Introducción a la negación

La introducción de la negación es una regla de inferencia , o regla de transformación , en el campo del cálculo proposicional .

La introducción de la negación establece que si un antecedente dado implica tanto el consecuente como su complemento, entonces esto implica el antecedente negado. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

Esto se puede escribir como:

${\displaystyle {\Big (}(P\rightarrow Q)\land (P\rightarrow \neg Q){\Big )}\rightarrow \neg P}$

Un ejemplo de su uso sería intentar demostrar dos afirmaciones contradictorias a partir de un solo hecho. Por ejemplo, si una persona afirma: "Siempre que oigo sonar el teléfono, me siento feliz" y luego dice: "Siempre que oigo sonar el teléfono, no me siento feliz", se puede inferir que esa persona nunca oye sonar el teléfono.

Muchas demostraciones por contradicción utilizan la introducción de la negación como esquema de razonamiento: para probar ¬ P , se asume por contradicción P , y luego se derivan de ella dos inferencias contradictorias Q y ¬ Q. Dado que esta última contradicción hace imposible P , ¬ P debe ser verdadera.

Con${\displaystyle \neg P}$identificado como${\displaystyle P\to \bot }$, el principio es como un caso especial del teorema de Frege , ya en lógica mínima .

Otra derivación hace uso de${\displaystyle A\to \neg B}$como la forma equivalente al curry de${\displaystyle \neg (A\land B)}$. Usando esto dos veces, el principio se ve equivalente a la negación de ${\displaystyle {\big (}P\land (P\to Q){\big )}\land \neg (P\land Q)}$ lo cual, a través del modus ponens y las reglas para las conjunciones, es en sí mismo equivalente al principio de no contradicción válido para${\displaystyle P\land Q}$.

Una derivación clásica que pasa por la introducción de una disyunción puede expresarse de la siguiente manera:

• Reducción al absurdo