función delta de Dirac

Una forma de capturar rigurosamente la noción de la función delta de Dirac es definir una medida , llamada medida de Dirac , que acepta un subconjunto${\displaystyle A}$de la línea real${\displaystyle \mathbb {R} }$como argumento, y devuelve${\displaystyle \delta (A)=1}$si${\displaystyle 0\in A}$, y${\displaystyle \delta (A)=0}$si no. ^{[ 28 ]} Si la función delta se conceptualiza como un modelo de una masa puntual idealizada en 0, entonces${\displaystyle \delta (A)}$representa la masa contenida en el conjunto${\displaystyle A}$Entonces se puede definir la integral contra${\displaystyle \delta }$como la integral de una función con respecto a esta distribución de masa. Formalmente, la integral de Lebesgue proporciona el dispositivo analítico necesario. La integral de Lebesgue con respecto a la medida${\displaystyle \delta }$Satisface $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,\delta (dx)=f(0)}$$ para todas las funciones continuas compatibles de forma compacta${\displaystyle f}$La medida${\displaystyle \delta }$no es absolutamente continua con respecto a la medida de Lebesgue ; de ​​hecho, es una medida singular . En consecuencia, la medida delta no tiene derivada de Radon-Nikodym (con respecto a la medida de Lebesgue); no es una función verdadera para la cual la propiedad $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,\delta (x)\,dx=f(0)}$$ se cumple. ^{[ 29 ]} Como resultado, esta última notación es un abuso conveniente de la notación , y no una integral estándar ( de Riemann o Lebesgue ). ^{[ 30 ]}

Como medida de probabilidad en${\displaystyle \mathbb {R} }$, la medida delta se caracteriza por su función de distribución acumulativa , que es la función escalón unitario . ^{[ 31 ]}$${\displaystyle H(x)={\begin{cases}1&{\text{if }}x\geq 0\\0&{\text{if }}x<0.\end{cases}}}$$ Esto significa que${\displaystyle H(x)}$es la integral de la función indicadora acumulativa${\displaystyle \mathbb {1} _{(-\infty ,x]}}$con respecto a la medida${\displaystyle \delta }$; a saber, $${\displaystyle H(x)=\int _{\mathbf {R} }\mathbf {1} _{(-\infty ,x]}(t)\,\delta (dt)=\delta \!\left((-\infty ,x]\right),}$$ Esta última es la medida de este intervalo. Así, en particular, la integración de la función delta con respecto a una función continua puede entenderse adecuadamente como una integral de Riemann-Stieltjes : ^{[ 32 ]}$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,\delta (dx)=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dH(x).}$$

Todos los momentos más elevados de${\displaystyle \delta }$son cero. En particular, la función característica y la función generadora de momentos son ambas iguales a uno. ^{[ 33 ]}

En la teoría de las distribuciones , una función generalizada no se considera una función en sí misma, sino solo por cómo afecta a otras funciones cuando se "integra" con respecto a ellas. ^{[ 34 ]} De acuerdo con esta filosofía, para definir la función delta correctamente, basta con decir cuál es la "integral" de la función delta con respecto a una función de prueba suficientemente "buena".${\displaystyle \varphi }$. ^{[ 7 ]} Si la función delta ya se entiende como una medida, entonces la integral de Lebesgue de una función de prueba con respecto a esa medida proporciona la integral necesaria. ^{[ 35 ]}

Un espacio típico de funciones de prueba consiste en todas las funciones suaves en${\displaystyle \mathbb {R} }$con soporte compacto que tiene tantas derivadas como se requieran. Como distribución, la delta de Dirac es un funcional lineal en el espacio de funciones de prueba y se define por

para cada función de prueba${\displaystyle \varphi }$. ^{[ 36 ]}

Para${\displaystyle \delta }$Para ser propiamente una distribución, debe ser continua en una topología adecuada en el espacio de funciones de prueba. En general, para una función lineal${\displaystyle S}$En el espacio de funciones de prueba para definir una distribución, es necesario y suficiente que, para cada entero positivo${\displaystyle N}$, hay un número entero${\displaystyle M_{N}}$y una constante${\displaystyle C_{N}}$, de tal manera que para cada función de prueba${\displaystyle \varphi }$, uno tiene la desigualdad $${\displaystyle \left|S[\varphi ]\right|\leq C_{N}\sum _{k=0}^{M_{N}}\sup _{x\in [-N,N]}\left|\varphi ^{(k)}(x)\right|}$$ dónde${\displaystyle \sup }$representa el supremo . Con el${\displaystyle \delta }$distribución, uno tiene tal desigualdad (con${\displaystyle C_{N}=1}$con${\displaystyle M_{N}=0}$a pesar de${\displaystyle N}$. De este modo,${\displaystyle \delta }$es una distribución de orden cero. Además, es una distribución con soporte compacto; el soporte es${\displaystyle \{0\}}$. ^{[ 37 ]}

La distribución delta también puede definirse de varias maneras equivalentes. Por ejemplo, es la derivada distribucional de la función escalón de Heaviside . Esto significa que para cada función de prueba φ , se tiene $${\displaystyle \delta [\varphi ]=-\int _{-\infty }^{\infty }\varphi '(x)\,H(x)\,dx.}$$

Intuitivamente, si se permitiera la integración por partes , entonces la última integral debería simplificarse a$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\varphi (x)\,H'(x)\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (x)\,\delta (x)\,dx,}$$ y, de hecho, se permite una forma de integración por partes para la integral de Stieltjes, y en ese caso, uno sí tiene $${\displaystyle -\int _{-\infty }^{\infty }\varphi '(x)\,H(x)\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (x)\,dH(x).}$$

En el contexto de la teoría de la medida, la medida de Dirac da lugar a una distribución por integración. Recíprocamente, la ecuación ( 1 ) define una integral de Daniell en el espacio de todas las funciones continuas con soporte compacto.${\displaystyle \varphi }$que, por el teorema de representación de Riesz , puede representarse como la integral de Lebesgue de${\displaystyle \varphi }$con respecto a alguna medida de Radon . ^{[ 38 ]}

Generalmente, cuando se utiliza el término función delta de Dirac , se hace referencia a distribuciones más que a medidas, siendo la medida de Dirac uno de los diversos términos que designan la noción correspondiente en la teoría de la medida. Algunas fuentes también pueden utilizar el término distribución delta de Dirac .

La función delta se puede definir en el espacio euclidiano n -dimensional R ⁿ como la medida tal que

$${\displaystyle \int _{\mathbf {R} ^{n}}f(\mathbf {x} )\,\delta (d\mathbf {x} )=f(\mathbf {0} )}$$

para cada función continua f con soporte compacto . Como medida, la función delta n -dimensional es la medida producto de las funciones delta 1-dimensionales en cada variable por separado. Así, formalmente, con x = ( x ₁ , x ₂ , ..., x _n ) , se tiene ^{[ 39 ]}

La función delta también puede definirse en el sentido de distribuciones exactamente como se indicó anteriormente en el caso unidimensional. ^{[ 40 ]} Sin embargo, a pesar de su uso generalizado en contextos de ingeniería, ( 2 ) debe manipularse con cuidado, ya que el producto de distribuciones solo puede definirse bajo circunstancias bastante restringidas. ^{[ 41 ] [ 42 ]}

La noción de medida de Dirac tiene sentido en cualquier conjunto. ^{[ 28 ]} Por lo tanto, si X es un conjunto, x ₀ ∈ X es un punto marcado y Σ es cualquier sigma álgebra de subconjuntos de X , entonces la medida definida en conjuntos A ∈ Σ por

$${\displaystyle \delta _{x_{0}}(A)={\begin{cases}1&{\text{if }}x_{0}\in A\\0&{\text{if }}x_{0}\notin A\end{cases}}}$$

es la medida delta o unidad de masa concentrada en x ₀ .

Otra generalización común de la función delta es a una variedad diferenciable , donde la mayoría de sus propiedades como distribución también pueden aprovecharse debido a la estructura diferenciable . La función delta en una variedad M centrada en el punto x ₀ ∈ M se define como la siguiente distribución:

para todas las funciones reales suaves φ soportadas ^de forma compacta en M. ^{[ 43} ] Un caso especial común de esta construcción es un caso en el que M es un conjunto abierto en el espacio euclidiano R ⁿ .

En un espacio de Hausdorff localmente compacto X , la medida delta de Dirac concentrada en un punto x es la medida de Radon asociada con la integral de Daniell ( 3 ) en funciones continuas con soporte compacto φ . ^{[ 44 ]} A este nivel de generalidad, el cálculo como tal ya no es posible; sin embargo, se dispone de diversas técnicas del análisis abstracto. Por ejemplo, el mapeo${\displaystyle x_{0}\mapsto \delta _{x_{0}}}$es una incrustación continua de X en el espacio de medidas de Radon finitas sobre ^X , equipada con su topología vaga . Además, la envoltura convexa de la imagen de X bajo esta incrustación es densa en el espacio de medidas de probabilidad sobre X. ^{[ 45} ]

La función delta satisface la siguiente propiedad de escala para un escalar distinto de cero.${\displaystyle \alpha }$: ^{[ 46 ]}$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\delta (\alpha x)f(x)\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }\delta (u)f(u/\alpha )\,{\frac {du}{|\alpha |}}={\frac {f(0)}{|\alpha |}}}$$

y entonces

En particular, la función delta es una distribución uniforme (simetría), en el sentido de que

$${\displaystyle \delta (-x)=\delta (x)}$$

que es homogéneo de grado − 1 .

El producto distributivo de δ con x es igual a cero:

$${\displaystyle x\,\delta (x)=0.}$$

En términos más generales,${\displaystyle (x-a)^{n}\delta (x-a)=0}$para todos los enteros positivos${\displaystyle n}$.

Por el contrario, si xf ( x ) = xg ( x ) , donde f y g son distribuciones, entonces

$${\displaystyle f(x)=g(x)+c\delta (x)}$$

para alguna constante c . ^{[ 47 ]}

La integral de cualquier función multiplicada por la delta de Dirac con retardo temporal${\displaystyle \delta _{T}(t){=}\delta (t{-}T)}$es

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(t)\,\delta (t-T)\,dt=f(T).}$$

A esto se le denomina a veces propiedad ^de filtrado ^{[ 48 ]} o propiedad de muestreo . ^{[ 49 ]} Se dice que la función delta "filtra" el valor de f(t) en t = T. ^{[ 50} ]

De ello se deduce que el efecto de convolucionar una función f ( t ) con la delta de Dirac retardada en el tiempo es retardar f ( t ) en la misma cantidad: ^{[ 51 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}(f*\delta _{T})(t)\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )\,\delta (t-T-\tau )\,d\tau \\&=\int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )\,\delta (\tau -(t-T))\,d\tau \qquad {\text{since}}~\delta (-x)=\delta (x)~~{\text{by (4)}}\\&=f(t-T).\end{aligned}}}$$

La propiedad de tamizado se cumple bajo la condición precisa de que f sea una distribución temperada (véase la discusión de la transformada de Fourier más adelante ). Como caso especial, por ejemplo, tenemos la identidad (entendida en el sentido de distribución).

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\delta (\xi -x)\delta (x-\eta )\,dx=\delta (\eta -\xi ).}$$

De manera más general, la distribución delta puede componerse con una función suave g ( x ) de tal forma que se cumpla la conocida fórmula de cambio de variables (donde${\displaystyle u=g(x)}$), eso

$${\displaystyle \int _{\mathbb {R} }\delta {\bigl (}g(x){\bigr )}f{\bigl (}g(x){\bigr )}\left|g'(x)\right|dx=\int _{g(\mathbb {R} )}\delta (u)\,f(u)\,du}$$

siempre que g sea una función continuamente diferenciable con g ′ distinto de cero. ^{[ 52 ]} Es decir, existe una única manera de asignar significado a la distribución${\displaystyle \delta \circ g}$de modo que esta identidad se cumple para todas las funciones de prueba f con soporte compacto . Por lo tanto, el dominio debe dividirse para excluir el punto g ′ = 0. Esta distribución satisface δ ( g ( x )) = 0 si g no es cero en ningún lugar, y de otro modo si g tiene una raíz real en x ₀ , entonces

$${\displaystyle \delta (g(x))={\frac {\delta (x-x_{0})}{|g'(x_{0})|}}.}$$

Por lo tanto, es natural definir la composición δ ( g ( x )) para funciones g continuamente diferenciables mediante

$${\displaystyle \delta (g(x))=\sum _{i}{\frac {\delta (x-x_{i})}{|g'(x_{i})|}}}$$

donde la suma se extiende sobre todas las raíces de g ( x ) , que se suponen simples . Así, por ejemplo

$${\displaystyle \delta \left(x^{2}-\alpha ^{2}\right)={\frac {1}{2|\alpha |}}{\Big [}\delta \left(x+\alpha \right)+\delta \left(x-\alpha \right){\Big ]}.}$$

En forma integral, la propiedad de escalamiento generalizada puede escribirse como

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,\delta (g(x))\,dx=\sum _{i}{\frac {f(x_{i})}{|g'(x_{i})|}}.}$$

Para una constante${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$y una función arbitraria de valor real "bien comportada" y ( x ) , $${\displaystyle \displaystyle {\int }y(x)\delta (x-a)dx=y(a)H(x-a)+c,}$$ donde H ( x ) es la función escalón de Heaviside y c es una constante de integración.

La distribución delta en un espacio n- dimensional satisface la siguiente propiedad de escalamiento: $${\displaystyle \delta (\alpha {\boldsymbol {x}})=|\alpha |^{-n}\delta ({\boldsymbol {x}})~,}$$ de modo que δ sea una distribución homogénea de grado − n .

Bajo cualquier reflexión o rotación ρ , la función delta es invariante, $${\displaystyle \delta (\rho {\boldsymbol {x}})=\delta ({\boldsymbol {x}})~.}$$

Al igual que en el caso de una variable, es posible definir la composición de δ con una función bi-Lipschitz ^{[ 53 ]} g : R ⁿ → R ⁿ de forma única, de modo que se cumpla lo siguiente. $${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}\delta (g({\boldsymbol {x}}))\,f(g({\boldsymbol {x}}))\left|\det g'({\boldsymbol {x}})\right|d{\boldsymbol {x}}=\int _{g(\mathbb {R} ^{n})}\delta ({\boldsymbol {u}})f({\boldsymbol {u}})\,d{\boldsymbol {u}}}$$ para todas las funciones f admitidas de forma compacta .

Utilizando la fórmula de coarea de la teoría de la medida geométrica , también se puede definir la composición de la función delta con una inmersión de un espacio euclidiano a otro de diferente dimensión; el resultado es un tipo de corriente . En el caso especial de una función continuamente diferenciable g  : R ⁿ → R tal que el gradiente de g no es cero en ningún punto, se cumple la siguiente identidad ^{[ 54 ].}$${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}f({\boldsymbol {x}})\,\delta (g({\boldsymbol {x}}))\,d{\boldsymbol {x}}=\int _{g^{-1}(0)}{\frac {f({\boldsymbol {x}})}{|{\boldsymbol {\nabla }}g|}}\,d\sigma ({\boldsymbol {x}})}$$ donde la integral de la derecha se extiende sobre g ⁻¹ (0) , la superficie ( n − 1) dimensional definida por g ( x ) = 0 con respecto a la medida de contenido de Minkowski . Esto se conoce como una integral de capa simple .

De forma más general, si S es una hipersuperficie suave de R ⁿ , entonces podemos asociar a S la distribución que integra cualquier función suave g con soporte compacto sobre S : $${\displaystyle \delta _{S}[g]=\int _{S}g({\boldsymbol {s}})\,d\sigma ({\boldsymbol {s}})}$$

donde σ es la medida de hipersuperficie asociada a S. Esta generalización está asociada con la teoría potencial de potenciales de capa simple en S. Si D es un dominio en R ⁿ con frontera suave S , entonces δ _S es igual a la derivada normal de la función indicadora de D en el sentido de distribución,

$${\displaystyle -\int _{\mathbb {R} ^{n}}g({\boldsymbol {x}})\,{\frac {\partial 1_{D}({\boldsymbol {x}})}{\partial n}}\,d{\boldsymbol {x}}=\int _{S}\,g({\boldsymbol {s}})\,d\sigma ({\boldsymbol {s}}),}$$

donde n es la normal exterior. ^{[ 55 ] [ 56 ]}

En tres dimensiones, la función delta en${\displaystyle {\boldsymbol {r}}_{0}=(x_{0},y_{0},z_{0})=(\sin \theta _{0}\cos \phi _{0},\sin \theta _{0}\sin \phi _{0},\cos \theta _{0})r_{0}}$se representa en coordenadas esféricas mediante:

$${\displaystyle \delta ({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{0})={\begin{cases}\displaystyle {\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}\delta (r-r_{0})\delta (\theta -\theta _{0})\delta (\phi -\phi _{0}),&x_{0}^{2}+y_{0}^{2}>0;\\\displaystyle {\frac {1}{2\pi r^{2}\sin \theta }}\delta (r-r_{0})\delta (\theta -\theta _{0}),&x_{0}=y_{0}=0,\ z_{0}=\pm r_{0}\neq 0;\\\displaystyle {\frac {1}{4\pi r^{2}}}\delta (r-r_{0}),&x_{0}=y_{0}=z_{0}=r_{0}=0.\end{cases}}}$$

De forma más general, en un conjunto abierto U en el espacio euclidiano n -dimensional .${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, la distribución delta de Dirac centrada en un punto a ∈ U se define por ^{[ 61 ]}$${\displaystyle \delta _{a}[\varphi ]=\varphi (a)}$$ a pesar de${\displaystyle \varphi \in C_{c}^{\infty }(U)}$, el espacio de todas las funciones suaves con soporte compacto en U . Si${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})}$es cualquier índice múltiple con${\displaystyle |\alpha |=\alpha _{1}+\cdots +\alpha _{n}}$y${\displaystyle \partial ^{\alpha }}$denota el operador de derivada parcial mixta asociada , entonces la α -ésima derivada ∂ ^α δ _a de δ _a viene dada por ^{[ 61 ]}

$${\displaystyle \left\langle \partial ^{\alpha }\delta _{a},\,\varphi \right\rangle =(-1)^{|\alpha |}\left\langle \delta _{a},\partial ^{\alpha }\varphi \right\rangle =(-1)^{|\alpha |}\partial ^{\alpha }\varphi (x){\Big |}_{x=a}\quad {\text{ for all }}\varphi \in C_{c}^{\infty }(U).}$$

Es decir, la α -ésima derivada de δ _a es la distribución cuyo valor en cualquier función de prueba φ es la α -ésima derivada de φ en a (con el signo positivo o negativo apropiado).

Las primeras derivadas parciales de la función delta se consideran capas dobles a lo largo de los planos de coordenadas. De forma más general, la derivada normal de una capa simple apoyada sobre una superficie es una capa doble apoyada sobre esa superficie y representa un monopolo magnético laminar. Las derivadas de orden superior de la función delta se conocen en física como multipolos . ^{[ 62 ]}

Las derivadas de orden superior entran en las matemáticas de forma natural como bloques de construcción para la estructura completa de las distribuciones con soporte puntual. Si S es cualquier distribución en U soportada en el conjunto { a } que consta de un solo punto, entonces existe un entero m y coeficientes c _α tales que ^{[ 61 ] [ 63 ]}$${\displaystyle S=\sum _{|\alpha |\leq m}c_{\alpha }\partial ^{\alpha }\delta _{a}.}$$

Una función delta aproximada η _ε puede construirse de la siguiente manera. Sea η una función absolutamente integrable en R de integral total 1 , y definamos $${\displaystyle \eta _{\varepsilon }(x)=\varepsilon ^{-1}\eta \left({\frac {x}{\varepsilon }}\right).}$$

En n dimensiones, se utiliza en su lugar el escalado $${\displaystyle \eta _{\varepsilon }(x)=\varepsilon ^{-n}\eta \left({\frac {x}{\varepsilon }}\right).}$$

Entonces, un simple cambio de variables muestra que η _ε también tiene integral 1. Se puede demostrar que ( 5 ) se cumple para todas las funciones continuas con soporte compacto f , ^{[ 64 ]} y por lo tanto η _ε converge débilmente a δ en el sentido de medidas.

Las η _ε construidas de esta manera se conocen como una aproximación a la identidad . ^{[ 65 ]} Esta terminología se debe a que el espacio L ¹ ( R ) de funciones absolutamente integrables es cerrado bajo la operación de convolución de funciones: f ∗ g ∈ L ¹ ( R ) siempre que f y g estén en L ¹ ( R ) . Sin embargo, no hay una identidad en L ¹ ( R ) para el producto de convolución: ningún elemento h tal que f ∗ h = f para todo f . No obstante, la secuencia η _ε sí aproxima dicha identidad en el sentido de que

$${\displaystyle f*\eta _{\varepsilon }\to f\quad {\text{as }}\varepsilon \to 0.}$$

Este límite se cumple en el sentido de convergencia media (convergencia en L ¹ ). Se necesitan condiciones adicionales sobre η _ε , por ejemplo que sea un suavizador asociado a una función de soporte compacto, ^{[ 66 ]} para asegurar la convergencia puntual en casi todas partes .

Si la η inicial = η ₁ es suave y tiene soporte compacto, entonces la secuencia se denomina suavizador . El suavizador estándar se obtiene eligiendo η como una función de protuberancia adecuadamente normalizada , por ejemplo

$${\displaystyle \eta (x)={\begin{cases}{\frac {1}{I_{n}}}\exp {\Big (}-{\frac {1}{1-|x|^{2}}}{\Big )}&{\text{if }}|x|<1\\0&{\text{if }}|x|\geq 1.\end{cases}}}$$ (${\displaystyle I_{n}}$asegurando que la integral total sea 1).

En algunas situaciones, como en el análisis numérico , es deseable una aproximación lineal por partes a la identidad. Esto se puede obtener tomando η ₁ como una función sombrero . Con esta elección de η ₁ , se tiene

$${\displaystyle \eta _{\varepsilon }(x)=\varepsilon ^{-1}\max \left(1-\left|{\frac {x}{\varepsilon }}\right|,0\right)}$$

que son todas continuas y están sostenidas de forma compacta, aunque no lisas y por lo tanto no son un suavizante.

En el contexto de la teoría de la probabilidad , es natural imponer la condición adicional de que el η ₁ inicial en una aproximación a la identidad debe ser positivo, ya que dicha función representa entonces una distribución de probabilidad . La convolución con una distribución de probabilidad a veces es favorable porque no produce sobreimpulso ni subimpulso, ya que la salida es una combinación convexa de los valores de entrada y, por lo tanto, cae entre el máximo y el mínimo de la función de entrada. Tomando η ₁ como cualquier distribución de probabilidad, y haciendo η _ε ( x ) = η ₁ ( x / ε )/ ε como se indicó anteriormente, se obtendrá una aproximación a la identidad. En general, esto converge más rápidamente a una función delta si, además, η tiene media 0 y tiene momentos de orden superior pequeños. Por ejemplo, si η ₁ es la distribución uniforme en${\textstyle \left[-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\right]}$, también conocida como la función rectangular , entonces: ^{[ 67 ]}$${\displaystyle \eta _{\varepsilon }(x)={\frac {1}{\varepsilon }}\operatorname {rect} \left({\frac {x}{\varepsilon }}\right)={\begin{cases}{\frac {1}{\varepsilon }},&-{\frac {\varepsilon }{2}}<x<{\frac {\varepsilon }{2}},\\0,&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$$

Otro ejemplo es la distribución del semicírculo de Wigner.$${\displaystyle \eta _{\varepsilon }(x)={\begin{cases}{\frac {2}{\pi \varepsilon ^{2}}}{\sqrt {\varepsilon ^{2}-x^{2}}},&-\varepsilon <x<\varepsilon ,\\0,&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$$

Es continuo y está bien sujeto, pero no es un suavizante porque no es liso.

Las aproximaciones a las funciones delta a menudo surgen como semigrupos de convolución . ^{[ 68 ]} Esto equivale a la restricción adicional de que la convolución de η _ε con η _δ debe satisfacer $${\displaystyle \eta _{\varepsilon }*\eta _{\delta }=\eta _{\varepsilon +\delta }}$$

para todo ε , δ > 0 . Los semigrupos de convolución en L ¹ que aproximan la función delta son siempre una aproximación a la identidad en el sentido anterior, sin embargo, la condición de semigrupo es una restricción bastante fuerte.

En la práctica, los semigrupos que aproximan la función delta surgen como soluciones fundamentales o funciones de Green de ecuaciones diferenciales parciales elípticas o parabólicas con motivación física . En el contexto de las matemáticas aplicadas , los semigrupos surgen como el resultado de un sistema lineal invariante en el tiempo . De forma abstracta, si A es un operador lineal que actúa sobre funciones de x , entonces un semigrupo de convolución surge al resolver el problema de valor inicial.

$${\displaystyle {\begin{cases}{\dfrac {\partial }{\partial t}}\eta (t,x)=A\eta (t,x),\quad t>0\\[5pt]\displaystyle \lim _{t\to 0^{+}}\eta (t,x)=\delta (x)\end{cases}}}$$

en el que el límite se entiende como de costumbre en el sentido débil. Haciendo η _ε ( x ) = η ( ε , x ) se obtiene la función delta aproximada asociada.

Algunos ejemplos de semigrupos de convolución físicamente importantes que surgen de una solución fundamental de este tipo incluyen los siguientes.

El núcleo de calor

El núcleo de calor , definido por ^{[ 69 ]}$${\displaystyle \eta _{\varepsilon }(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \varepsilon }}}\mathrm {e} ^{-{\frac {x^{2}}{2\varepsilon }}}}$$ representa la temperatura en un alambre infinito en el instante t > 0 , si se almacena una unidad de energía calorífica en el origen del alambre en el instante t = 0. Este semigrupo evoluciona según la ecuación de calor unidimensional : $${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}={\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}.}$$

En teoría de la probabilidad , η _ε ( x ) es una distribución normal con varianza ε y media 0. Representa la densidad de probabilidad en el instante t = ε de la posición de una partícula que parte del origen siguiendo un movimiento browniano estándar . En este contexto, la condición de semigrupo es una expresión de la propiedad markoviana del movimiento browniano.

En el espacio euclidiano de dimensiones superiores R ⁿ , el núcleo de calor es $${\displaystyle \eta _{\varepsilon }={\frac {1}{(2\pi \varepsilon )^{n/2}}}\mathrm {e} ^{-{\frac {x\cdot x}{2\varepsilon }}},}$$ y tiene la misma interpretación física, mutatis mutandis . También representa una aproximación a la función delta en el sentido de que η _ε → δ en el sentido de distribución cuando ε → 0 .

En áreas de la física como la propagación de ondas y la mecánica ondulatoria , las ecuaciones involucradas son hiperbólicas y, por lo tanto, pueden tener soluciones más singulares. Como resultado, las funciones delta aproximadas que surgen como soluciones fundamentales de los problemas de Cauchy asociados son generalmente integrales oscilatorias . Un ejemplo, que proviene de una solución de la ecuación de Euler-Tricomi de la dinámica de gases transónicos , ^{[ 72 ]} es la función de Airy reescalada .$${\displaystyle \varepsilon ^{-1/3}\operatorname {Ai} \left(x\varepsilon ^{-1/3}\right).}$$

Aunque al usar la transformada de Fourier es fácil ver que esto genera un semigrupo en cierto sentido, no es absolutamente integrable y, por lo tanto, no puede definir un semigrupo en el sentido estricto mencionado anteriormente. Muchas funciones delta aproximadas construidas como integrales oscilatorias solo convergen en el sentido de las distribuciones (un ejemplo es el núcleo de Dirichlet que se muestra a continuación), en lugar de en el sentido de las medidas.

Otro ejemplo es el problema de Cauchy para la ecuación de onda en R ¹⁺¹ : ^{[ 73 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}c^{-2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}-\Delta u&=0\\u=0,\quad {\frac {\partial u}{\partial t}}=\delta &\qquad {\text{for }}t=0.\end{aligned}}}$$

La solución u representa el desplazamiento desde el equilibrio de una cuerda elástica infinita, con una perturbación inicial en el origen.

Otras aproximaciones a la identidad de este tipo incluyen la función sinc (ampliamente utilizada en electrónica y telecomunicaciones). $${\displaystyle \eta _{\varepsilon }(x)={\frac {1}{\pi x}}\sin \left({\frac {x}{\varepsilon }}\right)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-{\frac {1}{\varepsilon }}}^{\frac {1}{\varepsilon }}\cos(kx)\,dk}$$

y la función de Bessel$${\displaystyle \eta _{\varepsilon }(x)={\frac {1}{\varepsilon }}J_{\frac {1}{\varepsilon }}\left({\frac {x+1}{\varepsilon }}\right).}$$

Un enfoque para el estudio de una ecuación diferencial parcial lineal $${\displaystyle L[u]=f,}$$

donde L es un operador diferencial en R ⁿ , es buscar primero una solución fundamental, que es una solución de la ecuación $${\displaystyle L[u]=\delta .}$$

Cuando L es particularmente simple, este problema a menudo se puede resolver utilizando la transformada de Fourier directamente (como en el caso del núcleo de Poisson y el núcleo de calor ya mencionados). Para operadores más complicados, a veces es más fácil considerar primero una ecuación de la forma $${\displaystyle L[u]=h}$$

donde h es una función de onda plana , lo que significa que tiene la forma $${\displaystyle h=h(x\cdot \xi )}$$

para algún vector ξ . Dicha ecuación puede resolverse (si los coeficientes de L son funciones analíticas ) mediante el teorema de Cauchy-Kovalevskaya o (si los coeficientes de L son constantes) mediante cuadratura. Por lo tanto, si la función delta puede descomponerse en ondas planas, entonces, en principio, se pueden resolver ecuaciones diferenciales parciales lineales.

Dicha descomposición de la función delta en ondas planas formaba parte de una técnica general introducida por primera vez esencialmente por Johann Radon , y luego desarrollada en esta forma por Fritz John ( 1955 ). ^{[ 74 ]} Elija k de modo que n + k sea un entero par, y para un número real s , ponga $${\displaystyle g(s)=\operatorname {Re} \left[{\frac {-s^{k}\log(-is)}{k!(2\pi i)^{n}}}\right]={\begin{cases}{\frac {|s|^{k}}{4k!(2\pi i)^{n-1}}}&n{\text{ odd}}\\[5pt]-{\frac {|s|^{k}\log |s|}{k!(2\pi i)^{n}}}&n{\text{ even.}}\end{cases}}}$$

Entonces δ se obtiene aplicando una potencia del laplaciano a la integral con respecto a la medida de la esfera unitaria dω de g ( x · ξ ) para ξ en la esfera unitaria S ^{n −1} : $${\displaystyle \delta (x)=\Delta _{x}^{(n+k)/2}\int _{S^{n-1}}g(x\cdot \xi )\,d\omega _{\xi }.}$$

El laplaciano aquí se interpreta como una derivada débil, de modo que esta ecuación se toma en el sentido de que, para cualquier función de prueba φ , $${\displaystyle \varphi (x)=\int _{\mathbf {R} ^{n}}\varphi (y)\,dy\,\Delta _{x}^{\frac {n+k}{2}}\int _{S^{n-1}}g((x-y)\cdot \xi )\,d\omega _{\xi }.}$$

El resultado se deduce de la fórmula del potencial newtoniano (la solución fundamental de la ecuación de Poisson). Esta es esencialmente una forma de la fórmula de inversión para la transformada de Radon porque recupera el valor de φ ( x ) a partir de sus integrales sobre hiperplanos. ^{[ 75 ]} Por ejemplo, si n es impar y k = 1 , entonces la integral del lado derecho es $${\displaystyle {\begin{aligned}&c_{n}\Delta _{x}^{\frac {n+1}{2}}\iint _{S^{n-1}}\varphi (y)|(y-x)\cdot \xi |\,d\omega _{\xi }\,dy\\[5pt]&\qquad =c_{n}\Delta _{x}^{(n+1)/2}\int _{S^{n-1}}\,d\omega _{\xi }\int _{-\infty }^{\infty }|p|R\varphi (\xi ,p+x\cdot \xi )\,dp\end{aligned}}}$$

donde Rφ ( ξ , p ) es la transformada de Radon de φ : $${\displaystyle R\varphi (\xi ,p)=\int _{x\cdot \xi =p}f(x)\,d^{n-1}x.}$$

Una expresión equivalente alternativa de la descomposición en onda plana es: ^{[ 76 ]}$${\displaystyle \delta (x)={\begin{cases}{\frac {(n-1)!}{(2\pi i)^{n}}}\displaystyle \int _{S^{n-1}}(x\cdot \xi )^{-n}\,d\omega _{\xi }&n{\text{ even}}\\{\frac {1}{2(2\pi i)^{n-1}}}\displaystyle \int _{S^{n-1}}\delta ^{(n-1)}(x\cdot \xi )\,d\omega _{\xi }&n{\text{ odd}}.\end{cases}}}$$

La función delta es una distribución temperada y, por lo tanto, tiene una transformada de Fourier bien definida . Formalmente, se encuentra ^{[ 77 ].}

$${\displaystyle {\widehat {\delta }}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-2\pi ix\xi }\,\delta (x)dx=1.}$$

En términos más precisos, la transformada de Fourier de una distribución se define imponiendo la autoadjuntividad de la transformada de Fourier bajo el emparejamiento de dualidad.${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$de distribuciones templadas con funciones de Schwartz . Por lo tanto${\displaystyle {\widehat {\delta }}}$se define como la distribución templada única que satisface

$${\displaystyle \langle {\widehat {\delta }},\varphi \rangle =\langle \delta ,{\widehat {\varphi }}\rangle }$$

para todas las funciones de Schwartz φ . Y, en efecto, de esto se deduce que${\displaystyle {\widehat {\delta }}=1.}$

Como resultado de esta identidad, la convolución de la función delta con cualquier otra distribución temperada S es simplemente S :

$${\displaystyle S*\delta =S.}$$

Es decir, que δ es un elemento identidad para la convolución en distribuciones temperadas, y de hecho, el espacio de distribuciones con soporte compacto bajo convolución es un álgebra asociativa con identidad la función delta. Esta propiedad es fundamental en el procesamiento de señales , ya que la convolución con una distribución temperada es un sistema lineal invariante en el tiempo , y al aplicar el sistema lineal invariante en el tiempo se mide su respuesta impulsional . La respuesta impulsional se puede calcular con cualquier grado de precisión deseado eligiendo una aproximación adecuada para δ , y una vez conocida, caracteriza completamente el sistema. Véase Teoría de sistemas LTI §  Respuesta impulsional y convolución .

La transformada inversa de Fourier de la distribución temperada f ( ξ ) = 1 es la función delta. Formalmente, esto se expresa como $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }1\cdot e^{2\pi ix\xi }\,d\xi =\delta (x)}$$ y, de manera más rigurosa, se deduce que $${\displaystyle \langle 1,{\widehat {f}}\rangle =f(0)=\langle \delta ,f\rangle }$$ para todas las funciones de Schwartz f .

En estos términos, la función delta proporciona una declaración sugerente de la propiedad de ortogonalidad del núcleo de Fourier en R. Formalmente, se tiene $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{i2\pi \xi _{1}t}\left[e^{i2\pi \xi _{2}t}\right]^{*}\,dt=\int _{-\infty }^{\infty }e^{i2\pi (\xi _{1}-\xi _{2})t}\,dt=\delta (\xi _{1}-\xi _{2}).}$$

Esto es, por supuesto, una forma abreviada de afirmar que la transformada de Fourier de la distribución templada $${\displaystyle f(t)=e^{i2\pi \xi _{1}t}}$$ es $${\displaystyle {\widehat {f}}(\xi _{2})=\delta (\xi _{1}-\xi _{2})}$$ lo cual se deduce nuevamente al imponer la autoadjuntividad de la transformada de Fourier.

Mediante la continuación analítica de la transformada de Fourier, se encuentra que la transformada de Laplace de la función delta es ^{[ 78 ].}$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\delta (t-a)\,e^{-st}\,dt=e^{-sa}.}$$

La distribución delta de Dirac es un funcional lineal no acotado densamente definido en el espacio de Hilbert ^L² de funciones ^de cuadrado integrable . ^{[ 81 ]} De hecho, las funciones suaves con soporte compacto son densas en L² , y la acción de la distribución delta sobre dichas ^funciones está bien definida. En muchas aplicaciones, es posible identificar subespacios de L² y dar una topología más fuerte sobre la cual la función delta define un funcional lineal acotado .

Cauchy utilizó un α infinitesimal para escribir un impulso unitario, una función delta de tipo Dirac infinitamente alta y estrecha δ _α que satisface${\textstyle \int F(x)\delta _{\alpha }(x)\,dx=F(0)}$en varios artículos en 1827. ^{[ 89 ]} Cauchy definió un infinitesimal en Cours d'Analyse (1827) en términos de una sucesión que tiende a cero. Es decir, dicha sucesión nula se convierte en un infinitesimal en la terminología de Cauchy y Lazare Carnot .