lógica paraconsistente

La lógica paraconsistente es un tipo de lógica no clásica que permite la coexistencia de enunciados contradictorios sin que ello conduzca a una explosión lógica en la que cualquier afirmación pueda ser demostrada como verdadera. En concreto, la lógica paraconsistente es el subcampo de la lógica que se ocupa del estudio y desarrollo de sistemas lógicos "tolerantes a la inconsistencia", excluyendo deliberadamente el principio de explosión .

Las lógicas tolerantes a la inconsistencia se han discutido desde al menos 1910 (y posiblemente mucho antes, por ejemplo en los escritos de Aristóteles ); ^{[ 1 ]} sin embargo, el término paraconsistente ("al lado de lo consistente") fue acuñado en 1976 por el filósofo peruano Francisco Miró Quesada Cantuarias , ^{[ 2 ]} a petición de Newton da Costa , a quien a menudo se le atribuye la creación del campo. ^{[ 3 ] [ 4 ]} El estudio de la lógica paraconsistente ha sido denominado paraconsistencia , ^{[ 5 ]} que abarca la escuela del dialeteísmo .

En la lógica clásica (así como en la lógica intuicionista y la mayoría de las demás lógicas), las contradicciones lo abarcan todo. Esta característica, conocida como el principio de explosión o ex againste sequitur quodlibet ( en latín , "de una contradicción, todo se sigue") ^{[ 6 ]} , puede expresarse formalmente como

Esto significa que si se asume que P y su negación ¬P son verdaderas, entonces de las dos afirmaciones P y (alguna arbitraria) A , al menos una es verdadera. Por lo tanto, P o A es verdadera. Sin embargo, si sabemos que P o A es verdadera, y también que P es falsa (que ¬P es verdadera), podemos concluir que A , que podría ser cualquier cosa, es verdadera. Así, si una teoría contiene una sola inconsistencia, la teoría es trivial ; es decir, cada enunciado es un teorema.

La característica principal de una lógica paraconsistente es que rechaza el principio de explosión. En consecuencia, a diferencia de las lógicas clásicas y otras, las lógicas paraconsistentes pueden utilizarse para formalizar teorías inconsistentes pero no triviales.

Las relaciones de implicación de las lógicas paraconsistentes son proposicionalmente más débiles que la lógica clásica ; es decir, consideran válidas menos inferencias proposicionales. El punto es que una lógica paraconsistente nunca puede ser una extensión proposicional de la lógica clásica, es decir, validar proposicionalmente cada implicación que la lógica clásica realiza. En cierto sentido, entonces, la lógica paraconsistente es más conservadora o cautelosa que la lógica clásica. Es debido a este conservadurismo que los lenguajes paraconsistentes pueden ser más expresivos que sus contrapartes clásicas, incluyendo la jerarquía de metalenguajes de Alfred Tarski y otros. Según Solomon Feferman : "el lenguaje natural abunda en expresiones autorreferenciales directa o indirectamente, pero aparentemente inofensivas , todas las cuales están excluidas del marco tarskiano". ^{[ 7 ]} Esta limitación expresiva —donde en la lógica clásica las tautologías se consideran redundantes— puede superarse en la lógica paraconsistente.

Una motivación fundamental para la lógica paraconsistente es la convicción de que debería ser posible razonar con información inconsistente de forma controlada y selectiva. El principio de explosión lo impide, por lo que debe abandonarse. En las lógicas no paraconsistentes, solo existe una teoría inconsistente: la teoría trivial que considera cada enunciado como un teorema. La lógica paraconsistente permite distinguir entre teorías inconsistentes y razonar con ellas.

La investigación sobre la lógica paraconsistente también ha llevado al establecimiento de la escuela filosófica del dialeteísmo (defendida principalmente por Graham Priest ), que afirma que existen verdaderas contradicciones en la realidad, por ejemplo, grupos de personas con opiniones opuestas sobre diversos temas morales. ^{[ 8 ]} Ser dialeteísta implica racionalmente adoptar alguna forma de lógica paraconsistente, so pena de caer en el trivialismo , es decir, aceptar que todas las contradicciones (y, equivalentemente, todas las afirmaciones) son verdaderas. ^{[ 9 ]} Sin embargo, el estudio de las lógicas paraconsistentes no implica necesariamente una perspectiva dialeteísta. Por ejemplo, no es necesario comprometerse con la existencia de teorías verdaderas ni de verdaderas contradicciones, sino preferir un estándar más débil como la adecuación empírica , como propone Bas van Fraassen . ^{[ 10 ]}

En la lógica clásica, las tres leyes de Aristóteles —el tercero excluido ( p o ¬p ) , la no contradicción ¬ ( p ∧ ¬p ) y la identidad ( p si y solo si p )— se consideran idénticas debido a la interdefinición de los conectores. Además, tradicionalmente se asume que la contradicción (la presencia de contradicciones en una teoría o en un conjunto de conocimientos) y la trivialidad (el hecho de que dicha teoría implique todas las consecuencias posibles) son inseparables, siempre que exista la negación. Estas concepciones pueden ser cuestionadas filosóficamente, precisamente porque no distinguen entre la contradicción y otras formas de inconsistencia.

Por otro lado, es posible deducir trivialidades del «conflicto» entre consistencia y contradicción, una vez que estas nociones se han distinguido adecuadamente. Además, las nociones mismas de consistencia e inconsistencia pueden internalizarse a nivel del lenguaje objeto.

La paraconsistencia implica compensaciones. En particular, abandonar el principio de explosión requiere abandonar al menos uno de los dos principios siguientes: ^{[ 11 ]}

Ambos principios han sido cuestionados.

Un enfoque consiste en rechazar la introducción de la disyunción, pero mantener el silogismo disyuntivo y la transitividad. En este enfoque, se mantienen las reglas de deducción natural , excepto la introducción de la disyunción y el tercero excluido ; además, la inferencia A⊢B no implica necesariamente la implicación A⇒B. Asimismo, se mantienen las siguientes propiedades booleanas habituales: doble negación , así como inferencias de asociatividad , conmutatividad , distributividad , De Morgan e idempotencia (para conjunción y disyunción). Además, la prueba de negación robusta frente a inconsistencias se mantiene para la implicación: (A⇒(B∧¬B))⊢¬A.

Otro enfoque consiste en rechazar el silogismo disyuntivo. Desde la perspectiva del dialeteísmo , tiene perfecto sentido que el silogismo disyuntivo falle. La idea subyacente a este silogismo es que, si ¬A , entonces A queda excluido y B puede inferirse de A ∨ B. Sin embargo, si A puede ser válida además de ¬A , entonces el argumento a favor de la inferencia se debilita.

Otro enfoque consiste en realizar ambas operaciones simultáneamente. En muchos sistemas de lógica relevante , así como en la lógica lineal , existen dos conectores disyuntivos distintos. Uno permite la introducción de disyunciones y el otro, el silogismo disyuntivo. Por supuesto, esto conlleva las desventajas propias de los conectores disyuntivos separados, como la confusión entre ellos y la complejidad para relacionarlos.

Además, la regla de prueba de la negación (a continuación) por sí sola es inconsistentemente no robusta en el sentido de que la negación de toda proposición puede probarse a partir de una contradicción.

Estrictamente hablando, tener solo la regla anterior es paraconsistente porque no es el caso que toda proposición pueda probarse a partir de una contradicción. Sin embargo, si la regla de eliminación de doble negación (${\displaystyle \neg \neg A\vdash A}$) se agrega también, entonces cada proposición puede probarse a partir de una contradicción. La eliminación de la doble negación no se cumple para la lógica intuicionista .

Un ejemplo de lógica paraconsistente es el sistema conocido como LP (" Lógica de la Paradoja "), propuesto por primera vez por el lógico argentino Florencio González Asenjo en 1966 y posteriormente popularizado por Priest y otros. ^{[ 12 ]}

Una forma de presentar la semántica para LP es reemplazar la valoración funcional usual por una relacional . ^{[ 13 ]} La relación binaria${\displaystyle V\,}$relaciona una fórmula con un valor de verdad :${\displaystyle V(A,1)\,}$significa que${\displaystyle A\,}$es cierto y${\displaystyle V(A,0)\,}$significa que${\displaystyle A\,}$es falso. A una fórmula se le debe asignar al menos un valor de verdad, pero no existe ningún requisito de que se le asigne como máximo un valor de verdad. Las cláusulas semánticas para la negación y la disyunción se dan a continuación:

• ${\displaystyle V(\neg A,1)\Leftrightarrow V(A,0)}$
• ${\displaystyle V(\neg A,0)\Leftrightarrow V(A,1)}$
• ${\displaystyle V(A\lor B,1)\Leftrightarrow V(A,1){\text{ o }}V(B,1)}$
• ${\displaystyle V(A\lor B,0)\Leftrightarrow V(A,0){\text{ y }}V(B,0)}$

(Los demás conectores lógicos se definen en términos de negación y disyunción, como de costumbre). O, para expresarlo de forma menos simbólica:

• La afirmación "no A" es verdadera si y solo si A es falsa.
• La afirmación "no A" es falsa si y solo si A es verdadera.
• A o B es verdadero si y solo si A es verdadero o B es verdadero.
• A o B es falso si y solo si A es falso y B es falso.

La consecuencia lógica (semántica) se define entonces como preservación de la verdad:

${\displaystyle \Gamma \vDash A}$si y solo si${\displaystyle A\,}$es cierto siempre que cada elemento de${\displaystyle \Gamma \,}$Es cierto.

Ahora consideremos una valoración.${\displaystyle V\,}$de tal manera que${\displaystyle V(A,1)\,}$y${\displaystyle V(A,0)\,}$pero no es el caso que${\displaystyle V(B,1)\,}$Es fácil comprobar que esta valoración constituye un contraejemplo tanto para el silogismo explosivo como para el disyuntivo. Sin embargo, también es un contraejemplo para el modus ponens en el condicional material de LP. Por esta razón, los defensores de LP suelen abogar por ampliar el sistema para incluir un conector condicional más fuerte que no se pueda definir en términos de negación y disyunción. ^{[ 14 ]}

Como se puede comprobar, la lógica proposicional (LP) conserva la mayoría de los demás patrones de inferencia que se esperarían válidos, como las leyes de De Morgan y las reglas habituales de introducción y eliminación para la negación, la conjunción y la disyunción. Sorprendentemente, las verdades lógicas ( o tautologías ) de la LP son precisamente las de la lógica proposicional clásica. ^{[ 15 ]} (La LP y la lógica clásica difieren solo en las inferencias que consideran válidas). Al relajar el requisito de que cada fórmula sea verdadera o falsa, se obtiene la lógica paraconsistente más débil, comúnmente conocida como implicación de primer grado (FDE). A diferencia de la LP, la FDE no contiene verdades lógicas.

LP es solo una de las muchas lógicas paraconsistentes que se han propuesto. ^{[ 16 ]} Se presenta aquí simplemente como una ilustración de cómo puede funcionar una lógica paraconsistente.

Un tipo importante de lógica paraconsistente es la lógica de relevancia . Una lógica es relevante si satisface la siguiente condición:

Si A → B es un teorema, entonces A y B comparten una constante no lógica .

De ello se deduce que una lógica de relevancia no puede tener ( p ∧ ¬ p ) → q como teorema y, por lo tanto (bajo supuestos razonables), no puede validar la inferencia de { p , ¬ p } a q .

La lógica paraconsistente se solapa significativamente con la lógica multivaluada ; sin embargo, no todas las lógicas paraconsistentes son multivaluadas (y, por supuesto, no todas las lógicas multivaluadas son paraconsistentes). Las lógicas dialécticas , que también son multivaluadas, son paraconsistentes, pero lo contrario no se cumple. La lógica paraconsistente trivaluada ideal que se presenta a continuación se convierte en la lógica RM3 al añadir la contrapositiva.

La lógica intuicionista permite que A ∨ ¬ A no sea equivalente a verdadero, mientras que la lógica paraconsistente permite que A ∧ ¬ A no sea equivalente a falso. Por lo tanto, parece natural considerar la lógica paraconsistente como el " dual " de la lógica intuicionista. Sin embargo, la lógica intuicionista es un sistema lógico específico, mientras que la lógica paraconsistente abarca una gran clase de sistemas. En consecuencia, la noción dual de paraconsistencia se llama paracompletitud , y el "dual" de la lógica intuicionista (una lógica paracompleta específica) es un sistema paraconsistente específico llamado lógica antiintuicionista o lógica dual-intuicionista (a veces denominada lógica brasileña , por razones históricas). ^{[ 17 ]} La dualidad entre los dos sistemas se ve mejor dentro de un marco de cálculo de secuentes . Mientras que en la lógica intuicionista el secuente

${\displaystyle \vdash A\lor \neg A}$

no es derivable, en lógica intuicionista dual

${\displaystyle A\land \neg A\vdash }$

no es derivable . De manera similar, en la lógica intuicionista el secuente

${\displaystyle \neg \neg A\vdash A}$

no es derivable, mientras que en la lógica intuicionista dual

${\displaystyle A\vdash \neg \neg A}$

no es derivable. La lógica dual-intuicionista contiene un conector # conocido como pseudodiferencia que es el dual de la implicación intuicionista. De forma muy laxa, A # B puede leerse como " A pero no B ". Sin embargo, # no es veritativo-funcional como cabría esperar de un operador "pero no"; de forma similar, el operador de implicación intuicionista no puede tratarse como " ¬ ( A ∧ ¬ B ) ". La lógica dual-intuicionista también presenta un conector básico ⊤ que es el dual de ⊥ intuicionista: la negación puede definirse como ¬ A = (⊤ # A ).

Una explicación completa de la dualidad entre la lógica paraconsistente y la lógica intuicionista, incluyendo una explicación de por qué las lógicas dual-tuicionista y paraconsistente no coinciden, se puede encontrar en Brunner y Carnielli (2005).

Estas otras lógicas evitan la explosión: el cálculo proposicional implicacional , el cálculo proposicional positivo , el cálculo de equivalencia y la lógica mínima . Esta última, la lógica mínima, es paraconsistente y paracompleta (un subsistema de la lógica intuicionista). Las otras tres simplemente no permiten expresar una contradicción desde el principio, ya que carecen de la capacidad de formar negaciones.

Aquí hay un ejemplo de una lógica trivalente que es paraconsistente e ideal según se define en "Lógicas paraconsistentes ideales" de O. Arieli, A. Avron y A. Zamansky, especialmente páginas 22-23. ^{[ 18 ]} Los tres valores de verdad son: t (solo verdadero), b (tanto verdadero como falso) y f (solo falso).

Una fórmula es verdadera si su valor de verdad es t o b para la valuación que se esté utilizando. Una fórmula es una tautología de la lógica paraconsistente si es verdadera en toda valuación que mapea proposiciones atómicas a { t , b , f }. Toda tautología de la lógica paraconsistente es también una tautología de la lógica clásica. Para una valuación, el conjunto de fórmulas verdaderas es cerrado bajo el modus ponens y el teorema de deducción . Cualquier tautología de la lógica clásica que no contenga negaciones es también una tautología de la lógica paraconsistente (al fusionar b en t ). Esta lógica a veces se denomina "Pac" o "LFI1".

La lógica paraconsistente se ha aplicado como un medio para gestionar la inconsistencia en numerosos dominios, entre ellos: ^{[ 19 ]}

• Semántica : Se ha propuesto la lógica paraconsistente como un medio para proporcionar una explicación formal de la verdad, sencilla e intuitiva , que no caiga en paradojas como la del mentiroso . Sin embargo, estos sistemas también deben evitar la paradoja de Curry , que es mucho más difícil, ya que no implica esencialmente la negación.
• Epistemología y revisión de creencias : La lógica paraconsistente se ha propuesto como un medio para razonar con teorías y sistemas de creencias inconsistentes y para revisarlos.
• Gestión del conocimiento e inteligencia artificial : Algunos científicos informáticos han utilizado la lógica paraconsistente como medio para lidiar con información inconsistente ^{[ 20 ]} o contradictoria ^{[ 21 ]} . Se ha propuesto un marco matemático y reglas de lógica paraconsistente como función de activación de una neurona artificial para construir una red neuronal para la aproximación de funciones , la identificación de modelos y el control con éxito. ^{[ 22 ]}
• Lógica deóntica y metaética : La lógica paraconsistente se ha propuesto como un medio para abordar los conflictos éticos y otros conflictos normativos.
• Ingeniería de software : Se ha propuesto la lógica paraconsistente como un medio para abordar las inconsistencias generalizadas entre la documentación , los casos de uso y el código de los grandes sistemas de software . ^{[ 23 ] [ 24 ] [ 25 ]}
• Sistema experto . El algoritmo Para-analyzer basado en lógica anotada paraconsistente mediante anotaciones de 2 valores (PAL2v), también llamado lógica evidencial anotada paraconsistente (PAL E t), derivado de la lógica paraconsistente, se ha utilizado en sistemas de toma de decisiones, como para apoyar el diagnóstico médico. ^{[ 26 ]}
• El diseño electrónico utiliza habitualmente una lógica de cuatro valores , donde "alta impedancia (z)" y "indiferente (x)" desempeñan funciones similares a "desconocido" y "tanto verdadero como falso", respectivamente, además de verdadero y falso. Esta lógica se desarrolló independientemente de las lógicas filosóficas .
• Sistema de control : Un control de referencia de modelo construido con una red neuronal recurrente paraconsistente para un péndulo invertido rotatorio presentó mayor robustez y menor esfuerzo de control en comparación con un controlador clásico de colocación de polos bien ajustado. ^{[ 27 ]}
• Filtro digital : El algoritmo de filtro PAL2v, que utiliza una célula neuronal artificial paraconsistente de aprendizaje por extracción de contradicciones (PANLctx) en la composición de una red de análisis paraconsistente (PANnet), basada en las reglas y ecuaciones PAL2V, puede utilizarse como estimador, extractor de promedios, filtro y en el tratamiento de señales para automatización industrial y robótica. ^{[ 28 ] [ 29 ] [ 30 ]}
• Extractor de contradicciones . Se ha utilizado un algoritmo recurrente basado en las reglas y ecuaciones de PAL2v para extraer contradicciones en un conjunto de datos estadísticos. ^{[ 31 ]}
• física cuántica
• Física de los agujeros negros
• radiación de Hawking
• Computación cuántica
• Espintrónica
• Entrelazamiento cuántico
• Acoplamiento cuántico
• Principio de incertidumbre

La lógica, tal como se entiende clásicamente, se basa en tres reglas principales ( Leyes del Pensamiento ): la Ley de Identidad ( LI ), la Ley de No Contradicción ( LNC ) y la Ley del Tercero Excluido ( LEM ). La lógica paraconsistente se desvía de la lógica clásica al negarse a aceptar el principio de explosión .

El lógico Stewart Shapiro se propuso defender la lógica paraconsistente como parte de su argumentación a favor de una visión pluralista de la lógica (la visión de que diferentes lógicas son igualmente apropiadas o igualmente correctas). Concluyó que se podía argumentar que tanto la lógica intuicionista como la "Única Lógica Verdadera" o un pluralismo entre la lógica intuicionista y la clásica resultaban interesantes y fructíferos. Sin embargo, en lo que respecta a la lógica paraconsistente, no encontró "ejemplos convincentes (al menos para mí)". ^{[ 32 ]}

En «Salvando la verdad de la paradoja», Hartry Field examina el valor de la lógica paraconsistente como solución a las paradojas . ^{[ 33 ]} Field defiende una perspectiva que evita tanto las sobrecargas de verdad (donde una afirmación puede ser verdadera y falsa a la vez) como las lagunas de verdad (donde una afirmación no es ni verdadera ni falsa). Una de las preocupaciones de Field es el problema de una metateoría paraconsistente : si la lógica misma permite que las contradicciones sean verdaderas, entonces la metateoría que describe o rige la lógica también podría tener que ser paraconsistente. Si la metateoría es paraconsistente, entonces la justificación de la lógica (por qué deberíamos aceptarla) podría ser dudosa, porque cualquier argumento hecho dentro de un marco paraconsistente podría ser potencialmente válido e inválido a la vez. Esto plantea un desafío para los defensores de la lógica paraconsistente: explicar cómo se puede justificar su lógica sin caer en la paradoja ni perder poder explicativo. Stewart Shapiro expresó preocupaciones similares: «Hay ciertas nociones y conceptos que la dialeteísta invoca (de manera informal), pero que no puede expresar adecuadamente, a menos que la metateoría sea (completamente) coherente. La insistencia en una metateoría coherente socavaría el aspecto clave del dialeteísmo». ^{[ 34 ]}

En su libro "En contradicción", que argumenta a favor del dialeteísmo paraconsistente, Graham Priest admite dificultades metateóricas: "¿Existe una metateoría para las lógicas dialeteístas que sea aceptable en términos paraconsistentes? La respuesta a esta pregunta no es en absoluto obvia." ^{[ 35 ]}

Littmann y Keith Simmons argumentaron que la teoría dialeteísta es ininteligible: "Una vez que nos damos cuenta de que la teoría incluye no solo la afirmación '(L) es a la vez verdadera y falsa' sino también la afirmación '(L) no es a la vez verdadera y falsa', podemos sentirnos desconcertados". ^{[ 36 ]}

Algunos filósofos han argumentado en contra del dialeteísmo basándose en que lo contraintuitivo de renunciar a cualquiera de los tres principios anteriores supera cualquier posible carácter contraintuitivo del principio de explosión.

Otros, como David Lewis , se han opuesto a la lógica paraconsistente argumentando que es simplemente imposible que una proposición y su negación sean simultáneamente verdaderas. ^{[ 37 ]} Una objeción relacionada es que la "negación" en la lógica paraconsistente no es realmente una negación ; es simplemente un operador formador de subcontrarios . ^{[ 38 ]}

Existen enfoques que permiten resolver creencias inconsistentes sin violar ninguno de los principios lógicos intuitivos. La mayoría de estos sistemas utilizan lógica multivaluada con inferencia bayesiana y la teoría de Dempster-Shafer , lo que permite que ninguna creencia no tautológica sea completamente (100%) irrefutable porque debe basarse en un conocimiento incompleto, abstracto, interpretado, probablemente no confirmado, potencialmente desinformado y posiblemente incorrecto (por supuesto, esta misma suposición, si no es tautológica, implica su propia refutación, si por "refutable" entendemos "no completamente [100%] irrefutable").

Entre las figuras destacadas en la historia y/o el desarrollo moderno de la lógica paraconsistente se incluyen:

• Alan Ross Anderson (Estados Unidos, 1925–1973). Uno de los fundadores de la lógica de la relevancia , un tipo de lógica paraconsistente.
• Florencio González Asenjo ( Argentina , 1927-2013)
• Diderik Batens (Bélgica)
• Nuel Belnap (Estados Unidos, n. 1930) desarrolló conectores lógicos de una lógica de cuatro valores .
• Jean-Yves Béziau (Francia/Suiza, n. 1965). Ha escrito extensamente sobre las características estructurales generales y los fundamentos filosóficos de las lógicas paraconsistentes.
• Ross Brady (Australia)
• Bryson Brown (Canadá)
• Walter Carnielli ( Brasil ). Desarrollador de la semántica de posibles traducciones , una nueva semántica que hace que las lógicas paraconsistentes sean aplicables y comprensibles filosóficamente.
• Newton da Costa ( Brasil , 1929-2024). Uno de los primeros en desarrollar sistemas formales de lógica paraconsistente.
• Itala ML D'Ottaviano ( Brasil )
• J. Michael Dunn (Estados Unidos). Una figura importante en la lógica de la relevancia.
• Carl Hewitt
• Stanisław Jaśkowski ( Polonia ). Uno de los primeros en desarrollar sistemas formales de lógica paraconsistente.
• RE Jennings (Canadá)
• David Kellogg Lewis (EE. UU., 1941–2001). Crítico elocuente de la lógica paraconsistente.
• Jan Łukasiewicz ( Polonia , 1878-1956)
• Robert K. Meyer (Estados Unidos/Australia)
• Chris Mortensen (Australia). Ha escrito extensamente sobre matemáticas paraconsistentes .
• Lorenzo Peña (España, n. 1944). Ha desarrollado una línea original de lógica paraconsistente, lógica gradualista (también conocida como lógica transitiva , LT), similar a la lógica difusa .
• Val Plumwood [antes Routley] (Australia, n. 1939). Colaboradora frecuente de Sylvan.
• Graham Priest (Australia). Quizás el defensor más destacado de la lógica paraconsistente en el mundo actual.
• Francisco Miró Quesada ( Perú ). Acuñó el término lógica paraconsistente .
• BH Slater (Australia). Otro crítico elocuente de la lógica paraconsistente.
• Richard Sylvan [anteriormente Routley] (Nueva Zelanda/Australia, 1935–1996). Figura importante en la lógica de la relevancia y colaborador frecuente de Plumwood y Priest.
• Nicolai A. Vasiliev (Rusia, 1880–1940). Fue el primero en construir una lógica tolerante a la contradicción (1910).

• Lógica desviada
• lógica formal
• lógica difusa
• Lógica de probabilidad
• Lógica intuicionista
• Tabla de símbolos lógicos

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