Glosario de símbolos matemáticos

Un símbolo matemático es una figura o combinación de figuras que se utiliza para representar un objeto matemático , una acción sobre objetos matemáticos, una relación entre objetos matemáticos o para estructurar los demás símbolos que aparecen en una fórmula o expresión matemática . De forma más formal, un símbolo matemático es cualquier grafema utilizado en fórmulas y expresiones matemáticas. Dado que las fórmulas y expresiones están constituidas íntegramente por símbolos de diversos tipos, se necesitan muchos símbolos para expresar todas las matemáticas.

Los símbolos más básicos son los dígitos decimales ( 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 ) y las letras del alfabeto latino . Los dígitos decimales se utilizan para representar números mediante el sistema de numeración indoarábigo . Históricamente, las letras mayúsculas se utilizaban para representar puntos en geometría, y las minúsculas para variables y constantes . Las letras se utilizan para representar muchos otros tipos de objetos matemáticos . A medida que ha aumentado el número de estos tipos, también se han empezado a utilizar el alfabeto griego y algunas letras hebreas . Para más símbolos, también se utilizan otros tipos de letra, principalmente negrita .${\displaystyle \mathbf {a} }$,​​${\displaystyle \mathbf {A} }$,​​${\displaystyle \mathbf {b} }$,​​${\displaystyle \mathbf {B} }$, ... , tipografía de escritura${\displaystyle {\mathcal {A}}}$,​​${\displaystyle {\mathcal {B}}}$⁠ , ... (la tipografía cursiva en minúsculas se usa raramente debido a la posible confusión con la tipografía estándar), fraktur alemán ⁠${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$,​​${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$,​​${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$,​​${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$, ..., y pizarra en negrita${\displaystyle \mathbb {N} }$,​​${\displaystyle \mathbb {Z} }$,​​${\displaystyle \mathbb {Q} }$,​​${\displaystyle \mathbb {R} }$,​​${\displaystyle \mathbb {C} }$,​​${\displaystyle \mathbb {H} }$,​​${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$( Otras letras rara vez se usan en esta tipografía, o su uso es poco convencional). Es común usar alfabetos, fuentes y tipografías para agrupar símbolos por tipo (por ejemplo, la negrita se usa a menudo para vectores y las mayúsculas para matrices ).

El uso de letras latinas y griegas específicas como símbolos para denotar objetos matemáticos no se describe en este artículo. Para tales usos, consulte Variable § Nombres de variables convencionales y Lista de constantes matemáticas . Sin embargo, algunos símbolos que se describen aquí tienen la misma forma que la letra de la que se derivan, como${\displaystyle \textstyle \prod {}}$y​${\displaystyle \textstyle \sum {}}$.​

Estas letras por sí solas no son suficientes para las necesidades de los matemáticos, y se utilizan muchos otros símbolos. Algunos tienen su origen en signos de puntuación y diacríticos tradicionalmente utilizados en tipografía ; otros, en la deformación de formas de letras , como en los casos de${\displaystyle \in }$y​${\displaystyle \forall }$Otros, como + y = , fueron diseñados especialmente para las matemáticas.

• Normalmente, las entradas de un glosario se estructuran por temas y se ordenan alfabéticamente. Esto no es posible en este caso, ya que no existe un orden natural para los símbolos, y muchos de ellos se utilizan en distintas áreas de las matemáticas con significados diferentes, a menudo completamente inconexos. Por lo tanto, fue necesario tomar algunas decisiones arbitrarias, que se resumen a continuación.
• El artículo se divide en secciones ordenadas según su nivel de complejidad técnica. Las primeras secciones contienen los símbolos más comunes en los textos matemáticos, conocidos incluso por principiantes. Por otro lado, las últimas secciones incluyen símbolos específicos de ciertas áreas de las matemáticas, que suelen ignorarse fuera de ellas. Sin embargo, la extensa sección sobre paréntesis se ubica casi al final, a pesar de que la mayoría de sus entradas son elementales: esto facilita la búsqueda de un símbolo mediante el desplazamiento.
• La mayoría de los símbolos tienen múltiples significados que generalmente se distinguen por el área de las matemáticas en la que se utilizan o por su sintaxis , es decir, por su posición dentro de una fórmula y la naturaleza de las otras partes de la fórmula que están cerca de ellos.
• Dado que es posible que los lectores desconozcan el área de las matemáticas a la que pertenece el símbolo que buscan, los diferentes significados de un símbolo se agrupan en la sección correspondiente a su significado más común.
• Cuando el significado depende de la sintaxis, un símbolo puede tener diferentes entradas según la sintaxis. Para resumir la sintaxis en el nombre de la entrada, el símbolo${\displaystyle \Box }$Se utiliza para representar las partes adyacentes de una fórmula que contiene el símbolo. Véase el apartado §  Corchetes para ver ejemplos de uso.
• La mayoría de los símbolos tienen dos versiones impresas. Se pueden mostrar como caracteres Unicode o en formato LaTeX . Con la versión Unicode, usar buscadores y copiar y pegar resulta más sencillo. Por otro lado, la representación en LaTeX suele ser mucho mejor (más estética) y generalmente se considera un estándar en matemáticas. Por lo tanto, en este artículo, se utiliza la versión Unicode de los símbolos (cuando es posible) para etiquetar su entrada, y la versión LaTeX para su descripción. Así pues, para saber cómo escribir un símbolo en LaTeX, basta con consultar el código fuente del artículo.
• Para la mayoría de los símbolos, el nombre de la entrada es el símbolo Unicode correspondiente. Por lo tanto, para buscar la entrada de un símbolo, basta con escribir o copiar el símbolo Unicode en el cuadro de búsqueda. Del mismo modo, cuando es posible, el nombre de la entrada de un símbolo también funciona como ancla , lo que permite crear enlaces fácilmente desde otro artículo de Wikipedia. Cuando el nombre de una entrada contiene caracteres especiales como [ , ] y | , también existe un ancla, pero es necesario consultar el código fuente del artículo para saberlo.
• Finalmente, cuando existe un artículo sobre el símbolo en sí (no sobre su significado matemático), se incluye un enlace en el nombre de la entrada.

+ ( signo más )

1. Indica suma y se lee como más ; por ejemplo, 3 + 2 .  

2. Indica que un número es positivo y se lee como más . Redundante, pero a veces se usa para enfatizar que un número es positivo , especialmente cuando otros números en el contexto son o pueden ser negativos; por ejemplo, +2 .  

3. A veces se usa en lugar de  ${\displaystyle \sqcup }$para una unión disjunta de conjuntos .

− ( signo menos )

1. Denota resta y se lee como menos ; por ejemplo, 3 − 2 .  

2. Denota el inverso aditivo y se lee como menos , el negativo de , o el opuesto de ; por ejemplo, −2 .  

3. También se utiliza en lugar de \ para denotar el complemento de la teoría de conjuntos ; véase \ en § Teoría de conjuntos .   

× ( signo de multiplicación )

1. En aritmética elemental , denota multiplicación y se lee como veces ; por ejemplo, 3 × 2 .  

2. En geometría y álgebra lineal , denota el producto vectorial .  

3. En teoría de conjuntos y teoría de categorías , denota el producto cartesiano y el producto directo . Véase también × en § Teoría de conjuntos .   

· ( punto )

1. Denota multiplicación y se lee como veces ; por ejemplo, 3 ⋅ 2 .  

2. En geometría y álgebra lineal , denota el producto escalar .  

3. Marcador de posición utilizado para reemplazar un elemento indeterminado. Por ejemplo, decir "el valor absoluto se denota por | · | " es quizás más claro que decir que se denota como | | .     

± ( signo más-menos )

1. Indica alternativas de un signo más o un signo menos.  

2. Indica el rango de valores que puede tener una cantidad medida; por ejemplo, 10 ± 2 indica un valor desconocido que se encuentra entre 8 y 12 .  

∓ ( signo menos-más )

Usado junto con ± , denota el signo opuesto; es decir, + si ± es − , y − si ± es + .

÷ ( signo de división )

Aunque se usa ampliamente para denotar división en países de habla inglesa , ya no se usa comúnmente en matemáticas y su uso "no se recomienda". ^{[ 1 ]} En algunos países, puede indicar resta.

: ( dos puntos )

1. Indica la razón de dos cantidades.  

2. En algunos países, puede denotar división .  

3. En la notación de construcción de conjuntos , se utiliza como separador que significa "tal que"; véase {□ : □} .   

/ ( barra )

1. Indica división y se lee como dividido por o sobre . A menudo se reemplaza por una barra horizontal. Por ejemplo, 3 / 2 o ⁠  ${\displaystyle {\tfrac {3}{2}}}$.​

2. Indica una estructura de cociente . Por ejemplo, conjunto de cocientes , grupo de cocientes , categoría de cocientes , etc.  

3. En teoría de números y teoría de campos ,  ${\displaystyle F/E}$denota una extensión de campo , donde F es un campo de extensión del campo E.

4. En teoría de la probabilidad , denota una probabilidad condicional . Por ejemplo,  ${\displaystyle P(A/B)}$denota la probabilidad de A , dado que ocurre B. Generalmente se denota ⁠${\displaystyle P(A\mid B)}$: ver " | ".

√ ( símbolo de raíz cuadrada )

Denota raíz cuadrada y se lee como la raíz cuadrada de . Rara vez se usa en matemáticas modernas sin una barra horizontal que delimita el ancho de su argumento (ver el siguiente punto). Por ejemplo, √2 .

√   (símbolo radical)

1. Denota raíz cuadrada y se lee como la raíz cuadrada de . Por ejemplo ,  ${\displaystyle {\sqrt {3+2}}}$.​

2. Con un número entero mayor que 2 como superíndice izquierdo, denota una raíz n- ésima . Por ejemplo,  ${\displaystyle {\sqrt[{7}]{3}}}$denota la séptima raíz de 3.

= ( signo igual )

1. Denota igualdad .  

2. Se utiliza para nombrar un objeto matemático en una oración como " dejemos  ${\displaystyle x=E}$⁠ ", donde E es una expresión . Véase también ≝ , ≜ o := .

≝ , ≜ ,:= 

Cualquiera de estos se utiliza a veces para nombrar un objeto matemático . Por lo tanto ,${\displaystyle x\triangleq E}$⁠ ,${\displaystyle x\mathrel {\stackrel {\scriptscriptstyle \mathrm {def} }{=}} E}$,${\displaystyle x\mathrel {:=} E}$y${\displaystyle E\mathrel {=:} x}$cada una es una abreviatura de la frase "let ⁠${\displaystyle x=E}$⁠ ", donde ⁠${\displaystyle E}$⁠ es una expresión y ⁠${\displaystyle x}$es una variable .

≠ ( signo de desigualdad )

Indica desigualdad y significa "no igual".

≈ ( signo de igualdad aproximada )

El símbolo más común para denotar igualdad aproximada . Por ejemplo ,${\displaystyle \pi \approx 3.14159}$.​

~ ( tilde )

1. Entre dos números, se usa en lugar de ≈ para significar "aproximadamente igual" o "tiene el mismo orden de magnitud que".  

2. Indica la equivalencia asintótica de dos funciones o secuencias.  

3. Se utiliza a menudo para denotar otros tipos de similitud, por ejemplo, similitud de matrices o similitud de formas geométricas .  

4. Notación estándar para una relación de equivalencia .  

5. En probabilidad y estadística , puede especificar la distribución de probabilidad de una variable aleatoria . Por ejemplo,  ${\displaystyle X\sim N(0,1)}$significa que la distribución de la variable aleatoria X es normal estándar . ^{[ 2 ]}

6. Notación para la proporcionalidad . Véase también ∝ para un símbolo menos ambiguo.  

≡ ( barra triple )

1. Denota una identidad ; es decir, una igualdad que es verdadera independientemente de los valores que se les den a las variables que aparecen en ella.  

2. En teoría de números , y más específicamente en aritmética modular , denota la congruencia módulo un entero.  

3. Puede denotar una equivalencia lógica .  

≅

1. Puede denotar un isomorfismo entre dos estructuras matemáticas y se lee como "es isomorfo a".  

2. En geometría , puede denotar la congruencia de dos figuras geométricas (es decir, la igualdad salvo un desplazamiento ), y se lee "es congruente con".  

< ( signo menor que )

1. Desigualdad estricta entre dos números; significa y se lee como " menor que ".  

2. Se utiliza comúnmente para denotar cualquier orden estricta .  

3. Entre dos grupos , puede significar que el primero es un subgrupo propio del segundo.  

> ( signo de mayor que )

1. Desigualdad estricta entre dos números; significa y se lee como " mayor que ".  

2. Se utiliza comúnmente para denotar cualquier orden estricta .  

3. Entre dos grupos , puede significar que el segundo es un subgrupo propio del primero.  

≤

1. Significa " menor o igual que ". Es decir, cualesquiera que sean A y B , A ≤ B es equivalente a A < B o A = B.  

2. Entre dos grupos , puede significar que el primero es un subgrupo del segundo.  

≥

1. Significa " mayor o igual que ". Es decir, cualesquiera que sean A y B , A ≥ B es equivalente a A > B o A = B.  

2. Entre dos grupos , puede significar que el segundo es un subgrupo del primero.  

${\displaystyle \ll {\text{ y }}\gg }$

1. Significa " mucho menor que " y " mucho mayor que ". Generalmente, "mucho " no se define formalmente, pero significa que la cantidad menor puede despreciarse con respecto a la otra. Esto suele ocurrir cuando la cantidad menor es menor que la otra por uno o varios órdenes de magnitud .  

2. En la teoría de la medida ,  ${\displaystyle \mu \ll \nu }$significa que la medida${\displaystyle \mu }$es absolutamente continua con respecto a la medida .${\displaystyle \nu }$.​

${\displaystyle \leqq {\text{ y }}\geqq }$

Símbolos poco utilizados, generalmente sinónimos de ≤ y ≥ , respectivamente.

${\displaystyle \prec {\text{ y }}\succ }$

Se utiliza a menudo para indicar un pedido o, más generalmente, un pedido anticipado , cuando sería confuso o poco conveniente usar < y > .

∅ ( signo nulo )

Denota el conjunto vacío , y se escribe más frecuentemente como${\displaystyle \emptyset }$⁠ . Utilizando la notación de constructor de conjuntos , también se puede denotar ⁠${\displaystyle \{\}}$.​

# ( signo de número )

1. Número de elementos:  ${\displaystyle \#{}S}$puede denotar la cardinalidad del conjunto S. Una notación alternativa es${\displaystyle \vert S\vert }$; ver ;${\displaystyle \vert \square \vert }$.​

2. Primordial :  ${\displaystyle n{}\#}$denota el producto de los números primos que no son mayores que n .

3. En topología ,  ${\displaystyle M\#N}$denota la suma conectada de dos variedades o dos nudos .

∈

Denota pertenencia a un conjunto y se lee "está en", "pertenece a" o "es miembro de". Es decir,${\displaystyle x\in S}$significa que x es un elemento del conjunto S.

∉

Significa "no está en". Es decir,${\displaystyle x\notin S}$significa​${\displaystyle \neg (x\in S)}$.​

⊂

Indica inclusión de conjuntos . Sin embargo, son comunes dos definiciones ligeramente diferentes.

1.  ${\displaystyle A\subset B}$puede significar que A es un subconjunto de B y posiblemente sea igual a B ; es decir, cada elemento de A pertenece a B ; expresado como una fórmula ,${\displaystyle \forall x,\,x\in A\Rightarrow x\in B}$.​

2.  ${\displaystyle A\subset B}$puede significar que A es un subconjunto propio de B , es decir, los dos conjuntos son diferentes y cada elemento de A pertenece a B ; expresado como una fórmula ,${\displaystyle A\neq B\land \forall {}x,\,x\in A\Rightarrow x\in B}$.​

⊆

${\displaystyle A\subsetequ B}$significa que A es un subconjunto de B. Se utiliza para enfatizar que la igualdad es posible, o cuando${\displaystyle A\subset B}$significa que${\displaystyle A}$es un subconjunto propio de${\displaystyle B}$.​

⊊

${\displaystyle A\subsetneq B}$significa que A es un subconjunto propio de B. Se utiliza para enfatizar que${\displaystyle A\neq B}$o cuando${\displaystyle A\subset B}$no implica que${\displaystyle A}$es un subconjunto propio de${\displaystyle B}$.​

⊃, ⊇, ⊋

Denotemos la relación inversa de${\displaystyle \subset }$,${\displaystyle \subseteq }$, y${\displaystyle \subsetneq }$respectivamente. Por ejemplo,${\displaystyle B\supset A}$es equivalente a${\displaystyle A\subset B}$.​

∪

Denota la unión teórica de conjuntos , es decir,${\displaystyle A\cup B}$es el conjunto formado por los elementos de A y B juntos. Es decir,${\displaystyle A\cup B=\{x\mid (x\in A)\lor (x\in B)\}}$.

∩

Denota la intersección de la teoría de conjuntos , es decir,${\displaystyle A\cap B}$es el conjunto formado por los elementos de A y B. Es decir,${\displaystyle A\cap B=\{x\mid (x\in A)\land (x\in B)\}}$.

∖ ( barra invertida )

Diferencia de conjuntos ; es decir,${\displaystyle A\setminus B}$es el conjunto formado por los elementos de A que no están en B. A veces,${\displaystyle AB}$se utiliza en su lugar; véase − en §  Operadores aritméticos .

⊖ o${\displaystyle \triangle }$

Diferencia simétrica : es decir,${\displaystyle A\ominus B}$o${\displaystyle \ A\operatorname {\triangle } B\ }$es el conjunto formado por los elementos que pertenecen exactamente a uno de los dos conjuntos A y B.

${\displaystyle \complement }$

1. Con un subíndice, denota un complemento del conjunto : es decir, si ⁠  ${\displaystyle B\subsetae}$⁠ , entonces ⁠${\displaystyle \complement _{A}B=A\setminus B}$.​

2. Sin subíndice, denota el complemento absoluto ; es decir ,  ${\displaystyle \complement A=\complement _{U}A}$⁠ , donde U es un conjunto que contiene todos los conjuntos posibles que se están considerando actualmente, definidos implícitamente por el contexto. Este conjunto U a veces se denomina universo del discurso .

3. Usado como superíndice en un símbolo de conjunto, denota el complemento de ese conjunto; es decir,  ${\displaystyle \ A^{\complemento }=U\ \backslash \ A\ ,}$donde U es el conjunto universal, como en la definición  2.

× ( signo de multiplicación )

Véase también × en §  Operadores aritméticos .

1. Denota el producto cartesiano de dos conjuntos. Es decir,  ${\displaystyle A\times B}$es el conjunto formado por todos los pares de un elemento de A y un elemento de B.

2. Denota el producto directo de dos estructuras matemáticas del mismo tipo, que es el producto cartesiano de los conjuntos subyacentes, equipados con una estructura del mismo tipo. Por ejemplo, producto directo de anillos , producto directo de espacios topológicos .  

3. En teoría de categorías , denota el producto directo (a menudo llamado simplemente producto ) de dos objetos, que es una generalización de los conceptos anteriores de producto.  

${\displaystyle \sqcup }$

Denota la unión disjunta . Es decir, si A y B son conjuntos, entonces${\displaystyle A\sqcup B=\left(A\times \{i_{A}\}\right)\cup \left(B\times \{i_{B}\}\right)}$es un conjunto de pares donde i _A e i _B son índices distintos que discriminan a los miembros de A y B en ⁠${\displaystyle A\sqcup B}$.​

${\displaystyle \bigsqcup {\text{ o }}\coprod }$

1. Se utiliza para la unión disjunta de una familia de conjuntos, como en  ${\textstyle \bigsqcup _{i\in I}A_{i}.}$

2. Denota el coproducto de estructuras matemáticas o de objetos en una categoría .  

${\displaystyle \leftarrow {\text{ o }}\rightarrow }$

Significa "Muestra de". Denota muestreo aleatorio (probabilístico o de otro tipo) ^{[ 3 ] [ 4 ]} , como en${\displaystyle ~~a\leftarrow A~~{\text{o}}~~\{0,1\}^{\ell }\rightarrow x}$El símbolo aplica una distribución de probabilidad específica (generalmente implícita) ^{[ 5 ]} a un conjunto al seleccionar aleatoriamente (es decir, elegir) un único valor de ese mismo conjunto. Se utiliza comúnmente en el campo de la estadística .

${\displaystyle {\stackrel {\$}{\leftarrow }}{\text{ o }}{\stackrel {\$}{\rightarrow }}}$

Denota muestreo aleatorio uniforme , como en${\displaystyle ~~a{\stackrel {\$}{\leftarrow }}A~~{\text{or}}~~\{0,1\}^{\ell }~{\stackrel {\$}{\rightarrow }}~x}$. A veces utilizado en estadística y criptografía ^{[ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]} , el símbolo aplica la distribución de probabilidad uniforme a un conjunto cuando se selecciona aleatoriamente (es decir, se elige) un solo valor de ese mismo conjunto.

• Si la parte $ que está encima de la flecha se reemplaza con el nombre de una variable, como por ejemplo:${\displaystyle {\stackrel {s}{\leftarrow }}}$La variable situada encima de la flecha corresponde a la distribución de probabilidad que debe utilizarse al muestrear un único valor del conjunto.

よ ( Hiragana Yo ) o h

Indica la incrustación de Yoneda en la teoría de categorías .

En matemáticas, se utilizan ampliamente varios símbolos lógicos , que se enumeran aquí. Para consultar los símbolos que se utilizan solo en lógica matemática o que se usan con poca frecuencia, véase la Lista de símbolos lógicos .

¬ ( sin signo )

Denota negación y se lee como "no". Si E es un predicado lógico ,${\displaystyle \neg E}$es el predicado que se evalúa como verdadero si y solo si E se evalúa como falso . Para mayor claridad, a menudo se reemplaza por la palabra "no".

∨ ( cuña descendente )

1. Denota disyunción lógica y se lee como "o". Si E y F son predicados lógicos ,  ${\displaystyle E\lor F}$es verdadero si E , F o ambas son verdaderas. A menudo se reemplaza por la palabra "o".

2. En teoría de retículos , denota la operación de unión o de límite superior mínimo .  

3. En topología , denota la suma de cuñas de dos espacios con puntos .  

∧ ( cuña )

1. Denota conjunción lógica y se lee como "y". Si E y F son predicados lógicos ,  ${\displaystyle E\land F}$es verdadero si E y F son ambos verdaderos. A menudo se reemplaza por la palabra "y" o el símbolo " & ".

2. En la teoría de retículos , denota la operación de intersección o de límite inferior máximo .  

3. En álgebra multilineal , geometría y cálculo multivariable , denota el producto exterior ( también conocido como producto exterior).  

⊻

Denota disyunción exclusiva . Si E y F son predicados lógicos ,${\displaystyle E\veebar F}$denota la disyunción exclusiva . Notaciones E XOR F y${\displaystyle E\oplus F}$También se utilizan comúnmente; véase ⊕ .

∀ ( girado A )

1. Denota cuantificación universal y se lee como "para todos". Si E es un predicado lógico ,  ${\displaystyle \forall x\;E}$significa que E es verdadera para todos los valores posibles de la variable x .

2. A menudo se usa en texto plano como abreviatura de "para todos" o "para cada".  

∃

1. Denota cuantificación existencial y se lee "existe ... tal que". Si E es un predicado lógico ,  ${\displaystyle \exists x\;E}$significa que existe al menos un valor de x para el cual E es verdadero.

2. Se usa frecuentemente en texto plano como abreviatura de "existe".  

∃!

Denota cuantificación de unicidad , es decir,${\displaystyle \exists !x\;P}$significa "existe exactamente un x tal que P (es verdadero)". En otras palabras, ${\displaystyle \exists !x\;P(x)}$es una abreviatura de${\displaystyle \exists x\,(P(x)\wedge \neg \exists y\,(P(y)\wedge y\neq x))}$.

⇒

1. Denota condicional material y se lee como "implica". Si P y Q son predicados lógicos , P ⇒ Q significa que si P es verdadero, entonces Q también es verdadero. Por lo tanto, P ⇒ Q es lógicamente equivalente con ⁠  ${\displaystyle Q\lor \neg P}$.​

2. Se usa frecuentemente en texto plano como abreviatura de "implica".  

⇔

1. Denota equivalencia lógica y se lee "es equivalente a" o " si y solo si ". Si P y Q son predicados lógicos ,  ${\displaystyle P\Leftrightarrow Q}$es, por lo tanto, una abreviatura de ⁠${\displaystyle (P\Rightarrow Q)\land (Q\Rightarrow P)}$⁠ , o de ⁠${\displaystyle (P\land Q)\lor (\neg P\land \neg Q)}$.​

2. Se usa frecuentemente en texto plano como abreviatura de " si y solo si ".  

⊤ ( camiseta )

1.  ${\displaystyle \top }$denota el predicado lógico siempre verdadero .

2. También denota el valor de verdad verdadero .  

3. A veces denota el elemento superior de una red acotada (los significados anteriores son ejemplos específicos).  

⊥ ( arista hacia arriba )

1.  ${\displaystyle \bot }$denota el predicado lógico siempre falso .

2. También denota el valor de verdad falso .  

3. A veces denota el elemento inferior de una red acotada (los significados anteriores son ejemplos específicos).  

4. En criptografía, a menudo denota un error en lugar de un valor regular.  

5. Para su uso como superíndice, véase □ ^⊥ .  

6. Para el símbolo similar, véase  ${\displaystyle \perp }$.

La tipografía en negrita de pizarra se utiliza ampliamente para denotar los sistemas numéricos básicos . Estos sistemas también suelen denotarse mediante la letra mayúscula en negrita correspondiente. Una clara ventaja de la negrita de pizarra es que estos símbolos no se pueden confundir con nada más. Esto permite utilizarlos en cualquier área de las matemáticas, sin tener que recordar su definición. Por ejemplo, si uno se encuentra con${\displaystyle \mathbb {R} }$En combinatoria , uno debería saber inmediatamente que esto denota los números reales , aunque la combinatoria no estudia los números reales (pero los usa para muchas demostraciones).

${\displaystyle \mathbb {N} }$

Denota el conjunto de números naturales${\displaystyle \{1,2,\ldots \},}$o a veces${\displaystyle \{0,1,2,\ldots \}.}$Cuando la distinción es importante y los lectores podrían asumir cualquiera de las dos definiciones,${\displaystyle \mathbb {N} _{1}}$y${\displaystyle \mathbb {N} _{0}}$se utilizan, respectivamente, para denotar uno de ellos de forma inequívoca. Notación${\displaystyle \mathbf {N} }$También se utiliza comúnmente.

${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Denota el conjunto de los números enteros${\displaystyle \{\ldots ,-2,-1,0,1,2,\ldots \}.}$También se suele denotar por${\displaystyle \mathbf {Z} .}$

${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$

1. Denota el conjunto de enteros p -ádicos , donde p es un número primo .  

2. A veces,  ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}$denota los enteros módulo n , donde n es un entero mayor que 0. La notación${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$También se utiliza, y es menos ambiguo.

${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Denota el conjunto de los números racionales (fracciones de dos enteros). A menudo también se denota por${\displaystyle \mathbf {Q} .}$

${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$

Denota el conjunto de números p -ádicos , donde p es un número primo .

${\displaystyle \mathbb {R} }$

Denota el conjunto de los números reales . A menudo también se denota por${\displaystyle \mathbf {R} .}$

${\displaystyle \mathbb {C} }$

Denota el conjunto de los números complejos . A menudo también se denota por${\displaystyle \mathbf {C} .}$

${\displaystyle \mathbb {H} }$

Denota el conjunto de cuaterniones . A menudo también se denota por${\displaystyle \mathbf {H} .}$

${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$

Denota el cuerpo finito con q elementos, donde q es una potencia prima (incluidos los números primos ). También se denota por GF( q ) .

${\displaystyle \mathbb {O} }$

Denota el conjunto de octoniones . A menudo también se denota por${\displaystyle \mathbf {O} .}$

${\displaystyle \mathbb {S} }$

Denota el conjunto de sedeniones . A menudo también se denota por${\displaystyle \mathbf {S} .}$

${\displaystyle \mathbb {T} }$

Denota el conjunto de trigintaduoniones . A menudo también se denota por${\displaystyle \mathbf {T} .}$

□′

Notación de Lagrange para la derivada : Si f es una función de una sola variable ,${\displaystyle f'}$⁠ , que se lee como "f prima ", es la derivada de f con respecto a esta variable. La segunda derivada es la derivada de ⁠${\displaystyle f'}$, y se denota${\displaystyle f''}$.​

${\displaystyle {\dot {\Box }}}$

Notación de Newton , la más utilizada para la derivada con respecto al tiempo. Si x es una variable que depende del tiempo, entonces${\displaystyle {\dot {x}}}$⁠ , que se lee como " x punto", es su derivada con respecto al tiempo. En particular, si x es la posición de un punto en movimiento, entonces${\displaystyle {\dot {x}}}$es su velocidad .

${\displaystyle {\ddot {\Box }}}$

Notación de Newton para la segunda derivada : Si x es la posición de un punto en movimiento, entonces${\displaystyle {\ddot {x}}}$es su aceleración .

⁠ d□ / d□ ⁠ , ⁠ d □ / d □ ⁠

La notación de Leibniz para la derivada , que se utiliza de varias maneras ligeramente diferentes.

1. Si y es una variable que depende de x , entonces  ${\displaystyle \textstyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}}$, que se lee como "dy sobre dx " (comúnmente abreviado como "dy dx " ) , es la derivada de y con respecto a x .

2. Si f es una función de una sola variable x , entonces  ${\displaystyle \textstyle {\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}}$es la derivada de f y ${\displaystyle \textstyle {\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}(a)}$es el valor de la derivada en a . A veces${\displaystyle \textstyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}}$se utiliza como símbolo del operador de derivada, que puede anteponerse a una función:${\displaystyle \textstyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}f(x)}$.

3. Derivada total : Si  ${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})}$es una función de varias variables que dependen de x , entonces${\displaystyle \textstyle {\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}}$es la derivada de f considerada como una función de x . Es decir,${\displaystyle \textstyle \ {\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\ {\frac {\mathrm {d} x_{i}}{\mathrm {d} x}}~.}$

⁠ ∂□ / ∂□ ⁠

Derivada parcial : Si${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})}$es una función de varias variables,${\displaystyle \textstyle {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}}$es la derivada con respecto a la i -ésima variable considerada como una variable independiente , considerándose las demás variables como constantes.

⁠ 𝛿□ / 𝛿□ ⁠

Derivada funcional : Si${\displaystyle f(y_{1},\ldots ,y_{n})}$es un funcional de varias funciones ,${\displaystyle \textstyle {\frac {\delta f}{\delta y_{i}}}}$es la derivada funcional con respecto a la n -ésima función considerada como una variable independiente , considerándose las demás funciones constantes.

${\displaystyle {\overline {\Box }}}$

1. Conjugado complejo : Si z es un número complejo , entonces  ${\displaystyle {\overline {z}}}$es su conjugado complejo. Por ejemplo,${\displaystyle {\overline {a+bi}}=a-b\ i~.}$

2. Cierre topológico : Si S es un subconjunto de un espacio topológico T , entonces  ${\displaystyle {\overline {S}}}$es su cierre topológico, es decir, el subconjunto cerrado más pequeño de T que contiene a S.

3. Cierre algebraico : Si F es un cuerpo , entonces  ${\displaystyle {\overline {F}}}$es su clausura algebraica, es decir, el cuerpo algebraicamente cerrado más pequeño que contiene a F. Por ejemplo,${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} }}}$es el campo de todos los números algebraicos .

4. Valor medio : Si x es una variable que toma sus valores en alguna secuencia de números S , entonces  ${\displaystyle {\overline {x}}}$puede denotar la media de los elementos de S.

5. Negación : A veces se utiliza para denotar la negación de toda la expresión bajo la barra, particularmente cuando se trata de álgebra booleana . Por ejemplo, una de las leyes de De Morgan dice que  ${\displaystyle {\overline {A\land B}}={\overline {A}}\lor {\overline {B}}}$.​

→

1. A → B denota una función con dominio A y codominio B. Para nombrar dicha función, se escribe f : A → B , que se lee como "la función f asigna cualquier elemento del conjunto A al conjunto B ", o "f asigna A a B ".   

2. De forma más general, A → B denota un homomorfismo o un morfismo de A a B.  

3. Puede denotar una implicación lógica . Para la implicación material , ampliamente utilizada en el razonamiento matemático, actualmente se suele sustituir por ⇒ . En lógica matemática , se sigue utilizando para denotar implicación, pero su significado exacto depende de la teoría específica que se estudie.  

4. Sobre un nombre de variable , significa que la variable representa un vector , en un contexto donde las variables ordinarias representan escalares ; por ejemplo ,  ${\displaystyle {\overrightarrow {v}}}$. Negrita ( .${\displaystyle \mathbf {v} }$⁠ ), negrita de pizarra ( 𝕧 ), o un acento circunflejo ( ⁠${\displaystyle {\hat {v}}}$) se utilizan a menudo con el mismo propósito.

5. En geometría euclidiana y, más generalmente, en geometría afín ,  ${\displaystyle {\overrightarrow {PQ}}}$denota el vector definido por los dos puntos P y Q , que puede identificarse con la traslación que mapea P a Q. El mismo vector también puede denotarse como${\displaystyle Q-P}$⁠ ; véase Espacio afín .

↦

" Asigna a ": Se utiliza para definir una función sin tener que nombrarla. Por ejemplo,${\displaystyle x\mapsto x^{2}}$es la función cuadrada .

○ ^{[ 9 ]}

1. Composición de funciones : Si f y g son dos funciones, entonces  ${\displaystyle g\circ f}$es la función tal que${\displaystyle (g\circ f)(x)=g(f(x))}$para cada valor de x .

2. Producto de Hadamard de matrices : Si A y B son dos matrices del mismo tamaño, entonces  ${\displaystyle A\circ B}$es la matriz tal que${\displaystyle (A\circ B)_{i,j}=(A)_{i,j}(B)_{i,j}}$. Posiblemente,${\displaystyle \circ }$También se utiliza en lugar de ⊙ para el producto de Hadamard de series de potencias .

∂

1. Frontera de un subespacio topológico : Si S es un subespacio de un espacio topológico, entonces su frontera , denotada por ⁠  ${\displaystyle \partial S}$⁠ , es la diferencia de conjuntos entre la clausura y el interior de S .

2. Derivada parcial : ver ⁠ ∂□ / ∂□ ⁠ .  

∫

1. Sin subíndice, denota una antiderivada . Por ejemplo,  ${\displaystyle \textstyle \int x^{2}\operatorname {d} x={\frac {\;x^{3}}{3}}+C.}$

2. Con un subíndice y un superíndice, o expresiones colocadas debajo y encima de él, denota una integral definida . Por ejemplo,  ${\displaystyle \textstyle \int _{a}^{b}x^{2}\operatorname {d} x={\frac {\;b^{3}-a^{3}}{3}}~.}$

3. Con un subíndice que denota una curva, denota una integral de línea . Por ejemplo,  ${\displaystyle \textstyle \ \int _{C}f\ =\ \int _{a}^{b}\ f\!{\bigl (}\ \!r\!\left(t\right)\ \!\!{\bigr )}\ r'\!\left(t\right)\operatorname {d} t\ ,}$si r es una parametrización de la curva C , desde el punto t = a hasta t = b .

∮

Se usa a menudo, normalmente en física, en lugar de${\displaystyle \textstyle \int }$para integrales de línea sobre una curva cerrada .

∬, ∯

Similar a${\displaystyle \textstyle \int }$y${\displaystyle \textstyle \oint }$para integrales de superficie .

∭, ∰

Similar a${\displaystyle \textstyle \int }$y${\displaystyle \textstyle \oint }$para integrales de volumen .

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}}$o${\displaystyle {\vec {\nabla }}}$

1. Nabla , el gradiente , operador de derivada vectorial  ${\displaystyle \textstyle \left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)}$⁠ , también llamado del o grad ,

2. Una conexión , como la derivada covariante .  

∇ ² o ∇ ⋅ ∇

Operador de Laplace o laplaciano :${\displaystyle \textstyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}}$⁠ . Los formularios${\displaystyle \nabla ^{2}}$y${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}}$representa el producto escalar del gradiente (${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}}$o​${\displaystyle {\vec {\nabla }}}$⁠ ) ​​consigo mismo. También se denota Δ (siguiente elemento).

Δ

(Letra griega mayúscula delta —no confundir con ⁠${\displaystyle \triangle }$( que puede denotar un triángulo geométrico o, alternativamente, la diferencia simétrica de dos conjuntos).

1. Otra notación para el laplaciano (ver arriba).  

2. Operador de diferencias finitas .  

${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}}$o${\displaystyle \partial _{\mu }}$

(Nota: Aunque${\displaystyle \ {\vec {\Box }}\ }$puede utilizarse sin ambigüedad, la notación${\displaystyle {\boldsymbol {\Box }}}$no se recomienda para el de cuatro gradientes ya que ambos${\displaystyle \Box }$y${\displaystyle {\Box }^{2}}$se utilizan para denotar el d'Alembertiano ; véase más abajo.)

Quad, el operador de gradiente de 4 vectores o gradiente de cuatro ,${\displaystyle \textstyle \left({\frac {\ \partial }{\ \partial t\ }},{\frac {\ \partial }{\ \partial x\ }},{\frac {\ \partial }{\ \partial y\ }},{\frac {\ \partial }{\ \partial z\ }}\right)~.}$

${\displaystyle \Box }$o${\displaystyle {\Box }^{2}}$

(Aquí el símbolo es una caja real, no un marcador de posición)

Denota el d'Alembertiano o cuadrigradiente al cuadrado , que es una generalización del laplaciano al espaciotiempo de cuatro dimensiones. En el espaciotiempo plano con coordenadas euclidianas, esto puede significar:${\displaystyle \textstyle -{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}}$o​${\displaystyle \textstyle +{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}}$⁠ ; debe especificarse la convención de signos. En el espaciotiempo curvo (o espaciotiempo plano con coordenadas no euclidianas), la definición es más complicada. También llamada caja o cúbla .

∑ ( notación sigma mayúscula )

1. Denota la suma de un número finito de términos, que están determinados por subíndices y superíndices (que también pueden colocarse debajo y encima), como en  ${\displaystyle \textstyle \sum _{i=1}^{n}i^{2}}$o${\displaystyle \textstyle \sum _{0<i<j<n}j-i}$.

2. Denota una serie y, si la serie es convergente , la suma de la serie . Por ejemplo,  ${\displaystyle \textstyle \sum _{i=0}^{\infty }{\frac {x^{i}}{i!}}=e^{x}}$.

∏ ( notación pi mayúscula )

1. Denota el producto de un número finito de términos, que están determinados por subíndices y superíndices (que también pueden colocarse debajo y encima), como en  ${\displaystyle \textstyle \prod _{i=1}^{n}i^{2}}$o${\displaystyle \textstyle \prod _{0<i<j<n}j-i}$.

2. Denota un producto infinito . Por ejemplo, la fórmula del producto de Euler para la función zeta de Riemann es  ${\displaystyle \textstyle \zeta (z)=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{1-p_{n}^{-z}}}}$.

3. También se utiliza para el producto cartesiano de cualquier número de conjuntos y el producto directo de cualquier número de estructuras matemáticas .  

${\displaystyle \oplus }$

1. Suma directa interna : si E y F son subgrupos abelianos de un grupo abeliano V , notación  ${\displaystyle V=E\oplus F}$Esto significa que V es la suma directa de E y F ; es decir, cada elemento de V puede escribirse de forma única como la suma de un elemento de E y un elemento de F. Esto también se aplica cuando E y F son subespacios lineales o submódulos del espacio vectorial o módulo V.

2. Suma directa : si E y F son dos grupos abelianos , espacios vectoriales o módulos , entonces su suma directa, denotada  ${\displaystyle E\oplus F}$es un grupo abeliano, un espacio vectorial o un módulo (respectivamente) equipado con dos monomorfismos${\displaystyle f:E\to E\oplus F}$y${\displaystyle g:F\to E\oplus F}$de tal manera que${\displaystyle E\oplus F}$es la suma directa interna de${\displaystyle f(E)}$y${\displaystyle g(F)}$Esta definición tiene sentido porque esta suma directa es única salvo un único isomorfismo .

3. O exclusivo : si E y F son dos variables o predicados booleanos ,  ${\displaystyle E\oplus F}$puede denotar la disyunción exclusiva. Notaciones E XOR F y${\displaystyle E\veebar F}$También se utilizan comúnmente; véase ⊻ .

${\displaystyle \otimes }$

1. Denota el producto tensorial de grupos abelianos , espacios vectoriales , módulos u otras estructuras matemáticas, como en  ${\displaystyle E\otimes F}$, o​${\displaystyle E\otimes _{K}F}$.​

2. Denota el producto tensorial de elementos: si  ${\displaystyle x\in E}$y​${\displaystyle y\in F}$⁠ , entonces ⁠${\displaystyle x\otimes y\in E\otimes F}$.​

□ ^T

Transponer : si A es una matriz,${\displaystyle A^{\mathsf {T}}}$denota la transpuesta de A , es decir, la matriz obtenida al intercambiar filas y columnas de A. Notación${\displaystyle ^{\mathsf {T}}\!\!A}$También se utiliza.

□ ^⊥

1. Complemento ortogonal : Si W es un subespacio lineal de un espacio ^con producto interno V , entonces W⊥ denota su complemento ortogonal , es decir, el espacio lineal de los elementos de V cuyos productos internos con los elementos de W son todos cero.  

2. Subespacio ortogonal en el espacio dual : Si W es un subespacio lineal (o un submódulo ) de un espacio vectorial (o de un módulo ) V , entonces W⊥ puede denotar el subespacio ortogonal de W , es decir, el conjunto de todas ^las formas lineales que mapean W a cero.  

3. Para usos en línea del símbolo, consulte ⊥ .  

⊲ ⊴

Subgrupo normal de y subgrupo normal de incluyendo la igualdad, respectivamente. Si N y G son grupos tales que N es un subgrupo normal de (incluyendo la igualdad) G , esto se escribe ⁠${\displaystyle N\trianglelefteq G}$.​

⋉ ⋊

1. Producto semidirecto interno : si N y H son subgrupos de un grupo G , de modo que N es un subgrupo normal de G , entonces  ${\displaystyle G=N\rtimes H}$y${\displaystyle G=H\ltimes N}$Esto significa que G es el producto semidirecto de N y H , es decir, que cada elemento de G puede descomponerse de forma única como el producto de un elemento de N y un elemento de H. (A diferencia del producto directo de grupos , el elemento de H puede cambiar si se modifica el orden de los factores).

2. Producto semidirecto externo : si N y H son dos grupos , y  ${\displaystyle \varphi }$es un homomorfismo de grupo de N al grupo de automorfismos de H , entonces${\displaystyle N\rtimes _{\varphi }H=H\ltimes _{\varphi }N}$denota un grupo G , único salvo un isomorfismo de grupos , que es un producto semidirecto de N y H , con la conmutación de elementos de N y H definida por${\displaystyle \varphi }$.

≀

En teoría de grupos ,${\displaystyle G\wr H}$denota el producto de corona de los grupos G y H. También se denota como${\displaystyle G\operatorname {wr} H}$o${\displaystyle G\operatorname {Wr} H}$; véase Producto Wreath §  Notación y convenciones para varias variantes de notación.

${\displaystyle \infty }$( símbolo de infinito )

1. El símbolo se lee como infinito . Como límite superior de una sumatoria , un producto infinito , una integral , etc., significa que el cálculo es ilimitado. De manera similar,  ${\displaystyle -\infty }$En un límite inferior significa que el cálculo no está limitado hacia valores negativos.

2.  ${\displaystyle -\infty }$y${\displaystyle +\infty }$son los números generalizados que se suman a la recta real para formar la recta real extendida .

3.  ${\displaystyle \infty }$es el número generalizado que se suma a la recta real para formar la recta real extendida proyectivamente .

${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$( fraktur 𝔠)

${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$denota la cardinalidad del continuo , que es la cardinalidad del conjunto de los números reales .

${\displaystyle \aleph }$( aleph )

Con un ordinal i como subíndice, denota el i -ésimo número aleph , es decir, el i- ésimo cardinal infinito . Por ejemplo,${\displaystyle \aleph _{0}}$es el cardinal infinito más pequeño, es decir, el cardinal de los números naturales.

${\displaystyle \beth }$( apuesta )

Con un ordinal i como subíndice, denota el i- ésimo número beth . Por ejemplo,${\displaystyle \beth _{0}}$es el cardinal de los números naturales, y${\displaystyle \beth _{1}}$es el cardinal del continuo .

${\displaystyle \omega }$( omega )

1. Denota el primer ordinal límite . También se denota  ${\displaystyle \omega _{0}}$y puede identificarse con el conjunto ordenado de los números naturales .

2. Con un ordinal i como subíndice, denota el i -ésimo ordinal límite que tiene una cardinalidad mayor que la de todos los ordinales precedentes.  

3. En informática , denota el límite inferior máximo (desconocido) para el exponente de la complejidad computacional de la multiplicación de matrices .  

4. Escrita como una función de otra función, se utiliza para comparar el crecimiento asintótico de dos funciones. Véase la notación Big O § Notaciones asintóticas relacionadas .   

5. En teoría de números , puede denotar la función omega prima . Es decir,  ${\displaystyle \omega (n)}$es el número de factores primos distintos del entero n .

En matemáticas se utilizan muchos tipos de paréntesis . Su significado depende no solo de su forma, sino también de la naturaleza y la disposición de lo que delimitan, y a veces de lo que aparece entre ellos o antes. Por esta razón, en los títulos de las entradas, el símbolo □ se utiliza como marcador de posición para esquematizar la sintaxis subyacente al significado.