Infinito real y potencial

En la filosofía de las matemáticas , la abstracción del infinito actual , también llamado infinito completo , ^{[ 1 ]} implica entidades infinitas como objetos dados, reales y completos. El infinito actual se contrapone al infinito potencial , en el que un proceso sin fin (como «sumar 1 al número anterior») produce una secuencia sin último elemento, y donde cada resultado individual es finito y se alcanza en un número finito de pasos. Este tipo de proceso se da en matemáticas, por ejemplo, en las formalizaciones estándar de las nociones de inducción matemática , series infinitas , productos infinitos y límites . ^{[ 2 ]}

El concepto de infinito real fue introducido en matemáticas a finales del siglo XIX por Georg Cantor con su teoría de conjuntos infinitos , y posteriormente formalizado en la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel . Esta teoría, actualmente aceptada como fundamento de las matemáticas, contiene el axioma del infinito , que implica que los números naturales forman un conjunto (necesariamente infinito). Un gran descubrimiento de Cantor es que, si se aceptan los conjuntos infinitos, existen diferentes tamaños ( cardinalidades ) de conjuntos infinitos y, en particular, la cardinalidad del continuo de los números reales es estrictamente mayor que la cardinalidad de los números naturales.

El término griego antiguo para el infinito potencial o impropio era apeiron (ilimitado o indefinido), en contraste con el infinito real o propio, aphorismenon . ^{[ 3 ]} Apeiron se opone a aquello que tiene un peras (límite). Estas nociones se denotan hoy como infinito potencial e infinito real , respectivamente.

Anaximandro (610-546  a. C.) sostenía que el apeiron era el principio o elemento principal que componía todas las cosas. Claramente, el «apeiron» era una especie de sustancia básica. La noción de apeiron de Platón es más abstracta, relacionada con la variabilidad indefinida. Los principales diálogos en los que Platón aborda el «apeiron» son los últimos diálogos de Parménides y el Filebo .

Aristóteles resume las opiniones de sus predecesores sobre el infinito de la siguiente manera:

«Solo los pitagóricos sitúan lo infinito entre los objetos de los sentidos (no consideran que el número sea separable de estos) y afirman que lo que está fuera del cielo es infinito. Platón, en cambio, sostiene que no hay cuerpo fuera (las Ideas no están fuera porque no están en ninguna parte), y sin embargo, que lo infinito está presente no solo en los objetos de los sentidos, sino también en las Ideas.» (Aristóteles) ^{[ 4 ]}

El tema fue planteado por la consideración que hizo Aristóteles del apeiron, en el contexto de las matemáticas y la física (el estudio de la naturaleza):

«El infinito resulta ser lo opuesto a lo que la gente dice que es. No es "aquello que no tiene nada más allá de sí mismo" lo que es infinito, sino "aquello que siempre tiene algo más allá de sí mismo"». (Aristóteles) ^{[ 5 ]}

La creencia en la existencia del infinito proviene principalmente de cinco consideraciones: ^{[ 6 ]}

1. Por la naturaleza del tiempo, pues es infinito.
2. De la división de magnitudes –pues los matemáticos también utilizan la noción de infinito.
3. Si el devenir y el perecer no se agotan, es solo porque aquello de lo que las cosas proceden es infinito.
4. Porque lo limitado siempre encuentra su límite en algo, de modo que no debe haber límite, si todo está siempre limitado por algo diferente de sí mismo.
5. Sobre todo, una razón particularmente apropiada que plantea la dificultad que todos experimentamos: no solo los números, sino también las magnitudes matemáticas y lo que está fuera del cielo se consideran infinitos porque nunca se agotan en nuestro pensamiento. (Aristóteles)

Aristóteles postuló que un infinito real era imposible, porque si lo fuera, algo habría alcanzado una magnitud infinita y sería «más grande que los cielos». Sin embargo, afirmó que esta imposibilidad no privaba a las matemáticas relacionadas con el infinito de su aplicabilidad, ya que los matemáticos no necesitaban el infinito para sus teoremas, sino simplemente una magnitud finita y arbitrariamente grande. ^{[ 7 ]}

La inmensa mayoría de los filósofos escolásticos se adhirieron al lema Infinitum actu non datur . Esto significa que solo existe un infinito potencial (en desarrollo, impropio, "sincategoremático"), pero no un infinito actual (fijo, propio, "categoremático") . Sin embargo, hubo excepciones, por ejemplo, en Inglaterra.

Es bien sabido que en la Edad Media todos los filósofos escolásticos defendían el "infinitum actu non datur" de Aristóteles como un principio irrefutable. ( G. Cantor ) ^{[ 9 ]}

La infinitud real existe en número, tiempo y cantidad. (J. Baconthorpe [9, p.  96])

Durante el Renacimiento y a principios de la Edad Moderna, las voces a favor de la existencia del infinito real eran bastante escasas.

El continuo en realidad consta de infinitos indivisibles ( G. Galilei [9, p.  97])

Estoy totalmente a favor del infinito real. ( GW Leibniz [9, p.  97])

Sin embargo, la mayoría de los pensadores premodernos coincidían con la conocida cita de Gauss:

Protesto contra el uso de la magnitud infinita como algo consumado, lo cual jamás está permitido en matemáticas. El infinito es simplemente una forma de hablar; su verdadero significado es un límite al que ciertas razones se aproximan indefinidamente, mientras que otras pueden aumentar sin restricción alguna. ^{[ 10 ]} ( C.F. Gauss [en una carta a Schumacher , 12 de julio de 1831])

Actualmente, el concepto de infinito real es comúnmente aceptado en matemáticas. Este cambio drástico fue iniciado por Bolzano y Cantor en el siglo XIX, y fue uno de los orígenes de la crisis fundacional de las matemáticas .

Bernard Bolzano , quien introdujo la noción de conjunto (en alemán: Menge ), y Georg Cantor, quien introdujo la teoría de conjuntos , se opusieron a la actitud general. Cantor distinguió tres ámbitos del infinito: (1) el infinito de Dios (al que llamó "absolutum"), (2) el infinito de la realidad (al que llamó "naturaleza") y (3) los números y conjuntos transfinitos de las matemáticas.

Una multitud mayor que cualquier multitud finita, es decir, una multitud con la propiedad de que cada conjunto finito [de miembros del tipo en cuestión] es solo una parte de ella, la llamaré multitud infinita. (B. Bolzano [2, p.  6])

En consecuencia, distingo un infinito eterno increado o absoluto, que se debe a Dios y sus atributos, y un infinito creado o transfinito, que debe utilizarse siempre que en la naturaleza creada se deba considerar un infinito real, por ejemplo, con respecto, según mi firme convicción, al número realmente infinito de individuos creados, tanto en el universo como en nuestra tierra y, muy probablemente, incluso en cualquier porción arbitrariamente pequeña del espacio. (Georg Cantor) ^{[ 11 ]} (G. Cantor [8, p.  252])

Los números son una creación libre de la mente humana. ( R. Dedekind [3a, p.  III])

Una prueba se basa en la noción de Dios. Primero, de la suprema perfección de Dios, inferimos la posibilidad de la creación de lo transfinito; luego, de su gracia y esplendor infinitos, inferimos la necesidad de que la creación de lo transfinito haya ocurrido. (G. Cantor [3, p.  400])

Cantor distinguió dos tipos de infinito actual, el transfinito y el absoluto, sobre los cuales afirmó:

Estos conceptos deben diferenciarse estrictamente, en la medida en que el primero es ciertamente infinito , pero capaz de aumentar , mientras que el segundo es incapaz de aumentar y, por tanto, es indeterminable como concepto matemático. Este error lo encontramos, por ejemplo, en el panteísmo . (G. Cantor, Über verschiedene Standpunkte in bezug auf das aktuelle Unendliche , en Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts , págs. 375, 378) ^{[ 12 ]}

Actualmente, el concepto de infinito se acepta comúnmente en matemáticas bajo el nombre de " conjuntos infinitos ". De hecho, la teoría de conjuntos se ha formalizado, por ejemplo, como la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZF). Uno de los axiomas de ZF es el axioma del infinito , que esencialmente afirma que los números naturales forman un conjunto.

Todas las matemáticas se han reescrito en términos de ZF. En particular, las líneas , las curvas y todo tipo de espacios se definen comúnmente como conjuntos de sus puntos. Los conjuntos infinitos son tan comunes que, al considerar conjuntos finitos, esto generalmente se indica explícitamente, por ejemplo, en geometría finita o campos finitos .

El Último Teorema de Fermat, enunciado en términos de aritmética elemental , fue demostrado más de 350 años después. La demostración original de Wiles no solo aprovechó al máximo el teorema ZF con el axioma de elección , sino que también empleó implícitamente un axioma adicional que implica la existencia de conjuntos muy grandes. Si bien este último axioma fue posteriormente descartado, el concepto de conjuntos infinitos se sigue utilizando de forma fundamental. Esto no impidió que la comunidad matemática reconociera la validez de la demostración.

Algunos trabajos recientes sobre infinitos potenciales utilizan el grossone , que puede representar el valor "total" de un infinito potencial y permite realizar algunas operaciones aritméticas con él.

El significado matemático del término "actual" en infinito actual es sinónimo de definido , completo , extendido o existencial , ^{[ 13 ]} pero no debe confundirse con existencia física . Por lo tanto, la cuestión de si los números naturales o reales forman conjuntos definidos es independiente de la cuestión de si las cosas infinitas existen físicamente en la naturaleza .

Los defensores del intuicionismo , desde Kronecker en adelante, rechazan la afirmación de que existan infinitos objetos o conjuntos matemáticos. En consecuencia, reconstruyen los fundamentos de las matemáticas sin presuponer la existencia de infinitos reales. Por otro lado, el análisis constructivo sí acepta la existencia de la infinitud completa de los números enteros.

Para los intuicionistas, el infinito se describe como potencial ; términos sinónimos de esta noción son devenir o constructivo . ^{[ 13 ]} Por ejemplo, Stephen Kleene describe la noción de cinta de una máquina de Turing como "una 'cinta' lineal, (potencialmente) infinita en ambas direcciones". ^{[ 14 ]} Para acceder a la memoria en la cinta, una máquina de Turing mueve un cabezal de lectura a lo largo de ella en un número finito de pasos: la cinta es, por lo tanto, solo "potencialmente" infinita, ya que, si bien siempre existe la posibilidad de dar otro paso, el infinito en sí mismo nunca se alcanza realmente. ^{[ 15 ]}

Los matemáticos generalmente aceptan los infinitos actuales. ^{[ 16 ]} Georg Cantor es el matemático más importante que defendió los infinitos actuales. Decidió que es posible que los números naturales y reales sean conjuntos definidos, y que si uno rechaza el axioma de finitud euclidiana (que establece que las realidades, individualmente y en agregados, son necesariamente finitas), entonces no se está involucrado en ninguna contradicción .

La interpretación finitista convencional actual de los números ordinales y cardinales es que consisten en una colección de símbolos especiales y un lenguaje formal asociado , dentro del cual se pueden formular enunciados. Todos estos enunciados son necesariamente de longitud finita. La validez de las manipulaciones se basa únicamente en los principios básicos de un lenguaje formal: álgebras de términos , reescritura de términos , etc. De forma más abstracta, tanto la teoría de modelos (finitos) como la teoría de la demostración ofrecen las herramientas necesarias para trabajar con infinitos. No es necesario «creer» en el infinito para escribir expresiones algebraicamente válidas que empleen símbolos para el infinito.

• arbitrariamente grande
• Cardinalidad del continuo

• Aristóteles , Física
• Bernard Bolzano , 1851, Paradoxien des Unendlichen , Reclam, Leipzig.
• Bernard Bolzano 1837, Wissenschaftslehre , Sulzbach.
• Georg Cantor en E. Zermelo (ed.) 1966, Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts , Olms, Hildesheim.
• Richard Dedekind en 1960 Was sind und was sollen die Zahlen? , Vieweg, Braunschweig.
• Adolf Abraham Fraenkel 1923, Einleitung in die Mengenlehre , Springer, Berlín.
• Adolf Abraham Fraenkel, Y. Bar-Hillel, A. Levy 1984, Fundamentos de la teoría de conjuntos , 2ª ed., North Holland, Ámsterdam Nueva York.
• Stephen C. Kleene, 1952 (edición de 1971, 10.ª reimpresión), Introducción a la metamatemática , North-Holland Publishing Company, Ámsterdam, Nueva York. ISBN 0-444-10088-1.
• H. Meschkowski 1981, Georg Cantor: Leben, Werk und Wirkung (2. Aufl.), BI, Mannheim.
• H. Meschkowski, W. Nilson (Ed.) 1991, Georg Cantor – Briefe , Springer, Berlín.
• Abraham Robinson 1979, Artículos seleccionados , vol. 2, WAJ Luxemburgo, S. Koerner (ed.), Holanda Septentrional, Ámsterdam.