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Articulo de referencia

Regla de inferencia

Modus ponens es una de las principales reglas de inferencia. Las reglas de inferencia son formas de derivar conclusiones a partir de premisas . Son partes integrales de la lógic...

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Diagrama de una inferencia
Modus ponens es una de las principales reglas de inferencia.

Las reglas de inferencia son formas de derivar conclusiones a partir de premisas . Son partes integrales de la lógica formal , sirviendo como la estructura lógica de los argumentos válidos . Si un argumento con premisas verdaderas sigue una regla de inferencia, entonces la conclusión no puede ser falsa. El modus ponens , una regla de inferencia influyente, conecta dos premisas de la forma "siPAG{\displaystyle P}entoncesQ{\displaystyle Q}" y "PAG{\displaystyle P}"hasta la conclusión"Q{\displaystyle Q}", como en el argumento "Si llueve, entonces el suelo está mojado. Llueve. Por lo tanto, el suelo está mojado." Hay muchas otras reglas de inferencia para diferentes patrones de argumentos válidos, como el modus tollens , el silogismo disyuntivo , el dilema constructivo y la generalización existencial .

Las reglas de inferencia incluyen las reglas de implicación, que operan en una sola dirección, desde las premisas hasta las conclusiones, y las reglas de reemplazo , que establecen que dos expresiones son equivalentes y pueden intercambiarse libremente. Estas contrastan con las falacias formales , que son formas de argumentación inválidas que implican errores lógicos.

Los lógicos construyen sistemas formales para capturar y codificar con precisión patrones válidos de razonamiento, utilizando distintos sistemas reglas de inferencia. Por ejemplo, la lógica proposicional examina cómo las proposiciones formadas mediante operadores lógicos como "no" y "si...entonces..." sustentan las conclusiones. La lógica de primer orden amplía la lógica proposicional analizando cómo la estructura interna de las proposiciones, como los nombres y los predicados , influye en el razonamiento. Otros sistemas lógicos exploran patrones inferenciales asociados con lo posible y lo necesario , con lo que la gente cree y con lo que sucedió en diferentes momentos . Se utilizan diversos formalismos para expresar los sistemas lógicos. Los sistemas de deducción natural emplean muchas reglas de inferencia intuitivas para reflejar cómo razonan las personas de forma natural, mientras que los sistemas de Hilbert proporcionan marcos minimalistas para representar principios fundamentales sin redundancia.

Las reglas de inferencia son relevantes en muchos ámbitos, como las demostraciones en matemáticas y el razonamiento automatizado en informática . Sus fundamentos conceptuales y psicológicos son estudiados por filósofos de la lógica y psicólogos cognitivos .

Definición

Una regla de inferencia es una forma de extraer una conclusión a partir de un conjunto de premisas . [ 1 ] También llamada regla de inferencia y regla de transformación , [ 2 ] es una norma de inferencias correctas que puede usarse para guiar el razonamiento , justificar conclusiones y criticar argumentos . Como parte de la lógica deductiva , las reglas de inferencia son formas argumentativas que preservan la verdad de las premisas, lo que significa que la conclusión siempre es verdadera si las premisas son verdaderas. [ a ] ​​Una inferencia es deductivamente válida si sigue una regla de inferencia correcta. Que esto sea así depende solo de la forma o estructura sintáctica de las premisas y la conclusión, es decir, el contenido real o el significado concreto de los enunciados no afecta la validez. Por ejemplo, el modus ponens es una regla de inferencia que conecta dos premisas de la forma "siPAG{\displaystyle P}entoncesQ{\displaystyle Q}" y "PAG{\displaystyle P}"hasta la conclusión"Q{\displaystyle Q}". Las letrasPAG{\displaystyle P}yQ{\displaystyle Q}en este ejemplo y en fórmulas posteriores son las llamadas metavariables : representan cualquier proposición simple o compuesta . [ 4 ] Cualquier argumento que siga el modus ponens es válido, independientemente de los significados específicos dePAG{\displaystyle P}yQ{\displaystyle Q}, como el argumento "Si es de día, entonces hay luz. Es de día. Por lo tanto, hay luz." [ 5 ] Además del modus ponens , existen muchas otras reglas de inferencia, como el modus tollens , el silogismo disyuntivo y el dilema constructivo . [ 4 ]

Existen diferentes formatos para representar reglas de inferencia. Un enfoque común consiste en usar una nueva línea para cada premisa y separar las premisas de la conclusión mediante una línea horizontal. Con este formato, el modus ponens se escribe como: [ 6 ] [ b ]PAG→QPAGQ{\displaystyle {\begin{array}{l}P\to Q\\P\\\hline Q\end{array}}}

Algunos lógicos emplean el signo de por lo tanto (∴{\displaystyle \therefore }) ya sea junto con o en lugar de la línea horizontal para indicar dónde comienza la conclusión. [ 8 ] La notación de secuencia , un enfoque diferente, utiliza una sola línea en la que las premisas están separadas por comas y conectadas a la conclusión con el símbolo de torniquete (⊢{\displaystyle \vdash }), como enPAG→Q,PAG⊢Q{\displaystyle P\to Q,P\vdash Q}. [ 9 ]

Las reglas de inferencia forman parte de los sistemas lógicos , y los distintos sistemas emplean conjuntos de reglas diferentes. Por ejemplo, la instanciación universal [ c ] es una regla de inferencia en el sistema de lógica de primer orden, pero no en la lógica proposicional . [ 11 ] Las reglas de inferencia desempeñan un papel central en las demostraciones como procedimientos explícitos para derivar nuevas líneas de una demostración a partir de las líneas precedentes. Las demostraciones implican una serie de pasos inferenciales y a menudo utilizan diversas reglas de inferencia para establecer el teorema que pretenden demostrar. [ 12 ] [ d ] Las reglas de inferencia son reglas definitorias : reglas sobre las cuales se permiten inferencias. Contrastan con las reglas estratégicas, que rigen los pasos inferenciales necesarios para demostrar un teorema determinado a partir de un conjunto específico de premisas. Dominar las reglas definitorias por sí solo no es suficiente para un razonamiento eficaz, ya que proporcionan poca orientación sobre cómo llegar a la conclusión deseada. [ 14 ] [ e ] Como estándares o procedimientos que rigen la transformación de expresiones simbólicas, las reglas de inferencia son similares a las funciones matemáticas que toman premisas como entrada y producen una conclusión como salida. Según una interpretación, las reglas de inferencia son inherentes a los operadores lógicos [ f ] que se encuentran en las proposiciones, haciendo explícito el significado y la función de estos operadores sin agregar ninguna información adicional. [ 17 ]

Dibujo en blanco y negro de un hombre con patillas, vestido con un traje formal oscuro y una camisa blanca de cuello alto.
George Boole (1815–1864) realizó contribuciones clave a la lógica simbólica en general y a la lógica proposicional en particular. [ 18 ]

Los lógicos distinguen dos tipos de reglas de inferencia: reglas de implicación y reglas de reemplazo . [ g ] Las reglas de implicación, como el modus ponens , operan solo en una dirección, lo que significa que la conclusión se puede deducir de las premisas, pero las premisas no se pueden deducir de la conclusión. Las reglas de reemplazo, por el contrario, operan en ambas direcciones, estableciendo que dos expresiones son equivalentes y se pueden reemplazar libremente entre sí. En la lógica clásica, por ejemplo, una proposición (PAG{\displaystyle P}) es equivalente a la negación [ h ] de su negación (¬¬PAG{\displaystyle \lnot \lnot P}). [ i ] Como resultado, se puede inferir una de la otra en cualquier dirección, lo que la convierte en una regla de reemplazo. Otras reglas de reemplazo incluyen las leyes de De Morgan , así como las propiedades conmutativa y asociativa de la conjunción y la disyunción . Mientras que las reglas de implicación se aplican solo a enunciados completos, las reglas de reemplazo se pueden aplicar a cualquier parte de un enunciado compuesto. [ 22 ]

Las reglas de inferencia deductiva difieren de los esquemas de argumentación refutable , que describen patrones de razonamiento que brindan cierto apoyo a una conclusión sin garantizar su veracidad, como el argumento de autoridad y el argumento de analogía . Sin embargo, el término "regla de inferencia" se usa a veces en un sentido más amplio para incluir esquemas de argumentación no deductiva. [ 23 ] De manera similar, el término se interpreta ocasionalmente de forma amplia para incluir estándares generales de investigación, como el principio de que los experimentos científicos deben ser replicables . [ 24 ]

Una de las primeras discusiones sobre reglas formales de inferencia se remonta a la Antigüedad , a la lógica de Aristóteles . Sus explicaciones de silogismos válidos se perfeccionaron posteriormente en la filosofía medieval y de principios de la Edad Moderna . El desarrollo de la lógica simbólica en el siglo XIX, como la formulación del álgebra booleana por George Boole , condujo a la formulación de muchas reglas de inferencia adicionales pertenecientes a la lógica proposicional clásica y de primer orden. En los siglos XX y XXI, los lógicos desarrollaron diversos sistemas lógicos no clásicos con reglas de inferencia alternativas. [ 25 ]

Conceptos básicos

Las reglas de inferencia describen la estructura de los argumentos, que consisten en premisas que sustentan una conclusión. [ 26 ] Las premisas y las conclusiones son enunciados o proposiciones sobre lo que es verdadero. Por ejemplo, la afirmación "La puerta está abierta" es un enunciado que puede ser verdadero o falso, mientras que la pregunta "¿Está abierta la puerta?" y la orden "¡Abre la puerta!" no son enunciados y carecen de valor de verdad. [ 27 ] Una inferencia es un paso de razonamiento que va desde las premisas hasta una conclusión, mientras que un argumento es la expresión externa de una inferencia. [ 28 ]

La lógica es el estudio del razonamiento correcto y examina cómo distinguir los buenos de los malos argumentos. [ 29 ] La lógica deductiva es la rama que investiga los argumentos más fuertes, llamados argumentos deductivamente válidos, para los cuales la conclusión no puede ser falsa si todas las premisas son verdaderas. Esto se expresa diciendo que la conclusión es una consecuencia lógica de las premisas. Las reglas de inferencia pertenecen a la lógica deductiva y describen formas de argumentos que cumplen este requisito. [ 30 ] Para evaluar con precisión si un argumento sigue una regla de inferencia, los lógicos utilizan lenguajes formales para expresar enunciados de manera rigurosa, similar a las fórmulas matemáticas . [ 31 ] Combinan lenguajes formales con reglas de inferencia para construir sistemas formales : marcos para formular proposiciones y extraer conclusiones. [ j ] Diferentes sistemas formales pueden emplear diferentes lenguajes formales o diferentes reglas de inferencia. [ 33 ] [ k ] Las reglas básicas de inferencia dentro de un sistema formal a menudo se pueden ampliar introduciendo nuevas reglas, conocidas como reglas admisibles . Las reglas admisibles no cambian qué argumentos en un sistema formal son válidos, pero pueden simplificar las demostraciones. Si una regla admisible puede expresarse mediante una combinación de las reglas básicas del sistema, se denomina regla derivada o derivable . [ 35 ] Las afirmaciones que pueden deducirse en un sistema formal se denominan teoremas de dicho sistema. [ 36 ] Entre los sistemas lógicos más utilizados se encuentran la lógica proposicional , la lógica de primer orden y la lógica modal . [ 37 ]

Las reglas de inferencia solo garantizan que la conclusión sea verdadera si las premisas son verdaderas. Un argumento con premisas falsas aún puede ser válido, pero su conclusión puede ser falsa. Por ejemplo, el argumento «Si los cerdos pueden volar, entonces el cielo es morado. Los cerdos pueden volar. Por lo tanto, el cielo es morado» es válido porque sigue el modus ponens , aunque contenga premisas falsas. Un argumento válido se denomina argumento sólido si todas sus premisas son verdaderas. [ 38 ]

Las reglas de inferencia están estrechamente relacionadas con las tautologías o verdades lógicas . En lógica, una tautología es una afirmación que es verdadera únicamente debido al vocabulario lógico que utiliza, independientemente del significado de su vocabulario no lógico. Por ejemplo, la afirmación "si el árbol es verde y el cielo es azul, entonces el árbol es verde" es verdadera independientemente del significado de términos como " árbol" y "verde" , lo que la convierte en una tautología. Todo argumento que sigue una regla de inferencia puede transformarse en una tautología. Esto se logra formando una conjunción ( y ) de todas las premisas y conectándola mediante implicación ( si... entonces... ) a la conclusión, combinando así todas las afirmaciones individuales del argumento en una sola. Por ejemplo, el argumento válido "El árbol es verde y el cielo es azul. Por lo tanto, el árbol es verde." puede transformarse en la tautología "si el árbol es verde y el cielo es azul, entonces el árbol es verde". [ 39 ]

Las reglas de inferencia no son la única forma de demostrar la validez de un argumento. Otros métodos incluyen el uso de tablas de verdad , aplicables a la lógica proposicional, y árboles de verdad , que también pueden emplearse en lógica de primer orden. [ 40 ]

Sistemas de lógica

Clásico

Lógica proposicional

La lógica proposicional examina los patrones inferenciales de las proposiciones simples y compuestas . Utiliza letras, comoPAG{\displaystyle P}yQ{\displaystyle Q}, para representar proposiciones simples. Las proposiciones compuestas se forman modificando o combinando proposiciones simples con operadores lógicos , como¬{\displaystyle \lnot }( no ),∧{\displaystyle \land }( y ),∨{\displaystyle \lor }( o ), y→{\displaystyle \to }( si ... entonces ... ). Por ejemplo, siPAG{\displaystyle P}representa la afirmación "está lloviendo" yQ{\displaystyle Q}representa la afirmación "las calles están mojadas", entonces¬PAG{\displaystyle \lnot P}expresa "no está lloviendo" yPAG→Q{\displaystyle P\to Q}expresa "si está lloviendo, entonces las calles están mojadas". Estos operadores lógicos son veritativo-funcionales , lo que significa que el valor de verdad de una proposición compuesta depende solo de los valores de verdad de las proposiciones simples que la componen. Por ejemplo, la proposición compuestaPAG∧Q{\displaystyle P\land Q}es cierto solo si ambosPAG{\displaystyle P}yQ{\displaystyle Q}son verdaderas; en todos los demás casos, es falsa. La lógica proposicional no se ocupa del significado concreto de las proposiciones más allá de sus valores de verdad. [ 41 ] Las reglas clave de inferencia en lógica proposicional son modus ponens , modus tollens , silogismo hipotético , silogismo disyuntivo y eliminación de la doble negación . Otras reglas incluyen introducción de conjunción , eliminación de conjunción , introducción de disyunción , eliminación de disyunción , dilema constructivo , dilema destructivo , absorción y leyes de De Morgan . [ 42 ]

Lógica de primer orden

Foto de un busto de bronce de un hombre barbudo.
Como uno de los padres fundadores de la lógica moderna, Gottlob Frege (1848-1925) exploró algunos de los conceptos fundamentales de la lógica de primer orden. [ 44 ]

La lógica de primer orden también emplea los operadores lógicos de la lógica proposicional, pero incluye dispositivos adicionales para articular la estructura interna de las proposiciones. Las proposiciones básicas en la lógica de primer orden constan de un predicado , simbolizado con letras mayúsculas comoPAG{\displaystyle P}yQ{\displaystyle Q}, que se aplica a términos singulares , simbolizados con letras minúsculas comoa{\displaystyle a}yb{\displaystyle b}. Por ejemplo, sia{\displaystyle a}significa "Aristóteles" yPAG{\displaystyle P}significa "es un filósofo", entonces la fórmulaPAG(a){\displaystyle P(a)}significa que "Aristóteles es un filósofo". Otra innovación de la lógica de primer orden es el uso de los cuantificadores.∃{\displaystyle \exists }y∀{\displaystyle \forall }, que expresan que un predicado se aplica a algunos o a todos los individuos. Por ejemplo, la fórmula∃incógnitaPAG(incógnita){\displaystyle \exists xP(x)}expresa que los filósofos existen, mientras que∀incógnitaPAG(incógnita){\displaystyle \forall xP(x)}expresa que todos somos filósofos. Las reglas de inferencia de la lógica proposicional también son válidas en la lógica de primer orden. [ 45 ] Además, la lógica de primer orden introduce nuevas reglas de inferencia que rigen el papel de los términos singulares, los predicados y los cuantificadores en los argumentos. Las reglas clave de inferencia son la instanciación universal y la generalización existencial . Otras reglas de inferencia incluyen la generalización universal y la instanciación existencial . [ 10 ]

Las lógicas modales son sistemas formales que extienden la lógica proposicional y la lógica de primer orden con operadores adicionales. La lógica modal alética introduce el operador◊{\displaystyle \Diamond }para expresar que algo es posible y el operador◻{\displaystyle \Box }para expresar que algo es necesario. Por ejemplo, siPAG{\displaystyle P}significa que "Parvati trabaja", entonces◊PAG{\displaystyle \Diamond P}significa que "Es posible que Parvati trabaje", mientras que◻PAG{\displaystyle \Box P}significa que "Es necesario que Parvati trabaje". Estos dos operadores están relacionados por una regla de reemplazo que establece que◻PAG{\displaystyle \Box P}es equivalente a¬◊¬PAG{\displaystyle \lnot \Diamond \lnot P}En otras palabras: si algo es necesariamente verdadero, entonces no es posible que no lo sea. Otras reglas de inferencia incluyen la regla de necesidad, que afirma que una afirmación es necesariamente verdadera si se puede demostrar en un sistema formal sin premisas adicionales, y el axioma de distribución, que permite derivar◊PAG→◊Q{\displaystyle \Diamond P\to \Diamond Q}de◊(PAG→Q){\displaystyle \Diamond (P\to Q)}Estas reglas de inferencia pertenecen al sistema K, una forma débil de lógica modal con solo las reglas de inferencia más básicas. Muchos sistemas formales de lógica modal aléthica incluyen reglas de inferencia adicionales, como el sistema T, que permite deducirPAG{\displaystyle P}de◻PAG{\displaystyle \Box P}. [ 46 ]

Los sistemas no aléticos de lógica modal introducen operadores que se comportan como◊{\displaystyle \Diamond }y◻{\displaystyle \Box }En la lógica modal alethica, se siguen reglas de inferencia similares pero con significados diferentes. La lógica deóntica es un tipo de lógica no alethica. Utiliza el operadorPAG{\displaystyle \mathbf {P} }para expresar que una acción está permitida y el operadorO{\displaystyle \mathbf {O} }para expresar que se requiere una acción, dondePAG{\displaystyle \mathbf {P} }se comporta de manera similar a◊{\displaystyle \Diamond }yO{\displaystyle \mathbf {O} }se comporta de manera similar a◻{\displaystyle \Box }. Por ejemplo, la regla de reemplazo en la lógica modal alética, que afirma que◻Q{\displaystyle \Box Q}es equivalente a¬◊¬Q{\displaystyle \lnot \Diamond \lnot Q}, también se aplica a la lógica deóntica. Como resultado, se puede deducir deOQ{\displaystyle \mathbf {O} Q}(por ejemplo, Quinn tiene la obligación de ayudar) que¬PAG¬Q{\displaystyle \lnot \mathbf {P} \lnot Q}(p. ej., a Quinn no se le permite no ayudar). [ 47 ] Otros sistemas de lógica modal incluyen la lógica modal temporal , que tiene operadores para lo que siempre o a veces es el caso, así como las lógicas modales doxástica y epistémica , que tienen operadores para lo que la gente cree y sabe. [ 48 ]

Otros sistemas

Foto de un busto de mármol de un hombre barbudo.
Las reglas de inferencia en la lógica de Aristóteles (384-322 a. C.) tienen la forma de silogismos. [ 49 ]

Se han propuesto muchos otros sistemas de lógica. [ 50 ] En la antigua Grecia , uno de los primeros sistemas fue la lógica aristotélica , según la cual cada enunciado se compone de dos términos , un sujeto y un predicado, conectados por una cópula . Por ejemplo, el enunciado "todos los humanos son mortales" tiene como sujeto "todos los humanos", como predicado "mortales" y como cópula "es". Todas las reglas de inferencia en la lógica aristotélica tienen la forma de silogismos , que constan de dos premisas y una conclusión. Por ejemplo, la regla de inferencia de Bárbara describe la validez de argumentos de la forma "Todos los hombres son mortales. Todos los griegos son hombres. Por lo tanto, todos los griegos son mortales". [ 51 ] La escuela Nyaya en la antigua India también exploró reglas de inferencia en forma de silogismos, como el argumento "Todas las cosas que tienen humo tienen fuego. Esta colina tiene humo. Por lo tanto, esta colina tiene fuego". [ 52 ]

La lógica de segundo orden extiende la lógica de primer orden al permitir que los cuantificadores se apliquen a predicados además de a términos singulares. Por ejemplo, para expresar que los individuos Adam (a{\displaystyle a}) y Bianca (b{\displaystyle b}) comparten una propiedad, se puede usar la fórmula∃incógnita(incógnita(a)∧incógnita(b)){\displaystyle \exists X(X(a)\land X(b))}. [ 53 ] La lógica de segundo orden también viene con nuevas reglas de inferencia. [ m ] Por ejemplo, se puede inferirPAG(a){\displaystyle P(a)}(Adán es un filósofo) de∀incógnitaincógnita(a){\displaystyle \forall XX(a)}(toda propiedad se aplica a Adán). [ 55 ]

La lógica intuicionista es una variante no clásica de la lógica proposicional y de primer orden. Comparte con ellas muchas reglas de inferencia, como el modus ponens , pero excluye ciertas reglas. Por ejemplo, en la lógica clásica, se puede inferirPAG{\displaystyle P}de¬¬PAG{\displaystyle \lnot \lnot P}utilizando la regla de eliminación de la doble negación. Sin embargo, en la lógica intuicionista, esta inferencia es inválida. Como resultado, todo teorema que se puede deducir en la lógica intuicionista también se puede deducir en la lógica clásica, pero algunos teoremas demostrables en la lógica clásica no se pueden demostrar en la lógica intuicionista. [ 56 ] Una motivación para esta modificación es la idea de que las demostraciones deben demostrar que un objeto existe o se puede construir , no simplemente que su inexistencia conduciría a una contradicción. [ 57 ]

Las lógicas paraconsistentes revisan la lógica clásica para permitir la existencia de contradicciones . En lógica, una contradicción ocurre si la misma proposición es afirmada y negada a la vez, lo que significa que un sistema formal contiene ambasPAG{\displaystyle P}y¬PAG{\displaystyle \lnot P}como teoremas. La lógica clásica prohíbe las contradicciones porque las reglas clásicas de inferencia traen consigo el principio de explosión , una regla de inferencia admisible que hace posible inferirQ{\displaystyle Q}desde las instalacionesPAG{\displaystyle P}y¬PAG{\displaystyle \lnot P}. DesdeQ{\displaystyle Q}no está relacionado conPAG{\displaystyle P}Cualquier afirmación arbitraria puede deducirse de una contradicción, lo que hace que los sistemas afectados sean inútiles para decidir qué es verdadero y falso. [ 58 ] [ n ] Las lógicas paraconsistentes resuelven este problema modificando las reglas de inferencia de tal manera que el principio de explosión no sea una regla de inferencia admisible. Como resultado, es posible razonar sobre información inconsistente sin derivar conclusiones absurdas. [ 60 ]

Las lógicas multivaluadas modifican la lógica clásica al introducir valores de verdad adicionales. En la lógica clásica, una proposición es verdadera o falsa, sin término medio. En las lógicas multivaluadas, algunas proposiciones no son ni verdaderas ni falsas. La lógica de Kleene , por ejemplo, es una lógica trivaluada que introduce el valor de verdad adicional indefinido para describir situaciones en las que la información es incompleta o incierta. [ 61 ] Las lógicas multivaluadas han ajustado las reglas de inferencia para dar cabida a los valores de verdad adicionales. Por ejemplo, la regla clásica de reemplazo que establece quePAG→Q{\displaystyle P\to Q}es equivalente a¬PAG∨Q{\displaystyle \lnot P\lor Q}es inválido en muchos sistemas trivalentes. [ 62 ] Algunas lógicas multivalentes adoptan la forma de lógicas de probabilidad , que permiten razonar a partir de información incierta para llegar a conclusiones probabilísticas . [ 63 ]

Formalismos

Se han propuesto diversos formalismos o sistemas de prueba como distintas maneras de codificar el razonamiento y demostrar la validez de los argumentos. A diferencia de los diferentes sistemas lógicos, estos formalismos no afectan lo que se puede probar; solo influyen en cómo se formulan las pruebas. Entre los marcos más influyentes se incluyen los sistemas de deducción natural , los sistemas de Hilbert y los cálculos de secuentes . [ 64 ]

Los sistemas de deducción natural pretenden reflejar cómo razonan las personas de forma natural, introduciendo muchas reglas de inferencia intuitivas para hacer más accesibles las derivaciones lógicas. Dividen los argumentos complejos en pasos sencillos, a menudo utilizando subpruebas basadas en premisas temporales. Las reglas de inferencia en la deducción natural se dirigen a operadores lógicos específicos, rigiendo cómo se puede añadir un operador con reglas de introducción o eliminar con reglas de eliminación. Por ejemplo, la regla de introducción de conjunción afirma que se puede inferirPAG∧Q{\displaystyle P\land Q}desde las instalacionesPAG{\displaystyle P}yQ{\displaystyle Q}, produciendo así una conclusión con el operador de conjunción a partir de premisas que no lo contienen. Por el contrario, la regla de eliminación de conjunciones afirma que se puede inferirPAG{\displaystyle P}dePAG∧Q{\displaystyle P\land Q}, produciendo así una conclusión que ya no incluye el operador de conjunción. Reglas de inferencia similares son la introducción y eliminación de la disyunción , la introducción y eliminación de la implicación , la introducción y eliminación de la negación y la introducción y eliminación de la bicondicional . Como resultado, los sistemas de deducción natural suelen incluir muchas reglas de inferencia. [ 65 ] [ o ]

Los sistemas de Hilbert, por el contrario, buscan proporcionar un marco mínimo y eficiente de razonamiento lógico al incluir la menor cantidad posible de reglas de inferencia. Muchos sistemas de Hilbert solo tienen el modus ponens como única regla de inferencia. Para asegurar que todos los teoremas puedan deducirse de esta base mínima, introducen esquemas axiomáticos . [ 67 ] Un esquema axiomático es una plantilla para crear axiomas o enunciados verdaderos. Utiliza metavariables —marcadores de posición que pueden reemplazarse por términos o fórmulas específicas para generar un número infinito de enunciados verdaderos. [ 68 ] Por ejemplo, la lógica proposicional puede definirse con los siguientes tres esquemas axiomáticos: (1)PAG→(Q→PAG){\displaystyle P\to (Q\to P)}, (2)(PAG→(Q→R))→((PAG→Q)→(PAG→R)){\displaystyle (P\to (Q\to R))\to ((P\to Q)\to (P\to R))}y (3)(¬PAG→¬Q)→(Q→PAG){\displaystyle (\lnot P\to \lnot Q)\to (Q\to P)}[ 69 ] Para formular demostraciones, los lógicos crean nuevos enunciados a partir de esquemas axiomáticos y luego aplican el modus ponens a estos enunciados para derivar conclusiones. En comparación con la deducción natural, este procedimiento tiende a ser menos intuitivo , ya que su fuerte dependencia de la manipulación simbólica puede oscurecer el razonamiento lógico subyacente. [ 70 ]

El cálculo de secuencias, otro enfoque, introduce las secuencias como representaciones formales de argumentos. Una secuencia tiene la formaA1,…,Ametro⊢B1,…,Bnorte{\displaystyle A_{1},\dots ,A_{m}\vdash B_{1},\dots ,B_{n}}, dóndeAi{\displaystyle A_{i}}yBi{\displaystyle B_{i}}representan proposiciones. Las secuencias son afirmaciones condicionales que establecen que al menos unaBi{\displaystyle B_{i}}es cierto si todoAi{\displaystyle A_{i}}son verdaderas. Las reglas de inferencia operan sobre secuencias para producir secuencias adicionales. Los cálculos de secuencias definen dos reglas de inferencia para cada operador lógico: una para introducirlo en el lado izquierdo de una secuencia y otra para introducirlo en el lado derecho. Por ejemplo, a través de la regla para introducir el operador¬{\displaystyle \lnot }En el lado izquierdo, se puede inferir¬R,PAG⊢Q{\displaystyle \lnot R,P\vdash Q}dePAG⊢Q,R{\displaystyle P\vdash Q,R}La regla de corte , una regla de inferencia adicional, permite simplificar secuencias eliminando ciertas proposiciones. [ 71 ]

falacias formales

Diagrama de modus ponens y afirmación del consecuente.
Afirmar el consecuente es una falacia formal que se asemeja a la regla válida de inferencia modus ponens . [ 72 ]

Si bien las reglas de inferencia describen patrones válidos de razonamiento deductivo, las falacias formales son formas de argumentación inválidas que implican errores lógicos . Las premisas de una falacia formal no sustentan adecuadamente su conclusión: la conclusión puede ser falsa incluso si todas las premisas son verdaderas. Las falacias formales a menudo imitan la estructura de las reglas de inferencia válidas y, por lo tanto, pueden inducir a error a las personas, llevándolas a cometerlas sin saberlo y a aceptar sus conclusiones. [ 73 ]

La falacia formal de afirmar el consecuente concluyePAG{\displaystyle P}desde las instalacionesPAG→Q{\displaystyle P\to Q}yQ{\displaystyle Q}, como en el argumento "Si Leo es un gato, entonces Leo es un animal. Leo es un animal. Por lo tanto, Leo es un gato". Esta falacia se asemeja a las inferencias válidas que siguen el modus ponens , con la diferencia clave de que la falacia intercambia la segunda premisa y la conclusión. [ 72 ] La falacia formal de negar el antecedente concluye¬Q{\displaystyle \lnot Q}desde las instalacionesPAG→Q{\displaystyle P\to Q}y¬PAG{\displaystyle \lnot P}, como en el argumento "Si Laya vio la película, entonces Laya se divirtió. Laya no vio la película. Por lo tanto, Laya no se divirtió". Esta falacia se asemeja a las inferencias válidas que siguen el modus tollens , con la diferencia clave de que la falacia intercambia la segunda premisa y la conclusión. [ 74 ] Otras falacias formales incluyen la afirmación de un disyunto , la falacia existencial y la falacia del término medio no distribuido . [ 75 ]

En diversos campos

Las reglas de inferencia son relevantes para muchos campos, especialmente las ciencias formales , como las matemáticas y la informática , donde se utilizan para probar teoremas. [ 76 ] Las demostraciones matemáticas a menudo comienzan con un conjunto de axiomas para describir las relaciones lógicas entre construcciones matemáticas. Para establecer teoremas, los matemáticos aplican reglas de inferencia a estos axiomas, con el objetivo de demostrar que los teoremas son consecuencias lógicas. [ 77 ] Distinguen varios tipos de prueba según la estrategia inferencial para llegar a una conclusión, como la prueba directa , la prueba por contradicción y la inducción matemática . [ 78 ] La lógica matemática , un subcampo de las matemáticas y la lógica, utiliza métodos y marcos matemáticos para estudiar las reglas de inferencia y otros conceptos lógicos. [ 79 ]

La informática también se basa en el razonamiento deductivo, empleando reglas de inferencia para establecer teoremas y validar algoritmos . [ 80 ] Los marcos de programación lógica , como Prolog , permiten a los desarrolladores representar el conocimiento y usar la computación para extraer inferencias y resolver problemas. [ 81 ] Estos marcos a menudo incluyen un demostrador automático de teoremas , un programa que usa reglas de inferencia para generar o verificar pruebas automáticamente. [ 82 ] Los sistemas expertos utilizan el razonamiento automatizado para simular los procesos de toma de decisiones de expertos humanos en campos específicos, como el diagnóstico médico , y ayudan en tareas complejas de resolución de problemas. Tienen una base de conocimiento para representar los hechos y las reglas del campo y usan un motor de inferencia para extraer información relevante y responder a las consultas del usuario. [ 83 ]

Las reglas de inferencia son fundamentales para la filosofía de la lógica en lo que respecta a la definición de consecuencia lógica , que describe la relación entre las premisas de un argumento deductivamente válido y su conclusión. Diferentes teorías sobre este concepto debaten su naturaleza y las condiciones bajo las cuales existe. Según la concepción deductivo-teórica, la consecuencia lógica se define en términos de reglas de inferencia: una conclusión se deduce lógicamente de un conjunto de premisas si puede deducirse mediante una serie de pasos inferenciales. La concepción modelo-teórica , por el contrario, se centra en cómo puede interpretarse el vocabulario no lógico de los enunciados . Según esta perspectiva, la consecuencia lógica implica que no son posibles los contraejemplos: bajo ninguna interpretación las premisas son verdaderas y la conclusión falsa. [ 84 ] Un tema relacionado en la epistemología de la lógica se refiere a la cuestión de cómo justificar que el modus ponens y otras reglas de inferencia sean formas aceptables de razonamiento correcto. [ 85 ]

Los psicólogos cognitivos estudian los procesos mentales, incluido el razonamiento lógico . Les interesa cómo los humanos utilizan las reglas de inferencia para llegar a conclusiones, examinando los factores que influyen en la corrección y la eficiencia. Observan, por ejemplo, que las personas son mejores utilizando el modus ponens que el modus tollens , lo que resulta en una mayor tasa de inferencias exitosas. Un tema relacionado se centra en los sesgos que llevan a las personas a confundir falacias formales con argumentos válidos. Por ejemplo, las falacias del tipo que afirma el consecuente y niega el antecedente a menudo se aceptan erróneamente como válidas. La evaluación de los argumentos también depende del significado concreto de las proposiciones: las personas son más propensas a aceptar una falacia si su conclusión suena plausible. [ 86 ]

Las reglas de inferencia también son relevantes en el ámbito jurídico para establecer la validez de un argumento o refutar el caso del oponente mediante la exposición de falacias lógicas. Sin embargo, el razonamiento jurídico no se limita a inferencias deductivas estrictas, sino que incorpora aspectos como normas jurídicas y estándares probatorios que van más allá de la lógica formal pura. [ 87 ]

Véase también

Referencias

Notas

  1. ↑ Por el contrario, los argumentos no deductivos respaldan la conclusión sin asegurar que sea verdadera, como el razonamiento inductivo y abductivo . El razonamiento no deductivo desempeña un papel central en las ciencias empíricas, mientras que el razonamiento deductivo, que sigue reglas de inferencia, se emplea más comúnmente en las ciencias formales . [ 3 ]
  2. ↑ El símbolo→{\displaystyle \to }en esta fórmula significa si ... entonces ... , expresando implicación material . [ 7 ]
  3. ↑ La instanciación universal infiere una afirmación sobre un individuo específico a partir de una afirmación universal, como en el argumento "Todos deben pagar impuestos. Por lo tanto, Wesley debe pagar impuestos". [ 10 ]
  4. ↑ La expresión quod erat demonstrandum (abreviada como QED ) se coloca a veces al final de las demostraciones para indicar que la hipótesis original ha sido demostrada. [ 13 ]
  5. ↑ Existen diferentes estrategias para formular demostraciones. Por ejemplo, la reducción al absurdo busca establecer una conclusión demostrando que su negación es contradictoria. [ 15 ]
  6. ↑ Los operadores lógicos o constantes son expresiones que se utilizan para formar y conectar proposiciones, como no , o , y si...entonces... . [ 16 ]
  7. ↑ Según una definición estricta, las reglas de inferencia solo abarcan las reglas de implicación, pero no incluyen las reglas de reemplazo. [ 19 ]
  8. ↑ Los lógicos usan los símbolos¬{\displaystyle \lnot }o∼{\displaystyle \sim }expresar negación. [ 20 ]
  9. ↑ Las reglas de reemplazo a veces se expresan usando un doble punto y coma. Por ejemplo, la regla de doble negación se puede escribir comoPAG::¬¬PAG{\displaystyle P::\lnot \lnot P}. [ 21 ]
  10. ↑ Además, los sistemas formales también pueden definir axiomas o esquemas axiomáticos . [ 32 ]
  11. ↑ Los sistemas formales pueden tener limitaciones sobre lo que se puede y no se puede demostrar en ellos, como las limitaciones señaladas por Kurt Gödel con respecto a los sistemas formales que codifican la aritmética . [ 34 ]
  12. ↑ Este ejemplo supone quea{\displaystyle a}se refiere a un individuo en el dominio del discurso .
  13. ↑ Una diferencia importante entre la lógica de primer orden y la de segundo orden es que la lógica de segundo orden es incompleta , lo que significa que no es posible proporcionar un conjunto finito de reglas de inferencia con las que se pueda deducir cada teorema. [ 54 ]
  14. ↑ Esta situación también se conoce como explosión deductiva . [ 59 ]
  15. ↑ La notación de Fitch es una forma influyente de presentar demostraciones en sistemas de deducción natural. [ 66 ]

Citas

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