eliminación de disyunción

En lógica proposicional , la eliminación de disyunciones ^{[ 1 ] [ 2 ]} (a veces llamada prueba por casos , análisis de casos o eliminación de disyunciones ) es la forma de argumento válida y regla de inferencia que permite eliminar una proposición disyuntiva de una prueba lógica . Es la inferencia de que si una proposición${\displaystyle P}$implica una afirmación${\displaystyle Q}$y una declaración${\displaystyle R}$también implica${\displaystyle Q}$, entonces si alguno de los dos${\displaystyle P}$o${\displaystyle R}$Si es cierto, entonces${\displaystyle Q}$Tiene que ser cierto. El razonamiento es simple: puesto que al menos una de las afirmaciones P y R es verdadera, y puesto que cualquiera de ellas sería suficiente para implicar Q, Q es ciertamente verdadera.

Un ejemplo en inglés :

1. Si estoy dentro, llevo mi cartera conmigo.

2. Si estoy en la calle, llevo mi cartera conmigo.

3. Es cierto que o estoy dentro o estoy fuera.

Por lo tanto, llevo mi billetera conmigo.

La regla se puede enunciar de la siguiente manera:

${\displaystyle {\begin{aligned}1.\quad &P\to Q\\2.\quad &R\to Q\\3.\quad &P\lor R\\\therefore \quad &Q\end{aligned}}}$

donde la regla es que siempre que haya instancias de "${\displaystyle P\to Q}$", y "${\displaystyle R\to Q}$" y "${\displaystyle P\lor R}$"aparecen en las líneas de una prueba,"${\displaystyle Q}$" puede colocarse en una línea posterior.

La regla de eliminación de disyunciones se puede escribir en notación secuencial :

${\displaystyle (P\to Q),(R\to Q),(P\lor R)\vdash Q}$

dónde${\displaystyle \vdash }$es un símbolo metalógico que significa que${\displaystyle Q}$es una consecuencia sintáctica de${\displaystyle P\to Q}$, y${\displaystyle R\to Q}$y${\displaystyle P\lor R}$en algún sistema lógico;

y expresada como una tautología veritativo-funcional o un teorema de lógica proposicional:

${\displaystyle (((P\to Q)\land (R\to Q))\land (P\lor R))\to Q}$

dónde${\displaystyle P}$,${\displaystyle Q}$, y${\displaystyle R}$son proposiciones expresadas en algún sistema formal .

• Disyunción
• Argumento alternativo
• Forma normal disyunta
• Prueba por agotamiento