Número

Se han descubierto huesos y otros artefactos con marcas grabadas que muchos creen que son marcas de conteo . ^{[ 9 ]} Algunos historiadores sugieren que el hueso de Lebombo (datado hace unos 43.000 años) y el hueso de Ishango (datado hace entre 22.000 y 30.000 años) son los artefactos aritméticos más antiguos, pero esta interpretación es controvertida. ^{[ 10 ] [ 11 ]} Estas marcas de conteo podrían haberse utilizado para contar el tiempo transcurrido, como el número de días, los ciclos lunares o para llevar registros de cantidades , como de animales. ^{[ 12 ]} Se cree que un sistema perceptivo para la cantidad , que subyace a la numeración, se comparte con otras especies, una distribución filogenética que sugiere que habría existido antes del surgimiento del lenguaje. ^{[ 13 ] [ 10 ]}

Un sistema de conteo no tiene concepto de valor posicional (como en la notación decimal moderna ), lo que limita su representación de números grandes. Sin embargo, los sistemas de conteo se consideran el primer tipo de sistema numérico abstracto. ^{[ 14 ]}

Los números más antiguos e inequívocos en el registro arqueológico son el sistema mesopotámico de base  60 (sexagesimal) ( c. 3400  a. C.); ^{[ 15 ]} el valor posicional surgió en el tercer milenio a. C. ^{[ 16 ]} El sistema de base 10 más antiguo conocido  data del 3100  a. C. en Egipto . ^{[ 17 ]} Una tablilla de arcilla babilónica data de1900–1600  a. C. proporciona una estimación de la circunferencia de un círculo a su diámetro de${\textstyle 3{\frac {1}{8}}}$= 3,125, posiblemente la aproximación más antigua de π. ^{[ 18 ]}

Los números deben distinguirse de los numerales , los símbolos utilizados para representarlos. Los egipcios inventaron el primer sistema de numeración cifrado, y los griegos siguieron su ejemplo al plasmar sus números de conteo en los alfabetos jónico y dórico. ^{[ 19 ]} (Sin embargo, en el año 300 a. C., Arquímedes demostró por primera vez el uso de un sistema de numeración posicional para mostrar números extremadamente grandes en El Calculador de Arena . ^{[ 20 ]} ) Los numerales romanos, un sistema que utilizaba combinaciones de letras del alfabeto romano, siguieron siendo dominantes en Europa hasta la difusión del sistema de numeración indoarábigo a finales del siglo XIV, y este último sigue siendo el sistema más común para representar números en el mundo actual. ^{[ 21 ]} La clave de la eficacia del sistema fue el símbolo del cero , desarrollado por matemáticos de la antigua India alrededor del año 500 d. C. ^{[ 21 ]}

The first known recorded use of zero as an integer dates to AD 628, and appeared in the Brāhmasphuṭasiddhānta, the main work of the Indian mathematicianBrahmagupta. He is usually considered the first to formulate the mathematical concept of zero. Brahmagupta treated 0 as a number and discussed operations involving it, including division by zero. He gave rules of using zero with negative and positive numbers, such as "zero plus a positive number is a positive number, and a negative number plus zero is the negative number". By this time (the 7th century), the concept had clearly reached Cambodia in the form of Khmer numerals,^[22] and documentation shows the idea later spreading to China and the Islamic world. The concept began reaching Europe through Islamic sources around the year 1000.^[23]

There are other uses of zero before Brahmagupta, though the documentation is not as complete as it is in the Brāhmasphuṭasiddhānta.^[24] The earliest uses of zero was as simply a placeholder numeral in place-value systems, representing another number as was done by the Babylonians.^[25] Many ancient texts used 0, including Babylonian and Egyptian texts. Egyptians used the word nfr to denote zero balance in double entry accounting. Indian texts used a Sanskrit word Shunye or shunya to refer to the concept of void. In mathematics texts this word often refers to the number zero.^[26] In a similar vein, Pāṇini (5th century BC) used the null (zero) operator in the Ashtadhyayi,^[24] an early example of an algebraic grammar for the Sanskrit language (also see Pingala).

Los registros muestran que los antiguos griegos parecían inseguros sobre el estatus del  0 como número: se preguntaban "¿Cómo puede ser algo la 'nada'?", lo que dio lugar a interesantes debates filosóficos y, en la Edad Media, religiosos sobre la naturaleza y la existencia del  0 y el vacío. Las paradojas de Zenón de Elea dependen en parte de la interpretación incierta del  0. ^{[ 27 ]} (Los antiguos griegos incluso cuestionaron si el 1 era un número. ^{[ 28 ]} ) 

El pueblo olmeca tardío del centro-sur de México comenzó a usar un símbolo sustituto para el cero, un glifo de concha , en el Nuevo Mundo, hacia el 38  a. C. ^{[ 30 ]} Serían los mayas quienes desarrollarían el cero como número cardinal, empleándolo en su sistema numérico y en el calendario maya . ^{[ 31 ]} Los mayas usaban un sistema numérico de base 20 combinando una cantidad de puntos (base  5) con una cantidad de barras (base  4). ^{[ 29 ]} George I. Sánchez informó en 1961 sobre un ábaco de "dedo" de base  4 y base 5. ^{[ 32 ] [ 33 ]} 

Hacia el año 130 d. C., Ptolomeo , influenciado por Hiparco y los babilonios, utilizaba un símbolo para el  0 (un círculo pequeño con una barra superior larga) dentro de un sistema de numeración sexagesimal que, por lo demás, empleaba numerales griegos alfabéticos . ^{[ 34 ]} Debido a que se utilizaba solo, y no como un simple marcador de posición, este cero helenístico fue el primer uso documentado de un verdadero cero en el Viejo Mundo. En manuscritos bizantinos posteriores de su Syntaxis Mathematica ( Almagesto ), el cero helenístico se había transformado en la letra griega Ómicron ^{[ 35 ]} (que también significa  70 en isopsefia ^{[ 36 ]} ).

A true zero was used in tables alongside Roman numerals by 525 (first known use by Dionysius Exiguus), but as a word, nulla meaning nothing, not as a symbol.^[37] When division produced 0 as a remainder, nihil, also meaning nothing, was used. These medieval zeros were used by all future medieval computists (calculators of Easter).^[38] An isolated use of their initial, N, was used in a table of Roman numerals by Bede or a colleague about 725, a true zero symbol.

The abstract concept of negative numbers was recognized as early as 100–50 BC in China. The Nine Chapters on the Mathematical Art contains methods for finding the areas of figures; red rods were used to denote positive coefficients, black for negative.^[39] The first reference in a Western work was in the 3rd century AD in Greece. Diophantus referred to the equation equivalent to 4x + 20 = 0 (the solution is negative) in Arithmetica, saying that the equation gave an absurd result.^[40]

During the 600s, negative numbers were in use in India to represent debts. Diophantus' previous reference was discussed more explicitly by Indian mathematician Brahmagupta, in Brāhmasphuṭasiddhānta in 628, who used negative numbers to produce the general form quadratic formula that remains in use today. However, in the 12th century in India, Bhaskara gives negative roots for quadratic equations but says the negative value "is in this case not to be taken, for it is inadequate; people do not approve of negative roots".^[41]

Los matemáticos europeos, en su mayoría, se resistieron al concepto de números negativos hasta el  siglo XVII, ^{[ 41 ]} aunque Fibonacci permitió soluciones negativas en problemas financieros donde podían interpretarse como deudas (capítulo  13 de Liber Abaci , 1202) y más tarde como pérdidas (en Flos ). René Descartes los llamó raíces falsas, ya que aparecían en polinomios algebraicos, pero también encontró una manera de intercambiar raíces verdaderas y falsas. ^{[ 42 ]} Al mismo tiempo, los chinos indicaban los números negativos trazando una línea diagonal a través del dígito no nulo más a la derecha del numeral del número positivo correspondiente. ^{[ 43 ]} Un experimentador europeo temprano con números negativos fue Nicolas Chuquet durante el  siglo XV. Los usó como exponentes , ^{[ 44 ]} pero se refería a ellos como "números absurdos".

Todavía en el siglo XVIII, era práctica común ignorar cualquier resultado negativo que arrojaran las ecuaciones, bajo el supuesto de que carecían de sentido.

Es probable que el concepto de números fraccionarios se remonte a tiempos prehistóricos . ^{[ 41 ]} Los antiguos egipcios utilizaron su notación fraccionaria egipcia para números racionales en textos matemáticos como el Papiro Matemático de Rhind y el Papiro de Kahun . ^{[ 46 ]} El Papiro de Rhind incluye un ejemplo de cómo derivar el área de un círculo a partir de su diámetro, lo que produce una estimación de π como${\textstyle {\bigl (}{\frac {16}{9}}{\bigr )}^{2}}$≈ 3,16049.... ^{[ 18 ]} Los matemáticos clásicos griegos e indios realizaron estudios de la teoría de los números racionales, como parte del estudio general de la teoría de números . ^{[ 47 ] [ 41 ]} Un ejemplo particularmente influyente de estos son los Elementos de Euclides , que datan de aproximadamente el 300  a. C. ^{[ 48 ]} De los textos indios, el más relevante es el Sthananga Sutra , que también cubre la teoría de números como parte de un estudio general de las matemáticas. ^{[ 41 ]}

El concepto de fracciones decimales está estrechamente vinculado con la notación posicional decimal; ambos parecen haberse desarrollado paralelamente. Por ejemplo, es común que los sutras matemáticos jainistas incluyan cálculos de aproximaciones de fracciones decimales a pi o a la raíz cuadrada de 2. De manera similar , los textos matemáticos babilónicos utilizaban fracciones sexagesimales (base 60). ^{[ 49 ]} 

Los babilonios, ya en el año 1800 a. C., demostraron aproximaciones numéricas de cantidades irracionales como √2 en tablillas de arcilla, con una precisión análoga a seis decimales, como en la tablilla YBC 7289. [ ^{50 ] Estos} valores se utilizaban principalmente para cálculos prácticos en geometría y medición de terrenos. ^{[ 51 ]} Existían aproximaciones prácticas de números irracionales en los Shulba Sutras indios , compuestos entre el 800 y el 500 a. C. ^{[ 52 ]} 

Las primeras pruebas de la existencia de números irracionales se atribuyen generalmente a Pitágoras , más concretamente a Hipaso , quien elaboró ​​una prueba (probablemente geométrica) de la irracionalidad de la raíz cuadrada de 2. [ ^{53 ] Según} la historia , Hipaso descubrió los números irracionales al intentar representar la raíz cuadrada de 2 como una fracción. Sin embargo, Pitágoras creía en la absolutidad de los números. No podía refutar la existencia de los números irracionales ni aceptarlos, por lo que, según la leyenda, condenó a Hipaso a morir ahogado para impedir la difusión de esta inquietante noticia. ^{[ 54 ]}

El siglo XVI trajo la aceptación final en Europa de los números enteros negativos y fraccionarios. Para el siglo XVII, los matemáticos generalmente usaban fracciones decimales con notación moderna. El concepto de números reales fue introducido en el siglo XVII por René Descartes . ^{[ 55 ]} Mientras estudiaba el interés compuesto , en 1683 Jacob Bernoulli descubrió que a medida que los intervalos de capitalización se hacían cada vez más cortos, la tasa de crecimiento exponencial convergía a una base de 2,71828...; esta constante matemática clave se llamaría más tarde número de Euler ( e ). ^{[ 56 ]} Los números irracionales comenzaron a estudiarse sistemáticamente en el siglo XVIII, con Leonhard Euler, quien demostró que los números irracionales son aquellos cuyas fracciones continuas simples no son finitas y que el número de Euler ( e ) es irracional. ^{[ 57 ]} La irracionalidad de π fue demostrada en 1761 por Johann Lambert . ^{[ 58 ]}

Es en la segunda mitad del siglo XIX cuando los números reales, y por ende los números irracionales, fueron definidos rigurosamente, con el trabajo de Augustin-Louis Cauchy , Charles Méray (1869), Karl Weierstrass (1872), Eduard Heine (1872), ^{[ 59 ]} Georg Cantor (1883), ^{[ 60 ]} y Richard Dedekind (1872). ^{[ 61 ]}

Un número trascendental es un valor numérico que no es la raíz de un polinomio con coeficientes enteros. Esto significa que no es algebraico y, por lo tanto, excluye todos los números racionales. ^{[ 62 ]} La existencia de números trascendentales ^{[ 63 ]} fue establecida por primera vez por Liouville (1844, 1851). Hermite demostró en 1873 que e es trascendental y Lindemann demostró en 1882 que π es trascendental. ^{[ 64 ]} Finalmente, Cantor demostró que el conjunto de todos los números reales es infinito no numerable , pero el conjunto de todos los números algebraicos es infinito numerable , por lo que existe un número infinito no numerable de números trascendentales. ^{[ 65 ]}

En matemáticas, el infinito se considera un concepto abstracto más que un número; en lugar de ser "mayor que cualquier número", infinito es la propiedad de no tener fin. ^{[ 66 ]} La concepción más antigua conocida del infinito matemático aparece en el Yajurveda , una antigua escritura india, que en un punto afirma: "Si [ el todo ] se restara de [ el todo ] , lo que quedaría seguiría siendo [ el todo ] ". ^{[ 67 ]} El infinito fue un tema popular de estudio filosófico entre los matemáticos jainistas  alrededor del año 400 a. C. Distinguían entre cinco tipos de infinito: infinito en una y dos direcciones, infinito en área, infinito en todas partes e infinito perpetuamente. ^{[ 68 ]}

Aristóteles definió la noción occidental tradicional de infinito matemático. Distinguió entre infinito real e infinito potencial ; el consenso general era que solo este último tenía verdadero valor. ^{[ 69 ]} Las dos nuevas ciencias de Galileo Galilei discutieron la idea de correspondencias biunívocas entre conjuntos infinitos, conocida como la paradoja de Galileo . ^{[ 70 ]} El siguiente gran avance en la teoría lo realizó Georg Cantor ; en 1895 publicó un libro sobre su nueva teoría de conjuntos , introduciendo, entre otras cosas, los números transfinitos y formulando la hipótesis del continuo . ^{[ 65 ]} El símbolo${\displaystyle {\text{∞}}}$, que se usa a menudo para representar una cantidad infinita, fue introducido por primera vez en un contexto matemático por John Wallis en 1655. ^{[ 71 ]}

En la década de 1960, Abraham Robinson demostró cómo los números infinitamente grandes e infinitesimales pueden definirse rigurosamente y utilizarse para desarrollar el campo del análisis no estándar. ^{[ 72 ] [ 73 ]} El sistema de números hiperreales representa un método riguroso para tratar las ideas sobre números infinitos e infinitesimales que habían sido utilizadas informalmente por matemáticos, científicos e ingenieros desde la invención del cálculo infinitesimal por Newton y Leibniz . ^{[ 74 ]}

Una versión geométrica moderna del infinito la proporciona la geometría proyectiva , que introduce " puntos ideales en el infinito ", uno para cada dirección espacial. Se postula que cada familia de líneas paralelas en una dirección dada converge al punto ideal correspondiente. Esto guarda estrecha relación con la idea de puntos de fuga en el dibujo en perspectiva . ^{[ 75 ]}

La primera referencia fugaz a las raíces cuadradas de números negativos se encuentra en la obra del matemático e inventor Herón de Alejandría en el siglo I d. C. , cuando consideró el volumen de un tronco de pirámide imposible . ^{[ 76 ]} Estas raíces cobraron mayor relevancia cuando, en el siglo XVI, matemáticos italianos como Niccolò Fontana Tartaglia y Gerolamo Cardano  descubrieron fórmulas cerradas para las raíces de polinomios de tercer y cuarto grado . Pronto se comprendió que estas fórmulas, incluso si solo se buscaban soluciones reales, a veces requerían la manipulación de raíces cuadradas de números negativos. ^{[ 77 ]}

Esto fue doblemente inquietante ya que en ese momento ni siquiera consideraban que los números negativos estuvieran en terreno firme. A René Descartes se le atribuye a veces la acuñación del término "imaginario" para estas cantidades en 1637, con la intención de que fuera despectivo. ^{[ 78 ]} (Véase número imaginario para una discusión sobre la "realidad" de los números complejos). Otra fuente de confusión fue que la ecuación

${\displaystyle \left({\sqrt {-1}}\right)^{2}={\sqrt {-1}}{\sqrt {-1}}=-1}$

parecía caprichosamente inconsistente con la identidad algebraica.

${\displaystyle {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}={\sqrt {ab}},}$

que es válida para números reales positivos a y b , y también se utilizó en cálculos de números complejos con uno de a o b positivo y el otro negativo. El uso incorrecto de esta identidad y la identidad relacionada

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {a}}}={\sqrt {\frac {1}{a}}}}$

en el caso en que tanto a como b son negativos incluso desconcertó a Euler . ^{[ 79 ]} Esta dificultad finalmente lo llevó a la convención de usar el símbolo especial i en lugar de${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$para evitar este error.

El siglo XVIII vio el trabajo de Abraham de Moivre y Leonhard Euler . La fórmula de De Moivre (1730) establece: ^{[ 80 ]}

${\displaystyle (\cos \theta +i\sin \theta )^{n}=\cos n\theta +i\sin n\theta }$

mientras que la fórmula de análisis complejo de Euler (1748) nos dio:

${\displaystyle \cos \theta +i\sin \theta =e^{i\theta }.}$

Un caso especial de esta fórmula produce la identidad de Euler :

${\displaystyle e^{i\pi }+1=0}$

mostrando una profunda conexión entre los números más fundamentales en matemáticas. ^{[ 81 ]}

La existencia de los números complejos no fue completamente aceptada hasta que Caspar Wessel describió la interpretación geométrica en 1799. Carl Friedrich Gauss la redescubrió y popularizó varios años después, y como resultado la teoría de los números complejos experimentó una notable expansión. ^{[ 82 ]} Sin embargo, la idea de la representación gráfica de los números complejos había aparecido ya en 1685, en el De algebra tractatus de Wallis . ^{[ 83 ]}

En ese mismo año, Gauss proporcionó la primera demostración generalmente aceptada del teorema fundamental del álgebra , mostrando que todo polinomio sobre los números complejos tiene un conjunto completo de soluciones en ese ámbito. Gauss estudió los números complejos de la forma a + bi , donde a y b son enteros (ahora llamados enteros gaussianos ) o números racionales. ^{[ 84 ]} Su alumno, Gotthold Eisenstein , estudió el tipo a + bω , donde ω es una raíz compleja de x³ ⁻ 1 = 0 (ahora llamados enteros de Eisenstein ). Otras clases de números complejos (llamadas campos ciclotómicos ) se derivan de las raíces de la unidad x² ^k − 1 = 0 para valores mayores de k . Esta generalización se debe en gran medida a Ernst Kummer , quien también inventó los números ideales , que fueron expresados ​​como entidades geométricas por Felix Klein en 1893.

En 1850, Victor Alexandre Puiseux dio el paso clave de distinguir entre polos y puntos de ramificación, e introdujo el concepto de puntos singulares esenciales . Esto condujo finalmente al concepto del plano complejo extendido .

Prime numbers may have been studied throughout recorded history. They are natural numbers that are not a product of two smaller natural numbers. It has been suggested that the Ishango bone includes a list of the prime numbers between 10 and 20.^[85] The Rhind papyrus display different forms for prime numbers. But the formal study of prime numbers is first documented by the ancient Greek. Euclid devoted one book of the Elements to the theory of primes; in it he proved the infinitude of the primes and the fundamental theorem of arithmetic, and presented the Euclidean algorithm for finding the greatest common divisor of two numbers.^[86]

In 240 BC, Eratosthenes used the Sieve of Eratosthenes to quickly isolate prime numbers. But most further development of the theory of primes in Europe dates to the Renaissance and later eras. At around 1000 AD, Ibn al-Haytham discovered Wilson's theorem. Ibn al-Banna' al-Marrakushi found a way to speed up the Sieve of Eratosthenes by only testing up to the square root of the number. Fibonacci communicated Islamic mathematical contributions to Europe, and in 1202 was the first to describe the method of trial division.^[86]

In 1796, Adrien-Marie Legendre conjectured the prime number theorem, describing the asymptotic distribution of primes.^[87] Other results concerning the distribution of the primes include Euler's proof that the sum of the reciprocals of the primes diverges,^[88] and the Goldbach conjecture, which claims that any sufficiently large even number is the sum of two primes.^[89] Yet another conjecture related to the distribution of prime numbers is the Riemann hypothesis, formulated by Bernhard Riemann in 1859.^[90] The prime number theorem was finally proved by Jacques Hadamard and Charles de la Vallée-Poussin in 1896.^[87] Goldbach and Riemann's conjectures remain unproven and unrefuted.

Los números han tenido un significado cultural, simbólico y religioso a lo largo de la historia y en muchas culturas. ^{[ 12 ] [ 91 ] [ 92 ] [ 93 ]} En la Antigua Grecia, el simbolismo numérico influyó enormemente en el desarrollo de las matemáticas griegas , estimulando la investigación de muchos problemas de la teoría de números que aún hoy son de interés. ^{[ 12 ]} Según Platón , los pitagóricos atribuían características y significados específicos a números particulares, y creían que «las cosas mismas son números». ^{[ 94 ]}

Los cuentos populares de diferentes culturas muestran preferencias por ciertos números: el tres y el siete tienen un significado especial en la cultura europea, mientras que el cuatro y el cinco son más prominentes en los cuentos populares chinos. ^{[ 95 ]} A veces, los números se asocian con la suerte: en la sociedad occidental, el número 13 se considera de mala suerte , mientras que en la cultura china el número ocho se considera auspicioso. ^{[ 96 ]}

Los números más conocidos son los números naturales (a veces llamados números enteros o números de conteo): 1, 2, 3, etc. Tradicionalmente, la secuencia de números naturales comenzaba con  el 1 (el 0 ni siquiera se consideraba un número para los antiguos griegos). Sin embargo, en el  siglo XIX, los teóricos de conjuntos y otros matemáticos comenzaron a incluir  el 0 ( cardinalidad del conjunto vacío , es decir, 0  elementos, donde  0 es, por lo tanto, el número cardinal más pequeño ) en el conjunto de los números naturales. ^{[ 98 ] [ 99 ]} Hoy en día, varios matemáticos utilizan el término para describir ambos conjuntos, incluyendo  o no el 0. El símbolo matemático para el conjunto de todos los números naturales es N , también escrito${\displaystyle \mathbb {N} }$, ^{[ 97 ]} y a veces${\displaystyle \mathbb {N} _{0}}$^{[ 100 ]} o${\displaystyle \mathbb {N} _{1}}$^{[ 101 ]} cuando es necesario indicar si el conjunto debe comenzar con 0 o 1, respectivamente.

En el sistema numérico de base 10 , de uso casi universal en la actualidad para operaciones matemáticas, los símbolos de los números naturales se escriben con diez dígitos : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. La base es el número de dígitos numéricos únicos, incluido el cero, que un sistema numérico utiliza para representar números (en el sistema decimal, la base es 10). En este  sistema de base 10, el dígito más a la derecha de un número natural tiene un valor posicional de  1, y cada uno de los demás dígitos tiene un valor posicional diez veces mayor que el del dígito a su derecha. ^{[ 102 ]}

En la teoría de conjuntos , que puede actuar como fundamento axiomático de las matemáticas modernas, ^{[ 103 ]} los números naturales pueden representarse mediante clases de conjuntos equivalentes. Por ejemplo, el número  3 puede representarse como la clase de todos los conjuntos que tienen exactamente tres elementos. Alternativamente, en la aritmética de Peano , el número  3 se representa como S ( S ( S (0))), donde S es la función "sucesor" (es decir,  3 es el tercer sucesor de  0). ^{[ 104 ]} Son posibles muchas representaciones diferentes; todo lo que se necesita para representar formalmente  el 3 es inscribir un determinado símbolo o patrón de símbolos tres veces.

El negativo de un entero positivo se define como un número que produce  0 cuando se le suma al entero positivo correspondiente. Los números negativos se suelen escribir con un signo negativo (un signo menos ). Por ejemplo, el negativo de  7 se escribe  −7, y 7 + (−7) = 0. Cuando el conjunto de números negativos se combina con el conjunto de números naturales (incluido  el 0), el resultado se define como el conjunto de enteros , Z, también escrito${\displaystyle \mathbb {Z} }$. ^{[ 97 ]} Aquí la letra Z proviene del alemán Zahl ' número ' . El conjunto de los enteros forma un anillo con las operaciones de suma y multiplicación. ^{[ 106 ]} 

Los números naturales forman un subconjunto de los números enteros. Como no existe un estándar común para la inclusión o exclusión del cero en los números naturales, aquellos que no incluyen el cero se denominan comúnmente enteros positivos , y aquellos que sí lo incluyen, enteros no negativos .

Un número racional es un número que puede expresarse como una fracción con un numerador entero y un denominador entero positivo. Se permiten denominadores negativos, pero se suelen evitar, ya que todo número racional es igual a una fracción con denominador positivo. ^{[ 107 ]} Las fracciones se escriben como dos enteros, el numerador y el denominador, con una barra divisoria entre ellos. La fracción m / n representa m ^partes de un todo divididas en n partes iguales. Dos fracciones diferentes pueden corresponder al mismo número racional; por ejemplo , 1 / 2 y 2 / 4 son iguales , es decir ^: [ ¹⁰⁸ ]

${\displaystyle {1 \over 2}={2 \over 4}.}$

En general, ^{[ b ]}

${\displaystyle {a \over b}={c \over d}}$si y solo si${\displaystyle {a\times d}={c\times b}.}$

Si el valor absoluto de m es mayor que n (se supone que es positivo), entonces el valor absoluto de la fracción es mayor que  1 y se denomina fracción impropia o desequilibrada . ^{[ 109 ]} Las fracciones pueden ser mayores que, menores que o iguales a  1 ^{[ 107 ]} y también pueden ser positivas, negativas o  cero. El conjunto de todos los números racionales incluye los enteros, ya que cada entero se puede escribir como una fracción con denominador  1. Por ejemplo,  −7 se puede escribir ⁠ −7 / 1 ⁠ . El símbolo para los números racionales es Q (de cociente ), también escrito ${\displaystyle \mathbb {Q} }$. ^{[ 97 ]}

El símbolo de los números reales es R , también escrito como${\displaystyle \mathbb {R} .}$^{[ 97 ]} Incluyen todos los números de medida. Cada número real corresponde a un punto en larecta numérica. El tratamiento de los números reales negativos se rige por las reglas generales de la aritmética y su denotación consiste simplemente en anteponer unsigno menos, por ejemplo, −123.456.

Cada dígito a la derecha del punto decimal tiene un valor posicional equivalente a una décima parte del valor posicional del dígito a su izquierda. Por ejemplo, 123.456 representa 123456 / 1000 , o , en palabras, cien, dos decenas, tres unidades, cuatro décimas, cinco centésimas y seis milésimas. Un número real solo puede expresarse con un número finito de dígitos decimales si es racional y su parte fraccionaria tiene un denominador cuyos factores primos son 2 o 5, o ambos, ya que estos son los factores primos de 10, la base del sistema decimal. Así, por ejemplo, un medio es 0.5, un quinto es 0.2, una décima es 0.1 y una quincuagésima es 0.02.

Números irracionales

Para los números reales que no son racionales, representarlos como decimales requeriría una secuencia infinita de dígitos variables a la derecha del punto decimal. Estos números reales se llaman irracionales . Un famoso número real irracional es π , ^{[ 58 ]} la razón entre la circunferencia de cualquier círculo y su diámetro . Cuando pi se escribe como

${\displaystyle \pi =3.14159265358979\dots ,}$

Como a veces sucede, los puntos suspensivos no significan que los decimales se repitan (no lo hacen), sino que no tienen fin. Se ha demostrado que π es irracional . Otro número bien conocido, que se ha demostrado que es un número real irracional, es

${\displaystyle {\sqrt {2}}=1.41421356237\dots ,}$

la raíz cuadrada de 2 , es decir, el único número real positivo cuyo cuadrado es 2. ^{[ 113 ]} Ambos números se han aproximado (por computadora) a billones ( 1 billón = 10 ¹² = 1 000 000 000 000 ) de dígitos. ^{[ 114 ] [ 115 ]}

Casi todos los números reales son irracionales y, por lo tanto, no tienen patrones repetitivos ni un equivalente decimal. Solo pueden aproximarse mediante números decimales , que representan números reales redondeados o truncados , en los que se coloca un punto decimal a la derecha del dígito con valor posicional  1. Cualquier número redondeado o truncado es necesariamente un número racional, de los cuales solo existen unos pocos .

Todas las mediciones son, por su naturaleza, aproximaciones y siempre tienen un margen de error . Por lo tanto, 123,456 se considera una aproximación de cualquier número real en el intervalo :

${\displaystyle \left[{\tfrac {12345{\mathit {55}}}{10000}},{\tfrac {12345{\mathit {65}}}{10000}}\right)}$

al redondear a tres decimales, o de cualquier número real en el intervalo:

${\displaystyle \left[{\tfrac {123456}{1000}},{\tfrac {123457}{1000}}\right)}$

Al truncar después del tercer decimal, se deben eliminar los dígitos que sugieren una precisión mayor que la que realmente proporciona la medición. Los dígitos restantes se denominan dígitos significativos .

Por ejemplo, las mediciones con regla rara vez se pueden realizar sin un margen de error de al menos 0,001 m . Si los lados de un rectángulo se miden como 1,23  m y 4,56  m, entonces la multiplicación da como resultado un área para el rectángulo entre 5,614591 m² ^y 5,603011 m² ^. Dado que ni siquiera se conserva el segundo dígito después del punto decimal, los dígitos subsiguientes no son significativos . Por lo tanto, el resultado generalmente se redondea a 5,61 ^m² . ^{[ 117 ]}

Pasando a un nivel de abstracción mayor, los números reales se pueden extender a los números complejos . El conjunto completo de soluciones de un polinomio de grado dos o superior puede incluir las raíces cuadradas de números negativos. (Un ejemplo es${\displaystyle x^{2}+1=0}$. ^{[ 119 ]} ) Para representar esto convenientemente, la raíz cuadrada de  −1 se denota por i , un símbolo asignado por Leonhard Euler llamado unidad imaginaria . ^{[ 120 ]} Por lo tanto, los números complejos consisten en todos los valores de la forma:

${\displaystyle \,a+bi}$

donde a y b son números reales. Por ello, los números complejos corresponden a puntos en el plano complejo , un espacio vectorial de dos dimensiones reales . En la expresión a + bi , el número real a se denomina parte real y b se denomina parte imaginaria . ^{[ 120 ]}

Si la parte real de un número complejo es  0, entonces el número se llama número imaginario o se denomina puramente imaginario ; ^{[ 120 ]} si la parte imaginaria es  0, entonces el número es un número real. Por lo tanto, los números reales son un subconjunto de los números complejos. Si las partes real e imaginaria de un número complejo son ambas enteras, entonces el número se llama entero gaussiano . ^{[ 121 ]} El símbolo para los números complejos es C o${\displaystyle \mathbb {C} }$. ^{[ 97 ]}

El teorema fundamental del álgebra afirma que los números complejos forman un cuerpo algebraicamente cerrado , lo que significa que todo polinomio con coeficientes complejos tiene una raíz en los números complejos. ^{[ 122 ]} Al igual que los números reales, los números complejos forman un cuerpo , que es completo , pero a diferencia de los números reales, no está ordenado . ^{[ 123 ]} Es decir, no hay un significado consistente que se pueda asignar al decir que i es mayor que  1, ni hay ningún significado en decir que i es menor que  1. En términos técnicos, los números complejos carecen de un orden total que sea compatible con las operaciones de cuerpo .

El análisis complejo es la rama del análisis matemático que investiga las funciones de los números complejos. Es útil para la solución de problemas físicos y se utiliza ampliamente en las matemáticas modernas, la ingeniería y las ciencias. Algunos ejemplos de aplicaciones incluyen la dinámica de fluidos , la teoría de control , el procesamiento de señales , la teoría de números y la resolución de ecuaciones diferenciales . ^{[ 124 ]} Los números complejos parecen ser un aspecto fundamental de la mecánica cuántica ; no se puede formular utilizando únicamente números reales. ^{[ 125 ]}

Un número par es un entero que es "divisible exactamente" por dos, es decir, divisible por dos sin resto ; un número impar es un entero que no es par. ^{[ 126 ]} (El término antiguo "divisible exactamente" ahora casi siempre se abrevia como " divisible "). Esta propiedad de un entero se llama paridad . ^{[ 127 ]} Cualquier número impar n se puede construir mediante la fórmula n = 2 k + 1, para un entero k adecuado . Comenzando con k = 0, los primeros números impares no negativos son {1, 3, 5, 7, ...}. Cualquier número par m tiene la forma m = 2 k donde k es nuevamente un entero . De manera similar, los primeros números pares no negativos son {0, 2, 4, 6, ...}. El producto de un número par por un entero es otro número par; solo el producto de un número impar por un número impar es otro número impar. ^{[ 126 ]}

Un número primo , a menudo abreviado como simplemente primo , es un entero mayor que 1 que no es el producto de dos enteros positivos menores. Los primeros números primos son 2, 3, 5, 7 y 11. No existe una fórmula tan simple como la que se usa para números pares e impares para generar los números primos. Una clase especial son los primos de Mersenne , que son números primos de la forma 2ⁿ ⁻ 1 , donde n es un entero positivo. Estos ostentan muchos récords de los números primos más grandes descubiertos. ^{[ 129 ]}

El estudio de los números primos ha dado lugar a muchas preguntas, de las cuales solo algunas han sido respondidas. El estudio de estas preguntas pertenece a la teoría de números . ^{[ 12 ]} La conjetura de Goldbach es un ejemplo de una pregunta aún sin respuesta: "¿Es todo número par la suma de dos números primos?" ^{[ 89 ]} Una pregunta respondida, sobre si todo entero mayor que uno es producto de primos de una sola manera, excepto por una reordenación de los primos, fue confirmada; esta afirmación demostrada se conoce como el teorema fundamental de la aritmética . Una demostración aparece en los Elementos de Euclides . ^{[ 86 ]}

En el mundo moderno, los números primos tienen varias aplicaciones importantes, incluyendo criptografía de clave pública , firma digital , generación de números pseudoaleatorios , procesamiento de señales y filtrado de datos para procesamiento de imágenes digitales . ^{[ 130 ]} Los números primos son útiles en tablas hash ^{[ 131 ]} y códigos de detección de errores (como los utilizados en ISBN e ISSN ). ^{[ 132 ]}

Muchos subconjuntos de los números naturales han sido objeto de estudios específicos y han recibido nombres, a menudo epónimos, en honor al primer matemático que los estudió. Ejemplos de tales conjuntos de enteros son los números de Bernoulli , ^{[ 133 ]} los números de Fibonacci , los números de Lucas , ^{[ 134 ]} y los números perfectos . ^{[ 135 ]} Para más ejemplos, véase Secuencia de enteros .

Los números algebraicos son aquellos que son solución de una ecuación polinómica con coeficientes enteros. Los números reales que no son racionales se denominan números irracionales . Los números complejos que no son algebraicos se denominan números trascendentales . ^{[ 62 ]} Los números algebraicos que son solución de una ecuación polinómica mónica con coeficientes enteros se denominan enteros algebraicos . ^{[ 136 ]}

Un período es un número complejo que puede expresarse como la integral de una función algebraica sobre un dominio algebraico . Los períodos constituyen una clase de números que incluye, además de los números algebraicos, muchas constantes matemáticas bien conocidas , como el número π . El conjunto de períodos forma un anillo numerable y sirve de puente entre los números algebraicos y los trascendentales. ^{[ 137 ] [ 138 ]}

Los periodos pueden extenderse permitiendo que el integrando sea el producto de una función algebraica y la exponencial de una función algebraica. Esto da lugar a otro anillo numerable: los periodos exponenciales. El número e, así como la constante de Euler, son periodos exponenciales. ^{[ 137 ] [ 139 ]}

Motivados por los problemas clásicos de construcciones con regla y compás , los números construibles son aquellos números complejos cuyas partes real e imaginaria pueden construirse utilizando regla y compás, partiendo de un segmento dado de longitud unitaria, en un número finito de pasos. ^{[ 140 ]} Un tema relacionado son los números de origami , que son puntos construidos mediante el plegado de papel. ^{[ 141 ]}

Un número computable , también conocido como número recursivo , es un número real tal que existe un algoritmo que, dado un número positivo n como entrada, produce los primeros n dígitos de la representación decimal del número computable. ^{[ 142 ]} Se pueden dar definiciones equivalentes utilizando funciones μ-recursivas , máquinas de Turing o cálculo λ . ^{[ 143 ]} Los números computables son estables para todas las operaciones aritméticas usuales, incluido el cálculo de las raíces de un polinomio , y por lo tanto forman un cuerpo real cerrado que contiene los números algebraicos reales . ^{[ 144 ]}

Los números computables pueden considerarse como los números reales que pueden representarse con exactitud en una computadora: un número computable se representa con precisión mediante sus primeros dígitos y un programa para calcular los dígitos restantes. Sin embargo, en la práctica, los números computables rara vez se utilizan. Una razón es que no existe un algoritmo para comprobar la igualdad de dos números computables. Más precisamente, no existe ningún algoritmo que, a partir de cualquier número computable, determine en todos los casos si este número es igual a cero o no.

El conjunto de números computables tiene la misma cardinalidad que los números naturales. Por lo tanto, casi todos los números reales son no computables. Sin embargo, es muy difícil generar explícitamente un número real que no sea computable.

Los números p -ádicos pueden tener expansiones infinitamente largas a la izquierda del punto decimal, del mismo modo que los números reales pueden tener expansiones infinitamente largas a la derecha. El sistema numérico resultante depende de la base utilizada para los dígitos: cualquier base es posible, pero una base de números primos proporciona las mejores propiedades matemáticas. El conjunto de los números p -ádicos contiene los números racionales, ^{[ 145 ] [ 146 ]} pero no está contenido en los números complejos.

Los elementos de un cuerpo de funciones algebraicas sobre un cuerpo finito y los números algebraicos comparten muchas propiedades (véase la analogía del cuerpo de funciones ). Por lo tanto, los teóricos de números suelen considerarlos números. Los números p -ádicos desempeñan un papel importante en esta analogía.

Los sistemas numéricos de dimensiones superiores pueden construirse a partir de los números reales.${\displaystyle \mathbb {R} }$de una forma que generaliza la construcción de los números complejos. A veces se les llama números hipercomplejos y no están incluidos en el conjunto de los números complejos. Incluyen los cuaterniones.${\displaystyle \mathbb {H} }$, introducido por Sir William Rowan Hamilton , en el que la multiplicación no es conmutativa ; ^{[ 147 ]} los octoniones${\displaystyle \mathbb {O} }$, en la que la multiplicación no es asociativa además de no ser conmutativa; ^{[ 148 ]} y los sedeniones${\displaystyle \mathbb {S} }$, en la que la multiplicación no es alternativa , ni asociativa ni conmutativa. ^{[ 149 ]} Los números hipercomplejos incluyen una unidad real junto con${\displaystyle 2^{n}-1}$unidades imaginarias, para las cuales n es un entero no negativo. Por ejemplo, los cuaterniones generalmente se pueden representar usando la forma:

$${\displaystyle a+b\,\mathbf {i} +c\,\mathbf {j} +d\,\mathbf {k} ,}$$

donde los coeficientes a , b , c , d son números reales, e i , j , k son 3 unidades imaginarias diferentes. ^{[ 148 ]}

Cada sistema de números hipercomplejos es un subconjunto del siguiente sistema de números hipercomplejos de doble dimensión obtenido mediante la construcción de Cayley-Dickson . ^{[ 150 ]} Por ejemplo, los cuaterniones de 4 dimensiones.${\displaystyle \mathbb {H} }$son un subconjunto de los octoniones de 8 dimensiones${\displaystyle \mathbb {O} }$, que a su vez son un subconjunto de los sedeniones de 16 dimensiones${\displaystyle \mathbb {S} }$, a su vez un subconjunto de los trigintaduoniones de 32 dimensiones${\displaystyle \mathbb {T} }$y hasta el infinito con${\displaystyle 2^{n}}$dimensiones, donde n es cualquier entero no negativo. Incluyendo los números complejos y reales y sus subconjuntos, esto se puede expresar simbólicamente como: ^{[ 150 ]}

${\displaystyle \mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C} \subset \mathbb {H} \subset \mathbb {O} \subset \mathbb {S} \subset \mathbb {T} \subset \cdots }$

Alternativamente, partiendo de los números reales${\displaystyle \mathbb {R} }$, que tienen cero unidades complejas, esto se puede expresar como

${\displaystyle {\mathcal {C}}_{0}\subset {\mathcal {C}}_{1}\subset {\mathcal {C}}_{2}\subset {\mathcal {C}}_{3}\subset {\mathcal {C}}_{4}\subset {\mathcal {C}}_{5}\subset \cdots \subset {\mathcal {C}}_{n}}$

con${\displaystyle {\mathcal {C}}_{n}}$que contiene${\displaystyle 2^{n}}$dimensiones. ^{[ 151 ]}

Los cuaterniones han demostrado ser particularmente útiles para el cálculo de rotaciones en tres dimensiones. Por ejemplo, se utilizan en sistemas de control para cohetes y aeronaves, así como en robótica, visualización por computadora, navegación y animación. ^{[ 152 ]} Los octoniones parecen tener una conexión teórica más profunda con la física, particularmente en la teoría de cuerdas , la teoría M y la supergravedad . ^{[ 153 ]}

Para trabajar con conjuntos infinitos , los números naturales se han generalizado a los números ordinales y a los números cardinales . Los primeros indican el orden del conjunto, mientras que los segundos indican su tamaño. Para conjuntos finitos, tanto los números ordinales como los cardinales se identifican con los números naturales. En el caso infinito, muchos números ordinales corresponden al mismo número cardinal. ^{[ 154 ]}

Los números hiperreales se utilizan en el análisis no estándar . Los hiperreales, o reales no estándar (generalmente denotados como * R ), denotan un cuerpo ordenado que es una extensión propia del cuerpo ordenado de los números reales R y satisface el principio de transferencia . Este principio permite que las afirmaciones verdaderas de primer orden sobre R se reinterpreten como afirmaciones verdaderas de primer orden sobre * R . ^{[ 155 ]}

Los números superreales y surrealistas extienden los números reales al agregar números infinitesimalmente pequeños y números infinitamente grandes, pero aún así forman cuerpos . ^{[ 156 ] [ 157 ]}