Lista de reglas de inferencia

Esta es una lista de reglas de inferencia , leyes lógicas que se relacionan con fórmulas matemáticas.

Las reglas de inferencia son reglas de transformación sintáctica que permiten inferir una conclusión a partir de una premisa para construir un argumento. Un conjunto de reglas, si es completo, permite inferir cualquier conclusión válida, sin inferir nunca una conclusión inválida si es sólido. Un conjunto de reglas sólido y completo no necesita incluir todas las reglas de la siguiente lista, ya que muchas son redundantes y pueden demostrarse con las demás.

Las reglas de descarga permiten inferir a partir de una subderivación basada en una suposición temporal. A continuación, la notación

${\displaystyle \varphi \vdash \psi }$

indica tal subderivación de la suposición temporal${\displaystyle \varphi }$a${\displaystyle \psi }$.

En las siguientes reglas,${\displaystyle \varphi (\beta /\alpha )}$es exactamente como${\displaystyle \varphi }$excepto por tener el término${\displaystyle \beta }$lo que sea${\displaystyle \varphi }$tiene la variable libre${\displaystyle \alpha }$.

Generalización Universal (o Introducción Universal )

${\displaystyle {\underline {\varphi {(\beta /\alpha )}}}}$

${\displaystyle \forall \alpha \,\varphi }$

Restricción 1: ${\displaystyle \beta }$es una variable que no aparece en${\displaystyle \varphi }$. Restricción 2: ${\displaystyle \beta }$No se menciona en ninguna hipótesis ni supuesto no comprobado.

Instanciación Universal (o Eliminación Universal )

${\displaystyle \forall \alpha \,\varphi }$

${\displaystyle {\overline {\varphi {(\beta /\alpha )}}}}$

Restricción: No se permite la aparición libre de${\displaystyle \alpha }$en${\displaystyle \varphi }$cae dentro del alcance de un cuantificador que cuantifica una variable que ocurre en${\displaystyle \beta }$.

Generalización existencial (o introducción existencial )

${\displaystyle {\underline {\varphi (\beta /\alpha )}}}$

${\displaystyle \exists \alpha \,\varphi }$

Restricción: No se permite la aparición libre de${\displaystyle \alpha }$en${\displaystyle \varphi }$cae dentro del alcance de un cuantificador que cuantifica una variable que ocurre en${\displaystyle \beta }$.

Instanciación existencial (o eliminación existencial )

${\displaystyle \exists \alpha \,\varphi }$

${\displaystyle {\underline {\varphi (\beta /\alpha )\vdash \psi }}}$

${\displaystyle \psi }$

Restricción 1: ${\displaystyle \beta }$es una variable que no aparece en${\displaystyle \varphi }$. Restricción 2: No hay ocurrencia, libre o ligada, de${\displaystyle \beta }$en${\displaystyle \psi }$. Restricción 3: ${\displaystyle \beta }$No se menciona en ninguna hipótesis ni supuesto no comprobado.

Los siguientes son casos especiales de generalización universal y eliminación existencial; estos ocurren en lógicas subestructurales, como la lógica lineal .

Regla de debilitamiento (o monotonicidad de la implicación ) (también conocida como teorema de no clonación )

${\displaystyle \alpha \vdash \beta }$

${\displaystyle {\overline {\alpha ,\alpha \vdash \beta }}}$

Regla de contracción (o idempotencia de la implicación ) (también conocida como teorema de no eliminación )

${\displaystyle {\underline {\alpha ,\alpha ,\gamma \vdash \beta }}}$

${\displaystyle \alpha ,\gamma \vdash \beta }$

Las reglas anteriores se pueden resumir en la siguiente tabla. ^{[ 1 ]} La columna " Tautología " muestra cómo interpretar la notación de una regla dada.

Todas las reglas utilizan los operadores lógicos básicos. Una tabla completa de "operadores lógicos" se muestra mediante una tabla de verdad , que proporciona definiciones de todas las posibles (16) funciones de verdad de 2 variables booleanas ( p , q ):

donde T = verdadero y F = falso, y las columnas son los operadores lógicos :

• 0 , falso , contradicción ;
• 1 , NOR , NOR lógico ( flecha de Peirce );
• 2 , No implicación inversa ;
• 3 , ¬p , Negación ;
• 4 , No implicación material ;
• 5 , ¬q , Negación ;
• 6 , XOR , Disyunción exclusiva ;
• 7 , NAND , NAND lógica ( Sheffer stroke );
• 8 , Y , Conjunción lógica ;
• 9 , XNOR , Si y solo si , Bicondicional lógica ;
• 10 , q , Función de proyección ;
• 11 , si/entonces , Condicional material ;
• 12 , p , Función de proyección ;
• 13 , entonces/si, Implicación inversa ;
• 14 , O , Disyunción lógica ;
• 15 , verdadero , tautología .

Cada operador lógico puede utilizarse en una afirmación sobre variables y operaciones, mostrando una regla básica de inferencia. Ejemplos:

• El operador de la columna 14 (OR) muestra la regla de adición : cuando p = T (la hipótesis selecciona las dos primeras líneas de la tabla), vemos (en la columna 14) que p ∨ q = T.

  También podemos ver que, con la misma premisa, son válidas otras conclusiones: las columnas 12, 14 y 15 son T.

• El operador de la columna 8 (AND) muestra la regla de simplificación : cuando p ∧ q = T (primera línea de la tabla), vemos que p = T.

  Con esta premisa, también concluimos que q =T, p ∨ q =T, etc., como se muestra en las columnas 9 a 15.

• El operador de la columna 11 (SI/ENTONCES) muestra la regla del Modus ponens : cuando p → q = V y p = V, solo una fila de la tabla de verdad (la primera) satisface estas dos condiciones. En esta fila, q también es verdadera. Por lo tanto, siempre que p → q sea verdadera y p sea verdadera, q también debe ser verdadera.

Las máquinas y las personas bien capacitadas utilizan este método de consulta de tablas para realizar inferencias básicas y para comprobar si se pueden obtener otras inferencias (para las mismas premisas).

• Lista de sistemas lógicos
• Modus ponendo tollens