Número complejo

Dos números complejos${\displaystyle a=x+yi}$y${\displaystyle b=u+vi}$se suman sumando por separado sus partes real e imaginaria. ^{[ 13 ]} Es decir:

$${\displaystyle a+b=(x+yi)+(u+vi)=(x+u)+(y+v)i.}$$ De manera similar, la resta se puede realizar como $${\displaystyle a-b=(x+yi)-(u+vi)=(x-u)+(y-v)i.}$$

La suma se puede visualizar geométricamente de la siguiente manera: la suma de dos números complejos a y b , interpretados como puntos en el plano complejo, es el punto obtenido al construir un paralelogramo a partir de los tres vértices O y los puntos de las flechas etiquetadas como a y b (siempre que no estén sobre una línea). De forma equivalente, llamando a estos puntos A y B , respectivamente, y al cuarto punto del paralelogramo X, los triángulos OAB y XBA son congruentes .

El producto de dos números complejos se calcula de la siguiente manera: ^{[ 13 ]}

${\displaystyle (a+bi)\cdot (c+di)=ac-bd+(ad+bc)i.}$

Por ejemplo,${\displaystyle (2-i)(3+4i)=2\cdot 3-((-1)\cdot 4)+(2\cdot 4+(-1)\cdot 3)i=10+5i.}$ En particular, esto incluye como caso especial la fórmula fundamental.

${\displaystyle i^{2}=i\cdot i=-1.}$

Esta fórmula distingue el número complejo i de cualquier número real, ya que el cuadrado de cualquier número real (negativo o positivo) es siempre un número real no negativo.

Con esta definición de multiplicación y suma, las reglas familiares de la aritmética de los números racionales o reales siguen siendo válidas para los números complejos. Más precisamente, se mantienen la propiedad distributiva y las propiedades conmutativas (de la suma y la multiplicación). Por lo tanto, los números complejos forman una estructura algebraica conocida como cuerpo , del mismo modo que lo hacen los números racionales o reales. ^{[ 14 ]}

El conjugado complejo del número complejo z = x + yi se define como ${\displaystyle {\overline {z}}=x-yi.}$^{[ 15 ]} Algunos autores también lo denotan por${\displaystyle z^{*}}$Geométricamente, z es la "reflexión" de z con respecto al eje real. Al conjugar dos veces se obtiene el número complejo original:${\displaystyle {\overline {\overline {z}}}=z.}$Un número complejo es real si y solo si es igual a su propio conjugado. La operación unaria de calcular el conjugado complejo de un número complejo no puede expresarse aplicando únicamente las operaciones básicas de suma, resta, multiplicación y división.

Para cualquier número complejo z = x + yi , el producto

${\displaystyle z\cdot {\overline {z}}=(x+iy)(x-iy)=x^{2}+y^{2}}$

es un número real no negativo . Esto permite definir el valor absoluto (o módulo o magnitud ) de z como la raíz cuadrada ^{[ 16 ].}$${\displaystyle |z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.}$$ Por el teorema de Pitágoras ,${\displaystyle |z|}$es la distancia desde el origen hasta el punto que representa el número complejo z en el plano complejo. En particular, el círculo de radio uno alrededor del origen está formado precisamente por los números z tales que${\displaystyle |z|=1}$, conocidos como números complejos unitarios .Si${\displaystyle z=x=x+0i}$es un número real, entonces${\displaystyle |z|=|x|}$: su valor absoluto como número complejo y como número real son iguales.

Utilizando el conjugado, el recíproco de un número complejo distinto de cero${\displaystyle z=x+yi}$se puede calcular que es ^{[ 13 ]}

$${\displaystyle {\frac {1}{z}}={\frac {\bar {z}}{z{\bar {z}}}}={\frac {\bar {z}}{|z|^{2}}}={\frac {x-yi}{x^{2}+y^{2}}}={\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}-{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}i.}$$ De forma más general, la división de un número complejo arbitrario.${\displaystyle w=u+vi}$por un número complejo distinto de cero${\displaystyle z=x+yi}$igual $${\displaystyle {\frac {w}{z}}={\frac {w{\bar {z}}}{|z|^{2}}}={\frac {(u+vi)(x-iy)}{x^{2}+y^{2}}}={\frac {ux+vy}{x^{2}+y^{2}}}+{\frac {vx-uy}{x^{2}+y^{2}}}i.}$$ Este proceso a veces se denomina " racionalización " del denominador (aunque el denominador en la expresión final puede ser un número real irracional), porque se asemeja al método para eliminar raíces de expresiones simples en un denominador. ^{[ 17 ] [ 18 ]}

El argumento de z (a veces llamado "fase" φ ) ^{[ 10 ]} es el ángulo del radio Oz con el eje real positivo, y se escribe como arg z , expresado en radianes en este artículo. El ángulo se define solo hasta la suma de múltiplos enteros de${\displaystyle 2\pi }$, ya que una rotación por${\displaystyle 2\pi }$(o 360°) alrededor del origen deja todos los puntos en el plano complejo sin cambios. Una posible opción para especificar de forma única el argumento es requerir que esté dentro del intervalo${\displaystyle (-\pi ,\pi ]}$, que se denomina valor principal . ^{[ 19 ]} El argumento se puede calcular a partir de la forma rectangular x + yi mediante la función arctan (tangente inversa). ^{[ 20 ]}

Para cualquier número complejo z , con valor absoluto${\displaystyle r=|z|}$y argumento${\displaystyle \varphi }$, la ecuación ^{[ 13 ]}

${\displaystyle z=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )}$

se cumple. Esta identidad se conoce como la forma polar de z . A veces se abrevia como${\textstyle z=r\operatorname {\mathrm {cis} } \varphi }$. En electrónica, se representa un fasor con amplitud r y fase φ en notación angular : ^{[ 21 ]}$${\displaystyle z=r\angle \varphi .}$$

Si se dan dos números complejos en forma polar, es decir, z ₁ = r ₁ (cos φ ₁ + i sin φ ₁ ) y z ₂ = r ₂ (cos φ ₂ + i sin φ ₂ ) , el producto y la división se pueden calcular como $${\displaystyle z_{1}z_{2}=r_{1}r_{2}(\cos(\varphi _{1}+\varphi _{2})+i\sin(\varphi _{1}+\varphi _{2})).}$$$${\displaystyle {\frac {z_{1}}{z_{2}}}={\frac {r_{1}}{r_{2}}}\left(\cos(\varphi _{1}-\varphi _{2})+i\sin(\varphi _{1}-\varphi _{2})\right),{\text{if }}z_{2}\neq 0.}$$ (Estas son una consecuencia de las identidades trigonométricas para las funciones seno y coseno). En otras palabras, los valores absolutos se multiplican y los argumentos se suman para obtener la forma polar del producto. La imagen de la derecha ilustra la multiplicación de $${\displaystyle (2+i)(3+i)=5+5i.}$$ Debido a que la parte real e imaginaria de 5 + 5i son iguales, el argumento de ese número es 45 grados, o π /4 (en radianes ). Por otro lado, también es igual que la suma de los ángulos en el origen de los triángulos rojo y azul, que son arctan (1/3) y arctan(1/2), respectivamente. Por lo tanto, la fórmula $${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=\arctan \left({\frac {1}{2}}\right)+\arctan \left({\frac {1}{3}}\right)}$$ se cumple. Como la función arcotangente se puede aproximar de forma muy eficiente, se utilizan fórmulas como esta, conocidas como fórmulas tipo Machin , para aproximaciones de alta precisión de π : ^{[ 22 ]}$${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=4\arctan \left({\frac {1}{5}}\right)-\arctan \left({\frac {1}{239}}\right)}$$

La enésima potencia de un número complejo se puede calcular utilizando la fórmula de De Moivre , que se obtiene aplicando repetidamente la fórmula anterior para el producto: ^{[ 23 ]}$${\displaystyle z^{n}=\underbrace {z\cdot \dots \cdot z} _{n{\text{ factors}}}=(r(\cos \varphi +i\sin \varphi ))^{n}=r^{n}\,(\cos n\varphi +i\sin n\varphi ).}$$ Por ejemplo, las primeras potencias de la unidad imaginaria i son${\displaystyle i,i^{2}=-1,i^{3}=-i,i^{4}=1,i^{5}=i,\dots }$.

Las raíces n - ésimas de un número complejo z vienen dadas por ^{[ 24 ].}$${\displaystyle z^{1/n}={\sqrt[{n}]{r}}\left(\cos \left({\frac {\varphi +2k\pi }{n}}\right)+i\sin \left({\frac {\varphi +2k\pi }{n}}\right)\right)}$$ para 0 ≤ k ≤ n − 1 . (Aquí${\displaystyle {\sqrt[{n}]{r}}}$es la raíz enésima (positiva) usual del número real positivo r . Debido a que el seno y el coseno son periódicos, otros valores enteros de k no dan otros valores. Para cualquier${\displaystyle z\neq 0}$, en particular hay n raíces n -ésimas complejas distintas . Por ejemplo, hay 4 raíces cuartas de 1, a saber:

${\displaystyle z_{1}=1,z_{2}=i,z_{3}=-1,z_{4}=-i.}$

En general, no existe una forma natural de distinguir una raíz enésima compleja particular de un número complejo. (Esto contrasta con las raíces de un número real positivo x , que tiene una única raíz enésima real positiva , a la que comúnmente se hace referencia como la raíz enésima de x ). A esta situación se la denomina la raíz enésima como una función de z con valores en n .

El teorema fundamental del álgebra , de Carl Friedrich Gauss y Jean le Rond d'Alembert , establece que para cualesquiera números complejos (llamados coeficientes ) a ₀ , ..., a _n , la ecuación $${\displaystyle a_{n}z^{n}+\dotsb +a_{1}z+a_{0}=0}$$ tiene al menos una solución compleja z , siempre que al menos uno de los coeficientes superiores a ₁ , ..., a _n sea distinto de cero. ^{[ 25 ]} Esta propiedad no se cumple para el campo de los números racionales.${\displaystyle \mathbb {Q} }$(el polinomio x² ⁻ 2 no tiene una raíz racional, porque √2 no es un número racional) ni los números reales${\displaystyle \mathbb {R} }$(el polinomio x² ⁺ 4 no tiene una raíz real, porque el cuadrado de x es positivo para cualquier número real x ).

Debido a este hecho,${\displaystyle \mathbb {C} }$Se denomina cuerpo algebraicamente cerrado . Es una piedra angular de diversas aplicaciones de los números complejos, como se detalla más adelante. Existen varias demostraciones de este teorema, ya sea mediante métodos analíticos como el teorema de Liouville , métodos topológicos como el número de vueltas , o una demostración que combina la teoría de Galois con el hecho de que todo polinomio real de grado impar tiene al menos una raíz real.

El campo de los números complejos se define como el campo de extensión algebraica (único) de los números reales más adelante en #Definiciones algebraicas abstractas .

Un enfoque para${\displaystyle \mathbb {C} }$es mediante polinomios , es decir, expresiones de la forma $${\displaystyle p(X)=a_{n}X^{n}+\dotsb +a_{1}X+a_{0},}$$ donde los coeficientes a ₀ , ..., a _n son números reales. El conjunto de todos esos polinomios se denota por${\displaystyle \mathbb {R} [X]}$. Dado que las sumas y los productos de polinomios son nuevamente polinomios, este conjunto${\displaystyle \mathbb {R} [X]}$forma un anillo conmutativo , llamado anillo de polinomios (sobre los números reales). A cada polinomio p se le puede asignar el número complejo${\displaystyle p(i)=a_{n}i^{n}+\dotsb +a_{1}i+a_{0}}$, es decir, el valor obtenido al establecer${\displaystyle X=i}$Esto define una función

${\displaystyle \mathbb {R} [X]\to \mathbb {C} }$

Esta función es sobreyectiva ya que todo número complejo se puede obtener de esta manera: la evaluación de un polinomio lineal.${\displaystyle a+bX}$en${\displaystyle X=i}$es${\displaystyle a+bi}$. Sin embargo, la evaluación de polinomios${\displaystyle X^{2}+1}$en i es 0, ya que${\displaystyle i^{2}+1=0.}$Este polinomio es irreducible , es decir, no puede escribirse como un producto de dos polinomios lineales. Los hechos básicos del álgebra abstracta implican entonces que el núcleo de la aplicación anterior es un ideal generado por este polinomio, y que el cociente por este ideal es un cuerpo, y que existe un isomorfismo.

${\displaystyle \mathbb {R} [X]/(X^{2}+1){\stackrel {\cong }{\to }}\mathbb {C} }$

entre el anillo cociente y${\displaystyle \mathbb {C} }$Algunos autores toman esto como la definición de${\displaystyle \mathbb {C} }$. ^{[ 66 ] [ 67 ]} Esta definición expresa${\displaystyle \mathbb {C} }$como un álgebra cuadrática .

El campo${\displaystyle \mathbb {C} }$está algebraicamente cerrado por el teorema fundamental del álgebra y, por lo tanto, es el cierre algebraico de${\displaystyle \mathbb {R} .}$

Los números complejos a + bi también pueden representarse mediante matrices de 2 × 2 que tienen la forma ^{[ 68 ].}$${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&-b\\b&\;\;a\end{pmatrix}}.}$$ Aquí, las entradas a y b son números reales. Como la suma y el producto de dos matrices de este tipo también tienen esta forma, estas matrices forman un subanillo del anillo de matrices de 2 × 2 .

Un cálculo sencillo muestra que el mapa $${\displaystyle a+ib\mapsto {\begin{pmatrix}a&-b\\b&\;\;a\end{pmatrix}}}$$ Se trata de un isomorfismo de anillos del cuerpo de los números complejos al anillo de estas matrices, lo que demuestra que estas matrices forman un cuerpo. Este isomorfismo asocia el cuadrado del valor absoluto de un número complejo con el determinante de la matriz correspondiente, y el conjugado de un número complejo con la transpuesta de la matriz.

La representación en forma polar de los números complejos proporciona explícitamente estas matrices como matrices de rotación escaladas . $${\displaystyle r(\cos \theta +i\sin \theta )\mapsto {\begin{pmatrix}r\cos \theta &-r\sin \theta \\r\sin \theta &\;\;r\cos \theta \end{pmatrix}}}$$ En particular, el caso de r = 1 , que es${\displaystyle |a+ib|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}=1}$, proporciona matrices de rotación (sin escalar).

Las nociones de series convergentes y funciones continuas en análisis (real) tienen análogos naturales en análisis complejo. Se dice que una sucesión de números complejos converge si y solo si sus partes real e imaginaria convergen. Esto es equivalente a la definición (ε, δ) de límites , donde el valor absoluto de los números reales se reemplaza por el de los números complejos. Desde un punto de vista más abstracto,${\displaystyle \mathbb {C} }$, dotado de la métrica$${\displaystyle \operatorname {d} (z_{1},z_{2})=|z_{1}-z_{2}|}$$ es un espacio métrico completo , que incluye notablemente la desigualdad triangular.$${\displaystyle |z_{1}+z_{2}|\leq |z_{1}|+|z_{2}|}$$ para cualesquiera dos números complejos z ₁ y z ₂ .

Al igual que en el análisis real, esta noción de convergencia se utiliza para construir una serie de funciones elementales : la función exponencial exp z , también escrita e ^z , se define como la serie infinita , que se puede demostrar que converge para cualquier z : $${\displaystyle \exp z:=1+z+{\frac {z^{2}}{2\cdot 1}}+{\frac {z^{3}}{3\cdot 2\cdot 1}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}.}$$ Por ejemplo,${\displaystyle \exp(1)}$es el número de Euler${\displaystyle e\approx 2.718}$La fórmula de Euler establece :$${\displaystyle \exp(i\varphi )=\cos \varphi +i\sin \varphi }$$ para cualquier número real φ . Esta fórmula es una consecuencia directa de hechos básicos generales sobre series de potencias convergentes y las definiciones de las funciones involucradas como series de potencias. Como caso especial, esto incluye la identidad de Euler.$${\displaystyle \exp(i\pi )=-1.}$$

Para cualquier número real positivo t , existe un único número real x tal que${\displaystyle \exp(x)=t}$Esto lleva a la definición del logaritmo natural como el inverso${\displaystyle \ln \colon \mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R} ;x\mapsto \ln x}$de la función exponencial. La situación es diferente para los números complejos, ya que

${\displaystyle \exp(z+2\pi i)=\exp z\exp(2\pi i)=\exp z}$

mediante la ecuación funcional y la identidad de Euler. Por ejemplo, e ^iπ = e ^{3 iπ} = −1 , por lo que tanto iπ como 3 iπ son valores posibles para el logaritmo complejo de −1 .

En general, dado cualquier número complejo distinto de cero w , cualquier número z que resuelva la ecuación

${\displaystyle \exp z=w}$

se denomina logaritmo complejo de w , denotado${\displaystyle \log w}$. Se puede demostrar que estos números satisfacen ^{[ 69 ]}$${\displaystyle z=\log w=\ln |w|+i\arg w,}$$ dónde${\displaystyle \arg }$es el argumento definido anteriormente , y${\displaystyle \ln }$el logaritmo natural ( real) . Como arg es una función multivaluada , única solo hasta un múltiplo de 2π , log también es multivaluada. El valor principal de log se suele tomar restringiendo la parte imaginaria al intervalo (−π , π ] . Esto lleva a que el logaritmo complejo sea una función biyectiva que toma valores en la franja${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}+\;i\,\left(-\pi ,\pi \right]}$(es decir, se denota${\displaystyle S_{0}}$en la ilustración anterior) $${\displaystyle \ln \colon \;\mathbb {C} ^{\times }\;\to \;\;\;\mathbb {R} ^{+}+\;i\,\left(-\pi ,\pi \right].}$$

Si${\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus \left(-\mathbb {R} _{\geq 0}\right)}$no es un número real no positivo (un número positivo o un número no real), el valor principal resultante del logaritmo complejo se obtiene con − π < φ < π . Es una función analítica fuera de los números reales negativos, pero no se puede prolongar a una función que sea continua en ningún número real negativo.${\displaystyle z\in -\mathbb {R} ^{+}}$, donde el valor principal es ln z = ln(− z ) + iπ . ^{[ h ]}

La exponenciación compleja z ^ω se define como $${\displaystyle z^{\omega }=\exp(\omega \ln z),}$$ y es multivaluada, excepto cuando ω es un entero. Para ω = 1 / n , para algún número natural n , esto recupera la no unicidad de las raíces n- ésimas mencionada anteriormente. Si z > 0 es real (y ω un número complejo arbitrario), se tiene una elección preferida de${\displaystyle \ln x}$, el logaritmo real, que puede utilizarse para definir una función exponencial preferida.

Los números complejos, a diferencia de los números reales, en general no satisfacen las identidades de potencia y logaritmo sin modificar, particularmente cuando se tratan ingenuamente como funciones unívocas; véase el fallo de las identidades de potencia y logaritmo . Por ejemplo, no satisfacen $${\displaystyle a^{bc}=\left(a^{b}\right)^{c}.}$$ Ambos lados de la ecuación son multivaluados según la definición de exponenciación compleja que se da aquí, y los valores de la izquierda son un subconjunto de los de la derecha.

Las series que definen las funciones trigonométricas reales seno y coseno , así como las funciones hiperbólicas seno hiperbólico y coseno hiperbólico , se extienden a argumentos complejos sin cambios. Para las demás funciones trigonométricas e hiperbólicas, como la tangente , la situación es algo más compleja, ya que las series que las definen no convergen para todos los valores complejos. Por lo tanto, es necesario definirlas en términos de seno, coseno y exponencial, o bien, mediante el método de continuación analítica .

El valor de una función trigonométrica o hiperbólica de un número complejo puede expresarse en términos de esas funciones evaluadas en números reales, mediante fórmulas de suma de ángulos. Para z = x + iy ,

$${\displaystyle \sin {z}=\sin {x}\cosh {y}+i\cos {x}\sinh {y}}$$

$${\displaystyle \cos {z}=\cos {x}\cosh {y}-i\sin {x}\sinh {y}}$$

$${\displaystyle \tan {z}={\frac {\tan {x}+i\tanh {y}}{1-i\tan {x}\tanh {y}}}}$$

$${\displaystyle \cot {z}=-{\frac {1+i\cot {x}\coth {y}}{\cot {x}-i\coth {y}}}}$$

$${\displaystyle \sinh {z}=\sinh {x}\cos {y}+i\cosh {x}\sin {y}}$$

$${\displaystyle \cosh {z}=\cosh {x}\cos {y}+i\sinh {x}\sin {y}}$$

$${\displaystyle \tanh {z}={\frac {\tanh {x}+i\tan {y}}{1+i\tanh {x}\tan {y}}}}$$

$${\displaystyle \coth {z}={\frac {1-i\coth {x}\cot {y}}{\coth {x}-i\cot {y}}}}$$

Cuando estas expresiones no están bien definidas, porque una función trigonométrica o hiperbólica tiende a infinito o hay división por cero, no obstante son correctas como límites .

Una función${\displaystyle f:\mathbb {C} }$→${\displaystyle \mathbb {C} }$Se denomina holomorfa o diferenciable compleja en un punto.${\displaystyle z_{0}}$si el límite

${\displaystyle \lim _{z\to z_{0}}{f(z)-f(z_{0}) \over z-z_{0}}}$

existe (en cuyo caso se denota por${\displaystyle f'(z_{0})}$). Esto imita la definición de funciones diferenciables reales, excepto que todas las cantidades son números complejos. En términos generales, la libertad de aproximarse${\displaystyle z_{0}}$en diferentes direcciones impone una condición mucho más fuerte que ser (real) diferenciable. Por ejemplo, la función

${\displaystyle f(z)={\overline {z}}}$

es diferenciable como una función${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}}$, pero no es diferenciable compleja. Una función diferenciable real es diferenciable compleja si y solo si satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann , que a veces se abrevian como

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}=0.}$

El análisis complejo muestra algunas características que no son evidentes en el análisis real. Por ejemplo, el teorema de identidad afirma que dos funciones holomorfas f y g coinciden si coinciden en un subconjunto abierto arbitrariamente pequeño de${\displaystyle \mathbb {C} }$Las funciones meromorfas , funciones que pueden escribirse localmente como f ( z )/( z − z ₀ ) ⁿ con una función holomorfa f , aún comparten algunas de las características de las funciones holomorfas. Otras funciones tienen singularidades esenciales , como sin(1/ z ) en z = 0 .

Como se mencionó anteriormente, cualquier ecuación polinómica no constante (con coeficientes complejos) tiene una solución en${\displaystyle \mathbb {C} }$. Con mayor razón , lo mismo es cierto si la ecuación tiene coeficientes racionales. Las raíces de tales ecuaciones se llaman números algebraicos ; son un objeto principal de estudio en la teoría de números algebraicos . Comparado con${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} }}}$, el cierre algebraico de${\displaystyle \mathbb {Q} }$, que también contiene todos los números algebraicos,${\displaystyle \mathbb {C} }$Tiene la ventaja de ser fácilmente comprensible en términos geométricos. De esta manera, se pueden usar métodos algebraicos para estudiar cuestiones geométricas y viceversa. Con métodos algebraicos, más específicamente aplicando la maquinaria de la teoría de cuerpos al cuerpo numérico que contiene raíces de la unidad , se puede demostrar que no es posible construir un nonágono regular usando solo compás y regla , un problema puramente geométrico.

Otro ejemplo son los enteros gaussianos ; es decir, números de la forma x + iy , donde x e y son enteros, que se pueden utilizar para clasificar sumas de cuadrados .

La teoría analítica de números estudia los números, a menudo enteros o racionales, aprovechando que pueden considerarse números complejos, en los que se pueden utilizar métodos analíticos. Esto se logra codificando información teórica de números en funciones de valores complejos. Por ejemplo, la función zeta de Riemann ζ( s ) está relacionada con la distribución de los números primos .

En campos aplicados, los números complejos se utilizan a menudo para calcular ciertas integrales impropias de valor real mediante funciones de valor complejo. Existen varios métodos para ello; véanse los métodos de integración de contorno .

En ecuaciones diferenciales , es común encontrar primero todas las raíces complejas r de la ecuación característica de una ecuación diferencial lineal o sistema de ecuaciones y luego intentar resolver el sistema en términos de funciones base de la forma f ( t ) = e ^rt . De manera similar, en ecuaciones en diferencias , se utilizan las raíces complejas r de la ecuación característica del sistema de ecuaciones en diferencias para intentar resolver el sistema en términos de funciones base de la forma f ( t ) = r ^t .

Desde${\displaystyle \mathbb {C} }$Si una matriz es algebraicamente cerrada, cualquier matriz cuadrada compleja no vacía tiene al menos un valor propio (complejo) . En comparación, las matrices reales no siempre tienen valores propios reales; por ejemplo , las matrices de rotación (para rotaciones del plano con ángulos distintos de 0° o 180°) no dejan ninguna dirección fija y, por lo tanto, no tienen ningún valor propio real . La existencia de valores propios (complejos) y la consiguiente existencia de la descomposición en valores propios es una herramienta útil para calcular potencias y exponenciales de matrices .

Los números complejos suelen generalizar conceptos concebidos originalmente en los números reales. Por ejemplo, la transpuesta conjugada generaliza la transpuesta , las matrices hermíticas generalizan las matrices simétricas y las matrices unitarias generalizan las matrices ortogonales .

El campo${\displaystyle \mathbb {C} }$tiene las siguientes tres propiedades:

• En primer lugar, tiene característica 0. Esto significa que 1 + 1 + ⋯ + 1 ≠ 0 para cualquier número de sumandos (todos los cuales son iguales a uno).
• Segundo, su grado de trascendencia sobre${\displaystyle \mathbb {Q} }$, el campo principal de${\displaystyle \mathbb {C} ,}$es la cardinalidad del continuo .
• En tercer lugar, es algebraicamente cerrada (véase más arriba).

Se puede demostrar que cualquier campo que tenga estas propiedades es isomorfo (como campo) a${\displaystyle \mathbb {C} .}$Por ejemplo, el cierre algebraico del campo${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$del número p -ádico también satisface estas tres propiedades, por lo que estos dos campos son isomorfos (como campos, pero no como campos topológicos). ^{[ 76 ]} Además,${\displaystyle \mathbb {C} }$es isomorfo al campo de series de Puiseux complejas . Sin embargo, especificar un isomorfismo requiere el axioma de elección . Otra consecuencia de esta caracterización algebraica es que${\displaystyle \mathbb {C} }$contiene muchos subcampos propios que son isomorfos a${\displaystyle \mathbb {C} }$.

La caracterización anterior de${\displaystyle \mathbb {C} }$describe únicamente los aspectos algebraicos de${\displaystyle \mathbb {C} .}$Es decir, no se tratan las propiedades de proximidad y continuidad , que importan en áreas como el análisis y la topología . La siguiente descripción de${\displaystyle \mathbb {C} }$como un campo topológico (es decir, un campo que está dotado de una topología , que permite la noción de convergencia) sí tiene en cuenta las propiedades topológicas.${\displaystyle \mathbb {C} }$contiene un subconjunto P (es decir, el conjunto de números reales positivos) de elementos distintos de cero que satisfacen las tres condiciones siguientes:

• P es cerrado bajo la suma, la multiplicación y el cálculo de inversos.
• Si x e y son elementos distintos de P , entonces o bien x − y o bien y − x está en P.
• Si S es cualquier subconjunto no vacío de P , entonces S + P = x + P para algún x en${\displaystyle \mathbb {C} .}$

Además,${\displaystyle \mathbb {C} }$tiene un automorfismo involutivo no trivial x ↦ x * (es decir, conjugación compleja), tal que x x * está en P para cualquier x distinto de cero en${\displaystyle \mathbb {C} .}$

Cualquier cuerpo F con estas propiedades puede dotarse de una topología tomando como base los conjuntos B ( x , p ) = { y | p − ( y − x )( y − x )* ∈ P } , donde x recorre el cuerpo y p recorre P . Con esta topología, F es isomorfo como cuerpo topológico a${\displaystyle \mathbb {C} .}$

Los únicos campos topológicos conectados localmente compactos son${\displaystyle \mathbb {R} }$y${\displaystyle \mathbb {C} .}$Esto proporciona otra caracterización de${\displaystyle \mathbb {C} }$como un campo topológico, porque${\displaystyle \mathbb {C} }$se puede distinguir de${\displaystyle \mathbb {R} }$porque los números complejos distintos de cero están conectados , mientras que los números reales distintos de cero no lo están. ^{[ 77 ]}

El proceso de ampliación del campo${\displaystyle \mathbb {R} }$de reales a${\displaystyle \mathbb {C} }$es un ejemplo de la construcción de Cayley-Dickson . Aplicar esta construcción iterativamente a${\displaystyle \mathbb {C} }$luego produce los cuaterniones , los octoniones , ^{[ 78 ]} los sedeniones y los trigintaduoniones . Esta construcción resulta disminuir las propiedades estructurales de los sistemas numéricos involucrados.

A diferencia de los reales,${\displaystyle \mathbb {C} }$no es un cuerpo ordenado , es decir, no es posible definir una relación z ₁ < z ₂ que sea compatible con la suma y la multiplicación. De hecho, en cualquier cuerpo ordenado, el cuadrado de cualquier elemento es necesariamente positivo, por lo que i ² = −1 excluye la existencia de un ordenamiento en${\displaystyle \mathbb {C} .}$^{[ 79 ]} Pasando de${\displaystyle \mathbb {C} }$a los cuaterniones${\displaystyle \mathbb {H} }$pierde la conmutatividad, mientras que los octoniones (además de no ser conmutativos) no son asociativos. Los números reales, los números complejos, los cuaterniones y los octoniones son todos álgebras de división normadas sobre${\displaystyle \mathbb {R} }$Según el teorema de Hurwitz, son los únicos; los sedeniones , el siguiente paso en la construcción de Cayley-Dickson, no poseen esta estructura.

La construcción de Cayley-Dickson está estrechamente relacionada con la representación regular de${\displaystyle \mathbb {C} ,}$considerado como un${\displaystyle \mathbb {R} }$- álgebra (un${\displaystyle \mathbb {R} }$-espacio vectorial con una multiplicación), con respecto a la base (1, i ) . Esto significa lo siguiente: el${\displaystyle \mathbb {R} }$-mapa lineal $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {C} &\rightarrow \mathbb {C} \\z&\mapsto wz\end{aligned}}}$$ Para algún número complejo fijo w, se puede representar mediante una matriz de 2 × 2 (una vez que se ha elegido una base). Con respecto a la base (1, i ) , esta matriz es $${\displaystyle {\begin{pmatrix}\operatorname {Re} (w)&-\operatorname {Im} (w)\\\operatorname {Im} (w)&\operatorname {Re} (w)\end{pmatrix}},}$$ es decir, la mencionada en la sección sobre representación matricial de números complejos anterior. Si bien esta es una representación lineal de${\displaystyle \mathbb {C} }$En las matrices reales de 2 × 2, no es la única. Cualquier matriz $${\displaystyle J={\begin{pmatrix}p&q\\r&-p\end{pmatrix}},\quad p^{2}+qr+1=0}$$ tiene la propiedad de que su cuadrado es el negativo de la matriz identidad: J ² = − I . Entonces $${\displaystyle \{z=aI+bJ:a,b\in \mathbb {R} \}}$$ también es isomorfo al campo${\displaystyle \mathbb {C} ,}$y proporciona una estructura compleja alternativa en${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}.}$Esto se generaliza mediante la noción de una estructura compleja lineal .

Los números hipercomplejos también se generalizan${\displaystyle \mathbb {R} ,}$${\displaystyle \mathbb {C} ,}$${\displaystyle \mathbb {H} ,}$y${\displaystyle \mathbb {O} .}$Por ejemplo, esta noción contiene los números complejos divididos , que son elementos del anillo.${\displaystyle \mathbb {R} [x]/(x^{2}-1)}$(en contraposición a${\displaystyle \mathbb {R} [x]/(x^{2}+1)}$⁽ para números complejos). En este anillo, la ecuación a² = 1 tiene cuatro soluciones.

El campo${\displaystyle \mathbb {R} }$es la finalización de${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$el campo de los números racionales , con respecto a la métrica usual del valor absoluto . Otras opciones de métricas en${\displaystyle \mathbb {Q} }$conducen a los campos${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$de números p -ádicos (para cualquier número primo p ), que son análogos a${\displaystyle \mathbb {R} }$No hay otras formas no triviales de completar${\displaystyle \mathbb {Q} }$que${\displaystyle \mathbb {R} }$y${\displaystyle \mathbb {Q} _{p},}$por el teorema de Ostrowski . Los cierres algebraicos${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} _{p}}}}$de${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$aún mantienen una norma, pero (a diferencia de${\displaystyle \mathbb {C} }$) no están completos con respecto a ello. La finalización${\displaystyle \mathbb {C} _{p}}$de${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} _{p}}}}$resulta ser algebraicamente cerrado. Por analogía,${\displaystyle \mathbb {C} _{p}}$Se denominan números complejos p -ádicos.

Los campos${\displaystyle \mathbb {R} ,}$${\displaystyle \mathbb {Q} _{p},}$y sus extensiones de campo finitas, incluyendo${\displaystyle \mathbb {C} ,}$se denominan campos locales .