ^{[ 3 ]}

Un isomorfismo de orden de un conjunto parcialmente ordenado a sí mismo se llama automorfismo de orden . ^{[ 4 ]}

Cuando se impone una estructura algebraica adicional a los conjuntos parcialmente ordenados${\displaystyle (S,\leq _{S})}$y${\displaystyle (T,\leq _{T})}$, una función de${\displaystyle (S,\leq _{S})}$a${\displaystyle (T,\leq _{T})}$debe satisfacer propiedades adicionales para ser considerado un isomorfismo. Por ejemplo, dados dos grupos parcialmente ordenados (grupos po)${\displaystyle (G,\leq _{G})}$y${\displaystyle (H,\leq _{H})}$, un isomorfismo de grupos po de${\displaystyle (G,\leq _{G})}$a${\displaystyle (H,\leq _{H})}$es un isomorfismo de orden que también es un isomorfismo de grupo , no simplemente una biyección que es una incrustación de orden . ^{[ 5 ]}

• La función identidad en cualquier conjunto parcialmente ordenado es siempre un automorfismo de orden.
• La negación es un isomorfismo de orden de${\displaystyle (\mathbb {R} ,\leq )}$a${\displaystyle (\mathbb {R} ,\geq )}$(dónde${\displaystyle \mathbb {R} }$es el conjunto de números reales y${\displaystyle \leq }$denota la comparación numérica usual), ya que − x ≥ − y si y solo si x ≤ y . ^{[ 6 ]}
• El intervalo abierto${\displaystyle (0,1)}$(de nuevo, ordenado numéricamente) no tiene un isomorfismo de orden hacia o desde el intervalo cerrado.${\displaystyle [0,1]}$: el intervalo cerrado tiene un elemento mínimo, pero el intervalo abierto no, y los isomorfismos de orden deben preservar la existencia de elementos mínimos. ^{[ 7 ]}
• Según el teorema de isomorfismo de Cantor , todo orden lineal denso numerable no acotado es isomorfo al ordenamiento de los números racionales . ^{[ 8 ]} La función de signo de interrogación de Minkowski proporciona isomorfismos de orden explícitos entre los números algebraicos cuadráticos, los números racionales y los números racionales diádicos . ^{[ 9 ]}

Si${\displaystyle f}$es un isomorfismo de orden, entonces también lo es su función inversa . Además, si${\displaystyle f}$es un isomorfismo de orden de${\displaystyle (S,\leq _{S})}$a${\displaystyle (T,\leq _{T})}$y${\displaystyle g}$es un isomorfismo de orden de${\displaystyle (T,\leq _{T})}$a${\displaystyle (U,\leq _{U})}$, entonces la composición de funciones de${\displaystyle f}$y${\displaystyle g}$es en sí mismo un isomorfismo de orden, desde${\displaystyle (S,\leq _{S})}$a${\displaystyle (U,\leq _{U})}$. ^{[ 10 ]}

Se dice que dos conjuntos parcialmente ordenados son isomorfos en orden cuando existe un isomorfismo de orden entre ellos. ^{[ 11 ]} Las funciones identidad, las inversas de funciones y las composiciones de funciones corresponden, respectivamente, a las tres características definitorias de una relación de equivalencia : reflexividad , simetría y transitividad . Por lo tanto, el isomorfismo de orden es una relación de equivalencia. La clase de conjuntos parcialmente ordenados puede ser particionada por ella en clases de equivalencia , familias de conjuntos parcialmente ordenados que son todos isomorfos entre sí. Estas clases de equivalencia se llaman tipos de orden .

• Patrón de permutación , una permutación que es isomorfa en orden a una subsecuencia de otra permutación.

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