Función triangular

Una función triangular (también conocida como función de triángulo , función de sombrero o función de tienda ) es una función cuyo gráfico adopta la forma de un triángulo. A menudo, se trata de un triángulo isósceles de altura 1 y base 2, en cuyo caso se denomina función triangular. Las funciones triangulares son útiles en el procesamiento de señales y la ingeniería de sistemas de comunicación como representaciones de señales idealizadas, y la función triangular específicamente como una función de núcleo de transformación integral a partir de la cual se pueden derivar señales más realistas, por ejemplo, en la estimación de la densidad del núcleo . También tiene aplicaciones en la modulación de código de pulso como una forma de pulso para transmitir señales digitales y como un filtro adaptado para recibir las señales. También se utiliza para definir la ventana triangular a veces llamada ventana de Bartlett .

La definición más común es como una función por partes:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tri} (x)=\Lambda (x)\ &{\overset {\underset {\text{def}}{}}{=}}\ \max {\big (}1-|x|,0{\big )}\\&={\begin{cases}1-|x|,&|x|<1;\\0&{\text{de lo contrario}}.\\\end{cases}}\end{aligned}}}$

De manera equivalente, puede definirse como la convolución de dos funciones rectangulares unitarias idénticas :

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tri} (x)&=\operatorname {rect} (x)*\operatorname {rect} (x)\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {rect} (x-\tau )\cdot \operatorname {rect} (\tau )\,d\tau .\\\end{aligned}}}$

La función triangular también se puede representar como el producto de las funciones rectangular y de valor absoluto :

${\displaystyle \operatorname {tri} (x)=\operatorname {rect} (x/2){\big (}1-|x|{\big )}.}$

Tenga en cuenta que algunos autores definen la función triangular como si tuviera una base de ancho 1 en lugar de ancho 2:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tri} (2x)=\Lambda (2x)\ &{\overset {\underset {\text{def}}{}}{=}}\ \max {\big (}1-2|x|,0{\big )}\\&={\begin{cases}1-2|x|,&|x|<{\tfrac {1}{2}};\\0&{\text{de lo contrario}}.\\\end{cases}}\end{aligned}}}$

En su forma más general, una función triangular es cualquier B-spline lineal : ^[1]

${\displaystyle \operatorname {tri} _{j}(x)={\begin{cases}(x-x_{j-1})/(x_{j}-x_{j-1}),&x_{j-1}\leq x<x_{j};\\(x_{j+1}-x)/(x_{j+1}-x_{j}),&x_{j}\leq x<x_{j+1};\\0&{\text{de lo contrario}}.\end{cases}}}$

Mientras que la definición en la parte superior es un caso especial

${\displaystyle \Lambda (x)=\operatorname {tri} _{j}(x),}$

donde , , y . $Estilo de visualización x_{j-1}=-1$${\displaystyle x_{j}=0}$$Estilo de visualización x_{j+1}=1$

Una B-spline lineal es lo mismo que una función lineal continua por partes , y esta función triangular general es útil para definir formalmente como ${\estilo de visualización f(x)}$${\estilo de visualización f(x)}$

${\displaystyle f(x)=\sum _{j}y_{j}\cdot \operatorname {tri} _{j}(x),}$

donde para todo entero . La función lineal por partes pasa por cada punto expresado como coordenadas con par ordenado , es decir, ${\displaystyle x_{j}<x_{j+1}}$${\estilo de visualización j}$ ${\displaystyle (x_{j},y_{j})}$

${\displaystyle f(x_{j})=y_{j}}$.

Para cualquier parámetro : ${\displaystyle a\neq 0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tri} \left({\tfrac {t}{a}}\right)&=\int _{-\infty }^{\infty }{\tfrac {1}{|a|}}\operatorname {rect} \left({\tfrac {\tau }{a}}\right)\cdot \operatorname {rect} \left({\tfrac {t-\tau }{a}}\right)\,d\tau \\&={\begin{cases}1-|t/a|,&|t|<|a|;\\0&{\text{de lo contrario}}.\end{cases}}\end{aligned}}}$

La transformación se determina fácilmente utilizando la propiedad de convolución de las transformadas de Fourier y la transformada de Fourier de la función rectangular :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {F}}\{\operatorname {tri} (t)\}&={\mathcal {F}}\{\operatorname {rect} (t)*\operatorname {rect} (t)\}\\&={\mathcal {F}}\{\operatorname {rect} (t)\}\cdot {\mathcal {F}}\{\operatorname {rect} (t)\}\\&={\mathcal {F}}\{\operatorname {rect} (t)\}^{2}\\&=\mathrm {sinc} ^{2}(f),\end{aligned}}}$

donde es la función sinc normalizada . ${\displaystyle \operatorname {sinc} (x)=\sin(\pi x)/(\pi x)}$

• Función de Källén , también conocida como función triangular
• Mapa de tiendas de campaña
• Distribución triangular
• Onda triangular , una función periódica lineal por partes
• Funciones trigonométricas