movimiento circular

En cinemática , el movimiento circular es el movimiento de un objeto a lo largo de una trayectoria circular. Ejemplos de esto incluyen una piedra atada a una cuerda, un automóvil moviéndose en una curva y un punto en una rueda giratoria. El movimiento circular puede ser uniforme , es decir, la velocidad es constante, o no uniforme, es decir, la velocidad cambia. Incluso en el movimiento circular uniforme, el objeto está acelerando porque su velocidad cambia de dirección. ^{[ 1 ]} El objeto acelera hacia el centro del círculo; esta aceleración hacia adentro se llama aceleración centrípeta . Se requiere una fuerza hacia el centro, llamada fuerza centrípeta , para producir esta aceleración. El movimiento circular también se usa para describir el movimiento de puntos en un cuerpo rígido que gira alrededor de un eje fijo, en cuyo caso cada punto del cuerpo se mueve en un círculo fijo alrededor del eje de rotación.

Otros ejemplos de movimiento circular incluyen las órbitas especiales de los satélites alrededor de la Tierra ( órbitas circulares ), las aspas de un ventilador de techo que giran alrededor de un eje, un electrón que se mueve perpendicularmente a un campo magnético uniforme y un engranaje que gira dentro de un mecanismo.

Sin aceleración centrípeta, el objeto se movería en línea recta, según las leyes del movimiento de Newton .

movimiento circular uniforme

En física , el movimiento circular uniforme describe el movimiento a lo largo de una trayectoria circular a velocidad constante. Aunque la velocidad es constante, la velocidad angular cambia debido a que la dirección del movimiento cambia. Por lo tanto, el objeto acelera hacia adentro, hacia el centro del círculo. Esta aceleración hacia adentro se denomina aceleración centrípeta . ^{[ 1 ]}

Figura 2: Los vectores de velocidad en el instante $t$ y en el instante $t + dt$ se desplazan desde la órbita de la izquierda a nuevas posiciones donde sus colas coinciden, a la derecha. Dado que la magnitud de la velocidad es fija en $v = r ω$ , los vectores de velocidad también describen una trayectoria circular a una velocidad angular $ω$ . Cuando $dt \to 0$ , el vector de aceleración $a$ se vuelve perpendicular a $v$ , lo que significa que apunta hacia el centro de la órbita en el círculo de la izquierda. El ángulo $ω dt$ es el ángulo muy pequeño entre las dos velocidades y tiende a cero cuando $dt \to 0$ .

En rotación alrededor de un eje fijo, cada partícula de un cuerpo rígido se mueve en un círculo centrado en ese eje. Todas las partículas comparten el mismo desplazamiento angular, velocidad angular y aceleración angular, mientras que su velocidad y aceleración lineales dependen de su distancia al eje. ^{[ 2 ]}

Fórmulas básicas

Las principales magnitudes que se utilizan para describir el movimiento circular son el radio, el tiempo que tarda en completarse una revolución, la velocidad angular, la velocidad lineal y la aceleración centrípeta.

Para el movimiento en un círculo de radio $r$ , la circunferencia del círculo es $C = 2πr² .$ Si el período de una rotación es $T$ , la velocidad angular de rotación, también conocida como velocidad angular , $ω,$ es: $\omega ={\frac {2\pi }{T}}=2\pi f={\frac {d\theta }{dt}}$ y las unidades son radianes/segundo. ^{[ 3 ]}

La velocidad del objeto que recorre el círculo es: $v={\frac {2\pi r}{T}}=\omega r$ ^{[ 3 ]}

El ángulo $θ$ barrido en un tiempo $t$ es: $\theta =2\pi {\frac {t}{T}}=\omega t$

La aceleración angular , $α$ , de la partícula es: $\alpha ={\frac {d\omega }{dt}}$ ^{[ 4 ]}

En el caso de movimiento circular uniforme, $α$ será cero. ^{[ 2 ]}

La aceleración hacia adentro causada por el cambio de dirección del movimiento es: $a_{c}={\frac {v^{2}}{r}}=\omega ^{2}r$ ^{[ 5 ]}

La fuerza centrípeta y la fuerza centrífuga también se pueden encontrar utilizando la aceleración. Para un cuerpo de masa $m$ , la fuerza centrípeta es, según la segunda ley de Newton , $F_{c}=ma_{c}={\frac {mv^{2}}{r}}$ ^{[ 6 ]}

En el caso más simple, la velocidad, la masa y el radio son constantes. ^{[ 7 ]}

Consideremos un cuerpo de un kilogramo, moviéndose en un círculo de radio un metro, con una velocidad angular de un radián por segundo .

La velocidad es de 1 metro por segundo.
La aceleración hacia adentro es $de$ 1 metro por segundo cuadrado, $v² / r$ .
Está sometida a una fuerza centrípeta de 1 kilogramo metro por segundo cuadrado, que es 1 newton .
El momento del cuerpo es 1 kg·m·s ⁻¹ .
El momento de inercia es 1 kg·m ² .
El momento angular es 1 kg·m ² ·s ⁻¹ .
La energía cinética es de 0,5 julios .
La circunferencia de la órbita es de 2 $π$ (~6,283) metros.
El período del movimiento es de 2π $segundos$ .
La frecuencia es (2 $π$ ) ⁻¹hercios .

En forma vectorial

Las relaciones vectoriales se muestran en la Figura 1. El eje de rotación se muestra como un vector $ω$ perpendicular al plano de la órbita y con una magnitud $ω = dθ / dt$ . La dirección de $ω$ se elige utilizando la regla de la mano derecha . Con esta convención para representar la rotación, la velocidad viene dada por un producto vectorial como $\mathbf {v} ={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} ,$ que es un vector perpendicular tanto a $ω$ como $a r (t)$ , tangente a la órbita y de magnitud $ω r$ . Asimismo, la aceleración viene dada por $\mathbf {a} ={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {v} ={\boldsymbol {\omega }}\times \left({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} \right),$ que es un vector perpendicular tanto a $ω$ como $a v (t)$ de magnitud $ω | v | = ω 2 r$ y dirigido exactamente en sentido opuesto a $r (t)$ . ^{[ 8 ]}

En coordenadas polares

En coordenadas polares, el movimiento circular es especialmente sencillo porque el radio es constante. La posición del objeto cambia únicamente a través del ángulo alrededor del círculo. Como resultado, la velocidad es tangente al círculo, mientras que la parte centrípeta de la aceleración apunta hacia adentro.

{\displaystyle \mathbf {d{\hat {\mathbf {u} }}_{R}} } — Figura 4: Coordenadas polares para una trayectoria circular. A la izquierda se muestra un círculo unitario que ilustra los cambios. $\mathbf {d{\hat {\mathbf {u} }}_{R}}$ y $\mathbf {d{\hat {\mathbf {u} }}_{\theta }}$ en los vectores unitarios $\mathbf {{\hat {\mathbf {u} }}_{R}}$ y $\mathbf {{\hat {\mathbf {u} }}_{\theta }}$ por un pequeño incremento $d\theta$ en ángulo $\theta$ .

Durante el movimiento circular, el cuerpo se mueve en una curva que puede describirse en el sistema de coordenadas polares como una distancia fija $R$ desde el centro de la órbita, tomado como origen, orientado en un ángulo $θ (t)$ con respecto a alguna dirección de referencia. Véase la Figura 4. El vector de desplazamiento $\mathbf {r}$ es el vector radial desde el origen hasta la ubicación de la partícula: $\mathbf {r} (t)=R{\hat {\mathbf {u} }}_{R}(t)\,,$ dónde ${\hat {\mathbf {u} }}_{R}(t)$ es el vector unitario paralelo al vector de radio en el instante $t$ y que apunta alejándose del origen. Es conveniente introducir el vector unitario ortogonal a ${\hat {\mathbf {u} }}_{R}(t)$ también, es decir ${\hat {\mathbf {u} }}_{\theta}(t)$ . Es costumbre orientar ${\hat {\mathbf {u} }}_{\theta}(t)$ para apuntar en la dirección del viaje a lo largo de la órbita. ^{[ 9 ]}

La velocidad es la derivada temporal del desplazamiento: $\mathbf {v} (t)={\frac {d}{dt}}\mathbf {r} (t)={\frac {dR}{dt}}{\hat {\mathbf {u} }}_{R}(t)+R{\frac {d{\hat {\mathbf {u} }}_{R}}{dt}}\,.$ ^{[ 10 ]}

Debido a que el radio del círculo es constante, la componente radial de la velocidad es cero. El vector unitario ${\hat {\mathbf {u} }}_{R}(t)$ tiene una magnitud invariable en el tiempo de unidad, por lo que a medida que el tiempo varía su punta siempre se encuentra en un círculo de radio unitario, con un ángulo $θ$ igual al ángulo de $\mathbf {r} (t)$ . Si el desplazamiento de la partícula rota un ángulo $dθ$ en un tiempo $dt$ , también lo hace ${\hat {\mathbf {u} }}_{R}(t)$ , describiendo un arco en el círculo unitario de magnitud $dθ$ . Véase el círculo unitario a la izquierda de la Figura 4. Por lo tanto: ${\frac {d{\hat {\mathbf {u} }}_{R}}{dt}}={\frac {d\theta }{dt}}{\hat {\mathbf {u} }}_{\theta }(t)\,,$ donde la dirección del cambio debe ser perpendicular a ${\hat {\mathbf {u} }}_{R}(t)$ (o, en otras palabras, a lo largo de ${\hat {\mathbf {u} }}_{\theta}(t)$ ) porque cualquier cambio $d{\hat {\mathbf {u} }}_{R}(t)$ en dirección de ${\hat {\mathbf {u} }}_{R}(t)$ cambiaría el tamaño de ${\hat {\mathbf {u} }}_{R}(t)$ . El signo es positivo porque un aumento en $dθ$ implica que el objeto y ${\hat {\mathbf {u} }}_{R}(t)$ se han movido en la dirección de ${\hat {\mathbf {u} }}_{\theta}(t)$ Por lo tanto, la velocidad se convierte en: $\mathbf {v} (t)={\frac {d}{dt}}\mathbf {r} (t)=R{\frac {d{\hat {\mathbf {u} }}_{R}}{dt}}=R{\frac {d\theta }{dt}}{\hat {\mathbf {u} }}_{\theta }(t)=R\omega {\hat {\mathbf {u} }}_{\theta}(t)\,.$ ^{[ 10 ]}

La aceleración del cuerpo también se puede descomponer en componentes radiales y tangenciales. La aceleración es la derivada temporal de la velocidad: ${\begin{aligned}\mathbf {a} (t)&={\frac {d}{dt}}\mathbf {v} (t)={\frac {d}{dt}}\left(R\omega {\hat {\mathbf {u} }}_{\theta }(t)\right)\\&=R\left({\frac {d\omega }{dt}}{\hat {\mathbf {u} }}_{\theta }(t)+\omega {\frac {d{\hat {\mathbf {u} }}_{\theta }}{dt}}\right)\,.\end{aligned}}$

La derivada temporal de ${\hat {\mathbf {u} }}_{\theta}(t)$ se encuentra de la misma manera que para ${\hat {\mathbf {u} }}_{R}(t)$ . De nuevo, ${\hat {\mathbf {u} }}_{\theta}(t)$ es un vector unitario y su extremo traza un círculo unitario con un ángulo que es $π /2 + θ$ . Por lo tanto, un aumento en el ángulo $dθ$ en $\mathbf {r} (t)$ implica ${\hat {\mathbf {u} }}_{\theta}(t)$ traza un arco de magnitud $dθ$ y como ${\hat {\mathbf {u} }}_{\theta}(t)$ es ortogonal a ${\hat {\mathbf {u} }}_{R}(t)$ , tenemos: ${\frac {d{\hat {\mathbf {u} }}_{\theta }}{dt}}=-{\frac {d\theta }{dt}}{\hat {\mathbf {u} }}_{R}(t)=-\omega {\hat {\mathbf {u} }}_{R}(t)\,,$ donde es necesario un signo negativo para mantener ${\hat {\mathbf {u} }}_{\theta }(t)$ ortogonal a ${\hat {\mathbf {u} }}_{R}(t)$ . (De lo contrario, el ángulo entre ${\hat {\mathbf {u} }}_{\theta }(t)$ y ${\hat {\mathbf {u} }}_{R}(t)$ disminuiría con un aumento en $dθ$ .) Véase el círculo unitario a la izquierda de la Figura 4. En consecuencia, la aceleración es : ${\begin{aligned}\mathbf {a} (t)&=R\left({\frac {d\omega }{dt}}{\hat {\mathbf {u} }}_{\theta }(t)+\omega {\frac {d{\hat {\mathbf {u} }}_{\theta }}{dt}}\right)\\&=R{\frac {d\omega }{dt}}{\hat {\mathbf {u} }}_{\theta }(t)-\omega ^{2}R{\hat {\mathbf {u} }}_{R}(t)\,.\end{aligned}}$

La aceleración centrípeta es la componente radial, que está dirigida radialmente hacia adentro: $\mathbf {a} _{R}(t)=-\omega ^{2}R{\hat {\mathbf {u} }}_{R}(t)\,,$ mientras que la componente tangencial cambia la magnitud de la velocidad: $\mathbf {a} _{\theta }(t)=R{\frac {d\omega }{dt}}{\hat {\mathbf {u} }}_{\theta }(t)={\frac {dR\omega }{dt}}{\hat {\mathbf {u} }}_{\theta }(t)={\frac {d\left|\mathbf {v} (t)\right|}{dt}}{\hat {\mathbf {u} }}_{\theta }(t)\,.$

Utilizando números complejos

El movimiento circular se puede describir utilizando números complejos y la fórmula de Euler . Sea el eje $x$ el eje real y el $y$ Sea el eje el eje imaginario. La posición del cuerpo se puede expresar como: $z$ , un "vector" complejo: $z=x+iy=R\left(\cos[\theta (t)]+i\sin[\theta (t)]\right)=Re^{i\theta (t)}\,,$ donde $i$ es la unidad imaginaria y $\theta (t)$ es el argumento del número complejo como función del tiempo, $t$ .

Dado que el radio es constante: ${\dot {R}}={\ddot {R}}=0\,,$ donde un punto indica diferenciación con respecto al tiempo.

Con esta notación, la velocidad se convierte en: $v={\dot {z}}={\frac {d}{dt}}\left(Re^{i\theta [t]}\right)=R{\frac {d}{dt}}\left(e^{i\theta [t]}\right)=Re^{i\theta (t)}{\frac {d}{dt}}\left(i\theta [t]\right)=iR{\dot {\theta }}(t)e^{i\theta (t)}=i\omega Re^{i\theta (t)}=i\omega z$ y la aceleración se convierte en: ${\begin{aligned}a&={\dot {v}}=i{\dot {\omega }}z+i\omega {\dot {z}}=\left(i{\dot {\omega }}-\omega ^{2}\right)z\\&=\left(i{\dot {\omega }}-\omega ^{2}\right)Re^{i\theta (t)}\\&=-\omega ^{2}Re^{i\theta (t)}+{\dot {\omega }}e^{i{\frac {\pi }{2}}}Re^{i\theta (t)}\,.\end{aligned}}$

El primer término tiene dirección opuesta al vector de desplazamiento y el segundo es perpendicular a él, al igual que los resultados mostrados anteriormente.

Velocidad

La Figura 1 ilustra los vectores de velocidad y aceleración para un movimiento uniforme en cuatro puntos diferentes de la órbita. Dado que la velocidad $v$ es tangente a la trayectoria circular, no hay dos velocidades que apunten en la misma dirección. Aunque el objeto tiene una rapidez constante , su dirección siempre cambia. Este cambio de velocidad se debe a una aceleración $a$ , cuya magnitud (al igual que la de la velocidad) se mantiene constante, pero cuya dirección también cambia continuamente. La aceleración apunta radialmente hacia adentro ( centrípetamente ) y es perpendicular a la velocidad. Esta aceleración se conoce como aceleración centrípeta.

Para una trayectoria de radio $r$ , cuando se barre un ángulo $θ , la distancia recorrida en la$ periferia de la órbita es $s = rθ$ . Por lo tanto, la velocidad de desplazamiento alrededor de la órbita es $v=r{\frac {d\theta }{dt}}=r\omega ,$ donde la velocidad angular de rotación es $ω$ . (Por reordenamiento, $ω = v / r$ .) Por lo tanto, $v$ es una constante, y el vector de velocidad $v$ también rota con magnitud constante $v$ , a la misma velocidad angular $ω$ .

movimiento circular relativista

En este caso, el vector de tres aceleraciones es perpendicular al vector de tres velocidades, $\mathbf {u} \cdot \mathbf {a} =0.$ y el cuadrado de la aceleración propia, expresado como un invariante escalar, el mismo en todos los sistemas de referencia, $\alpha ^{2}=\gamma ^{4}a^{2}+\gamma ^{6}\left(\mathbf {u} \cdot \mathbf {a} \right)^{2}/c^{2},$ se convierte en la expresión para el movimiento circular, $\alpha ^{2}=\gamma ^{4}a^{2}.$ o bien, tomando la raíz cuadrada positiva y utilizando la aceleración triple, llegamos a la aceleración propia para el movimiento circular: $\alpha =\gamma ^{2}{\frac {v^{2}}{r}}.$

Aceleración

El círculo de la izquierda en la Figura 2 es la órbita que muestra los vectores de velocidad en dos instantes adyacentes. A la derecha, estas dos velocidades se mueven de modo que sus colas coincidan. Debido a que la velocidad es constante, los vectores de velocidad de la derecha describen un círculo a medida que avanza el tiempo. Para un ángulo barrido $dθ = ω dt,$ el cambio en $v$ es un vector perpendicular a $v$ y de magnitud $v dθ$ , lo que a su vez significa que la magnitud de la aceleración viene dada por $a_{c}=v{\frac {d\theta }{dt}}=v\omega ={\frac {v^{2}}{r}}$

movimiento circular no uniforme

En el movimiento circular no uniforme , un objeto se mueve a lo largo de una trayectoria circular con velocidad variable. Debido a que la velocidad cambia, el objeto tiene aceleración tangencial además de aceleración centrípeta .

La aceleración se puede dividir en dos componentes perpendiculares. La componente radial, o aceleración centrípeta, apunta hacia el centro del círculo y cambia la dirección del movimiento. La componente tangencial apunta en la dirección de la tangente al círculo y cambia la velocidad.

La aceleración radial tiene magnitud

a_{r}={\frac {v^{2}}{r}}

donde $v$ es la velocidad instantánea y $r$ es el radio de la trayectoria circular. La aceleración tangencial tiene magnitud

a_{t}={\frac {dv}{dt}}

.

La aceleración total es la suma vectorial de las componentes radial y tangencial. En el movimiento circular uniforme, la componente tangencial es cero porque la velocidad es constante. En el movimiento circular no uniforme, ambas componentes pueden estar presentes.

Aplicaciones

La resolución de problemas que involucran movimiento circular a menudo requiere un análisis de fuerzas. En el movimiento circular uniforme, la velocidad es constante, por lo que la aceleración es completamente radial. En el movimiento circular no uniforme, también existe aceleración tangencial debido a que la velocidad varía.

La componente radial de la fuerza neta proporciona la aceleración centrípeta: $F_{r}=ma_{r}={\frac {mv^{2}}{r}}$

La aceleración tangencial no es la responsable de mantener el objeto en una trayectoria circular; lo que cambia es la velocidad del objeto. Si la velocidad cambia, la componente tangencial de la fuerza neta es: $F_{t}=ma_{t}=m{\frac {dv}{dt}}$

Al dibujar un diagrama de cuerpo libre , la fuerza centrípeta generalmente no se representa como una fuerza independiente. En cambio, las fuerzas reales que actúan sobre el objeto se descomponen en componentes radiales y tangenciales.

Por ejemplo, en la parte superior de una trayectoria circular vertical, la dirección radial apunta hacia abajo, hacia el centro del círculo. Si un objeto está sometido a la gravedad y a una fuerza normal hacia abajo, la ecuación de la fuerza radial es: $F_{r}=n+mg={\frac {mv^{2}}{r}}$

En el movimiento circular no uniforme, la aceleración total es la suma vectorial de las componentes radial y tangencial: $a={\sqrt {a_{r}^{2}+a_{t}^{2}}}$

Véase también

Momento angular
Ecuaciones de movimiento para el movimiento circular
Derivada temporal § Ejemplo: movimiento circular
Fuerza ficticia
Órbita geoestacionaria
órbita geosíncrona
Péndulo (mecánica)
Fuerza centrífuga reactiva
movimiento alternativo
Movimiento armónico simple § Movimiento circular uniforme
Honda (arma)

Referencias

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Enlaces externos

Physclips: Mecánica con animaciones y videoclips de la Universidad de Nueva Gales del Sur.
Movimiento circular : un capítulo del libro de texto en línea Mecánica , de Benjamin Crowell (2019).
Movimiento circular en MIT OpenCourseWare
El episodio "Moviéndose en círculos" de El Universo Mecánico

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